CC BY
52
УДК 62-752
РЕЛАКСАЦИОННОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ КАК ОСНОВА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ЭЛЕМЕНТОВ И УЗЛОВ ДЛА
© 2006 Ф.М.Шакиров
Самарский государственный аэрокосмический университет
В работе проводится описание модели с нелинейным релаксационным демпфированием и результаты исследования на ее основе динамики многоуровневых систем.
Методология исследования динамики агрегатов и узлов ДЛА и устройств виброзащиты человека как систем релаксационного демпфирования [1,2], подверженных действию вибрационного возмущения, базируется на моделях с вязким трением. Вместе с тем, демпфирование в ДЛА часто носит нелинейный характер и зависит от амплитуды возмущения, что не учитывается элементами вязкого трения. В настоящей работе дана оценка динамических характеристик объектов, модели которых сводятся к модели с релаксационным механизмом нелинейного демпфирования.
На рис.1 представлены схемы колебательной системы с демпфером, сила сопротивления в котором пропорциональна п-ой степени относительной скорости через демпфер (где п - действительное неотрицательное число), и упруго-демпферной подвеской в форме реологической модели Пойнтинга- Томсона (иначе - Зенера).
Движение объекта массы т описывается системой уравнений
тх2 (7) + сх8 (7) + с[8 (7) - ^ (7)] = Г (7)1
с[8(7) - *(7)] = ^ • \г(7)|п- ^[&(0] | ,
(1)
которая для кинематического возмущения имеет вид
т*2(0+01 [х2(7) - х (7)]+с[х2 (0 - Х3 (7)]=0 |
с[х2(7)-хз(7)]= ^ -| х(0-х(0| п- sgn[xз(^)-х(0]| а для силового - следующий:
х2(7) + схх2(7) + с[х2(7) - хз(7)] = Г(7)1
(2)
тх
с[Х2(7) - Хз(г)] = йп • IХз(7)|п- sgn[Хз(7)]
(3)
Здесь йп - коэффициент демпфирования, пропорционального п-ой степени относительной скорости через диссипативный элемент; с, с1 - коэффициенты жесткости ре-
лаксационного и несущего упругих элементов; х1(7), х2(7), хз(7) - абсолютные смещения из равновесных положений основания, объекта и точки сочленения релаксационной пружины с демпфером, соответственно; 8(1)=х2(1)—х1(1) - смещение объекта относительно основания; 2(7)=хз(7)-х1(7) - относительное перемещение через демпфер; ¥$) -внешняя возмущающая сила; точки над переменными означают соответствующие производные функций по времени.
Для определения выражений АЧХ применена процедура эквивалентного вязкого демпфирования [з], предполагающая аппроксимацию нелинейной диссипативной силы эквивалентной ей линейной силой вязкого демпфирования по равенству энергий, рассеиваемых за цикл колебаний нелинейным и вязким демпферами, возбуждаемых одним и тем же гармоническим относительным смещением. В результате преобразований получены формулы АЧХ в безразмерных параметрах для случаев кинематического (коэффициенты передачи т) и силового (коэффициенты динамического усиления у) возмущения колебательной системы:
Ма (?)=
1 + |2£
N +1
N
(1 -V2)2 + [2£жв N +1 -V2
М (Л)=Уус (V) =
(1 -V2)2 + 2Хэ!
(4)
N +1-^
Уп (л)=
1 + (2%экв V / N )2
(1 -V2)2 +[2Хэкв N +1 -V
!)^/N ]2
Уск <Л)=.
V2 + (2^эквУ2/ )2
(1 -V2)2 + [2Хэкв N +1 -V
■)Л/N ]2
,(5)
(6)
(7)
2
хД*)
хзО)
х2(*)
V/ б
Рис.1. Схемы колебательной системы с нелинейным демпфирующим элементом, упруго установленным между виброзащищаемым объектом и основанием, при вертикальной (а) и горизонтальной (б) осцилляции объекта
где индексы означают: А - абсолютный, Я -относительный, П - перемещение, СК - скорость, УС - ускорение; р=т/оо>, о - безразмерная и размерная частоты возмущающего сигнала; о0=(с1 /ш)0,5 - собственная частота колебательной системы; Ы=с/с\ - отношение жесткостей релаксационного и несущего упругих элементов; <%экв - безразмерный коэффициент эквивалентного вязкого демпфирования, который для различных видов вибровозмущения при пф\ определяется из уравнения
(8)
(1 -Р)2 -(2#,к.Г”41 + Ь +1 -р )р/N: X
*(2£-)2” '<п-11 -П"(Рп7п Г-11 = 0.
Здесь отношение амплитуд демпферных сил уп задается выражением
гТ ”+ 2 Л 2
Уп = — [ 008n+1Юtd(0/) = Р п
Р/2
г
2 п+ 3 3
где Г(...) - гамма-функция. Величины параметра демпфирования Д и показателя степени а для различных видов вибровозмущения представлены ниже в таблице 1.
Резонансные значения АЧХ и резонансные частоты в функции параметра Дп при N=3 и величинах показателя степени п от 0 до 5,0 представлены на рис.2...9. Они построены численным анализом решений уравнения (8) и формул (4)...(7).
Анализ АЧХ и резонансных характеристик позволил выявить следующие основные закономерности динамики подобных систем:
1) при любой величине показателя степени п изменение параметра Дп от 0 до ¥ приводит к первоначальному снижению резонансной амплитуды, прохождению ее через минимум (минимакс) и в дальнейшем -
увеличению. Причем, в зависимости от вида АЧХ и величины параметра п минимакс может иметь одну или две (двойной резонанс) точки. В первом случае величина минимакса не зависит от показателя степени п, а во втором - растет при увеличении п;
2) характер влияния показателя степени п на функцию безразмерной резонансной частоты рр от параметра Дп неоднозначен и зависит от вида АЧХ. Так, для АЧХ по абсолютному перемещению, скорости и относительному перемещению, на которых проявляется двойной резонанс, рост параметра п сопровождается увеличением крутизны линий безразмерной резонансной частоты вплоть до образования скачка, величина которого прямо зависит от показателя п;
3) рост Дп от 0 до ¥ при фиксированном п в общем случае вызывает увеличение рр от 1 до (#+1)0'5. Причем, в зависимости от вида АЧХ и числовых значений п функция ррДп) может вначале увеличиваться или снижаться, равно как в дальнейшем - стремиться к величине (#+1)0'5 сверху или снизу;
4) при Дп=оопв1 рост показателя п ухудшает качество виброизоляции низкочастотной и неоднозначно влияет на высокочастотную;
5) темпы затухания низко- и высокочастотных колебаний инвариантны к величине параметра п, а показатели темпов затухания независимо от уровня нелинейного демпфирования равны соответствующим показателям консервативной колебательной системы;
6) при фиксированных величинах N и п параметр Дп может быть оптимизирован по минимаксу резонансной амплитуды;
Рис. 2. Резонансные характеристики по абсолютному перемещению при кинематическом возмущении: а - амплитуда; б - частота
V А
Рис. 3. Резонансные характеристики по абсолютной скорости при кинематическом возмущении:
а - амплитуда; б - частота
V А
Рис. 4. Резонансные характеристики по абсолютному ускорению при кинематическом возмущении:
а - амплитуда; б - частота
V
Рис. 5. Резонансные характеристики по относительному перемещению при кинематическом
возмущении: а - амплитуда; б - частота
Рис. 6. Резонансные характеристики по относительной скорости при кинематическом
возмущении: а - амплитуда; б - частота
Рис. 7. Резонансные характеристики по относительному ускорению при кинематическом
возмущении: а - амплитуда; б - частота
Рис. 8. Резонансные характеристики по перемещению при силовом возмущении:
а - амплитуда; б - частота
Рис. 9. Резонансные характеристики по скорости при силовом возмущении:
а - амплитуда; б - частота
Таблица1. Выражения безразмерного параметра демпфирования Дп ____________при различных видах вибровозмущения_____________
Вибронагружение Безразмерный параметр Показатель степени а в уравнении (8)
Тип Амплитуда демпфирования, Дп
Кинематическое по перемещению *10 Дп П = Л п®0 *10 1 / С1 6
Кинематическое по скорости *10 Дпск = йп®0 *10"1/ С1 4
Кинематическое по ускорению *10 Дпус = Лп®0) ""* 10"1/ С1 2
Силовое Р, п 1 -,п 77 п" 1 / п ДпС ~ ЛпЩ Р0 /С1 2
7) в зависимости от вида АЧХ с ростом п при N=00^1 оптимальный уровень Дп может расти, снижаться или быть почти постоянным. С другой стороны, при п=еош1 рост N сопровождается увеличением оптимума Дп независимо от вида АЧХ;
8) величины N, п и Дп могут быть подобраны таким образом, чтобы достигался компромисс между требованиями обеспечения приемлемой виброизоляции и ограничения резонансных колебаний;
9) чувствительность минимаксных значений амплитуды и частоты к варьированию Дп зависит от вида АЧХ и п, однако общим свойством для всех характеристик является более высокая чувствительность частоты.
Представленная модель была опробована на различных объектах. В работе [4] исследована динамика опоры ротора при реализации в ней квадратичного демпфирования. В работе [5] исследованы динамические свойства системы, в которой демпфирование носит гистерезисный характер.
При введении определенных допущений описанная модель позволяет переходить к анализу динамики систем, упруго-вязкие схемы которых являются частными случаями модели Пойнтинга-Томсона. В работе [6] произведена оценка функционирования виб-ровозмущенных объектов, модель подвески которых по форме сводится к элементу Максвелла. Работа [7] посвящена исследованию динамики колебательной системы с жесткой связью нелинейного диссипативного элемента. Анализ динамических свойств колебательных систем с подвеской в виде модели
Кельвина, имеющей разноопорные элементы, выполнен в работе [8].
Частным случаем модели является реализация в динамической системе вязкого демпфирования. Разбору такой ситуации при ламинарном течении жидкости в демпферном зазоре опоры ротора, а также смешанного ламинарно-турбулентного течения, когда в опоре имеет место линейноквадратичное трение, посвящены работы [9,
10].
Перечисленные работы показывают высокую адекватность полученных на основе представленной модели результатов. Они позволяют во многих случаях не только объяснить особенности динамического поведения различных технических объектов, что было бы невозможно в рамках традиционных подходов к представлению структуры любых подвесок упруго-вязкой моделью Кельвина. Но, кроме того, появилась возможность достоверно прогнозировать поведение таких систем при варьировании их параметров, а также целенаправленно придавать объектам необходимые динамические качества.
Список литературы
1. Белоусов А.И., Токарев И.П., Чегодаев Д.Е. Релаксационная гидростатическая подвеска для защиты оператора от вибрационных и ударных нагрузок // Методы и средства виброзащиты человека: Сб.науч.тр.-М.: ИМАШ, 1977. - С.89-93.
2. Чегодаев Д.Е., Шакиров Ф.М., Мулю-кин О.П. Динамика упруго подвешенных масс клапанных механизмов при вибрационном возмущении // Вибрационная проч-
ность и надежность двигателей и систем летательных аппаратов: Сб. науч. тр. - Куйбышев: КуАИ, 1988.- С.79-84.
3. Вибрации в технике: Справочник. - М.: Машиностроение, 1981. - Т.6: Защита от вибрации и ударов. - 456 с.
4. Шакиров Ф.М., Балякин В.Б. Использование реологических моделей релаксационного демпфирования для исследования динамики опоры ротора. Часть 2. Нелинейное демпфирование // Известия Самарского центра РАН. - Самара, 2002. - Т.4. - №2. - С. 344352.
5. Шакиров Ф.М. Влияние релаксационного механизма гистерезисного демпфирования на динамику колебательных систем // Вестник СГАУ. Серия: Проблемы и перспективы развития двигателестроения. - 1999. -Вып. 3. - Ч.2. - С. 20-27.
6. Шакиров Ф.М. Особенности условий функционирования вибровозмущенных агрегатов и узлов ДЛА, модель подвески которых сводится к элементу Максвелла // Вестник СГАУ. Серия: Проблемы и перспективы развития двигателестроения. - 1998. - Вып. 2. - Ч.1. - С. 213-224.
7. Шакиров Ф.М. Динамика колебательной системы с жесткой связью нелинейного диссипативного элемента//Труды МНТК памяти акад. Н.Д.Кузнецова. - Самара, 2001. - Ч. 3. - С. 111-118.
8. Шакиров Ф.М. Динамика агрегатов и узлов ДЛА с подвеской в виде модели Кельвина, имеющей разноопорные элементы // Вестник СГАУ. Серия: Проблемы и перспективы развития двигателестроения. -1999.- Вып.3.- Ч.2.- С. 28-36.
9. Шакиров Ф.М., Балякин В.Б. Использование реологических моделей релаксационного демпфирования для исследования динамики опоры ротора. Часть 1. Линейное демпфирование // Известия Самарского центра РАН. - Самара, 2001. - Т.3. - №2. - С. 204-213.
10.Шакиров Ф.М., Балякин В.Б. Иссле-
дование динамики опоры ротора как многоуровневой системы с использованием реологических моделей//РКТ.-Серия XII. - Расчет, проектирование, конструирование и испытания космических систем: Науч.-
техн.сб.- Самара, 2001.-С.117-132.
RELAXATION NONLINEAR DAMPING AS THE BASIS OF ENGINE ELEMENTS AND
UNITS OPERATIONAL ANALYSIS
© 2006 F.M. Shakirov
Samara State Aerospace University
The paper describes a non-linear relaxation damping model and the results of the study on its basis of dynamics of various objects.
