Регуляризация и единственность решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на оси Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тогда (17) принимает вид

t

a(y + a_t) -1 k(y + a+s))ds > a_, t e R,

0

t

a( Jo + a t) - J к(Уо + a- s))ds < a+, t e R,

0

a(y0+a-1) - ky0t-к a+t2/2> a-; a(y0+a+1) - ky0t-к a-t2/2<a+.

Отсюда видно, что существование положительного решения обеспечено на некотором конечном отрезке.

Выбирая другие «пробные функции» V_(t), V+(t), можно получать другие условия типа (17).

В общем, математические преобразования, необходимые для получения более содержательных результатов из Теоремы 1, могут быть слишком сложными, поэтому мы предлагаем применять компьютер, согласно [5].

Литература

1. Александрийский Б. И. Асимптотические свойства решений линейных интегро-дифференциальных уравнений второго порядка // Известия вузов. Серия математика, 1963, № 6(37). - С. 3-14.

2. Акерова Дж. А. Достаточные условия разрешимости нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Наука, техника и образование, (РФ), 2016, № 1 (19). - С. 40-44.

3. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев З. X Методы интервального анализа. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1986. - 221 с.

4. Панков П. С. Доказательные вычисления на электронных вычислительных машинах. - Фрунзе: Илим, 1978. - 179 с.

5. Хачатрян Х. А. О разрешимости одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений высшего порядка с некомпактным интегральным оператором типа Гаммерштейна // Уфимский математический журнал, 2011, том 3, № 1. - С. 103-111.

6. Халилова Т. Т. Существование и ветвление в решении задачи Коши для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных // Автореферат дисс. ... к. ф.-м. н. - Бишкек, 2014. - 18 с.

Регуляризация и единственность решений нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на оси

Камбарова А. Д.

Камбарова Айсалкын Даминовна / Kambarova Aisalkyn Daminovna - преподаватель, кафедра математического анализа, факультет математики и информационных технологий, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе построен регуляризирующий оператор по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности для решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на оси.

Abstract: in this work the regulyariziruyushchy operator according to M. M. Lavrentyev is constructed and the theorem of uniqueness for the solution of the nonlinear integrated equations of Voltaire of the first sort on an axis is proved.

29

Ключевые слова: нелинейные, интегральные, уравнения Вольтерра, первого рода, решения, доказана, регуляризация, единственность, система, на оси пример. Keywords: nonlinear, integrated, Voltaire's equation, the first sort, the decision, it is proved, regularization, uniqueness, system, on an axis an example.

Рассмотрим уравнение rt

I K(t.s.u(s^)ds = /(t), te(-oo, -ил].

J— ca

t1)

li„ = ^lim lift), lift] -

где К it, S, li) и / ft) - заданные функции, lift) - неизвестная функция.

Различные вопросы для интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода исследованы в работах [1-6]. В частности, в работе [4] доказаны теоремы единственности и построен регуляризирующий оператор для систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода на отрезке. В данной работе построен регуляризирующий оператор и доказана теорема единственности для решения уравнения (1).

Наряду с уравнением (1) будем рассматривать уравнение £Vtt,E^ + I K(t,s,v(s,£i0ds = /(t) + £ U„

где 0 < £ — малый параметр,

Всюду будем предполагать, что

Kit. s, и) = К (t, s) it -р KLit, s, и) ,(t,s,u) ^ G x R, где G={(t,s):-co<s<t<+co}.

Введем обозначения:

1) Обозначим через С(“ га, -Ил] пространство всех функций и (О - непрерывных и ограниченных на (“ со, -Ил), || ■ |[jC — норма в С (“га, -им], т. е. для любого

iift)e С (—со, -ил]

|lift)lc = sup [U(t]|.

te(-co,co)

2) Через L,.(“oo, -им] обозначим пространство всех функций lift] таких, что

|u(t]|dt < со.

(2)

решение уравнения (1). (3)

3) Обозначим через С0(“оо, +оо] пространство всех функций uit^ECi со, -l-ool

Lim lift], = UdeR

таких что t—*— = •

|ft(t]lc = sup HiCt]|.

te(-oo,co)

4) Через ^l,toc(~00 j обозначим пространство всех функций lift],таких что для любого Те (“со, -роо]

Г-Т

fu(t]| dt < га.

L

5) Обозначим через Ср ( го> -юз], 0 < у < 1, пространство всех функций

li(t]erC[I( оо,-poo), таких что для любых tj., t3F( со,-poo]

I fG У

fii(tj-ii(t3)|< JVT0 н Kis.syis .

где положительная постоянная Мв не зависит от t lP t,. но зависит только от li(t]. Kit. tJfjjL^^^OO, -Р00]и Kit, t) > О при BCext Е (—00, -роо].

30

Предположим выполнение следующих условий:

a) К it, t)>0 при всех t £ С—(и, -Им]

I Kit, s] dseC(rm, -ил! Kit, t^€Lfigci—oa-, -ил]

СИ 1

b) для любых t3e(—со; +m),

£] - (t3, S]| < J(£] ||1 Kis, s]ds , где 0< i(t]npn всех t € (—со, -Им), l^Eh^iroo; -Им).

c) npntj > tj_ ДЛЯ любых (tL>s), (t2,s)<EG,\i(ti_,S,U1),(ti_,S,U2), ft2 ,S,U]),

(t*. s,ii2)eGx R справедлива оценка

s,иД ) - /f|i (t|i,s,U|2 )-К^з.в,и J +

+^tl (t|2, S,ul2) \ < 111 (S)|J'1(tll)TCtl2>llJf(S,S)dS||]l Щ1 -Uj |,

К X1 (t, t, li. )=0 при всех (t,u) €R3, if jl it, S, 0 )=0 при (t,y) e G.

Решение уравнения (2) будем искать в виде

V(t, £) = u(t) + f (t, £). (4)

Подставляя (4) в (2) имеем

1 rt i ft i rt

= K(s,s]ffc,£lds--I lK(t,S]~ K(s,s]]f(s,£]ds I [if1(t,S,U(s) + + ffc,£})-/C1tt,s,u(sB]ds+ 1ис-и((Ж

£ *-a £ *~ca £ *~cn

„ Rit.s,tf = --Kis,s^K^dT

Отсюда, используя резольвенту £ ядра

[-iKe.sj]

имеем

1 rt

<f(t,£)=--J lif(t,£)-Jf(£,£)]ffe,£)ds

C J-m

+- I ^Ka,T)e 1 [tftr,S] - K(S,S]]fis, £]dsdr +

*— ca ^ ^ J—ca

t _t T

+ [ ^К(г,т]{?^ №jT5dT I f [A\ (t, s, u(s] + f (s, £]) - A\(r, s, u(s])| dsdr

J—oa Ь t J— и 1 -

-jj К tv, T)e~^£ кп.шт t' •'—ca (5)

Применяя формулу Дирихле, последнее уравнение запишем в виде ft ft

f(t,£) = £ Hit, S, £)f <£, £)ds + £ Pit, S, f Os, £), £)ds -f

+<p ct, £),

tdr( CO, + C0)

(6)

где

tf(t,S,£) = --|Jf(t,£)- if<£,S)] 4£

+-^f K(x,T)e s^№jTlclT[Jir(r,s]-if(s,s]]dT, (t,s]eG,

P(t, S, <(S, £), £)=j pi (t- S, U(S) + < (S, £]) - PL(t S, U(S))] + №jTldT p! (t, S, U(S] + f (S, £]) - KL(T, S, U(S])] dr

<p(t, £) = un - u(t)- -£ Kii, rte~s^К11-тШт[Ub _ U(T]]dTi ^^

(7)

(8)

(9)

31

у

Теорема. Пусть выполняются условия а), Ь), с) и Св i—caf где It® -решение уравнения (1). Тогда решение V(t, £) уравнения (2) при £ -*■ 0 стремится к решению и(Пуравнсния (1). При этом справедлива оценка

|v(t,£}- Ш'Лс <М7£У, (10)

где М7= M.A^eXp^

t у

|u(tj-uff3]|< AfJf „ f“ e~vvrdv.

| ML= vt.\> (e~vvy)+

Доказательство. Учитывая формулы

l f K<x.r)e^^^dT = i -- f Ка,Т)е^к™ат(1т = i -

£ J—ш

из (7) и (8) и (9) получим

(П)

Pit, s, ffc, a a=J [^1 (t-s' ВД + КЮ) - № s, ВД)]

-l(i/£'2 ] fjS’ts [Шт.н e*(-i/£ / ,T!tsi((T,T)dT) [Ktl (t, s, u(s) + < (s, g ] - Ktl (t, s, u(s) ] I

-Kyi (T,s,ii(S] +- ^(s,£]) +- Jfii (T, s,u(s>y\dr

(pit, £) = - Iu(t) - KtT'TidT -

-if Kir, T)e~^£ K'rr'TlciT fu(t) - lifr]] d.T

* J— и .

(12)

(13)

Учитывая условие б), из (11) имеем

1 ft

— ~l K(trt))

Отсюда интегрируя по частям, получим

\Н(t, s, £)| < )(s)j£ №jTltlTKiu.tjdr = ^[г _ е~^£кя;,ту1т]

Из последнего неравенства имеем

s, £)| < lis^ (t, s^eG (i4)

Теперь найдем оценку функции Pit. s, is, £l £) из (12)

I P(t, S, l(S, c), £) = i [J?! (t, S. UfSJ +■ ((S, £)) - -KL (s, S, U(S] + +f (S, £)J (s, S, U(Sj) -ft\ (t, S. U(Sj)] e“|iKa.Tidz ^

-n(lf£'2 ] ;,STs lK(T,T) e\-l/£- J jT'tsA'cr.Tjdri [A',1 (t, S,li(S] + < (S, £) ] — A',1 (t, £,lt(S) ] J .

-Kyi (T^.itcsa^s^n-i-^i (T,s,ii(S))]dT i<

32

+ ?=1 ^№jTltlTdT^(SD|{(S,£]| JT ^CT,T]rfT}

Отсюда получим, что

| P{t, S, f (£, £1 £) I < ^(SD | %s) | >(t,s, Q e GxR . (15)

■y

В силу (— m; +mD из (13) имеем

< Ml0 £ту { 1£1фЗ -rtV > 0) (e-vvy)+

Пот(оо }i ceT(--v) -vT7 dv} = Afj,o МД et7 . л

Отсюда получим

|^е,£)|с < MDML£r

(16)

Учитывая (14), (15) и (16) из (6) получим ,t

lf(t,£)l<| (i(£)+^(s))|f(s,£)|ds +MnMi£Y, teR.

J- in V

(17)

Применяя формулу Гронуолла-Белмана из (17) имеем (10). Теорема доказана. Следствие. Пусть выполняются условия Д), Ь), С] и существует <хе (—/.+•/) такое что К(£. t) > 0 при почти всех t е R. Тогда решение уравнения (1) единственно в пространстве «Б -Ияф 0 < 7 < 1.

Доказательство. Пусть е С^(—со,-ип] являются решениями

уравнения (1) при /(tDeC(—оо, +оо). В этом случае сначала в силу условий

лУ /■! lim U,(t) = lim

a)r о), С) доказываем, что 1 t-j-_ Тогда

л ,t

I K{t,s,Ui(sy)ds = I Kft.s.i^sDjds, t ё R.

J—ca *-и

Отсюда имеем

ft ft

f JT(s,s)ds = [ -U2(_s)]ds

*-00 *-00 =

= -fi(- »)’ts I [if (t, S) - if I (s, S)] [u] ,1 (S) - Щ2 (s) ] ds - II - E I[Jf ] ,1 (t, S, U,1 (S)) - if ,1 (t, S,U,2 (S)) - if,l (s, S, U[1 (s);

+Яд (£,S,Ui2 (£) )]ds te(— 00, t)

Далее в силу условий а) и b), и с) имеем

[ I и] ji(ЕБ)-и42 (fi *)| [Ji(-a>)^£! lif(s,s)ds]<[[(-а))^£В i(!(s)ds[ l [if [ E(i,T)dT]ll|tu3 ti (t)-ii,2 (t)ll||3 и л

+

+j-j(—ooytB 1(^1 (s)ds[ и / 1sTt“ К Я E i(T,T)dr|ii|fii]i ,i (t) - iit2 (tjiiiin ^ и .

oo < t* < t< a

33

Отсюда вытекает, что

^lim = ^lim U3(t)

Далее в силу оценку (10) доказывается

Е Kl|UD А1 (t) - Щ2 (t)||||]l iC < | E ElltH X1 (t] — v(t, £)||||I1 vc

+|| I ElUH t2 (t) - V(t, £)||||3 при □—>0.

Пример. Рассмотрим уравнения (1) и (2) при K(t,s,u)=

В этом случае условия теоремы выполняются при

K(t,s) =(1 + 4£ = >

(18)

Ki(t,S,u)= 1+9S =

4 (1 4- 4T:F J 1 + 1

у} ,(t,S,u) е GxR

It I

7Y i(t) =

12

K(t,t) = (l ++t = )i,“LJ 1 +4t= ,*i(t)=l +9t=,t e R.

В самом деле, в силу (18) для любых t^ t3f/? имеем iqtjl.s) - K(tj(2,) £) = 1/(1+ I4SD т2) ri(t12)T(t1l>i(l£0/(H- 4sT2 )т2 (ts

Отсюда

I K(tji-s) - к (tiOO S]| < J(S)tfi(VDT<ti2}Itf(s,s) dsi .

Аналогичным образом в силу (19) доказывается, для любых

(^ i ,s,Ui); (ti ,s,^-5 ), (^з ,s,^i), (^ з >SjU,) ё GxR следующая оценка I s.urf.K&i, s,u2)~ K1(t2r s.u2) |

{*2

<^(S)| [Я(5,£)Й£|г:]3 |ua -ua|

Jh .

Здесь используется неравенство

(1 + || 11х1| III щ2 II ]/С(1 + Еидл т2)(1 + т2)) < 2 UL и, ЕЙ.

Замечание: Если u(t) = 9

V,

s)ds]p

K(t,t) E Ll(—m, +oo] ,K(t,t)— 0

при

tE R , TO u (t) E С/Ч-оо, +ml

Литература

1. Магницкий Н. А. Нелинейные интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего рода // Вычисл. матем. и матем. физики,- 1979, Т. 19, № 4 - С. 970-988.

2. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. Р. Некорректные задачи математической физики и анализ.- М: Наука 1980. С. 286.

3. Денисов А. М. О приближенном решения уравнения Вольтерра первого рода, связанного с одной обратной задачей для уравнения теплопроводности // Вести. Моск. унив-та, Сер. 15 Вычисл. матем. и киберн. - 1980. № 3, - С. 49-52.

4. Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Докл. АН СССР, - 1989, - Т. 309, № 5, - С. 1052-1055.

34

5. Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем нелинейных двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Докл. АН СССР, - 1991, - Т. 317, № 1, - С. 22-35.

6. Иманалиев М. И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Докл. РАН, - 2007, - т. 415, № 1, с. 14-17.

Искривленное пространство - время Романенко В. А.

Романенко Владимир Алексеевич /Romanenko Vladimir Alekseevich - ведущий инженер-

конструктор,

Нижнесергинский метизно-металлургический завод, г. Ревда

Аннотация: обосновывается возможность объединения четырёхмерного

пространства-времени с дополнительным измерением. Рассматривается стоячая волна времени и влияние на него дополнительного измерения. Выводятся уравнения, описывающие искривлённое пространство-время.

Abstract: the author substantiates the possibility of combining four-dimensional space-time with extra dimension. Is considered a standing wave of time and the influence of the extra dimensions. Equations are derived that describe curved space-time.

Ключевые слова: новое измерение вакуума, стоячая волна времени,

хронотраектории, искривлённое пространство-время.

Keywords: a new dimension of the vacuum, a standing wave of time, chronotrajectory, curved space-time. 1

1. Введение.

В предлагаемой работе приводится математическое доказательство того, что (3+1) -пространство-время, ограниченное постоянным радиусом, равным вектору длительности, погружено в искривлённое пространство-время более высокой размерности. В этом случае оно включает в себя как пространство Метагалактики, так и вещество в ней. Видимое вещество состоит из основных элементарных частиц: протонов, нейтронов и электронов. В статье рассматривается подход к возможности возникновения именно этих частиц, основанный на теории времени. Особенностью излагаемой теории является тот факт, что искривлённое пространство-время учитывает кроме обычных координат пространства l и собственного времени S, относящихся к горизонтальной гиперплоскости, ещё и координату искривлённого

вакуума / . Именно с неё и начнём наше исследование. В работе [2., ф. (3.7)] было обосновано существование этого измерения на основе формулы плотности вакуума в 3-х мерном шаровом пространстве с радиусом, равным интервалу этого пространства. Формула имеет вид:

Ру =

т„

т„

т„

ж13

4 l3 4 _ 1 /2

^ lr,

4 г

ж1 • /2

3 l

где pv есть плотность вакуума, l есть 3-интервал:

(1.1а)

7 /3 /2 / s-l

I — —— =------=-----есть новое измерение вакуума.

/0 /0 /0 /0

35