CC BY
12
56 ДОБЫЧА
УДК 622.276
Оценка функций относительных фазовых проницаемостей по данным лабораторных экспериментов
А.И. Никифоров
д.ф.м.н., зав. лаб.1 [email protected]
|Б.Я. Маргулис |
к.х.н.2
О.В. Лукьянов
зав. лаб.2
Р.В. Садовников
к.т.н., с.н.с.1
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт механики и машиностроения Казанского научного центра Российской академии наук — ИММ КазНЦ РАН, Казань, Россия
2ОАО Научно-исследовательский институт по нефтепромысловой химии — ОАО НИИнефтепромхим, Казань, Россия
Представлен метод оценки функций относительных фазовых проницаемостей на основе лабораторных экспериментов на керне. Функции строились, исходя из минимизации разницы между экспериментальными данными и численными результатами, полученными с помощью математического моделирования процесса вытеснения нефти водой из образца пористой среды. С помощью метода были обработаны результаты ряда лабораторных экспериментов для образцов со скважин реального нефтяного месторождения.
Материалы и методы
Для определения значения абсолютной проницаемости образцов в лабораторных условиях использовались методики, изложенные в государственном стандарте. Определение проницаемости образца по воде и нефти проводилось на лабораторной установке УИПК - 1М. Количество остаточной воды в образце определяется методом ЯМР. Для математического моделирования вытеснения нефти водой из образца пористой среды используется модель, предложенная Баклеем и Левереттом. Численная аппроксимация задачи строится с помощью интегро-итерполяционного метода и схемы !МРЕБ метода. Поиск минимума функции невязки осуществляется с помощью метода деформируемого многогранника.
Ключевые слова
вытеснение нефти водой, относительная фазовая проницаемость, некорректная задача
Введение
Функции относительных фазовых проницаемостей являются ключевым параметром для моделирования многофазных потоков в пористых средах. Эти функции содержат основную информацию о динамическом взаимодействии фаз в пористой среде, и должны оцениваться на основе лабораторных экспериментов. Существует две принципиально разные группы экспериментальных методов определения относительных фазовых про-ницаемостей: стационарные и нестационарные [1, 2]. Главным недостатком первой группы методов является длительное время проведения полной серии экспериментов. Нестационарные методы требуют гораздо меньше времени на проведение эксперимента, но также имеют ряд ограничений [1]. Задаче определения функций относительных фазовых проницаемостей посвящено значительное количество публикаций. Достаточно полный обзор теоретических и экспериментальных методов определения относительных фазовых проницаемостей изложен в работе [3].
В последние годы методики, основанные на решении обратных задач, широко применяются для определения различных параметров пластов, так как они позволяют использовать ту математическую модель, которая наиболее полно описывает все факторы, влияющие на процессы вытеснения. Оценку функций относительных фазовых проницаемостей по данным лабораторных экспериментов можно также рассматривать как некорректную обратную задачу. Для решения этой задачи требуется математическое моделирование процесса вытеснения нефти водой из образца пористой среды. При таком подходе необходимо выбрать функциональное представление кривых относительной фазовой проницаемости в зависимости от параметров. Затем значения этих параметров оцениваются из минимизации разницы между экспериментальными данными и вычисленными результатами, полученными из математической модели.
1. Постановка прямой задачи (математическая модель)
Рассмотрим процесс вытеснения нефти водой из прямолинейного образца пористой среды длины Ь. Введем координату х, отсчитываемую вдоль образца, и будем считать направление течения горизонтальным. В рассматриваемый образец, первоначально заполненный нефтью, через сечение х=0 закачивается вода.
Считаем, что образец пористой среды является однородным и изотропным, т. е. его пористость и проницаемость постоянны. Поперечное сечение образца предположим достаточно малым так, что давление и насыщенность можно считать постоянными по сечениям, а течение одномерным (т. е. происходящим вдоль оси х). В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда поверхностное
натяжение между фазами невелико, можно пренебречь капиллярным давлением. Если также пренебречь влиянием силы тяжести, то процесс вытеснения допускает простое математическое описание, впервые предложенное Баклеем и Левереттом [4]. Уравнение модели Баклея-Леверетта имеет вид:
т + V
81 йг
= 0,
(1.1)
где я — водонасыщенность, т — коэффициент пористости, к — коэффициент абсолютной проницаемости, V — суммарная скорость фильтрации, Дя) — функция Баклея-Леве-ретта Дя) = к(я)/(к/я) + кн(я)^/^.н), к(я) и к(я) — функции относительных фазовых проницаемостей воды и нефти, и — коэффициенты динамической вязкости воды и нефти.
Характерной особенностью уравнения (1.1) является то, что это дифференциальное уравнение только относительно насыщенности. Изменение насыщенности во времени в образце можно получить в результате решения уравнения (1.1) независимо от распределения давления. Для нахождения распределения насыщенности к уравнению (1.1) необходимо добавить начальное и граничное условия:
при t = 0 я(х,0) = Я0, (1.2)
при х = 0 я(х,0) = я0, (1.3)
Поскольку процесс вытеснения нефти из образца пористой среды происходит при заданном перепаде давления, то представляет интерес также и распределение давления в образце, для которого с учетом принятых предположений будет использовано уравнение неразрывности потока:
до/дх = 0, (1.4)
Здесь
Ч(д). М^рр
я»
у=-к
— суммарная скорость фильтрации. Для нахождения распределения давления по длине образца необходимо задать граничные условия:
уА 1х_0 =в(0, (1.5)
р(Ь, 0 = Рк ф, (1.6)
где А — площадь поперечного сечения рассматриваемого образца пористой среды, L — длина образца, Q(t) — объемный расход закачанной жидкости.
2. Метод решения прямой задачи
Для решения задачи вытеснения нефти водой в образце пористой среды используется метод конечных разностей. Для этого рассматриваемый образец длины Ь разбивается на конечные блоки определенного размера Ах = L / И, где N — количество блоков. Для построения разностных уравнений использовался интегро-интерполяционный метод [5, 6]. Разностное уравнение для насыщенности будет иметь следующий вид: 1'Д? тАх,
Для вычисления значений функции Баклея-Леверетта
.//+1:'2'./1-1П
через значения переменных в узлах сетки используется схема ориентированная «против потока». С введением ориентации «против потока» разностная задача для насыщенности запишется в виде [7]: „П ,, Ш.
Здесь ЛЛ1/2 — значение проводимости, которое определяется по среднегармониче-скому закону через значения проводимости в узлах разностной сетки:
„О _
т Дл'; 1= I
п =
О;"-/; ...ж
1.....N.
-/д),
(2.21
(2.3)
(2.4)
X = Л ^) /и + k /и), А = А
1 'в* Г ~ в Н ' Г ~ Н XI х^
А
где Др" — экспериментальные значения перепада давления в образце, Ар" — значения, полученные в результате решения задачи (1.4-1.6) для давления. Для решения обратной задачи необходимо ограничить множество решений некоторым классом функций. Будем искать решение в виде степенных функций:
где Nt — количество временных шагов в интервале проведения лабораторных исследований Т. Такая численная схема получила в литературе название — схема «уголок» [7]. Разностная схема для определения поля давлений в исследуемом образце имеет следующий вид:
Разностная задача для давления (2.4), (2.5) решается методом прогонки на каждом временном шаге. Шаг по времени Аt подбирается так, чтобы выполнялось условие Куранта-Фридрихса-Леви [5, 6]. Значения насыщенности в коэффициентах подвижности выбираются с предыдущего временного слоя, т. е. используется схема !МРЕБ метода [6]. Применение !МРЕБ метода не требует дополнительных итераций для расчета коэффициентов проводимости.
3. Постановка обратной задачи
Решение обратной задачи сводится к минимизации невязки
ш
(3.1)
где Ав, Ан — множители, я, — минимальная и я* — максимальная водонасыщенности, пв и пн — показатели степени. Задавая зависимость относительных фазовых проницаемо-стей в виде (3.2), (3.3), мы сводим решение обратной задачи к определению параметров Ав, Ан, пв и пн. Поиск минимума функции невязки осуществляется с помощью метода деформируемого многогранника [8], который относится к методам безградиентного поиска, т. е. основанного на анализе значений самой функции без использования ее производных.
№ № Абс. прон, Прон. по п/п обр. мкм2 воде нач., мкм2
прон. по
нефти,
км2
Проницаемость по воде при вытеснении, мкм2 Давление нагнетания, *10-5 Па
65-1 0,761
73-2
0,158
102-1 0,073
0,446
0,048
0,0252
1 2 3 4 5
0,32 0,28 0,42 0,0173
2,24 1,94 1,25 0,15
0,00151 0,00134 0,00148 0,00368 0,00212
0,36 0,264 0,263 0,03 0,125
0,00038 0,00022 0,00023 0,00028 0,00032
0,68 0,895 0,993 0,943 0,801
0,42 0,12 0,02
Таб. 1 — Результаты лабораторных экспериментов
К вытесн. по воде, %
63
55
59
Прон. по воде конечн.,
мкм2
0,0173
0,00212
0,00032
№ £ А 5* 5* Уе Ун № образца ^ мкм2 А в п в п н
образца м м2 д.ед. д*ед. Па»с Па»с 65-1 0,175557 0,454260 5,302230 1,00001
65-1 0,3 0,66*10-3 0,15 0,78 0,0009 0,3068 73-2 0,193502 0,012789 1,433310 2,32944
73-2 0,3 0,683*10-3 0,27 0,73 0,0009 0,3068 102-1 0,050428 0,291669 7,396310 5,06477
102-1 0,3 0,664*10-3 0,16 0,82 0,0009 0,3068 Среднее 0,139829 0,252906 4,710617 2,79807
Таб. 2 — Основные данные
Таб. 3 — Результаты решения обратной задачи
1
2
3
Рис. 1 — Распределение водонасыщенности на различные моменты времени по модели Баклея-Леверетта
4. Численные результаты
В этом разделе представлены численные результаты решения прямой задачи, а также определены зависимости относительных фазовых проницаемостей из решения обратной задачи на реальных образцах пористых сред.
4.1. Результаты тестирования численной модели
Рассмотрим вытеснение нефти = 0,002Па • с водой н = 0,001 Па • с из образца керна длины L = 0,03м, т = 1, с площадью поперечного сечения А = 0,678 • 10-3м2 при следующих значениях предельных водо-насыщенностей: я, = 0,1, я* = 0,9. Скорость воды, закачиваемой в образец, поддерживается постоянной у = 1 м/с, значение перепада давления Ар = 0,05 • мПа. Функции относительных фазовых проницаемостей брались в виде [7]: кв (я) = (я - 0,1/0,8)3, кн (я) = (0,9 - я/0,9)3. Распределение водона-сыщенности на различные моменты времени = 181с, t2 = 311с, t3 = 804с, t4 = 1348с представлены на рис. 1. Это распределение водонасыщенности хорошо совпадает с эталонным решением, полученным методом характеристик [7]. Также исследовалось влияние на расчеты количества узлов сетки по пространственной координате. Расчеты показали, что для численной схемы «уголок» уменьшение шага сетки по пространственной координате практически не влияет на распределение давления в образце, а также на величину скачка насыщенности и положение фронта вытеснения на различные моменты времени.
4.2. Результаты решения обратной задачи
С помощью описанного выше метода решения обратной задачи были обработаны результаты ряда лабораторных
экспериментов для образцов со скважины 2262 Аканского месторождения. Результаты лабораторных экспериментов представлены в таблице 1. Лабораторные эксперименты по определению относительных фазовых проницаемостей проводились в лаборатории ОАО «НИИнефте-промхим» по стандартным методикам [9]. Коэффициенты остаточной водонасыщен-ности, максимальной нефтенасыщенно-сти образцов определялись методом ЯМР спектроскопии.
Основные данные лабораторных экспериментов по образцам приведены в таблице 2. Эти данные используются при решении обратной задачи.
В результате описанного выше алгоритма решения обратной задачи были определены следующие параметры фазовых кривых, которые приведены в таблице 3.
На рис. 2 приведены результаты решения обратной задачи: вычисленные зависимости относительных фазовых проницаемостей и функция Баклея-Леверетта для образцов керна.
Итоги
В данной работе на основе методов математического моделирования и методов решения обратных задач разработан алгоритм восстановления функций относительных фазовых проницаемостей по данным лабораторных экспериментов. Алгоритм апробирован при обработке результатов эксперимента в лаборатории ОАО «НИИне-фтепромхим» на образцах керна со скважины 2262 Аканского месторождения.
Выводы
Представленный метод может использоваться для интерпретации результатов лабораторных экспериментов на кернах со скважин
реальных месторождении, а полученные функции относительных фазовых проницаемостей могут использоваться в задачах гидродинамического моделирования заводнения нефтяных пластов.
Список используемой литературы
1. Honarpour M., Mahmood S.M. Relative Permeability Measurements: An Overview. SPE paper 18565, SPE Technology Today Series, 1986, pp. 963-966.
2. Honarpour M., Koederitz L., Harvey A.H. Relative permeability of petroleum reservoirs. C.R.C. Press, Boca Raton, Florida, USA, 1986. 152 p.
3. Abaci S., Edwards J.S., Whittaker B.N. Relative permeability measurements for two phase flow in unconsolidated sands. Mine Water and The Environment, Vol. 11, issue 2, June 1992. pp. 11-26.
4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. Москва: Недра, 1984. 207 с.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. Москва: Наука, 1989. 432 с.
6. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. Пер. с англ. Москва: Недра, 1982. 407 с.
7. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. Москва: Недра, 1976. 264 с.
8. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. Москва: Мир, 1975. 534 с.
9. Добрынин B.M., Ковалев А.Г., Кузнецов A.M., Черноглазов B.H. Нефть. Метод определения фазовых проницаемостей в лабораторных условиях при совместной стационарной фильтрации. Отраслевой стандарт. ОСТ 39-235-89, 1989 г.
Рис. 2 — Зависимость относительных фазовых проницаемостей и функции Баклея-Леверетта от водонасыщенности для образцов: а) 65-1, б) 73-2, в) 102-1
ENGLISH
OIL PRODUCTION
Estimation of relative permeability functions from data of laboratory experiments
UDC 622.276
Authors:
Anatoliy I.Nikiforov — head: prof., head. labs.1; [email protected] |Boris Y. Margulis| — dr.2;
Oleg V. Luk'yanov — head. labs.2; [email protected]
Roman V. Sadovnikov — ph.d., senior scientist1; [email protected]
institute of Mechanics and Engineering, Kazan Science Center, Russian Academy of Sciences — IME KazSC RAS, Kazan, Russian Federation
2Research Institute for oilfield chemistry — JSC Nllneftepromchim, Kazan, Russian Federation
Abstract
A method for estimating functions of relative permeabilities based on actual laboratory experiments is proposed. Functions were estimated by minimizing the difference between experimental data and numerical results obtained by mathematical modeling of oil displacement by water from a sample of porous medium. Results of series of laboratory experiments for the samples from wells of actual oil field were processed by the method established.
Materials and methods
For determination of absolute permeability of samples in laboratory conditions procedures outlined in state standards were used. Determination of permeability of
sample on water and oil was conducted on a laboratory setting UIPK — 1M. Amount of residual water in the sample is determined by NMR. For mathematical modeling of oil displacement by water from the sample of porous medium, the model proposed by Buckley and Leverett is used. Numerical approximation of the problem is constructed using the control-volume method and the scheme of IMPES method. Search for the minimum of residual function is performed by the method of flexible polyhedron.
Results
An algorithm for reconstructing functions of relative permeabilities from laboratory experiments was developed in this paper based on mathematical modeling
methods and techniques for solving inverse problems. The algorithm was tested in processing the results of the experiment in the laboratory of Nllneftepromchim on core samples from well 2262 of Akanskoe field.
Conclusions
The method presented can be used to interpret the results of laboratory experiments on cores from the wells of the real fields, and the resulting functions of relative permeabilities can be used in problems of hydrodynamic modeling of field waterflooding.
Keywords
oil displacement by water, relative permeability curve, incorrect problem
References 4. Barenblatt G.I., Entov V.M., Ryzhik V.M. mestorozhdeniy.[Mathematical
1. Honarpour M., Mahmood S.M. Dvizhenie zhidkostey i gazov v prirodnykh modeling of the development of oil
Relative Permeability Measurements: plastakh [Movement of liquids and gases fields]. Moscow: Nedra, 1976, 264 p.
An Overview. SPE paper 18565, SPE in natural formations]. Moscow: Nedra, 8. Khimmel'blau D. Prikladnoe nelineynoe
Technology Today Series, 1986, pp. 1984, 207 p. programmirovanie [Applied Nonlinear
963-966. 5. Samarskiy A.A., Gulin A.V. Chislennye Programming]. Moscow: Mir, 1975, 534 p.
2. Honarpour M., Koederitz L., Harvey metody [Numerical Methods]. Moscow: 9. Dobrynin B.M., Kovalev A.G., Kuznetsov
A.H. Relative permeability of petroleum Nauka, 1989. 432 p. A.M., Chernoglazov B.H. Neft'. Metod
reservoirs. C.R.C. Press, Boca Raton, 6. Aziz Kh., Settari E. Matematicheskoe opredeleniya fazovykh pronitsaemostey v
Florida, USA, 1986, 152 p. modelirovanie plastovykh sistem laboratornykh usloviyakh pri sovmestnoy
3. Abaci S., Edwards J.S., Whittaker B.N. [Mathematical modeling of reservoir statsionarnoy fil'tratsii. [Method for
Relative permeability measurements systems]. translation from English, determination of permeability in
for two phase flow in unconsolidated Moscow: Nedra, 1982, 407 p. the laboratory at the joint stationary
sands. Mine Water and The 7. Maksimov M.M., Rybitskaya L.P. filtration]. Otraslevoy standart
Environment, Vol. 11, issue 2, june Matematicheskoe modelirovanie Minnefteproma, OST39-235-89, Moscow:
1992, pp. 11-26. protsessov razrabotki neftyanykh Minnefteprom, 1989.
