Редкие распады мезонов в суперсимметричной теории с несохранением R-четности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12.01

РЕДКИЕ РАСПАДЫ МЕЗОНОВ В СУПЕРСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ С НЕСОХРАНЕНИЕМ Л-ЧЕТНОСТИ

А. Али*), А. В. Борисов, М. В. Сидорова

(.кафедра теоретической физики) E-mail: borisov@phys.rnsu.ru

Рассмотрены распады мезонов К+ -ь -к^£+£'+ и D+ -t К^£+£'+ (£,£' = е, ¿t) с изменением лептонного числа ДL = 2 в рамжах суперсимметричного расширения стандартной модели с несохранением R -четности, обусловленным трилинейными южавсжими взаимодействиями. Получены оценжи вероятностей ужазанных распадов, жоторые значительно меньше верхних прямых эжспериментальных ограничений.

1. В стандартной модели (СМ) лептонное Ь и ба-рионное В числа сохраняются. Однако в теориях, обобщающих СМ, это обычно не выполняется.

Существование нейтринных осцилляций, надежно подтвержденное экспериментально несколькими независимыми группами (см. обзоры [1, 2]), означает, что нейтрино обладают массой и смешиваются:

Щ = (1)

N

Здесь VI — нейтрино определенного аромата (¿ = е,/7,,т), и ¡у — нейтрино определенной массы /ид/, и(-¡у — матрица лептонного смешивания. Природа массы нейтрино (дираковская или майора-новская) остается пока неизвестной. Наблюдаемые осцилляции, т.е. нейтринные переходы с изменением аромата гц —> , не зависят от типа массы, но означают несохранение отдельных лептонных чисел Ь(.

В процессах с участием дираковских нейтрино сохраняется полное лептонное число Ь = Если же нейтрино — майорановские частицы (тождественные своим античастицам), то возможны индуцированные ими процессы с несохранением так как майорановский массовый член в лагранжиане изменяет его на две единицы [3]. Широкий класс процессов, в которых АЬ = ±2, включает в себя наиболее чувствительный к майорановской массе безнейтринный двойной бета-распад ядер (Л,/) —>(/!,/ + 2) + е~ + е~ [1-3], рождение пары одинаково заряженных лептонов (дилептона) в глу-боконеупругих адрон-адронных и лептон-адронных столкновениях (см. краткий обзор [4]) и в редких распадах мезонов типа [5, 6]

М+ -> М'~£.+£.'+. (2)

В рамках расширения СМ, включающей майорановские нейтрино со стандартной (левокиральной)

структурой слабых заряженных токов, все указанные процессы включают фундаментальный подпроцесс аннигиляции пары виртуальных Ш'-бозонов в дилептон через обмен майорановским нейтрино: Этот механизм распадов (2) псевдоскалярных мезонов /С, Д, и В исследован в [5, 6]. Амплитуда распада представляется в виде суммы /4 = /4г + /4й, где вклад А{ не зависит от выбора модели амплитуды Бете-Солпитера (БС), описывающей структуру мезона, и выражается через известные константы распада начального и конечного мезонов, а вклад /Ц в общем случае определяется формой БС-амплитуд и содержит цветовой фактор подавления 1 /Ыс. Соответствующие диаграммы показаны на рис. 1 (подразумевается также учет кросс-симметричных диаграмм с переставленными линиями конечных лептонов), где светлые кружки соответствуют БС-амплитудам для мезонов (см. ниже (13), (14)). В работе [6] на основе сравнительно простой гауссовой модели БС-амплитуд учтены эффекты структуры мезонов, особенно существенные

(t)

*! DESY, Hamburg.

для О -распадов, в которых имеется двойное кабиб-бовское подавление вклада Аг.

В [5, 6] показано, что полученные к настоящему времени прямые экспериментальные ограничения на относительные вероятности распадов (2) (см. [1])

Г

Bee =

(3)

Г (М+ -). all)

слишком слабые и не позволяют установить ограничения на эффективные майорановские массы. Ограничения на эти массы получены в [5, 6] на основе современных ограничений на параметры лептонного смешивания и массы нейтрино из прецизионных измерений электрослабых процессов, экспериментов по нейтринным осцилляциям, поиску безнейтринного двойного бета-распада и космологических данных. Эти ограничения привели к косвенным верхним границам вероятностей распадов (2), которые лежат значительно ниже прямых экспериментальных границ.

Таким образом, майорановский механизм приводит к практической ненаблюдаемости редких распадов (2) в обозримом будущем. Однако другие механизмы процессов с несохранением лептонного числа могут дать значительное увеличение их вероятностей. В настоящей работе рассматривается механизм распада, следующий из суперсимметричного расширения СМ с несохранением R -четности (см. обзор [7]).

R-четность определяется как R= где S,L и В — спин, лептонное и барионное числа соответственно. Частицы стандартной модели, включая дополнительные хиггсовские бозоны, появляющиеся в расширенной модели, имеют R = 1, а у их суперпартнеров R = — 1. В минимальной суперсимметричной стандартной модели (МССМ) [8] R-четность сохраняется, что обеспечивает сохранение L и В и стабильность легчайшей суперчастицы (причем суперчастицы должны рождаться парами).

Можно построить различные обобщения МССМ. Один из подходов заключается в сохранении состава частиц МССМ и отказе от сохранения R -четности. Мы рассмотрим механизм редких распадов (2), основанный на этом подходе (/?МССМ). Наиболее общий вид части суперпотенциала, не сохраняющей R-четность и лептонное число, таков [7]:

Щ = еа1з ( ¿AijkLfLfEk + X'ijkLfQfDk + с

(4)

Здесь 1,]',к= 1,2,3 — индексы поколений, ¿,<2 — 811(2)-дублеты левых лептонных и кварковых еу-перпол_ей («,/? = 1,2 — изоепинорные индексы), Ё и В — еинглеты правых суперполей лептонов и нижних кварков, Ни — дублетное хиггсовское суперполе (с гиперзарядом 7=1); Аг/^(= — Л/г^), А'^, и бг- — константы.

В суперпотенциале (4) присутствуют трилинейные (~А, А') и билинейные члены (~е). В настоящей работе мы рассмотрим случай, когда билинейные члены на древесном уровне отсутствуют (е = 0). Заметим, что тогда билинейные члены генерируются из трилинейных за счет радиационных поправок [9], но можно ожидать доминирования древесных трилинейных взаимодействий. Случай, когда на древесном уровне имеются только билинейные члены (при этом радпоправки не генерируют трилинейные члены [7, 10]), требует отдельного рассмотрения.

Лагранжиан, описывающий принятый (трилинейный) механизм распадов (2), имеет вид

С = С\ + Су

-х-

(5)

Здесь первые два слагаемых, не сохраняющие лептонное число, следуют из суперпотенциала (4):

А —

VLi^Rk^Lj + +

+ Chk)*(vLi)4Lj-(i^ j)

H.C.,

A' = Kjk vijdRkdLj + dLjdRkvij + (dak)*(vijYdij

■ ¿LidRkU-Lj — ULjdRklLi — (dRk)*(iLiyuLj

+ Н.С.; (6)

третье слагаемое в (5) описывает взаимодействие глюино д с кварками д = и, й,..., I и их суперпартнерами Ц = й, 5,..., 1 [8]:

Св = (па1ё{г)~4-паКё{г)~4) +Н.е., (7)

где Аг — матрицы Гелл-Манна (г = 1,..., 8), а,Ь = 1,2,3 — цветовые индексы группы 811 (3)с (суммирование по типам частиц и индексам подразумевается); четвертое слагаемое в (5) отвечает взаимодействию нейтралино х° с заряженными фермионами ф (кварками д, лептонами £ = е,ц,т) и их суперпартнерами ф (д,£) [8]:

4

= §2 {е1М)Ф1Х05Ф1+еш(ф)фкх05ф!^ +н. е., ¿=1

(8)

где

еиЫо = -аджц+- Я(фш51 , ш(Ф) = Я(Ф)

Я(ф) и Тз(ф) — электрический заряд и изоспин поля ф, — угол Вайнберга, коэффициенты N¡0- — элементы матрицы, диагонализующей массовую матрицу нейтралино.

2. Рассмотрим сначала редкий распад К+(Р) -л -л ж~(Р') + £+(р) + £'+(р'), где в скобках указаны 4-импульеы частиц (заметим, что оценка по порядку величины вероятности распада К+ -л ж^[м+[м+ была сделана в [11]). В главном порядке теории

возмущении по константам связи амплитуда этого процесса описывается тремя типами фейнмановских диаграмм (рис. 2), для первых двух из которых использованы, как и на рис. 1, обозначения t (tree) и b (box) [5, 6], а третий тип отмечен цифрой 3. Каждая диаграмма представляет собой на самом деле сумму четырех диаграмм, отвечающих соответственно вкладам обменов нейтралино и нейтрино (глюино) с учетом перестановки линий конечных лептонов.

Ширина распада имеет вид [12]

Г«< =

1 - 2^«'

(2тг)Ч{4)(Р'+р + р'-Р) х Аь + А312 ddP'ddpddp'

И

2тк • 23(2тг)9 Я'УУ0

(9)

где Ап (п = /,й,3) — вклад в амплитуду процесса диаграмм типа п, представляющий собой свертку лептонного Ь^ и адронного множителей:

= (Ю)

причем <7 {ц') — относительный 4-импульс кварка и антикварка в начальном (конечном) мезоне, от которого зависит соответствующая БС-амплитуда в импульсном представлении (см. ниже).

Массы всех рассматриваемых мезонов значительно меньше характерного масштаба масс (>100 ГэВ) суперчастиц и масс т^ тяжелых майорановских нейтрино (вклад легких нейтрино здесь мы не рассматриваем, отметим лишь, что чисто майора-новский механизм распадов (2) в случае легких

нейтрино дает значительно меньшие вероятности распадов, чем в случае тяжелых [5, 6]). Поэтому мы пренебрежем импульсами по сравнению с массами в пропагаторах частиц (см. рис. 2), перейдя к эффективному низкоэнергетическому ток-токовому взаимодействию. Это позволяет представить амплитуды Ап в виде произведений лептонных и ад-ронных матричных элементов, причем последние (как и в случае майорановского механизма распадов [5, 6]) оказываются не зависящими от деталей адронной динамики и выражаются через известные константы распада мезонов (см. ниже (18) и (19)).

Используя лагранжианы (6) и (8), получаем для лептонных матричных элементов при п = в принятом низкоэнергетическом приближении одинаковые выражения

L(i> = L(6> = b +L„,

(П)

где выделены вклады обменов нейтралино и нейтрино

МК п а;М2 £ МЩМ (v4p)p,v(p')y

тЛ тЛ m.y, U. t ъ

Lv=— UiNUjN

N,i,j,k,k'

У У

Ak\2Ak'

\ * \ *

\AiktAjk<t>

m~ m~ /n,v

U.h f-lj.1

x (vc(p)PRv(p')) + (t t1')

(12)

Здесь = (1=Р75)/2 — левый и правый киральные проекторы, Цм — элементы матрицы лептонного смешивания (см. (1)), Vе = иТС (С — матрица зарядового сопряжения), а индексы £ и £' соответствуют ароматам конечных лептонов (например, для электрона £= 1).

Адронные матричные элементы вычисляются с использованием метода БС-амплитуд работы [13]. БС-амплитуда мезона М с 4-импульсом Р в координатном представлении представляется матричным элементом хронологического произведения кварко-вого и антикваркового полей (см. [6])

Хр(Х \.Х2)

Ф\ТтХ\)Я2а(ШМ{Р))

= е

-iP-X

хр(Х), (13)

где X = {х\ + х2)/2 и х = х\ — х2 — координаты центра масс и относительные координаты соответственно; а = 1,2,3 — цветовой индекс (число цветов Л/с = 3), суммирование по которому обеспечивает бесцветность мезона. Вид БС-амплитуды в импульсном представлении для рассматриваемых псевдоскалярных мезонов определен в [13] на основе ряда феноменологических аргументов:

XP(Q)

d4хе^ххр(х) = 75(1 - SmP)Mq)- (И)

Здесь параметр

8м = (т\ +т2)/тм,

(15)

тм — масса мезона, состоящего из кварка д\ и антикварка ¿72 с токовыми массами т\ и п%2, д = (р\ — Рг)/2 — относительный 4-импульс, Р = р\ + р2, Р = 711 Рц; <рр(д) — модельно зависимая скалярная функция.

Константа распада мезона /м, определяемая через матричный элемент аксиально-векторного тока [14], выражается через БС-амплитуду (13):

= (0 1^(0)7^(0)1 М{Р)) =

где след берется по биепинорным индексам. Используя (14), находим соотношение

¡¿4 д

'М

(2тг)4

(рр(д).

(16)

С учетом (13) и (14) для адронных матричных элементов Н^ (см. (10)) при п = 1,Ь находим

Я«> = -к 1г{Хр{д)Р1} Тг{хЯ<7'Ш

= АЫс(рр{д)(рр1{д'), ^

н{ь) = Щхр(Я)Р1ХР>(Я')РЬ} =

При выводе (17) использовано соотношение для несинглетного по цвету матричного элемента (см. (13))

(0 1^(0)^(0)1 М(Р)} =

81хр(Х = 0).

Из (10), (12) и (17) с учетом соотношения (16) находим вклады I- и Ь-диаграмм в амплитуду распада

Ан =

1

"'¿/А' "и 2ЫС

А,

(18)

При расчете вклада Л® в амплитуду процесса (см. диаграмму (3) на рис. 2) необходимо использовать преобразование Фирца [12] для факторизации лептонного и адронного матричных элементов. С учетом (6), (7) и (8) получаем

8к8кт1т1

ЪиКп {дс{р)Рьф1)) х

X

Ц- Е —еш{й)е*и{и) + . (19)

АЫС ^ ть ы Щ тЁ )

№ гая

Подставляя (18) и (19) в (9), после интегрирования по фазовому объему получаем ширину распада в виде

г \ Шжтк Л, V

2*") 2ВДр1Ф«' Х

х

N

X [ 1

Кы'^к'д

т? т? тм

^-у- ) + (А^цА^з

х

2

. ¿=1 т*' 4

х

2 2 тИт1Ч

2Ыг

1 ешЫ)е *и(и)\ 4^;

т1т1

1

т11{т%т8.

(20)

Здесь Ф££1 — приведенный одномерный фазовый интеграл

Ф«' =

йг [ 1

/+ + /_

2г

х [(/г+ — г)(/г_ где параметры

V тк)

г)(1+ — г){1- — г)]

1/2

(21)

1± =

ГП£ ± ГП£1

тк

а переменная интегрирования г = (Р — Р') /тк — нормированная инвариантная масса лептонной пары.

3. Получим численные оценки относительных вероятностей распадов (3). Как уже отмечалось, в работе [11] найдена оценка

В(К+ < 10

~161х' X' л211л212

2 -10

т200

(22)

в предположении, что массы суперчастиц Д, имеют один и тот же порядок вели-

чины тп$ц$у > 200 ГэВ. Здесь массовый параметр ^200 = т5и5у/(200 ГэВ).

Используем известные значения констант распада мезонов (¡к = 159.8 МэВ, [ж = 130.7 МэВ), их масс и масс лептонов [1], токовые массы кварков [12, 14] (см. (15))

ти = 4 МэВ, та = 7 МэВ, т3 = 150 МэВ,

один из типичных наборов элементов матрицы (см. (8)) [15]:

ЛГП =9.86-10"1, = 1.02-1(Г\

Я31 =-6.06-10^2, Щх =-1.16- Ю^1

ЫХ2 = -ЪЛ1 -Ж2, Ы22 = 9.43-Ю-1,

^32 = 9.00-10^2, А',2^3.15- ИГ1.

(23)

а также константы ^ = 0.66, = 1.22,

%^17 = 0.53. Учтем существующие ограничения на

Редкий распад Эксп. огран. на B№ Косв. огран. на BU'(vmCM) Bu> ■ Ц0°0 рмссм)

К -t тг^е+е+ 6.4 • Ю^10 5.9 • 10^32 1.3 • Ю~17|А'и1А'п2|2

К -t ii^fi+fi+ 3.0 • 1.1 • 10^24 4.7 • Ю^18|А211А212|2

К -t ir^e+/j,+ 5.0 • 10^10 5.1 • 10^24 4.3-10 |A'mA^2 + A^uA'u2|

4.5 • 10^6 1.5 • 10"31 1.4- 10^18|А'122А'ш — 0.39A'121A'u2|2

D ^ K~/i * // * 1.3 • 10~5 8.9 • 10^24 1.3- 10 |A222A2u — 0.39A221A212|

D+ —t K^e+/j,+ 1.3 • 10~4 2.1 • 10^23 6.5 • 10^19|(A'122A2u + A222A'1U) - 0.39(A'121A212 + A221A'U2)|2

эффективные обратные майорановекие массы тяжелых нейтрино [6]

га

\Ц1 !

га.

e\i .

< (1.2- 108 ГэВ)~

< (1.5- 104 ГэВ)~

< (1.4- 104 ГэВ)"

(24)

где

т№ ) =

N-

N

J_

ты'

(25)

Как и в работе [11], полагаем для оценки массы всех суперпартнеров одинаковыми и равными тБиБУ ^ 200 ГэВ. Тогда с учетом (23) и (24) получаем, что основной вклад в ширину распада (20) дают нейтралино вместе с суперпартнерами лепто-нов (см. I- и Ь-диаграммы на рис. 2) и глюино.

Результаты численного расчета по формуле (20) и аналогичного расчета для распадов В+ -л К^£+£'+ (с использованием константы распада /о+ = 228 МэВ, вычисленной в решеточной КХД [16], и токовой массы кварка тс = 1.26 ГэВ) приведены в четвертом столбце таблицы. Во втором столбце указаны современные прямые экспериментальные ограничения сверху на относительные вероятности распадов [1], а в третьем — косвенные ограничения для майорановского механизма распадов (обмен тяжелыми майорановскими нейтрино в рамках минимального расширения стандартной модели, включающего майорановский массовый член) [6], которые жестче полученных в [5], так как в [6] использованы более сильные, чем в [5], ограничения (24) на эффективные обратные массы нейтрино.

Оценка (22) работы [11] согласуется с соответствующим нашим результатом (таблица).

Как видно из таблицы, существующие экспериментальные ограничения на вероятности распадов слишком слабы, чтобы дать реальные ограничения

У У

AíjkAí'j'k'

трилинеиных

на комбинации констант

юкавских взаимодействий, не сохраняющих /?-чет-ность (см. (4)). Ряд ограничений на комбинации типа XX' и А'А' был получен в [17] из анализа двухлептонных распадов псевдоскалярных мезонов М* -л £а^13 и -л £а£/з. Для оценки верхних границ относительных вероятностей рассмотрен-

ных нами распадов (таблица) положим т2оо = 1

У У

AijkAi'j'k'

< 10 3. Это дает

В(К+ ж^£+£'+) < 10" B(D+ К^£+£'+) < 10"

23

24

Полученные оценки значительно меньше прямых экспериментальных ограничений, но близки (за исключением ее-моды распадов) к косвенным ограничениям, даваемым майорановским механизмом распадов. Дело в том, что вероятности распадов, обусловленных обменом тяжелыми майорановскими нейтрино (см. рис. 1), пропорциональны соответствующим квадратам модулей эффективных обратных масс (25) [6]. Для них уже имеются достаточно жесткие ограничения сверху (см. (24)), причем самые сильные для | (mjJ ) | следуют из безнейтринного двойного бета-распада (БДБР), в отличие от пока

еще сравнительно слабых ограничений на A¿-¿A¿, в случае суперсимметричного механизма распадов

Заметим также, что оценку В(К+ -л 7г^е+е+) можно уменьшить еще по крайней мере на четыре порядка, если учесть полученное из анализа БДБР ограничение [18] |А'1и| < 1.3-10"4 и положить |А'112|<10^.

Авторы благодарят К. В. Степаньянца, К. Ахмеда (К. Ahmed), Ф. Тахир (F. Tahir) и В. Порода (W. Porod) за полезное обсуждение результатов, а также рецензента за конструктивные замечания.

Литература

1. Particle Data Group: Yao W.-M. et al. // J. Phys. G.

2006. 33. P. 1.

2. Биленький С. M. // УФН. 2003. 173. С. 1171.

3. Боум Ф., Фогель П. Физика массивных нейтрино.

М.", 1990.

4. Али А., Борисов A.B., Журидов Д.В. // ЯФ. 2005.

68. С. 2123 (Phys. Atom. Ñucl. 2005. 68. P. 2061).

5. Ali A., Borisov A. V., Zamorin N.B. // Eur. Phys. J. C.

2001. 21. P. 123 (hep-ph/0104123).

6. Али А., Борисов A.B., Сидорова M.B. // ЯФ. 2006.

69. С. 497 (Phys. Atom. Nucí. 2006. 69. P. 475).

7. Barbier R. et al. // Phys. Rep. 2005. 420. P. 1.

8. Haber H.E., Kane G.L. // Phys. Rep. 1985. 117. P. 75.

9. Carena M., Pokorski S., Wagner С.EM. // Phys. Lett.

В. 1998. 430. P. 281 (hep^ph/9801251).

10. Aristizabal Sierra D., Hirsch M., Porod W. // JHEP.

2005. N 09. Art. 033 (hep-ph/0409241).

11. Littenberg L.S., Shrock R. 11 Phys. Lett. B. 2000. 491. P. 285 (hep-ph/0005285).

12. Окунь Jl. Б. Лептоны и кварки. М., 1990.

13. Esteve J.G., Morales A., Nunes-Lagos R. 11 J. Phys. G.

1983. 9. P. 357.

14. Волошин М.Б., Тер-Мартиросян К.А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. М.,

1984.

15. Allanach B.C., Dedes A., Dreiner Н.К. 11 Phys. Rev. D. 2004. 69. P. 115002 (hep-ph/0309196).

16. Aoki S. 11 Int. J. Mod. Phys. A. 2000. 15, N suppOlB. P. 657.

17. Tahir F., Anwar Mughal M., Ahmed K. 11 Europhys. Lett. 2001. 54. P. 580.

18. Faessler A., Kovalenko S., Simkovic F., Schwieger J. 11 Phys. Rev. Lett. 1997. 78. P. 183.

Поступила в редакцию 21.02.06