CC BY
13
Реперная формулировка массивного поля со спином 5/2 в трехмерном пространстве Пермякова М. Ю. , Снегирев Т. В.
1 Пермякова Мария Юрьевна /Permyakova Mariya Yurevna - аспирант, кафедра теоретической физики;
2Снегирев Тимофей Владимирович / Snegirev Timofey Vladimirovich - кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, отдел исследований и разработок,
Томский государственный педагогический университет, г. Томск
Аннотация: в работе построена реперная калибровочно-инвариантная формулировка массивного фермионного поля со спином 5/2 в трехмерном пространстве АдС. Получены лагранжиан и полный набор калибровочных преобразований. Также для рассматриваемой теории развит формализм калибровочноинвариантных кривизн и показано, как в этих терминах лагранжиан может быть переписан.
Ключевые слова: лагранжиан, высшие спины, штюкельберговские поля, реперный формализм,
калибровочные симметрии.
Проблема описания полей со спином 5/2 относится к общей проблеме построения согласованной теории полей высших спинов S > 2. Несмотря на значительный прогресс в теории безмассовых полей высших спинов в пространствах различной размерности [1], построение полной теории все еще далеко от своего завершения. В частности, остается непонятным, как должна выглядеть нелинейная теория массивных полей высших спинов. Исследование взаимодействия массивных полей высших спинов в частности важно для понимания связи между теорией высших спинов и теорией суперструн, которые, предполагается, должны реализовываться с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии. Таким образом, естественно для таких исследований взаимодействия использовать калибровочно-инвариантную формулировку массивных полей высших спинов (наподобие той, что возникает в полевой теории суперструн), которая становится возможной благодаря введению определенного количества штюкельберговских полей. В настоящее время калибровочно-инвариантное описание для массивных полей высших спинов является хорошо изученным, более того, различные авторы развили различные подходы к такому описанию (см. [2] и ссылки там).
В то же время исследования массивных полей высших спинов является намного более сложной проблемой по сравнению с безмассовыми полями. Таким образом, кажется, что трехмерные пространства, где ситуация становится много проще, могут служить как элегантная площадка, чтобы получить полезный опыт. В частности, оказывается, что в трехмерном пространстве существуют примеры моделей с конечным числом полей высших спинов [3]. Более того, специфические свойства трехмерного пространства позволяют строить более экзотические модели. Таким образом, можно ожидать, что теория массивных полей высших спинов также будет выглядеть проще [4].
Работа организована следующим образом. В разделе 1 мы соберем основную информацию о реперной формулировке безмассового поля со спином 5/2 в трехмерном пространстве АдС. В разделе 2 мы дадим калибровочно-инвариантную формулировку для свободного массивного поля спина 5/2 в трехмерном пространстве АдС. Здесь мы сперва обсудим набор полевых переменных, которые понадобятся для построения калибровочно-инвариантного описания. Затем в треминах этих полей выведем лагранжиан и набор калибровочных преобразований. Здесь также проводится построение полного набора калибровочноинвариантных кривизн в линейном приближении.
Обозначения и соглашения. В трехмерном пространстве удобно использовать мультиспинорный формализм и, в отличие от четырехмерного пространства, используется только один тип спинорного
индекса. Например, фоновый репер трехмерного пространства АдС описывается один-формно еа(2), а безмассовое поле спина 5/2 описывается один-формой ^а(3) (здесь а = 1,2 - спинорный индекс), где аргумент для индекса означает количество индексов, при этом формы полностью симметричны при их перестановке. Поднятие и опускание спинорных индексов осуществляется с помощью антисимметричных
матриц £аВ ,£а/} с базовым соотношением £аг£ ^ = ~8ар . Базисными элементами пространств 1,2,3-форм
а(2) 77 а(2) 77 ^ аа ВВ аВ -г? аВ
являются е , Е \ Е , последние два определенные через первый, как е Л е =£ Е и E аа л еВВ =£аВ£аВЕ . Для ковариантных производных трехмерного пространства АдС используется
соглашения D Л D^а =—Л,2Е а , где Л выражается через космосмологическую постоянную (для
Р{
плоского пространства Л = 0). Далее знак внешнего произведения Л далее везде опускаем.
1. Безмассовые поля со спином 5/2
Реперная формулировка безмассового поля спина 5/2 может трактоваться как обобщение известной реперной формулировки гравитации в терминах тетрадного поля h а и лоренцевской связности .
Такое обобщение было успешно развито как для бозонных полей, так и для фермионных [5]. В частности, если говорить о безмассовом поле спина 5/2, то оно будет описываться один-формами
Wa = dxMX¥ а, Па’ь = dx41ab (1)
Здесь первое поле - это обобщенная тетрада, а второе является дополнительным вспомогательным
полем. Важное свойство трехмерного пространства состоит в том, что поле Qa,b будет отсутствовать, что значительно упрощает общие вычисления. Более того, описание можно упростить, если использовать мультиспинорный формализм, где все поля по-прежнему один-формы, но с замененными локальными индексами на спинорные (см. приложение). Тогда беземассовое поле спина 5/2 будет описываться один-
формой х^ааа. Свободный лагранжиан, являющийся три-формой, в трехмерном пространстве АдС выглядит следующим образом [5]:
С =W (2)
2
здесь D = dxMDM - ковариантная производная пространства АдС, один-форма еа( ’ - фоновый репер
пространства АдС (подробно смотри в приложении). Лагранжиан (1) инвариантен относительно калибровочных преобразований
8¥а(3) = D8,
а(3) ^
е<* £а(2)Р
(3)
с калибровочным параметром £а(3), являющимся ноль-формой. Для поля Ya(3) существует два-форма
а(3)
- калибровочно-инвариантный объект (кривизна)
у 01(3) _
Па(3> = Dx¥a(3) +-еа„Г'
Я
,а \па(2)Р
2
р
(4)
с помощью которой лагранжина (1) может быть переписан как
Г = ЛV 7? “(3>
1 Т а(3) /V
(5)
Легко увидеть, что кривизна (4) как раз дает уравнение движения для лагранжиана (1). Отметим, что возможность работать в терминах кривизн является особенностью реперной формулировки.
2. Массивные поля со спином 5/2
В этом разделе мы развиваем реперную калибровочно-инвариантную формулировку массивного поля спина 5/2 в трехмерном пространстве АдС. Сперва строим лагранжево описание, а затем развиваем описание в терминах калибровочно-инвариантных кривизн.
2.1. Лагранжева формулировка
Калибровочно-инвариантная лагранжева формулировка массивных полей основывается на введение вспомогательных штюкельберговских полей. Мы будем следовать процедуре, предложенной в [6] и использовать минимальное число таких полей. Для массивного поля спина 5/2 полный набор полевых
переменных будет включать следующие один-формы с тремя и одним спинорными индексами ^“(3), х¥а
(каждое со своим калибровочным преобразованием) и ноль-формус одним спинорным индексом фа(3). Свободный лагранжиан будет выглядеть следующим образом:
£ = D4>a^--4>aD4>a +-фаЕавВфр +
р
2
«( 3)
р
++ «rn.'r „Е“рф +
I iM Ц> рРхуа(2)у
^ 2 Т “(2)Pe 7 Т
р
'Г ре рУг- ф,М
и будет инвариантен относительно калибровочных преобразований
g^a(3) = D£a(3) + Mea £а(2)Р + еа(2)£а
£ 3 р 3 £
$¥а = D£a + — eapZP +шъет £ар(2)
(6)
(7)
где
9
M2 = m2 + -Я2, 4
m„
8фа = m0£a
= 12(m2 + 2Я2)
(8)
2 2
параметр m3 = m и m играет роль массового параметра. Отметим, что такое калибровочноинвариантное описание работает не только в пространстве АдС, но и в пространстве Минковского при Я ^ 0 . В безмассовом пределе m ^ 0 построенный лагранжиан будет описывать систему свободных безмассовых полей со спинами 5/2, 3/2 и 1/2.
2.2. Формулировка в терминах кривизн
Для безмассового поля спина 5/2 мы показали, как в рамках реперного подхода могут быть построены калибровочно-инвариантные кривизны, которые играли роль лагранжевых уравнений движения. Мы сейчас покажем, что аналогичные калибровочно-инвариантные объекты могут быть построены и в теории массивного поля спина 5/2. Так как калибровочно-инвариантное описание использует вспомогательные штюкельберговские поля, будет естественным построить соответствующие кривизны для них всех. Как будет видно далее, чтобы построить кривизны в калибровочно-инвариантном виде, нам, прежде всего,
потребуется ввести дополнительное вспомогательное поле - ноль-форму Caa3), которое имеет следующий закон калибровочного преобразования:
5С a(3) = m £“(3) (9)
Тогда полный набор калибровочно-инвариантных кривизн будет выглядеть:
АЛ тп
^ос(Ъ) _ 3) | 1V± gOi \j/a(2)/? ^ //f3 ^aa\^a
3 p 3
1Za = DW01 + 5^-eapx¥p + m3efifix¥afifi +m0E aрфр Ca = D(j)a - m+ — еарфр+тъеррСа№
(10)
£«(3) _ ]JQaA)
m0 Y“(3)
M
Л--e
a
3
na(2)P
fiC
m
+ m еаафа 3
Эти кривизны инвариантны относительно калибровочных преобразований (7) и (9). Теперь лагранжиан (6) в терминах кривизн (10) может быть переписан в следующем виде
£ = \ 'Ра(„к“<3’ Ж *'-Ф£а £>
(ii)
Заключение
В этой работе было сформулировано калибровочно-инвариантное лагранжево описание массивного поля спина 5/2 в трехмерном пространстве АдС. Используя подходящий набор штюкельберговских полей, был выведен лагранжиан и получен полный набор калибровочных преобразований. Были также построены линеаризованные калибровочно-инвариантные кривизны. При этом, калибровочная инвариантность кривизн требует введение дополнительных вспомогательных полей со специальным калибровочным преобразованием.
Данная работа была выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-6453.2015.2. С.Т.В. также благодарен за частичную поддержку гранту РФФИ № 14-02-31254.
Литература
1. Vasiliev M. A. Higher-spin gauge theories in four, three and two dimensions. // International Journal of Modern Physics D. — 1996. — № 05 - p. 763-797.
2. Ponomarev D. S., Vasiliev M. A. Frame-like action and unfolded formulation for massive higher-spin fields. // Nuclear Physics B. — 2010. — № 839 - p. 466-498.
3. Campoleoni A., Fredenhagen S., Pfenninger S., Theisen S. Asymptotic symmetries of three-dimensional gravity coupled to higher-spin fields. // Journal of High Energy Physics.—2010. — № 11(007) - p. 1-36.
4. Chen B., Long J., Wang Y. Black holes in truncated higher spin ads_3 gravity. // Journal of High Energy Physics.
— 2012. — № 12 - p. 1-21.
5. Vasiliev M. A. Free massless fields of arbitrary spin in the de Sitter space and initial data for a higher spin superalgebra. // Fortschritte der Physik. — 1987. — № 35 (11) - p. 741-770.
6. Buchbinder I. L., Snegirev T. V, Zinoviev Yu. M. Gauge invariant lagrangian formulation of massive higher spin fields in AdS_3 space. // Physics Letters B. — 2012. — № 716 - p. 243-248.
