CC BY
17
10
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Отсюда, изменение аргумента функции Ф (е ) на
[0;2ж] л 2ж
отрезке L J , будучи кратным , удовлетворяет
оценке
-п < Изм[дХ% Ф+ (е1Х )\о;2Л] < ж
Отсюда немедленно следует, что это изменение равно нулю, то есть n=0 в формуле (3). Поэтому, согласно принципу аргумента (см., например,[5] стр.244),
Ф+ (4) U = {4е C: |4|< 1}
у - аналитическая в круге 1 1 ,
U = {4е C: |4|< 1} „ U
непрерывная в 1 1 не имеет нулей в и
. Значит, взяв логарифм от обеих частей равенства, полу-
чим
i(-x + 2а(х)) = 1п(Ф+(e'x) x е [0; 2ж]
U
. (5)
То есть аналитическая в единичном круге ^ и не-
+ (£) ^ ~ix
для
x е [0; 2ж]
принимает чисто мнимые значения. Отсюда немедленно следует, что
U А 1п Ф+(4) 4 = e
прерывная в функция
ln ф+ (4) = iC
(6)
в замкнутом круге U, где С - произвольная действительная константа.
Следовательно, из равенств (5) и (6) получаем, что
, , x C 2 2
Поскольку C - произвольная постоянная, то это завершает доказательство теоремы.
Список литературы
1. Барменков А.Н. Об аппроксимативных свойствах некоторых систем функций. Дисс. ... канд. физ. мат. наук, М., 1983, с.154.
2. Барменков А.Н., Казьмин Ю.А. О полноте двух систем функций. Теория отображений, ее отображения и приложения, сборник научных трудов. В кн. Киев, Наукова думка, 10982, с. 29-43.
3. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., «Наука», 1975, с. 296.
4. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. Гостехиздат, М., 1950, с. 336.
5. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного, М., «Наука», 1977, с. 444.
РЕЛАКСАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФАКТОРОВ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ
Гусев Евгений Леонидович
Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ИПНГ СО РАН, г. Якутск, Россия, Профессор кафедры прикладной математики Института математики и информатики Северо-Восточного Федерального
университета, г. Якутск, Россия
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований - грант № 13-0800229.
Введение. В последние десятилетия одной из важных задач при разработке различных конструкций, машин и механизмов является создание надежных методов количественной оценки работоспособности изделий из полимерных и композиционных материалов [1, 2]. Композиционные материалы, композиционные конструкции, как правило, постоянно находятся под влиянием статических и динамических нагрузок, на которые дополнительно накладывается влияние экстремальных факторов внешней среды. В соответствии с этим значительную актуальность имеет проблема разработки математических методов решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик компози-ционных материалов, композиционных конструкций при воздействии эксплуатационных нагрузок и экстремальных факторов внешней среды.
1. Общая постановка задачи прогнозирования ресурса работоспособности объектов. Общая постановка задачи о прогнозировании ресурса работоспособности объектов при воздействии на него эксплуатационных и природных нагрузок изложена в [2]. Согласно [2] состояние конструкции в момент времени t характеризуется системой скалярных параметров 12 p , характеризующих степень повреждения конструкции в момент времени t. Для компактного описания введем вектор
Ч’ = (у/1,у/1, „
v 1 2 p, который назовем вектором поврежде-
ний. Система параметров /1,/2,.",/p, характеризующих степень повреждения конструк-ции, меняется с течением времени, т.е. параметры p являются
функциями от t: <"■ W, = <ГМ ■ ,W„ = V
Вследствие этого векторная характеристика поврежден-
ий
ности 1 ,будет являться р-мерной функцией времени:
^(0 = (^i(0^2(0—^(0)
. Введем систему
q1s q2,..., q,
из l параметров 12 1 , характеризующих усло-
вия эксплуатации конструкции. Для компактного описания введем векторную характеристику
Я = (Я1,Я2 >•••>?/) q^ qi^.^ q
Система
параметров
характеризующих условия эксплуатации конструкции, также меняется с течением времени, т.е. па-
qx, q2,.., q
раметры являются функциями от t, т.е.
q1 = q1(tX q2 = q2(t),..., q = q(t)
Вследствие этого
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
11
векторная характеристика, характеризующая условия экс-
q
плуатации конструкции функцией
будет являться l-мерной времени, т.е.
q(t) = (ql(t\q2(t\...,qi(t))
. Динамика изменения поврежденности объекта под воздействием эксплуатационных нагрузок и экстремальных факторов внешней среды может быть описана системой дифференциальных
уравнений, связывающей характеристики поврежденности, как функции времени
v = щ(1), = V,(t), с функциональными
зависимостями q = q,(t)’ q ^q q(t), ха-
рактеризу-ющими условия эксплуатации:
Будем рассматривать задачу с детерминистических позиций. Кроме того, будем предполагать, что применима гипотеза об автомодельности процесса накопления повреждений [3]:
dVi(t)
dt
dy2(t) dt
f ; q,(t X q2(t X^qi(t)),
f (vi,V2,-,Vp; q,(t X q2(t ),•••, qi(t)),
dVp(t)
dt
dVi(t) dt
/ (vi,v2>-wp; q,(tX q2(t ),•••, qi(t)) •
fi (viV2, --,Vp)h (q,(tуq2(tX--q(t)),
(i.i)
i = ,,-••, n-
(1-2)
Для интерпретации векторов ^ и ^ необходимо использовать информацию о реальных объектах и условиях их эксплуатации. Согласно традиционному подходу [2] начальное состояние объекта описывается векто-
Ч/(0) = 0 Ч'(0) = 11,о
ром повревденности 4 7 или w,
, , ^(т.) = 1
а в момент исчерпания (разрушение) — -
Результаты натурных испытаний, как правило, являются адекватными условиям предстоящей эксплуатации (хранения). При этом достоверность экстраполяции результатов натурных испытаний зависит от выбора функции, которой описываются экспериментальные данные.
Специфика исследуемых задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитов под воздействием экстремальных климатических факторов приводит к тому, что для этих задач подход экстраполяции в традиционной постановке является малоэффективным.
Как отмечено в ряде работ [3, 4, 5, 6,7] принципиальное усовершенствование подхода экстраполяции может быть достигнуто на основе выбора математической модели с ориента-цией на физические представления.
2. Математические модели, описывающие воздействие на композиционные конструкции эксплуатационных нагрузок и экстремальных факторов внешней среды. В работе [8] было предположено, что для любого варианта старения композициионного материала теоретически возможна разработка математических моделей, содержащих определенное количество параметров, зависящих от объекта старения, и определенное количество параметров, зависящих от режима воздействия внешней среды. Выберем в качестве определяющей характеристики композиционной конструкции ее прочность R.
В соответствии с этим модели, описывающие зависимость изменения прочности R полимерных композитов при воздействии климатических факторов в общем виде могут быть представлены в форме функциональных зависимостей следующего вида:
R (u,, u2,---, un; t) = R0 +Ф(и1? u2,
(2-1)
В этих обозначениях: R — остаточная прочность композита, R0 - прочность композита в исходном состоя-
ui, U2,•••, un
нии; — параметры композиционной кон-
струкции, отражающие влияние эксплуатационных нагрузок и экстрема-льных факторов внешней среды. Введем вектор u параметров композиционной конструкции
u = (ui, Щ,---, un ). Обозначим ^R = R - R. Тогда выражение (2.1) может быть записано в компактном виде
(2-2)
12
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
В предположении, что принятая модель (2.1) (или (2.2) достаточно адек-ватно описывает зависимость изменения прочности полимерного композита от воздействия экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных нагрузок, задача заключается в восстановлении вектора параметров модели (2.1) (или (2.2))
u = (u-, щ,..., un )
на основании ряда проведенных
_ AR
экспери-ментов в течение первых m лет. Обозначим 1
- экспериментальные средние значения функции
AR = R-R
^ на экспериментальных образцах после t-го
года
( t=1,2,...,m):
— i q
ar;=- .
q i=1
(2.3)
Тогда в качестве критерия эффективности целесообразно выбрать среднеквад-ратическое отклонение ап-
проксимации экспериментальных данных
AR ( u; t)
AR
от теоре-
тических значений
J (u) = S2 = — X(AR (u; t)- ar; )
(2.4)
3. Сведение задач прогнозирования изменения прочности композиционных конструкций под воз-дейстием экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных нагрузок к экстремальным задачам. В случае, когда полученные экспериментальные данные достаточно адекватно отобра-жают структуру зависимости изменения прочности композиционной конструк-ции от воздействия экстремальных факторов внешней среды и эксплуатаци-онных нагрузок, а экспериментальные данные получены с незначительными погрешностями, несущественно искажающими закономерности поведения реальных зависимостей, задача восстановления параметров моделей изменения прочности композиционной конструкции от воздействия экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных нагрузок может быть сведена к решению следующей экстремальной задачи:
J (u ) = min J (u).
^ ' u
Xul,
*
u = 1
* *
u
(3.1)
доставля-
Вектор параметров ющих минимум критерию эффективности (2.3), соответствует модели вида (2.1) (или (2.2)), которая опре-деляет зависимость изменения прочности композиционной конструкции от воздействия экстремальных факторов внешней среды и эксплуатационных нагрузок наиболее близкую к реальной.
Проблема нахождения действительно глобального минимума многопараметрических функций со сложной структурой представляет собой достаточно сложную проблему. Как правило, при решении проблем такого рода находится некоторое неулучшаемое решение, которое существенно может отличаться от действительно оптимального решения. Вследствие этого, восстановленные зависимости, описывающие изменение прочности полимерных композитов от воздействия экстремальных климатиче-
*
ских факторов, могут значительно отличаться от зависимостей, соответствующих восстановленным оптимальным параметрам.
В соответствии с этим значительную актуальность представляет разработка и модификация эффективных методов поиска абсолютного экстремума многопараметрических функций с учетом специфических особенностей задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитов при воздействии экстремальных климатических факторов и эксплуатационных нагрузок.
4. Релаксационные методы с определением оптимальных направлений поиска (РМОН) для решения обратных задач прогнозирования определяющих характеристик композиционных конструкций. В работе [9] был предложен метод поиска экстремума многопараметрических функций с оптимальным выбором параметров для решения обратных задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитов при воздействии экстремальных климатических факторов и эксплуатационных нагрузок. Существо предложенного в работе [9] подхода состоит в том, что в окрестности очередного p-го приближения (р=0, 1,2,.) вычисляется направление, в малой окрестности которого наблюдается наибольшее уменьшение показателя эффективности J(u).Далее, на основе решения специальной нелинейной однопараметрической задачи находится оптимальная величина шага вдоль выбранного направления, при котором наблюдается наибольшее уменьшение показателя эффективности J(u). Для задач, в которых абсолютные минимумы показателей эффективности расположены на направлениях, вдоль которых наблюдается наиболее значительное их убывание, предлагаемый подход будет являться достаточно эффективным. Однако в наиболее распространенных ситуациях, связанных с решением задач прогнозирования, зависимость показателей эффективности J(u) от определяющих параметров, имеют достаточно сложную структуру, при которой абсолютные минимумы могут не находиться вдоль направлений, вычисленных указанным способом.
В соответствии с отмеченными недостатками, в работе [10] проведено обобщение рассмотренного в [9] подхода на более сложный круг задач прогнозирования, описываемых моделями, в которых зависимость показателей эффективности J(u) от определяющих параметров u1, u2, ...,un имеет более усложненную структуру. Обобщение для решения обратных задач прогнозирования изменения прочности полимерных композиционных конструкций при воздействии эксплуатационных нагрузок и экстремальных климатических факторов внешней среды связано с развитием и модификацией методов возможных направлений с определением оптимальных направлений поиска, не связанных с направлением градиента. Более общий подход, рассмотренный в работе [10], включает, как частный случай, предыдущий подход изложенный в работе [9], когда одно из возможных направлений совпадает с направлением градиента. Как показали результаты вычислительных экспериментов для ряда задач прогнозирования определяющих характеристик композиционных конструкций наибольший эффект может быть достигнут в случае, когда возможные направления совпадают с
„ Ou,, Ou2,...,Oun
направлениями координатных осей 1 2 n.
Это может быть объяснено различным физическим смыс-
u,, u2,...,un
лом вводимых параметров 1 2 n, ив соответ-
ствии с этим различным характером изменения показателя эффективности вдоль различных координатных осей.
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
13
В соответствии с этим рассмотрим модификацию методов возможных направлений с определением оптимальных направлений поиска для случая, когда оптимальные направления поиска совпадают с направлениями ко-„ On,. Ощ.....Oun
ординатных осей 1 2 п. Общая схема
релаксационного метода связана с последовательной многоэтапной нелокальной оптимизаций исходной функции.
I этап. Выделение группы наиболее перспективных
направлений поиска
Ъ’"’’ Ж’
е. , т < п
вдоль коорди-
размерности исходной задачи на основе исключения из рассмотрения неперспективных направлений поиска.
На данном этапе выделяется группа направлений вдоль координатных осей, определяемых единичными оре е ,ег , т<п
тами 1 2 т вдоль которых показатель
эффективности максимально убывает. На очередном р-ом приближении (р=0,1,2,...) показатель эффективности как функция n переменных заменяется вспомогательной функцией m переменных, где, как правило, m<<n:
натных осей с последующим эффективным уменьшением
gp (Х’ Х'2’...’ Хт ) =
= f (ХР ХР Х ХР ХР Х ХР Х ХР ХР)
J (л 1 -Si-1 • \+1у--> л12-1 • **V Л'2+1’””’ Л1т> Л'т+1’'”’ Лгп ) •
В дальнейшем до получения неулучшаемого решения осуществляется оптимизация функции m переменных
§Р (Х.. Х11..:. Хт).
II этап. Построение эффективной вспомогательной аппроксимирующей функции на основе разложения ис-
Х.
Z = (Х.Х12.....ХтЖ; ж = (Хт.Хтттт.хП.
(4.1)
(4.2)
g (Х. . Х. ..... Х. )
Ьр\ ъ* ■> т'
ходной функции р 1 2 т в ряд Тейлора в
окрестности очередного приближения.
В разложении исходной функции в ряд Тейлора оставляется такое количество членов, формирующих аппроксимирующую функцию, чтобы с одной стороны, структура аппроксимирующей функции была достаточно простой, позволяющей достаточно эффективно проводить ее глобальную оптимизацию; а с другой стороны, должна включать основные структурные особенности исходной функции, содержащие прямую или косвенную информацию о местонахождении глобального минимума. Введем обозначение
Произведем разложение вспомогательной функ-
gp Ц,X .... Хт )
^ 1 2 т в ряд Тейлора в окрестно-
-го приближения:
gp(z) = gp(zP)+vgp(zP) (z - zP )+
I j
+-(z- zp) V2gp(zp)(z -zp ) +...
2
Аппроксимируем функцию
gp( z )
(4.3)
отрезком ряда
Тейлора. Тогда аппроксимирующая функция дет иметь вид:
gp(z)
бу-
1 T
gp(z) = Vgp(zP)(z-zPy-(z-zP) Vgp{z>
В разложении исходной функции в ряд Тейлора оставляется такое количество членов, формирующих аппроксимирующую функцию, чтобы с одной стороны,
структура аппроксимирующей функции ^p ^ ^ быладо-статочно простой, позволяющей достаточно эффективно проводить ее глобальную оптимизацию; а с другой стороны, должна включать основные структурные особенности исходной функции, содержащие прямую или косвенную информацию о местонахождении глобального минимума.
(4.4)
III. этап. Глобальная оптимизация вспомогательной
g (х ,Х. ,...,х■ )
аппроксимирующей функции р h '2 и
нахождение ее глобального минимума.
Поскольку аппроксимирующая функция g (х X х )
р h’ '2 ’'" ’ гт , связанная с аппроксимацией исходной функции отрезком рядя Тейлора, имеет более простую структуру, то задача нахождения глобального минимума такой функции является существенно более простой, чем задача нахождения глобального минимума исходной функции.
gp(g,g,...,xfJ= min g:(x ,.v.....v ).
IV. этап. Глобальная оптимизация исходной функции вдоль вычисленного наиболее перспективного направления и нахождение глобального минимума вдоль этого направления, который выбирается в качестве следующего приближения.
В случае, если структура вспомогательной аппроксимирующей функции выбрана достаточно эффективно,
2 т (4.5)
7Р
то построив глобальный минимум этой фун-кции ^ можно указать наиболее эффективное направление глобальной оптимизации исходной функции vp:
V
(4.6)
14
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Вдоль направления vp осуществляется глобальная
( * )
оптимизация исходной функции F
zp(a) = zp +a{zp -zP), cc>0.
gP (^(«p)) = gP (Z'(a))■ (4.8)
Следующее (p+1) -е приближение полагается равным:
(4.7)
P+1
(ap) ■
(4.9)
V. этап. Для выбранной системы перспективных
„ е е ,et , т<п
направлении поиска 1 2 m процесс
итераций продолжается до нахождения неулучшаемого решения.
VI. этап. После достижения неулучшаемого решения заново осуществляется выбор наиболее перспективных направлений оптимизации и процесс итераций продолжается по вышеописанной схеме.
В качестве результирующего решения выбирается решение, для которого отсутствует возможность построения перспективных направлений поиска.
Применение рассмотренной модификации релаксационного метода с определением оптимальных направлений поиска вдоль координатных осей для решения задач прогнозирования определяющих характеристик композиционных конструкций позволяет осуществлять построение наиболее эффективных решений для случаев, когда наибольшего уменьшения показателя эффективности можно достичь выбирая в качестве перспективных направлений поиска направления координатных осей
Ощ, Ou2,■■■,Oun
Список литературы
1. Уржумцев Ю. С., Черский И. Н.Научные основы инженерной климато-логии полимерных и композитных материалов//Механика композитных материалов, 1985, № 4, с. 708-714.
2. Болотин В. В. Прогнозирование ресурса машин н конструкций. М., 1984. 312 с.
3. Булманис В.Н., Ярцев В.А., Кривонос В.В. Работоспособность конструкций из полимерных композитов при воздействии статических нагрузок и климатических факторов// Механика композитных материалов, 1987, № 5, с. 915-920.
4. Карпухин О.Н. Определение срока службы полимерного материала как физико-химическая проблема// Успехи химии, 1980, № 8, с. 1523-1553.
5. Булманис В.Н., Старцев О.В. Прогнозирование изменения прочности поли-мерных волокнистых композитов в результате климатического воздействия. Препринт, - Якутск, 1988. - 32 с.
6. Бокшицкий М.Н. Длительная прочность полиме-ров.М: Химия, 1978. 312 с.
7. Филатов И.С., Бочкарев Р.Н. Некоторые проблема оценки и прогнозирования климатической устойчивости полимерных материалов//Методы оценки климатической устойчивости полимерных материалов, Якутск, ЯФ СО АН СССР, 1986, с. 11-20
8. Виноградов Е.Л., Годунова Л.И., Лобанов А.М. и др. Прогнозирование свойств полимеров и работоспособность полимерных материалов в изде-лиях//Пластические массы, 1976, №4, с. 4-46.
9. Гусев Е.Л. Применение методов поиска экстремума с оптимальным выбором параметров для решения обратных задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитов//Международный журнал «PROSPERO», Москва, 2015.
10. Гусев Е.Л. Применение методов возможных направлений с определением оптимальных направлений поиска для решения обратных задач прогнозирования изменения прочности полимерных композитных конструкций при воздействии экстремальных климатических факторов// Международный журнал «Educatio», 2015.
ПРИНЦИПЫ ПРОДВИЖЕНИЯ САЙТОВ В ИНТЕРНЕТЕ
Игнатенко Мария Валентиновна
студент, Марийский государственный университет, Йошкар-Ола
Хафизов Динар Гафиятуллович
доцент, кандидат технических наук, Марийский государственный университет, Йошкар-Ола
АННОТАЦИЯ
Рассмотрены основные способы продвижения сайтов в сети Интернет. Приведено описание понятия рейтинга сайта с точки зрения поисковых систем.
ABSTRACT
The main methods of the sites advance on the Internet are considered. The concept of a site’s rating in terms of search engines has been described.
Ключевые слова: продвижение сайтов, рейтинг сайта, поисковая система.
Keywords: website promotion, website ranking, website ranking.
В настоящее время интернет занимает неотъемлемую часть нашей жизни, поэтому любая компания или организация старается заявить о себе в интернете, то есть создать свой сайт. Однако создать сайт- это только полдела, важно сделать так, чтобы он был посещаем, т.е. чтобы по-
тенциальные клиенты могли находить его через различные поисковые системы. Для обеспечения этого требуется знание и применение особых знаний и механизмов продвижения сайтов.
Продвижение сайтов - это одна из наиболее востребованных услуг. Очень сложно обеспечить поисковую
