Редукции частично инвариантных решений ранга 1 дефекта 2 пятимерной надалгебры конической подалгебры Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 125-129.

УДК 517.3

РЕДУКЦИИ ЧАСТИЧНО ИНВАРИАНТНЫХ РЕШЕНИЙ РАНГА 1 ДЕФЕКТА 2 ПЯТИМЕРНОЙ НАДАЛГЕБРЫ КОНИЧЕСКОЙ ПОДАЛГЕБРЫ

С.В. ХАБИРОВ

Аннотация. Конические течения — инвариантные решения ранга 1 уравнений газовой динамики на трехмерной подалгебре, заданной операторами вращения, переноса по времени и равномерным растяжением. Обобщение конических течений — частично инвариантные решения ранга 1 дефекта 2 пятимерной надалгебры конической подалгебры, расширенной операторами переносов по пространству, не коммутирующих с вращением. Доказано, что обобщения конических течений редуцируются либо к функционально-инвариантным плоским стационарным решениям, либо к двойной волне изобарических движений, либо к простой волне.

Ключевые слова: газовая динамика, конические течения, частично инвариантные решения.

Введение

Уравнения газовой динамики допускают 11-мерную алгебру Ли операторов. Оптимальная система подалгебр построена [1]. Трехмерная подалгебра из оптимальной системы с базисными операторами Х7 = до, Х10 = Хц = tdt + хдх + rdr в цилиндрической системе кординат (х,г,в) порождает инвариантную подмодель ранга 1 конических течений

[2]. Пятимерная подалгебра имеет дополнительные операторы переносов по декартовым переменным y, z:

Х2 = ду = cos вдг — r-1 sin в(до + WdV — VdW),

Х3 = дг = sin вдг — r-1 cos в(до + Wдv — VдW).

Обобщения конических течений по пятимерной надалгебре есть частично инвариантные решения ранга 1 дефекта 2. Цилиндрические координаты скорости и удобно предстваить в виде U, V = Q cos §, W = Q sin § (Q = 0, иначе получается одномерное движение). Инварианты подалгебры таковы: U, Q, р — плотность, S — энтропия, давление определяется из уравнения состояния p = f (р, S).

S.V. Khabiroy, Reductions of partially invariant solutions of rank 1 defect 2 fivedimensional OVERALGEBRA OF CONICAL SUBALGEBRA.

© Хлвиров С.В. 2013.

Работа поддержана РФФИ (гранты 11-01-00026-а, 11-01-00047-a), Советом по грантам Президента РФ для государсвтенной поддержки научных школ (№НШ-2826.2008.1), грантом № 11.G34.31.0042 правительства РФ по постановлению №220.

Поступила 10 января 2012 г.

Уравнения газовой динамики в заявленных переменных принимают вид Ut + UUx + Q(Ur cos § + r-1 U0 sin §) + p-1px = 0,

Qt + UQx + Q(Qr cos § + r-1Q0 sin §) + p-1(pr cos § + r-1p0 sin §) = 0,

§t + U§x + Q(§r cos § + r-1(§0 + 1) sin §)+

+p-1Q-1(— pr sin § + r-1p0 cos §) = 0,

Pt + Upx + Q(Pr cos § + r-1po sin §) +

+P [Ux + Qr cos § + r-1Q0 sin § + Q( — §r sin § + r-1(§0 + 1) cos §)] = 0,

St + USx + Q(Sr cos § + r-1S0 sin §) = 0.

Представление частично инвариантного решения ранга 1 дефекта 2 таково: функции U, Q, p, S, p зависят от одного непостоянного параметра а; функции а, § — общего вида, т.е. зависят от t, х, r, в.

Подстановка представления решения в уравнения газовой динамики дает переопределенную систему уравнений (основные уравнения подмодели):

SaYa = 0, UaYa + р-1 paax = 0,

QaYа + p-1pa(аr cos § + r-1a0 sin §) = 0,

P-1PaYа + Uaax + Qa (ar cos § + r-1a0 sin §) +

+Q (—§r sin § + r-1 (§о + 1) cos §) = 0,

§t + U§x + Q (§r cos § + r-1 (§о + 1) sin §) +

+p-1Q-1pa (—ar sin § + r-^ cos §) = 0, где Yа = а-t^ + Uаx + Q ^r cos § + r-^ sin §).

1. НЕИЗЭНТРОПИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ Если Sa = 0, то основные уравнения подмодели принимают вид

Yа = 0, рааx = 0, pa (а,г cos § + т~1ао sin §) = 0,

Uaаx + Qa (а,г cos § + т~1ао sin §) +

+Q (—§r sin § + r-1(§0 + 1) cos §) = 0, (1.1)

§t + U§x + Q (§r cos § + r-1(§0 + 1) sin §) +

+p-1Q-1pa (—аr sin § + т~1ао cos §) = 0.

1.1. Неизобарическое движение. Если pa = 0, то из (1.1) следует

а-t = аx = 0, а,г cos § + т--1ао sin § = 0 ^

{—аr sin § + т--1ао cos §) §\ = 0, Л = t,x.

Отсюда следует $ = $х = 0, так как функция а непостоянна. Происходит редукция к плоскому стационарному решению — инвариантному решению на подалгебре |5*,5х). От системы (1.1) остается три уравнения

§0 + І = tg §§T

nT

tg iWT, nT + tg &u0 = О,

где п(а) = f pap 1Q 2 dа, т = ln r. Одно из уравнений интегрируется

n = — ln | cos §| + k^),

два других принимают вид

cos 2 §§T = — k' + tg §, cos 2 §§0 = —І — tg§k'.

;i.2)

Условия совместности дают уравнение на функцию к (в): к'' + к'2 + 1 = 0, решение которого к = ln | cos в|+к0 определено с точностью до переноса по в, допускаемого системой (1.1), к0 — постоянная.

Интегрирование системы (1.2) дает семейство функционально-инвариантных решений

tg§ + tgв = ^or cos в, n(а) = k0 + ln

cos в

cos §

зависящее от двух постоянных ^0, к0, и трех произвольных функций S(а), р(а), Q(а).

1.2. Неизобарическое движение. Пусть ра = 0, т.е. f (р, S) = р0 — постоянная. Тогда система (1.1) принимает вид

а-t + Пах; + Q (а,т cos § + r-1 ао sin §) = 0,

§t + U§x + Q (§r cos § + r-1(§0 + 1) sin §) = 0,

Uаx + Qa (а,г cos § + т~1ао sin §) +

'1.3)

+Q (—§r sin § + r-1 (§о + 1) cos §) = 0. Последнее уравнение равносильно следующему

div u = 0.

Удобны лагранжевы переменные dx s

dt

x

t=o

dr dв

dt Q(а) cos §, rdt

xo, r|t=o = ro, в1=0

вп

Любое решение системы (1.3) можно записать с помощью решения задачи Коши в виде а^, х, r, в) = в (t, х0, r0 ,в0), §(t, х, r, в) = a(t, х0, r0, в0).

В силу (1.3) следуют равенства

Pt = 0, at + вt = 0 ^ в = в(хо,^,во), а + в = y (xo,ro,вo).

С помощью этих равенств решение задачи (1.5) имеет вид

х = U(в)t + х0, r cos(y — в) = Q(P)t cos(y — в0), r sin(Y — в) = r0 sin(Y — в0).

В декартовых координатах последние два равенства записывается в виде

y = r cos в = Q(P)t cos y + y0, z = r sin в = Q(P)t sin y + z0,

где yo = ro cos во, Zo = ro sin во.

'1.4)

'1.5)

'1.5)

l.6)

Таким образом, мировые линии — прямые. Скорости в декартовых координатах представляются формулами

u = U (в) = u0,

v = V cos в — W sin в = Q(e) cos y = v0, (1.7)

w = V sin в + W cos в = Q(e) sin y = w0.

В силу формулы Эйлера Jt = Jdiv u и равенства (1.4) якобиан перехода от лагранжевых координат к эйлеровым равен еденице J =1 или в силу (1.6), (1.7)

. ди0

1

I +t

дх0

где I — еденичная матрица, ди0/дх0 — матрица частных производных, переменная Ь свободная.

Отсюда следует, что все инварианты матрицы дщ/дх0 равны нулю:

u0xo + v0yo + w0zo ,

u0x0 u0yo + u0x0 u0zo + v0yo v0zo = 0,

v О О v0yo w0x0 w0zo w0yo w0zo

;1.s)

det р“

dxo

0.

Общее решение этой системы получено в [3]. В нашем случае получаются частные решения, а именно, решения типа двойной волны:

(a -Ve){b ■ Vy) = (b ■Vp )(a ■Vy), a ■Vp = b ■Vy,

где a = (U', Q' cos y, Q' sin y), b = (0, — Q siny, Q cos y), a ■ b = 0. Как следует из [3], линии уровня двойной волны есть плоские кривые второго порядка.

2. ИзэнтропичЕскиЕ движения Пусть S = S0 — постоянная. Тогда основные уравнения можно записать в виде

fit + Ufix + Q (fir cos fi + r-1(fie + 1) sin fi) +

+p 1Q 1p' (—ar sin fi + r 1ae cos fi) = 0,

—fir sin fi + r-1(fie + 1) cos fi = c(a)ax, ar cos fi + r-1ae sin fi = Q'U'-1ax, at + b(a)ax = 0,

где b(a) = U + p-1U'-1p' + QQ'U'-1, c(a) = p-2Q-1U'-1 (p'p' — p2(U'2 + Q'2)).

Общее решение уравнения (2.4) можно записать в неявном виде

х — b(a)t = g(a, r, в),

где g — произвольная функция. Вводятся новые независимые переменные a, r, Производные по старым переменным выражаются через производные функций fi(a, t, r, в) = fi(t, x, r, в) по формулам

b 1 gr ge

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

в, х.

g и

at = —

ga + tb' ’

fix

a

ar =

ga + tb' ’ r ga + tb ’

fiaax, fix = fix + fiaax, X = t,r,в

ae = —

ga + tb

где t = (х — g) b

1

Уравнение (2.3) принимает вид

gr cos fi + r-1ge sin fi= —Q'U'-1. (2.6)

Отсюда следует fit = 0.

Уравнение (2.2) в новых переменных

[—'fir (ga + tb + vagr)] sin fi + r-1 cos fi [(fie + 1)(ga + tb') — ge fia] = c(a)

содержит свободную переменную t. Приравнивание нулю коэффициента при свободной переменной дает равенства

—t?r sin г? + r-1(i9e + 1)cos fi = 0, (2.7)

gr sin fi — r-1ge cos fi = c(a)'fi'-1. (2.8)

Аналогичные действия с уравнением (2.1) дают равенства

fir cos fi + r-1(fie + 1)sin fi = 0, (2.9)

fia = «“> = (pQ{bU' —Z'_ — QQ) )‘/2 ■_ <2.10)

Из равенств (2.7), (2.9), (2.10) следует fir = 0, fie = —1 ^ fi? = k(a) — в. С учетом полученного равенства уравнения (2.8), (2.6) интегрируются

g = h(a) + r (ck'-1 sin(k — в) — Q'U'-1 cos(k — в)) ,

и общее решение (2.6) принимает вид

х — b(a)t = h(a) + y (ck'-1 sin k — Q'U'-1 cos k) + z (—ck'-1 cos k — Q'U'-1 sin k) .

Отсюда следует, что поверхность уровня (a = const) есть плоскость как в простой волне [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Овсянников Л.В. Программа подмодели. Газовая динамика // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58, вып. 4. С. 30-55.

2. Хабиров С.В. Аналитические методы в газовой динамике. Уфа: Гилем, 2003. 192 с.

3. Овсянников Л.В. Изобарические движения газа // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 10. С. 1792-1799.

Салават Валеевич Хабиров,

Институт механики УНЦ РАН,

Проспект Октября, 71,

450054, г. Уфа, Россия E-mail: habirov@anrb .ru