CC BY
9
_Доклады БГУИР_
2005 июль-сентябрь № 3 (11)
УДК 539.2
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ ЯЧЕИСТЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ И РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА ЯДРАХ В КРИСТАЛЛАХ
Г.В. ГРУШЕВСКАЯ1, Л И. ГУРСКИЙ2
1 Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь
2Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 10 июня 2005
В рамках метода ячеистых потенциалов с использованием диаграммной техники Фейнмана было рассмотрено рассеяние на атомных областях и ядрах кристалла. Показано, что вклад в поляризацию каждой отдельной энергетической зоны кристалла может быть описан как рассеяние на поле тяжелой частицы, и найден поляризационный оператор.
Ключевые слова: поляризация, кристалл, ячеистый потенциал, рассеяние.
Введение
В [1] в рамках метода ячеистых потенциалов было предложено использовать в расчетах энергетических зон наноструктурированных кристаллов в качестве атомных рассеивающих областей маффин-тин (МТ) эллипсоиды. Так как кулоновское поле релятивистского электрона сжато в направлении движения к ядру атома, в системе отсчета электрона кулоновское поле ядра также теряет сферическую симметрию. Возникающий при этом ток тяжелой частицы, которой является ядро, приводит к процессу Вайцзекера-Вильямса, поляризующему окружение электрона [2]. В связи с этим важно соотнести этот релятивистский поляризационный эффект с релятивистским рассеянием на токе МТ-эллипсоида. Целью данной работы является оценка величины вайцзекеровской поляризации в кристаллах.
Релятивистская поляризация в поле МТ-эллипсоида
Сначала обратимся к ранее полученным результатам. В [1] в рамках метода проекционных операторов получено выражение для поляризационного оператора П''^(я,2) в приближении случайных фаз:
4ге
П^ (я,2) = ПЙГ (я,2) + ПV (я,2) = V-+ тгС2 ^сев2 в<
п Фп
Яй
й
(к)
Ч -
В
(к)
М1 -Ч ш
й
(к)
Ч +
В
(к)
I1 -Чо )| 7п'п|'
(1)
2
, _fdpf(E,,p)-ffe.p+q) (2)
^ _ -fe + E,,(p)-E„,(p + q)' (2)
где p, q обозначают импульсы электрона; n(n') указывает номер зоны; z — комплексная частота; |xn) и | — кэт- и бра-биспиноры; f (En, p) — распределение Ферми электронов
по уровням с энергией En(p) ; C _ C^g^^o) — коэффициент Клебша-Гордона; ec — эксцентриситет атомного эллипсоида; e — заряд электрона; s0 — диэлектрическая постоянная; r0 — радиус сферы, аппроксимирующей эллипсоид, с помощью которого моделируем атомные МТ-области; о — оператор спина; | dn'n I — модуль дипольного момента перехода между
уровнями ,, п ; |В, , — модуль вектора напряженности магнитного поля для перехода dn',, VBZ — объем зоны Бриллюэна; 0qd — угол между векторами dn' п и q; Tr — операция взятия следа; h — постоянная Планка; Sv„ — символ Кронекера, v(„) _ 0,...,3 . Индекс к в данной ситуации различает два возможных случая: спин вверх и спин вниз. Первое слагаемое П(q, z) в (1) описывает поляризационный вклад свободных блоховских электронов
(электроны в пределах одной зоны), а второе слагаемое П(q, z) описывает поляризационные эффекты, обусловленные квадрупольной деформацией атомов кристаллическим полем (локализация блоховских электронов в результате межзонных переходов). Физический интерес представляют только диагональные элементы поляризационного оператора, которые определяют поляризацию за счет свободных блоховских электронов, дипольную и спиновозависимую поляризацию.
Рассмотрим детально спиновозависимую поляризацию. Учтем, что в приближении поля в дальней зоне [3] множитель в выражении (1) может быть записан в виде
Bkn I ojl - ¿„o 1 - \в(пк, I о « [d х г ] • о/ I г I«
* г • [а х 3„'п1 /\ Г \* е I <( \Г •[а х е 'I \( >\' е1 = г/\ г I, (3)
где < ( \ г \(п > — матричный элемент перехода. Отсюда следует, что в спиновозависимую часть поляризационного оператора П^ (Ц, 2) (1) входят выражения такого типа:
~ е2ЪН^с)1/2(А*хе 1](;)("/е(г0ес)1/(¿{ахе). (4)
п
Аналогично можно рассмотреть дипольную поправку в поляризационный оператор, оценив \ йпП \ посредством выражения:
Кп I2 * еЪ [Г • е1]2- (5)
]
Используя оценки, аналогичные (4) и (5), выпишем диагональную часть выражения (1), определяющую диэлектрическую проницаемость:
g„VnlZM ~ e2e(r0ee)"2el + ie{r0ec)"2X,Oxe 1-X+Jx
n
xfe(r0ee)"2e] -ierec)1/2x+Oxe 1]гX, 1• (6)
Здесь х„ — спиновая часть волновой функции электрона в п -м состоянии; — метрический тензор. Введем обозначение:
А ~ е(г0вс)1'2 я, + ге(г0вс)у2 х+ [а х Я], Х- (7)
Тогда выражение (6) перепишется в виде
^Хо; - е 2 7„„4 ш, т/я2 . (8)
п
Покажем, что вклад в поляризацию (8) каждой отдельной энергетической зоны кристалла может быть понят в терминах рассеяния на поле тяжелой частицы. Для этого достаточно убедиться, что если рассматривать рассеяние электронов в кристалле как рассеяние внешним полем атомного МТ-эллипсоида, то получающийся при этом поляризационный оператор П^
также описывается выражением (1). Феймановская диаграмма (а) на рис. 1 описывает рассеяние электрона на тяжелой частице, являющейся в нашем случае МТ-эллипсоидом. Поляризация внешнего поля описывается феймановской диаграммой (б) на рис. 1 [2].
а б
Рис. 1. Рассеяние электрона на тяжелой частице (а) и поляризация внешнего поля (б)
Диаграмма (б) на рис. 1 отвечает тому, что поляризация обусловлена рождением элек-тронно-"дырочных" пар, взаимодействующих во внешнем потенциале Ас фотонами, пропа-
гатор которых обозначается штриховой линией. Тогда поляризационный оператор П„^л"" (я, 2) свободных (делокализованных) блоховских электронов можно представить в виде феймановской диаграммы, показанной на рис. 2,а, а поляризационный оператор П(„щС (я,2) локализованных блоховских электронов можно представить в виде феймановских
диаграмм, показанных на рис. 2,б. Согласно диаграмме на рис. 2,а оператор П(я, 2) описывается выражением
Й? ~ 2 + я) ^„еу^ <р2) )Уо{ и(Р2 + я) |= ^О^ + КЛУ = (9)
Р. Р2
Из рис. 2,б следует, что поляризационный оператор П„У°с (я, 2) содержит две диаграммы поляризации поля МТ-эллипсоида. Мы можем рассматривать внутреннюю часть диаграммы на рис. 2,б, которая не существует для процесса на рис. 2,а, как изменение внешнего поля в результате рождения виртуальных пар. Следовательно, феймановский поляризационный
~1ос л
оператор П ^ можем записать посредством вектор-потенциала А,, создаваемого током атомного МТ-эллипсоида как
gмv Пv ~ ъ (I u(Pl }>го <u(р; Ч) \?еул (ч)еумАм(ч) I u(P2) )го( u(P2 ; ч) I /ч2 =
Л' Р2
= 2 (^ + ^ г>2А (ч)Ам (Ч)/Ч2 = е2 А (ц)А, (4)^/42. 2 (10)
а б
Рис. 2. Диаграммы Фейнмана для поляризационного оператора свободных (а) и локализованных (б)
блоховских электронов
Сравнивая (8) и (10), убеждаемся, что можем рассматривать вклад в поляризацию каждой отдельной энергетической зоны как поляризацию в поле тяжелой частицы (атомного МТ-эллипсоида).
Несферической части поляризационного оператора (1) сопоставляется диаграмма, показанная на рис. 2,б. Отсюда следует, что корреляционное взаимодействие локализованных блоховских электронов в кристаллах может быть описано в терминах диаграмм Фейнмана, представленных на рис. 3 [4]. Осевая линия разделяет диаграмму на рис. 3,б на две поддиаграммы, описывающие поляризацию внешнего поля тяжелой частицы. Это означает, что поляризация в кристаллах происходит как за счет скоррелированности движения электронов в кристаллах (рис. 3,а), так и за счет за счет рождения электронно-"дырочных" пар во внешнем вектор-потенциале, создаваемом током атомного МТ-эллипсоида (рис. 3,б).
Релятивистская поляризация в поле ядра
Полученные результаты описывают рассеяние электрона на атоме в кристалле. Далее мы покажем, как можно физически интерпретировать формальные параметры г0 ,£с в (1). Как
известно [2], амплитуда рассеяния свободных электронов тяжелой частицей, которая описывается феймановской диаграммой на рис. 1,а, имеет вид
_ 2е
еи(Р2)гми(АМДчХ АМ) =—Чч)' (11)
Ч
где Т,(ч) — фурье-компонента макроскопического тока тяжелой частицы, А,(ц) — фурье-компонента 4-мерного потенциала, определяемая как
А0 = 2е\, А = ;гег/^-4^х; (12)
^ Ч г 2М Л 2М Л
и (р) — биспинорная волновая функция свободного электрона; М — масса тяжелой частицы; 7е — заряд тяжелой частицы. Сравнивая выражения (7) и (12), находим, что величина (г0£с)2 может быть с точностью до коэффициента отождествлена с массой атомной области кристалла.
а
б
Рис. 3. Поляризационная фейнмановская диаграмма рассеяния локализованных блохов-ских электронов: а — поляризация за счет скоррелированности движения электронов, б — поляризация за счет рождения электронно- "дырочных" пар
В кристалле наряду с рассеянием электронов на атомах имеет место рассеяние на ядрах атомов. Так как ядро является тяжелой частицей, а электрон налетает на него с большой скоростью, то в системе покоя электрона кулоновское поле ядра приобретает эллипсоидальную форму за счет сжатия в направлении движения. Эллипсоидальная форма поля ядра приводит к возникновению тока (11) и к поляризации вакуума за счет электронно-позитронных пар подобно тому, как эллипсоидальная форма атома кристалла приводит к поляризации диэлектрика за счет электронно-"дырочных" пар. Пусть (—eZc) — заряд ядра. Очевидно, мы можем выразить
(r0sc)-1/2 через Zc масс me электрона: (r0sc )-1/2 ~ Zcme. Тогда простой расчет с помощью
выражений (7), (12) показывает, что эффекты рассеяния электронов на ядрах, впервые оцененные Вайцзекером и Вильямсом, более чем в 10 раз (для тяжелых элементов) слабее поляризационных эффектов деформации атомов кристаллическим полем. Если принять аппроксимации | r |~ r0 и — er0 ~ Zc, то эффект рассеяния электронов на тяжелых ядрах слабее рассеяния на МТ-эллипсоидах в 1000 раз. Поэтому в зонных расчетах эти эффекты можно не учитывать.
RELATIVISTIC POLARIZATION IN CELL POTENTIAL APPROXIMATION AND SCATTERING OF ELECRONS ON NUCLEI IN CRYSTALS
L.I. GURSKY, H.V. GRUSHEVSKAYA Abstract
Within the framework of a method of cell potentials, scattering on atomic areas and nucleus of a crystal was examined by using Feynman diagram technique. It is shown, that the contribution to polarization of each separate energy band of a crystal can be described as scattering on a field of a heavy particle and the polarization operator was found.
Литература
1. Гурский Л.И., Грушевская Г.В. // Докл. БГУИР. 2004. № 2. С. 173-185.
2. Грибов В.Н. Квантовая электродинамика. Ижевск; М., 2001. 288 с.
3. Фок В.А. Начала квантовой механики. М., 1976.
4. Грушевская Г.В. // Низкораз. сис. 2: Физико-химия элементов и систем с низкоразмерным структурированием (получение, диагностика, применение новых материалов и структур): Сб. науч. работ / Под ред. С.А. Маскевича, В.Ф. Стельмаха, А.К. Федотова. Вып. 4. Гродно, 2004, С. 16-20.
