CC BY
2
УДК 51.3054
Бородина В.А.
студентка 351М-з группы факультета физики, математики, информатики, направление подготовки 44.04.01 Педагогическое образование (Теория и методика обучения математике), Курский государственный университет,
г. Курск, РФ
Научный руководитель: Локтионова Н.Н.
канд. пед. наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и теории обучения математике
Курский государственный университет,
г. Курск, РФ
РАЗВИТИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ПОСТРОЕНИЮ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Аннотация
В данной статье представлены методические особенности, связанные с развитием пространственных представлений у учащихся на уроках геометрии при изучении темы: «Построение сечений многогранников». Приведены примеры построения сечений многогранников разными методами. Предложена методическая схема обучения учащихся построению сечений, способствующая развитию у них пространственных представлений.
Ключевые слова:
пространственное мышление, методические рекомендации, сечение, метод, построение.
Развитие пространственных представлений учащихся 10-11 классов по-прежнему остается основной задачей курса стереометрии. Выполняя геометрические построения, учащиеся запоминают свойства фигур. У них формируются графические навыки. Геометрические построения являются иллюстрацией правильности многих математических утверждений.
Опыт показывает, что у учащихся 5-х классов уже достаточно сформированы первоначальные пространственные представления. Они выполняют чертежи изучаемых фигур и конфигураций с ними. Однако, к концу изучения курса планиметрии учащиеся 9-х классов уже прочно «привязаны» к плоскости, считают ее не геометрической фигурой, а местом, на котором расположены другие плоские фигуры. Поэтому в последствии большинство из них испытывают трудности в оперировании образами. Таким образом, проблема развития пространственных представлений у старшеклассников очевидна.
Во второй половине XX века данную проблему рассматривали А.Б. Василевский, И.Г. Польский, П.Г. Казаков. В своих трудах они описали методические рекомендации по развитию пространственного восприятия учащихся при построении сечений геометрических тел. А также подробно описали методы внутреннего и центрального проектирования [2].
Сегодня по-прежнему актуален вопрос: «Какова методика обучения построению сечений многогранников и тел вращения, способствующая эффективному развитию пространственного мышления старшеклассников?»
В данной статье предлагается один из способов решения данной проблемы. В первую очередь необходимо обратить внимание на наличие умения оперировать образами. Например, на уроках по планиметрии решать задачи, содержащие стереометрический материал. Также рационально
использовать группу задач, решение которых требует рассмотрения объектов в пространстве. В содержание курса планиметрии включать материал и задания, значительно расширяющие круг изучаемых фигур и их свойств [3].
Мы считаем, что эффективным средством развития пространственного мышления учащихся являются задачи на построение сечений многогранников. Но, к сожалению, при современном многообразии учебников до сих пор нет четкой схемы изложения материала по методам построения сечений и практически отсутствуют методические рекомендации по развитию пространственных представлений у учащихся при изучении данной темы. Нами был проведен анализ нескольких учебно-методических комплектов по геометрии на наличие заданий, способствующих развитию пространственных представлений у учащихся, в результате которого были выявлены некоторые проблемы. Так, например, в учебнике под редакцией Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, Л.С. Киселевой, Э.Г. Позняка информация о построении сечений тел в данном учебнике дается в кратком виде. Изучение темы начинается после рассмотрения взаимного расположения прямых и плоскостей. Автор в качестве примера приводит построение сечений на тетраэдре и параллелепипеде. Помимо этого, в учебнике сформулированы определения секущей плоскости и сечения [1].
Необходимо отметить, что в данном учебнике нет общего определения сечения многогранника, а только рассмотрены его частные случаи. Также не рассматривается никаких общеизвестных методов построения сечений многогранников. Задачный материал представлен на примере восьми заданий. В качестве дополнительного материала представлен параграф «Изображение пространственных фигур». Этот материал не относят к обязательному изучению в курсе геометрии базового уровня. Однако его рекомендуют рассматривать на углубленном уровне изучения геометрии.
Достаточно подробно раскрывается понятие параллельной проекции фигуры и формулируются основные свойства параллельного проектирования. После изучения свойств Л.С. Атанасян приводит информацию по изображения фигур. Из множества плоских - треугольник, параллелограмм, трапеция, окружность, из множества пространственных - параллелепипед, тетраэдр, пирамида. Отсутствует информация о построении таких пространственных фигур как призма, цилиндр, конус и шар [1].
Подводя итог, можно сказать, что учебник геометрии для учащихся 10-11 классов (базового и профильного уровня изучения математики) содержит достаточно небольшой объем информации по темам «Построение сечений многогранников» и «Изображение пространственных фигур».
Описанные недостатки представления материала в учебниках необходимо компенсировать учителю геометрии, методически верно организовав процесс обучения построению сечений пространственных тел разными методами. В данной статье предлагается один из таких подходов.
По нашему мнению, тема «Построение сечений многогранников» должна изучаться после изложения темы «Многогранники» и соответственно после изучения методики их изображений. Классифицировать материал по тематике задач с соблюдением принципа «от простого к сложному» можно следующим образом: определение сечения многогранников; построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов.
На этапе актуализации знаний необходимо повторить способы задания плоскости (тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, не принадлежащей ей; двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми).
Знакомство с темой «Построение сечений» осуществляется при решении первых опорных задач на построение простейших сечений, на основе использования субъективного опыта учащихся. Затем переходить к построению более сложных сечений. Процесс обучения будет наиболее эффективным, если использовать методическую схему, представленную на рисунке 1:
Рисунок 1 - Схема обучения учащихся построению сечений
До начала изучения темы у учащихся должны быть сформированы четкие представления о взаимном расположении многогранника и плоскости а в пространстве. Обязательно акцентировать их внимание на фигуру, которая может быть получена в результате пересечения (Рис. 2, 3, 4, 5) [4].
Рисунок 2 - Взаимное расположение пирамиды и плоскости, не имеющих общих точек
Рисунок 3 - Взаимное расположение пирамиды и плоскости, пересекающихся в одной из вершин пирамиды
Рисунок 4 - Взаимное расположение пирамиды и плоскости, когда плоскость
содержит ребро пирамиды
Рисунок 5 - Взаимное расположение пирамиды и плоскости, когда сечением является многоугольник
Особое внимание учащихся необходимо обратить на случай, когда плоскость пересекает
многогранник по его внутренности. Затем ввести понятие «сечение многогранника» и определить шаг построения сечения. Подвести учащихся к выводу о том, что пересечение плоскости с каждой гранью многогранника есть некоторый этап. И, следовательно, задача на построение сечения многогранника считается решенной, если проведены все отрезки, по которым плоскость пересекает его грани.
Далее необходимо рассмотреть несколько простейших задач по теме. Так, например, предложить учащимся решить задачу на построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через три заданные точки, лежащие на располагающихся рядом его ребрах.
Задача 1. Дана прямая треугольная призма ABCABC. Точка M е AA,N е BBX,P е CC ■ Найдите сечение призмы ABCABC плоскостью MNP [4].
Данную задачу чаще всего решаем с учащимися устно, выполнив построение на доске или показав анимацию на сайде. Важно при решении первых задач на построение сечений не дать учащимся готовые алгоритмы построения, конкретно в данной задаче: «соединить последовательно отрезками данные точки», а научить теоретическому обоснованию каждого шага построения. При решении данной задачи теоретическое обоснование можно привести следующим образом: «Если две точки N,M принадлежат
плоскости AA_BrB, то прямая NM, проходящая через эти точки тоже лежит в этой плоскости (аксиома планиметрии). На рисунке плоскость AABB ограничена прямоугольником AAfi-fi, следовательно мы изобразим на ней лишь часть прямой NM, то есть отрезок NM ».
Привести теоретическое обоснование построения отрезков NP,MP можно предложить учащимся самостоятельно, при необходимости оказывая помощь. Считаем, что при таком подходе развитие пространственного мышления осуществляется на более осознанном уровне (Рис. 6).
Рисунок 6 - Сечение многогранника плоскостью, проходящей через три заданные точки
После решения серии простых задач на уроках стереометрии, предлагаем старшеклассникам более сложные задачи, построение сечений в которых выполняются с помощью метода следа. Рассмотрим пример.
Задача 2. Дана призма ЛБСОЛБСО . Точки М е Л\, N е ССХ, Р е . Найти сечение призмы ЛБСПЛБСО плоскостьюMNP [1].
Предлагаем учащимся выполнить уже известные им построения (соединить данные точки на располагающихся рядом ребрах призмы). На следующем этапе помогаем им провести рассуждения по реализации метода следа.
Рассмотрим грань призмы ЛЛОО. В этой грани лежат точки сечения М и Р, заданные по условию, следовательно прямая сечения МР, проходящая через эти точки будет лежать в этой плоскости, проводим ее.
Спроектируем точки М и Р на основание ЛБСО получим, соответственно точки Л1 и О. Пересечением прямых МР и ЛО, является точка X, принадлежащая следу.
Предлагаем учащимся провести аналогичные рассуждения для построения второй точки следа (точки Y). Учащиеся констатируют факт, о том, что полученная прямая XY является следом секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.
Точка N е BBXC£. Точка C - проекция точки N на ÄßCiD. Через них в плоскости BBXC£, проводим прямую до пересечения со следом XY. Точку пересечения этих прямых обозначим
буквой Z. Через данную точку и точку N проведем прямую NZ. Данная прямая пересекает грань призмы BBXC\C в точке L .
При рассмотрении граней А\BXB и DDXCXC вспоминаем и сформулируем теорему о двух параллельных плоскостях пересеченных, третьей. Затем проводим прямую MK || NP, не забываем Проводим отрезок KL/
MPNLK - искомое сечение (Рис. 7).
Если построенное сечение при изображении получилось ненаглядным, можно предложить учащимся «развернуть рисунок», поменяв обход букв в основании многогранника и выполнить построение сечения еще раз. Осуществление такого «поворота» также будет способствовать развитию пространственных представлений у старшеклассников.
Рисунок 7 - Сечение призмы, проходящее через три точки, лежащих на соседних ребрах
На следующем этапе обучения задачу можно усложнить, расположив две точки на соседних ребрах, а одну на отдаленном ребре. Задача решается аналогично. Единственное, на что нужно обратить внимание, как строится след в этом случае (Рис. 8).
Рисунок 8 - Сечение призмы, проходящее через три точки, одна из которых не лежит на соседних ребрах
И самый сложный случай построения сечения призмы, когда все три точки не лежат на соседних ребрах. При решении данной задачи учителю необходимо помочь учащимся осуществить переход к предыдущей. (Рис. 9).
Рисунок 9 - Сечение призмы по трем точкам, лежащим не на соседних ребрах
Как показывает практика за сорок минут, отведенные на урок невозможно развить пространственные преставления учащихся. Развитие пространственных представлений будет более эффективным, если создать систему домашних заданий на применение методов построения сечений.
Нами бала разработана памятка для построения точек следа при построении сечения многогранников. Она представлена в Таблице 1.
Таблица 1
Памятка для построения точек следа при построении сечения многогранника методом следов
Расположение точек сечения
Пирамида
Призма
Точки принадлежат боковым ребрам одной грани
Точки принадлежат боковым ребрам диагонального сечения
Точки принадлежат боковой грани и не принадлежащему ей боковому ребру
Точки принадлежат двум смежным боковым граням
Точки принадлежат двум несмежным боковым граням
Таким образом, существует достаточно большое количество методов построения сечения. Но самый широко представленный - это метод следов. Считаем, что применение представленных в статье методических рекомендаций по обучению построению сечений многогранников методом следов
непосредственно способствует развитию пространственных представлений учащихся 10-11 классов. Список использованной литературы:
1. Атанасян, Л.С. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - 22-е изд. - М.: Просвещение, 2013. - 255 с. ISBN 978-5-09-030854-0.
2. Бондарь, А. А. Формирование пространственного мышления обучающихся 10-11 классов в процессе решения стереометрических задач ЕГЭ / А. А. Бондарь, Р. Ф. Мамалыга // Педагогическое образование в России. - 2019.
3. Мезенцева Ю.С. Развитие и формирование пространственного, геометрического и образного мышления при помощи уроков геометрии // Студенческий вестник. 2022. № 28-1 (220). [С. 19-20].
4. Орехов, П. С. Изображения в стереометрии [Текст]: Учебно-методическое пособие / П. С. Орехов, О.В. Разумова, Е.Р. Садыкова. - Казань: Казан. ун-т, 2014. - [71 с.].
© Бородина В.А., 2024
УДК 621
Кузнецов В.А.,
д-р ф.-м.н,
ФГБОУ ВО «МГТУ им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск, РФ
СУММИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С ПОМОЩЬЮ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Моделирование движения вязкой сплошной среды в ограниченных областях [1,2] приводит к необходимости решения краевых задач для систем уравнений в частных производных в виде громоздких двойных и тройных рядов Фурье.
В настоящей работе для некоторых из возникающих при этом проблем найден способ упрощения получающихся решений. 1. Так для ряда вида
р(х) = а > 0, (1)
7Ш я п=1 а + п
С
содержащего косинус-трансформанту Фурье V с конечными пределами от некоторой функции У(х), х е [0;я], путем обратного преобразования [3,4] приходим для функции ф(х) к краевой задаче
(Р - а2ф = -V(х) , ф (0) = ф (я) = 0 . (2)
Система Лагранжа для метода вариации произвольных постоянных в этом случае представляется в виде:
С (х)еах + С2 (х)в~ах = 0,
(3)
аС! (х)еах - аС2 (х)е"ах = -V(х). ( )
