Ренорм-групповой анализ одномерной модели Хаббарда Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 548:537.1

Ренорм-групповой анализ одномерной модели Хаббарда

Ксения А. Лобач* Сергей Г. Овчинников^

Институт инженерной физики и радиоэлектроники, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 01.11.2011, окончательный вариант 09.12.2011, принята к печати 20.01.2012 Получена энергия основного состояния одномерной модели Хаббарда с помощью техники ренорм-группы в реальном пространстве. Рассмотрен случай половинного заполнения с учетом перескоков между ближайшими соседями.

Ключевые слова: модель Хаббарда, энергия основного состояния, ренорм-группа.

Введение

Модель Хаббарда [1] — это простейшая модель, позволяющая проверить эффекты корреляций между электронами в узких энергетических зонах. Гамильтониан включает перескоки между ближайшими соседями 1 и кулоновское отталкивание и, которое действует, когда два электрона находятся на одном узле. Наибольший интерес представляет случай сильного взаимодействия и >> когда теория возмущений по параметру — не работает. Поэтому желательно развитие методов, не использующих теорию возмущений. В этой работе изучается одномерная модель Хаббарда с наполовину заполненной зоной, используя технику ренорм-группы при нулевой температуре. Метод состоит в построении основного состояния путем многократно повторяющегося разбиения решетки на кластеры, состоящие из четного числа узлов, а точнее двух, и рассмотрении на каждом шаге только нижележащих энергетических состояний в каждом кластере. Данным методом была вычислена энергия основного состояния, которая находится в хорошем согласии с точным результатом [2].

Нужно упомянуть, что существуют родственные вычисления для одномерной модели Хаббарда, в которых авторы разбивают цепочку по три узла [3], а также работы, в которых авторы учитывают не только низкоэнергетические состояния на каждом шаге итераций и таким образом могут приближенно изучить температурно-зависимые свойства [4]. Удобство нашего подхода состоит в возможности аналитически находить собственные состояния и параметры ренормированного гамильтониана на каждом шаге итераций.

Путем расширения наших одномерных вычислений мы сможем в будущем рассматривать дву- и трехмерные решетки.

1. Точная диагонализация

Гамильтониан модели Хаббарда имеет вид

H = + 2Unk,ank,ä) - t(a+,aak+1,a + h.c.) + 2UN, (1)

k,a k,a

* [email protected] [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

где = ак,<г, а+ а и — операторы рождения и уничтожения электрона на узле к

с проекцией спина а = , — 2' — химпотенциал, и — параметр кулоновского отталкивания, Ь — интеграл перескока между соседними узлами, Ь > 0. При вычислении энергии основного состояния Ед в пределе сильных корреляций (и ^ то) Ед ^ —то. Если же в

гамильтониан добавить постоянный член цUN, как и было сделано, то при и ^ то Ед ^ 0.

Перейдем от одноузельного описания к кластерному. Разобьем цепочку на кластеры по два узла (рис. 1). Перегруппируем слагаемые в гамильтониане так, чтобы отделить внутри-кластерные взаимодействия от межкластерных:

Н = £ Н§(/) + £ ЯП/), (2)

/ /

где

Н0(/) = —МЕ а + п/,2 ) + и (nf,1,Тnf,1,l + п/,2,Тп/,2Д ) — Ь Еа (а+1,а а/,2,СТ + h••), (3)

Нсс(/) = - Е/,а (а++1,1,аа/,2,. + и.о.), (4)

где / — кластерные индексы, индексы 1 и 2 показывают номер атома внутри кластера.

Г

Рис. 1. Разбиение цепочки на кластеры. Здесь показано взаимодействие между атомами внутри кластера (сплошные линии) и между кластерами (пунктирные линии)

Следующим шагом после разбиения решетки на кластеры является точное решение стационарного уравнения Шредингера с внутрикластерной частью гамильтониана. В качестве волновых функций удобно взять функции вида

^ = £ сет»1,»2 >, (5)

где индекс п означает количество электронов в кластере, индекс в — полный спин, I — номер состояния с данными п и в, г^ — индекс, принимающий значения 0 (пусто), спин вверх (|), спин вниз (|) и двойка (Ц) на узле к = 1, 2 (см. рис. 1). Аналог наполовину заполненной зоны в обычном подходе в нашем случае дается состояниями с числом электронов п = 2.

Точно диагонализируя внутрикластерную часть гамильтониана в выбранном базисе, мы получили точные кластерные собственные волновые функции и соответствующие им собственные значения энергии. Полное гильбертово пространство кластера показано на рис. 2.

Так как мы рассматриваем случай без допирования, будем учитывать только уровни энергии с п =1, 2, 3. Также не будем рассматривать возбужденные уровни, так как мы интересуемся низкоэнергетической физикой при Т = 0. Заранее не очевидно, что отбрасывание возбужденных уровней в части гильбертова пространства с двумя электронами является корректным. Энергия триплета Т равна —2^, а выражение для энергии синглета

$1 дается формулой (7). Видно, что выигрыш в энергии составляет 2^и2 + 16Ь2 — и), и даже в пределе и ^ 0 он равен 2£, а значит, расщепление между $1 и Т остается при любых и. Тогда нас будет интересовать только следующая часть всего гильбертова пространства (рис. 3).

Рис. 2. Полное гильбертово пространство состояний кластера. Здесь для каждого возможного числа электронов показаны синглетные (Я), дублетные (Б) и триплетные (Т) состояния. Для наполовину заполненной зоны при Т = 0 занято состояние $1 с п = 2, что обозначено крестом. Пунктирные линии показывают все возможные процессы рождения (п = 2 ^ п = 3) и уничтожения (п = 2 ^ п = 1) электрона

^Х^ В! ^ р1

п=1 п=2 п=3

Рис. 3. Часть гильбертова пространства, важная для низкоэнергетической физики в случае наполовину заполненной зоны

Показанные на рис. 3 уровни описываются следующими значениями энергий и волновыми функциями (здесь верхний индекс в скобках показывает шаг итераций):

Е(1) = -м - (6)

Е21) = -2м + | - 2 ^и2 + 1642; (7)

Е31) = -3м + и - 4; (8)

= Т2(|о,ст>о >); (9)

(1) А« В^

^2 = 7Г (Iт' !> -IТ>) + 7^(1и' о > +|0' Т|>); (10)

^ = -^(|<г, Т1> -| Т1,а >); (11)

где

А(1) = . -44 ==; (12)

у1642 + (и - Vи2 + 1642)

В(1) = , и. (13)

д/1642 + (и - л/и2 + 1642)2

На рис. 4 представим зависимость коэффициентов разложения по базисным волновым

функциям от параметра ^. Можно увидеть, что при и ^ 0 вклады гомеополярных |а, а >

и гетерополярных | Т1,0 > состояний одинаковы, а при и ^ го, т. е. в режиме сильных корреляций, остаются только гомеополярные состояния. Введем эффективное взаимодействие и «:

и(1) = Е(1) + Е31) - 2Е21' = Vи2 + 1642 - 24. (14)

Сравним его с параметром и(0) в обычном представлении модели Хаббарда и(0) = е0 + 62 - 2б1 = и. Интересно, что при и = 0 эффективное взаимодействие

и(1)

не обращается

Рис. 4. Зависимость квадратов коэффициентов разложения по базисным волновым функциям от параметра и

в нуль в отличие от и(0), а является конечной величиной, равной 2Ь. Это показывает, что электронные корреляции сохраняются даже в пределе и ^ 0, что будет важно ниже для вычисления энергии основного состояния.

2. Построение Х-операторов

Будем считать, что кластерные волновые функции нашего "обрезанного" гильбертова пространства образуют полный ортонормированный базис, тогда можно по определению построить Х-операторы Хаббарда для кластера в следующем виде:

X? = X™ = |/ : р></ : ц|, (15)

где / — кластерный индекс, а — корневой вектор, р и ц — конечное и начальное состояние соответственно. Более подробно свойства Х-операторов описаны в [1] и [5]. В нашем случае набор а(р, ц) следующий: а = а1=(1,-1,0) при р = ' ц = ' и а = а2 = (0,1, —1) при р = ' Ц = Фз.

Представим фермиевский оператор уничтожения через Х-операторы

= Еа 1к,а (а)Xf, (16)

1к,а (а) =< т', п — 1| ак,а | т,п>, (17)

где / — кластерный индекс, к — индекс атома внутри кластера пробегает значения 1,2; а — спиновый индекс. Здесь явно показано, что матричный элемент (а) определяет переходы из части гильбертова пространства с п частицами из состояния т в часть гильбертова пространства с п — 1 частицами в состояние т'. Аналогично можно записать и оператор рождения.

Определив Х-операторы на кластере, мы теперь можем с их помощью учесть взаимодействие между кластерами и записать гамильтониан для кластерного представления

Н(1) = £- ££, (18)

где /, д — кластерные индексы, а, в — корневые векторы, — энергия кластера в состоя-

,(1)ав ГА

нии р, — межкластерные интегралы перескока. Этот гамильтониан имеет структуру,

отличную от исходного.

Матричные элементы (а) и рассчитаны и представлены в табл. 1 и 2 соответ-

ственно.

Таблица 1. Матричные элементы (а)

а к = 1 к = 2

1 2 а(А(1) + В(1)) 2(а(1) + В(1)) а(А(1) + В(1)) - 1(А(1) + В(1))

Таблица 2. Межкластерные интегралы перескока,

(1)а,в

ХГ2

А/+1 А/ +1 ъ(1) 2 аЪ(1) -аЪ« ъ(1) 2

Ъ 2

В табл. 2 введено обозначение Ъ(1) = ^ (А(1) + В(1)) .

3. Ренорм-группа и определение энергии основного состояния

Повторяя процедуру, описанную в пункте 1, используя уже в качестве базисных собственные состояния нового гамильтониана а также его собственные значения энергии, получим

следующие рекуррентные соотношения:

н(п) = £^ 4П)ХГ - £аМ= ; (19)

Е("+1) = Е(п) + Е2п) - ¿(п); (20)

Е("+1) = Е(п) + 1 Е(п) + 2Е3п) - 1 ^(и(п))2 + 16(Ъ(п))2; (21)

еЗ"+1) = Е3п) + Е2п) - ¿(п); (22)

¿(п+1) = ¿м (А(п) + в(п))2; (23)

А(п+!)

В(п+1) =

-44(п)

/16(4(п))2 + (УМ-^/(и(П))2 + 16(4(П)}2}2 ' и(и (п)}2 + 16(4(п)}2 _

16(4(п)}2 + (иМ-^/(и(п)}2 + 16(4(п)}2}2 '

и(п+1} = ^/(иС"})2 + 16(4("))2 - 24(п);

м("+1} = 1 и ("+1}.

(24)

(25)

(26) (27)

В пределе п ^ то можно найти фиксированные точки уравнений ренорм-группы. Введем

параметр у(п) =

и (п)

А*

* = 0 = то = -1

В* = 0.

(28)

(29)

(30)

(31)

Эти результаты не зависят от первоначального параметра у(0). А результат для эффективного взаимодействия и * зависит от у(0), но для любых начальных параметров будет стремиться к конечному числу, также зависящему от у(0) , т.е. для эффективного взаимодействия нет фиксированных точек. Мы не получили нестабильную фиксированную точку

у* = 0, в отличие от работы [3], так как согласно (14) даже при и = 0 мы получаем и(1)

= 24. Однако в согласии с [3], начиная с любого сколь угодно малого и (а в нашем случае и и = 0), мы приходим к фиксированной точке у* = то, т.е. на каждом шаге итерации элемент межкластерного перескока становится все слабее по отношению к эффективному взаимодействию. Основное состояние изолировано для любых и.

Энергию основного состояния всей цепочки можно рассчитать по формуле

Е„ = Иш

Е

(п)

(32)

эта формула справедлива, так как при п ^ то элемент перескока 4(п) ^ 0, что в свою

очередь означает, что энергии Е(п) и Е3"; не влияют на энергию основного состояния. На рис. 5 мы сравнили свой результат с точным решением [2] и родственной задачей [3].

А")

Рис. 5. Зависимость энергии основного состояния от параметра у. Сплошная линия — точное решение [2], пунктирная — работа [3], мелкий пунктир — наше решение

У

2

п

п—

Видно, что энергия, полученная приближенными методами, лежит выше точно вычисленной. Это объясняется тем, что мы всегда ограничивали наше гильбертово пространство на каждом шаге итераций и получили усеченный гамильтониан. Тем не менее, наше решение в области небольших и лежит ближе к точному решению, чем вычисленная в работе [3]. Это видно из табл. 3, в которой указано расхождение с точным решением нашего решения и решения [3] в зависимости от у(0).

Таблица 3. Сравнительная таблица приближенных решений.

y(0) ^Ee , работа [3] ^Ee , наша работа

0 10.9% 5.8%

1 13.5% 7.5%

2 15.9% 9.1%

3 17.9% 10.9%

4 20.6% 14.1%

5 24.7% 18.9%

10 28.3% 26.2%

20 32.2% 30.1%

30 38.6% 36.6%

40 43.8% 42%

Работа выполнена при финансовой поддержке фонда "Династия" и гранта РФФИ № 10-02-00251.

Список литературы

[1] J.Hubbard, J. Proc. Roy. Soc. A, 276(1963), 238.

[2] E.Lieb, F.Wu, Phys. Rev. Lett., 20(1968), 1445.

[3] J.E.Hirsh, Phys. Rev. B, 22(1980), 5259.

[4] S.T.Chui, J.W.Bray, Phys. Rev. B, 18(1978), 2426.

[5] В.В.Вальков, С.Г.Овчинников, Квазичастицы в сильно коррелированных системах, Изд-во СО РАН, Новосибирск, 2001.

Renormalization-group Analysis of 1D Hubbard Model

Kseniya A. Lobach Sergey G. Ovchinnikov

Ground state energy of 1D Hubbard model is obtained using a real-space renormalization-group tehnique. We study half-field Hubbard model with nearest-neighbor hopping.

Keywords: 1D Hubbard model, renormalization-group, ground state energy.