Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом В. С. Рябенького Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следствие. Пусть а есть значение рациональной функции от р, то есть а = /(р)/д(р), где /(р), д(р) — многочлены с целыми коэффициентами от р. Тогда последовательность {а/п} не является равномерно распределенной.

Доказательство. Используя свойство р2 = р + 1, выразим /(р), д(р) в виде линейной функции от р. Тогда можно полагать, что а есть значение дробно-линейной функции от р. Далее, согласно лемме 1, значение дробно-линейной функции от р можно выразить в виде линейной функции с рациональными коэффициентами от р. Пусть 5, Ь — рациональные числа.

Согласно оценке (3)

Последовательность sfk+i + tfk не является равномерно распределенной (так как s, t — рациональные числа). Поэтому, согласно лемме 2, последовательность (sp + t)fk также не является равномерно распределенной.

Библиографический список

1. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Vol. 77. P. 313-352. DOI: 10.1007/BF01475864.

Moscow State University, Russia, 119234, Moscow, Leninskie Gory, 1, [email protected] The paper presents a family of exponentially growing but not uniformly distributed sequences modulo one. Keywords: uniform distrubtion modulo one, Fibonacci numbers, golden ratio, homographic transformation.. References

1. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Math. Ann., 1916, vol. 77, pp. 313-352. DOI: 10.1007/BF01475864.

YAK 511.9

Ассистент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого, [email protected]

В работе рассмотрены алгоритмы вычисления гиперболических параметров целочисленных решеток решений линейных сравнений, соответствующих параллелепипедальным сеткам.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение в частных производных, теоретико-числовой метод.

В 1961 году В. С. Рябенький в работе [1] предложил численный метод решения задачи Коши для следующего класса дифференциальных уравнений с частными производными:

(sp + t)fk - (sfk+i + tfk) ^ 0 (k ^ те).

On the Class of Exponentially Growing Sequences that are Not Uniformly Distributed Modulo One

P. Z. Rakhmonov

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ МЕТОДОМ В. С. РЯБЕНЬКОГО

А. В. Родионов

0 < t < T, -те <xv < те (v = 1,...,s), (1)

u( 0,x) = p(X), x = (x1, ...,xs),

(2)

© Родионов А. В., 2013

где

ni А - ^ v^ j j (3)

П ^' • • •' dxs - 2= • • • ^ dxj! • • • dx{s

ji =0 js=0 i s

— дифференциальный оператор порядка п= п\ +...+па, с максимальным порядком по отдельным переменным, не превосходящим ш(^) = шах(п1,..., п), а ^(х) = ^(х , ...,хв) — периодическая с периодом единица по каждому из своих аргументов функция из класса Е^ (а > ш(0) + 1). Таким образом,

<(xi, • • • ,xs) — J] •••

| xs ) у j • • • у j cm1 ,...,ms e

т1= — ж ms = — ^

2ni(m1x1+...+ms xs)

и для коэффициентов Фурье выполняется оценка

|сш1 ,...,ms 1 <

(m1 • • • ms)a '

Величина ||<||Ea — SUP |cm1,...,ms(mi• ••m7)a| < го является нормой на пространстве Ef,

m1,...,ms

относительно которой оно является несепарабельным банаховым пространством.

В своей работе В. С. Рябенький предложил некоторый общий подход численного решения задачи Коши с использованием произвольных сеток, для которых выполнены специальные условия, и показал, что его конструкция применима для многомерных кубических сеток, которые ещё называют равномерными, и для параллелепипедальных сеток Н. М. Коробова.

Пусть задана целочисленная решетка Л, которая определяет обобщенную параллелепипедальную сетку M(Л) и абсолютно минимальную гиперболическую полную систему вычетов MH(Л). С задачей Коши (1)—(3) свяжем дискретную задачу Коши с решеткой Л, отличие которой от просто задачи Коши заключается в том, что начальное условие ослабляется и задается не на единичном s-мерном кубе, а только на конечном множестве M(Л). За счет этого решение можно найти в пространстве T(M^(Л)). Определение 1. Дискретной задачей Коши с решеткой Л называется уравнение

f — -"дУ (4)

0 < t < T, -го <xv < го (v — 1, • • •, s), (5)

с дискретными начальными условиями:

и(0,ж) — <(x), x Е М(Л), (6)

где <(x) — периодическая функция из класса E^ (a > m(П) + 1).

Решением дискретной задачей Коши с решеткой Л назовем тригонометрический многочлен с переменными коэффициентами u(t,x) Е T(M*(Л)), удовлетворяющий уравнению (4) в области (5) с дискретными начальными условиями (6).

Теорема 1. Решением дискретной задачи Коши с решеткой Л является тригонометрический многочлен:

u(t,x)— £ c(m )eQ(m )t e2

c(m) — cm(Л),м*(л)И) — n <(У)е 2ni(m'y)•

3Q(m )t e2ni(m,x)

meM* (Л)

где

1

N

уем (Л)

Доказательство см. в [2]. □

Es

Введем в рассмотрение новый класс функций Е*а (Я), где

я = я

д

д

дх1' ' дх8

п 1 п3

д3

з1=0 3* =0

дх11 дх1в

— дифференциальный оператор порядка п = п1 + ... + п3.

Определение 2. Периодическая функция р(х1, ...,хв) с периодом 1 по каждой переменной принадлежит классу Е*а(Я), если

р(х) = ^ оте

2пг(т,х)

т еЪз

и для коэффициентов Фурье выполняется оценка

Величина

где

|о | — Нр1|Е?(д,т) 1 от1 — /_ _\

(Ш...ш;)а • Я(ш,Т)

I е? (я,т) = йир |от • (шг. ..шв )а • Я(т,Т )| < те,

3 т ехз

Я(т,Т) = шах Яг(П,Т),

д(п) <д(т)

Я^Ш, Т) = шах (

0<г<т \

п1 п3

Мт)г , eQ(m)t • |Я(ш)|) ,

Я(Ш) = £ ... £ ап,...,зз (2^)31+...+33 шГ1 ...ш33,

31 =0 3з=0

является нормой на пространстве Е^(Я,Т), относительно которой оно является несепарабельным банаховым пространством.

Определение 3. Функция п(Ь,х), определенная при 0 — Ь — Т и х Е , периодическая по х с периодом 1 по каждой переменной хи (и = 1,...,з), представимая кратным рядом Фурье с

переменными коэффициентами Фурье, зависящими от Ь и дифференцируемыми по Ь при 0 — Ь — Т:

д

п(Ь,х)= ^ Ьт(Ь)е2пг(т,х), —п(Ь,х)=^ Ьт(Ь)е2пг(т,х)

т ехз т ежз

принадлежит классу ЕЯ^+1(Я,Т), если для любого Ь из отрезка [0; Т] выполнены равенства

Ьт (Ь) = от (Ь)е^(т)*, Ь'т (Ь) = от (Ь)Я(Ш )е^(т)*

и периодическая функция

/(х) = 5] от(Ь)е2пг(т,х) т ехз

принадлежат классу Е^(Я,Т).

Теорема 2. Для пространства ЕЯа+1(Я,Т) общим решением дифференциального уравнения

дп я ( д д

дЬ \дх^ ' дх

п(Ь, х), 0 — Ь — Т, -те <хи < те (и = 1,...,з)

является периодическая функция:

¿(Ь,х) =

т ехз

о^еЯ(т )ге2пг(гп,х)

дЬп(Ь,£)= отЯ(ш)ед(т)^е2пг(т,х),

(7)

(8)

т ежз

122

Научный отдел

где коэффициенты cm — произвольные числа, удовлетворяющие условию

C — sup |cm ■ (mi• • •ml)" ■ n(m, T)| < го,

m ezs

и ряды в правых частях (7) и (8) абсолютно сходятся.

Доказательство см. в работе [2]. □

Теорема 3. Для пространства ERa+1 (П,Т) решением задачи Коши для дифференциального уравнения

du i д д \

dt — n(dxi '•••'dx~J u(t,x), 0 < t < T, -го <xv < го (v — 1, • • •, s) (9)

с начальным условием

и(о,ж) = ^(х), ^(х) е ка(д,т), (10)

где периодическая функция ^(х) имеет вид

^(х)=^ ЪЛе2пг(т>х), (11)

т еЪ3

является

Ътед(т)^е2пг(т'Х), (12)

т еЪ3

где и(£, х) е (ф,Т).

Доказательство см. в [2]. □

Пусть задана целочисленная решетка Л и Ы*(А) = Ы^(Л) — абсолютно минимальная гиперболическая полная система вычетов фундаментальной решетки Ъа относительно целочисленной решетки Л. Согласно теореме 1 решением дискретной задачи Коши (4)-(6) с решеткой Л является тригонометрический многочлен

ил (*,£)= ^ с(ш )ед(т )^е2пг(т'х) = ^ ^СЮЦ; (*,£), т ем * (л) уем (л)

где

с(ш) = см (л) ,м *(л) (ш) = ^ ^ ^(У)е-2пг(т,?7).

уем (л)

Естественно рассматривать тригонометрический многочлен ил(£,х) как приближение к решению и(£,х) задачи Коши (9)-(10). Следующая теорема отвечает на вопрос о точности этого приближения.

Теорема 4. Для произвольной целочисленной решетки Л для решения (12) задачи Коши (9)—(10) с функцией ^(х), имеющей ряд Фурье (11), справедливо неравенство

|u(t x) - UA(t x)l < 2||<(x)||E?(Q'T)( 2s lns-1 9з(Л) + |u(t,x) uMt,x)|< q3(Л)а-1 ^(s - 1)!(a - 1) +

+ Е Е ( ^ ^^С(а)^-2 + £ ^ ^

т=0 к=т ^ ' у=к+2 j=k+1

Доказательство см. в [2]. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571).

Библиографический список

1. Рябенький В. С. Об одном способе получения раз- 2. Родионов А. В. О методе В. С. Рябенького -

ностных схем и об использовании теоретикочисловых Н. М. Коробова приближенного решения уравнений

сеток для решения задачи Коши методом конечных раз- с частными производными // Чебышевский сб. 2009.

ностей // Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова. 1961. Т. 10, вып. 3. С. 82-96. Т. 60. С. 232-237.

Solution of Partial Differential Equations by the Ryabenky Method

A. V. Rodionov

Tula State Pedagogical University, Russia, 300026, Tula, Lenina st., 125, [email protected]

The paper discusses the generalizations of the method Ryabenky approximate solutions of partial differential equations to the case of the use of arbitrary distributions Parallelepipedal nets for integral lattices.

Keywords: partial differential equation, number theoretic method.

References

1. Ryabenky V. S. A method for obtaining difference schemes andthe use of nets teoretikochislovyh for solutionthe finite difference method. Tr. matem. in-ta im. V. A. Steklova. [Tr. Math. Inst. V. A. Steklov], 1961, vol. 60, pp. 232-237 (in Russian).

2. Rodionov A. V. On the method of V. S. Ryabenky - N. M. Korobov approximate solutions of partial differential equations. Chebyshevskij sbornik [Cheby-shevsky collection], 2009, vol. 10, iss. 3, pp. 82-96 (in Russian).

УДК 512.55

НОВЫЕ СВОЙСТВА МНОГООБРАЗИЙ АЛГЕБР ЛЕЙБНИЦА

Т. В. Скорая1, А. В. Швецова2

1 Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университет, [email protected],

2Аспирант кафедры алгебро-геометрических вычислений, Ульяновский государственный университет, Федеральный научно-производственный центр ОАО «Научно-производственное объединение «Марс», [email protected]

В работе представлены два новых результата, касающиеся многообразий алгебр Лейбница над полем нулевой характеристики. Доказано достаточное условие конечности кодлины многообразия алгебр Лейбница. Найден базис тождеств и базис полилинейной части многообразия "Vз.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, многообразие алгебр, числовые характеристики, кодлина, полилинейная компонента.

1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Работа посвящена изучению новых свойств многообразий алгебр Лейбница. Характеристика основного поля Ф предполагается равной нулю. Все неопределяемые понятия можно найти в работе [1]. В статье представлено два новых результата в этой области. Первый результат принадлежит А. В. Швецовой и содержит доказательство достаточного условия конечности кодлины многообразий алгебр Лейбница. Второй результат принадлежит Т. В. Скорой. В нем найден базис тождеств и базис пространства полилинейных элементов многообразия "Vз алгебр Лейбница.

Линейная алгебра с билинейным произведением, удовлетворяющая тождеству Лейбница (ху)г = (хг)у + х(уг) называется алгеброй Лейбница. Возможно, впервые это понятие было рассмотрено в работе [2], как обобщение понятия алгебры Ли. Тождество Лейбница позволяет любой

© Скорая Т. В., Швецова А. В., 2013