CC BY
73
УДК 378.147.51
РАЗВИТИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ - ЗАЛОГ УСПЕШНОГО ИЗУЧЕНИЯ ТОЧНЫХ ДИСЦИПЛИН В ВУЗЕ
Н.Н.Зепнова1
Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
В условиях модернизации высшего технического образования особенно остро проявляется несоответствие уровня развития пространственного мышления студентов требованиям, предъявляемым к усвоению различных точных дисциплин. В статье предлагается программа элективного курса, направленного на развитие различных компонент пространственного мышления учащихся, где особый интерес представляет применение сферической геометрии к решению задач стереометрии. Предлагаемый курс был апробирован в лицее ИГУ. Ил. 9. Библиогр. 10 назв.
Ключевые слова: математическое образование; пространственное мышление; типы оперирования образами; чертеж в трех проекциях; логическое и абстрактное мышление; сферическая геометрия.
DEVELOPMENT OF SPATIAL THINKING WITH SCHOOLCHILDREN - HALF THE SUCCESS IN STUDYING EXACT SCIENCES AT HIGH SCHOOL N.N.Zepnova
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The mismatching of the development level of students' spatial thinking with the requirements to mastering various exact disciplines gains specific importance under the conditions of modernization of higher technical education. The article proposes a curriculum of the elective course aimed at the development of various components of students' spatial thinking, where the use of spherical geometry in solving problems of solid geometry is of particular interest. The proposed course has been tested at the lyceum of Irkutsk State University. 9 figures. 10 sources.
Key words: mathematical education; spatial thinking; types of image operating; three-view drawing; logical and abstract thinking; spherical geometry.
Современные инновационные технологии предъявляют высокие требования не только к специальной, но и фундаментальной подготовке инженеров, поэтому важно, чтобы обучение в вузе одновременно обеспечивало высокое качество фундаментальных знаний выпускников и подготовку к профессиональной деятельности.
В исследованиях, связанных с модернизацией высшего технического образования, этим задачам соответствуют два направления. Первое состоит в поиске путей повышения качества фундаментальной подготовки будущего инженера, его базовых знаний. Второе - это компетентностный подход в обучении, направленный на формирование способности применять полученные знания в практической деятельности. Последнее же невозможно без фундаментального образования, в том числе без изучения хотя бы основ высшей математики. Поэтому целью обучения математике в техническом вузе является получение студентом фундаментальной математической подготовки в соответствии с вузовской программой, а также получение навыков применения полученных знаний на практике посредством математического моделирования [2].
Основная проблема системы высшего образования сегодня состоит в том, что она не отвечает требованиям времени и общества, не соответствует запросам рынка труда, не подготавливает необходимого количества высококвалифицированных специалистов. У большинства выпускников высших учебных заведений отсутствуют практические навыки и необходимые компетенции. Формирование профессиональной культуры будущего инженера должно закладываться именно в процессе обучения в вузе, и значительная роль при этом должна отводиться математике.
Современные потребности высокотехнологичного промышленного производства обязывают студентов технических вузов - будущих инженеров - приобретать не только узкоспециальные навыки, но и формировать у себя профессиональную математическую компетентность, которая представляет собой совокупность логических, аналитических, исследовательских и других компетенций. Важное место в ряду этих компетенций занимает компонент пространственного мышления.
Современные представления о времени и пространстве существенно влияют на содержание пространственного мышления школьников, а впослед-
1Зепнова Наталья Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89016575067, e-mail: [email protected]
Zepnova Natalya, Candidate of Pedagogics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89016575067, e-mail: zep-nova.nat @ mail.ru
ствии и студентов. Пространственное мышление всегда рассматривалось учеными - математиками, педагогами и психологами - как одна из важнейших составляющих математического мышления.
Однако анализ научных исследований, посвященных проблемам формирования и развития пространственного мышления учащихся, личный опыт работы в школе и вузе, анализ состояния подготовки школьников позволяют говорить, что при всей значимости данного свойства личности в различных областях человеческой деятельности его развитие в рамках общеобразовательной школы осуществляется явно недостаточно. Проблемам диагностики и развития пространственного мышления все еще не уделено должного внимания. Об этом свидетельствуют те трудности в создании образов и оперирование ими, которые испытывают учащиеся средних и высших учебных заведений при решении учебных, производственно-технических и научно-творческих задач.
При анализе математической подготовки студентов-первокурсников год за годом отмечается все более и более слабый уровень не только пространственного мышления, но и математического образования вообще. Собственный опыт преподавательской работы в вузе, ознакомление с мнениями других преподавателей в прессе и в сети Интернет позволяют сделать вывод о крайне слабой математической подготовке большинства абитуриентов, поступающих в технические вузы и их нежелании ликвидировать пробелы в своем образовании.
К сожалению, приходится констатировать, что в силу целого ряда причин у студентов не формируется системного представления о фундаментальных основах высшей математики, методах математического анализа, алгебры, геометрии. Геометрические знания усваиваются на формальном уровне. Студенты не «видят» мысленно элементарных геометрических образов, не говоря уже о применении теоретических знаний к решению геометрических задач (не только стерео-, но и планиметрических). Даже предложение построить прямую на плоскости по заданному уравнению вызывает затруднение у большинства студентов, не говоря уже о построении поверхностей и изображении проекций тела на координатные плоскости.
Указанные затруднения не позволяют студентам овладевать курсом высшей математики в нужном объеме, а также вызывают проблемы и при изучении других дисциплин, непосредственно связанных с получением полноценного образования инженера (физики, начертательной геометрии и др.). Поэтому проблемы развития пространственного мышления в средней школе и вузе становятся все более актуальными и постоянно привлекают внимание педагогов.
Однако при всей необходимости развивать пространственное мышление учащихся наблюдается недостаточное количество учебных методик, направленных на развитие этого качества математического мышления. Поэтому целью нашего исследования является разработка элективного учебного курса по геометрии, призванного в некоторой мере решить проблему повышения уровня пространственного мышле-
ния как учащихся общеобразовательных учреждений, так и студентов вузов.
Пространственное мышление формируется, главным образом, в процессе решения графических задач, где вычисление пространственных соотношений, их преобразование осуществляется уже на основе условно-знаковых изображений (рисунков, чертежей, схем и т.п.). В ходе решения таких задач возникает объективная необходимость создания и оперирования пространственными образами, в структуре которых отражены форма, соотношения между объектами геометрического пространства, а также количественные характеристики объектов и проекционные признаки их пространственного размещения
Оперирование пространственными образами, созданными на различной графической основе, связано со сложной интеллектуальной работой. Ведь чаще всего на основе графического изображения требуется не просто создать образ, адекватный изображению, но и преобразовать его в другой.
Изучая структуру процесса пространственного мышления, мы предлагаем выделить в ней следующие компоненты:
1. Создание пространственного образа на наглядной или абстрактной основе.
2. Видоизменение исходного образа в новых условиях в соответствии с требованиями новой задачи.
3. Воспроизведение образа в измененных условиях и оперирование им.
4. Создание новых образов на основе обобщенных образов, созданных ранее.
В соответствии с предложенной структурой пространственного мышления мы разработали элективный курс, направленный на развитие пространственного мышления учащихся. Курс состоит из четырех блоков.
В блоке «Занимательные задачи по геометрии -гимнастика пространственного мышления» рассматриваются задачи в большей степени занимательного характера, направленные в основном на возбуждение интереса к заданиям подобного типа. Однако многие из них под кажущейся простотой таят достаточно сложные для учеников решения, требующие работы пространственного мышления.
Приведем примеры подобных задач:
1. Задача о пауке и мухе. В противоположных (наиболее удаленных друг от друга) вершинах стеклянного куба сидят паук и муха. Каким кратчайшим путем паук может доползти до мухи?
2. Непредвиденная встреча. Два поезда, каждый по 80 вагонов, встретились на однолинейном пути, имеющем небольшую тупиковую ветку, которая может вместить паровоз и с ним 40 вагонов. Как разойтись поездам?
3. Задача о проволоке. По поверхности стеклянного куба проходит ломаная линия, сделанная из толстой проволоки. Глядя на куб спереди, сверху и слева, мы можем изобразить три ее проекции. Рассмотрите, какие ломаные и кривые линии даны на рис. 1, и начертите в каждом случае три проекции (вид спереди, сверху и слева).
Рис. 1. Изображение проволоки на кубе
4. Обратная задача. Даны проекции ломаных линий спереди, сверху и слева (рис. 2). Тонким карандашом нарисуйте куб, а на его поверхности проволоку, из которой сделаны эти ломаные линии.
вид спереди вид сверху вид слева
1
/
2
3
Рис. 2. Изображение проекций проволоки
Последние две из предложенных задач имеют непосредственное отношение к формированию навыков черчения в трех проекциях.
Подобные задачи почти всегда привлекают внимание учащихся своей необычной формулировкой, поэтому надолго остаются в памяти и способствуют формированию у учащихся устойчивого интереса к задачам такого типа. Учитель математики сможет самостоятельно подобрать цикл таких задач из сборников [6, 7, 8].
Целесообразно также предложить учащимся самостоятельно подобрать несколько задач соответствующего направления с представлением выбранных задач на учебном занятии.
Во втором блоке «Решение задач, направленных на развитие пространственного мышления с применением наглядной опоры» рассматриваются задачи трех типов.
Первый тип: «Движение». Особенность этих задач состоит в том, что они требуют от учащегося умения совершать такие мысленные преобразования и операции, которые видоизменяют лишь местоположение имеющихся у него в представлении образов, то есть перемещают их, но не затрагивают структурных особенностей.
Например: Найдите пары фигур, дополняющих друг друга до квадрата (рис. 3).
Второй тип: «Реконструкция». При решении задач этого типа меняется не только местоположение имеющегося в представлении образа, но и его структура, строение.
Например: Фигура переворачивается без скольжения в направлении, указанном стрелкой (рис.4). Прикасаясь к грани кубика, она «приклеивается» к нему и продолжает переворачиваться. Определите, какая из фигур получится (рис. 5).
Третий тип: «Композиция». Решение задач этого типа требует умения:
1. Изменять образ и по местоположению, и по структуре одновременно;
2. Неоднократно совершать не одномоментные отдельные операции, а их композиции.
Например: Две фигуры, состоящие из шести кубиков, мысленно перенести так, чтобы совпали соответствующие точки А, В и С (рис.6). Какой будет общая часть этих фигур (рис. 7)?
Подобные задачи можно подобрать из источников [8, 9].
При решении задач этого блока учащиеся приобретают навыки:
-охватывать взглядом весь чертеж или изображе-
1Г5 Е Я
53 [Э И
Рис. 3. Парные составляющие квадрата
Рис. 4. Исходное положение кубиков
Рис. 5. Полученный результат склеивания
ние объекта и улавливать те соотношения между частями чертежа, которые могут быть полезны при решении поставленной задачи;
-видеть нужный пространственный образ и выделять его из разнообразных сочетаний с другими фигурами;
-устанавливать зависимость между элементами фигур;
-мысленно преобразовывать фигуру.
Естественно, решение задач этого блока вызовет уже больше затруднений, нежели решение задач первого блока. Однако и ценность таких задач для развития пространственного мышления, несомненно, выше.
Отметим, что названные три типа задач соответствуют трем типам оперирования пространственными образами:
I тип - действия, приводящие к изменению положения воображаемого объекта: характеризуется тем, что исходный образ, созданный на графической основе, в процессе решения задачи мысленно видоизменяется в соответствии с условиями задачи. Эти изменения касаются пространственного положе-
ния и вида образа и не затрагивают его структурных особенностей.
II тип - действия, приводящие к изменению структуры воображаемого объекта: характеризуется тем, что исходный образ под влиянием условий задачи преобразуется по структуре. Это достигается благодаря различным трансформациям исходного образа путем мысленной перегруппировки его составляющих элементов с помощью различных приемов наложения, совмещения и т.д.
III тип - действия, приводящие к изменению как положения, так и структуры воображаемого объекта: характеризуется тем, что преобразования исходного образа выполняются длительно и неоднократно. Они представляют собой целую серию умственных действий, последовательно сменяющих друг друга и направленных на преобразование исходного образа одновременно и по пространственному положению, и по структуре.
Третий блок «Решение задач с применением приемов логического мышления» посвящен решению задач, направленных на развитие пространственного
Рис. 6. Пары фигур
Рис. 7. Результат совмещения
мышления без использования наглядной опоры. Это задачи такого типа:
1. Доказать, что если у пространственного четырехугольника общего вида противоположные стороны попарно равны, то равны попарно и его противоположные углы.
2. Имеется пространственный четырехугольник ABCD общего вида. Через середину Р его стороны АВ и середину 0 его стороны CD проведена плоскость, которая пересекает его сторону AD в точке Я и сторону ВС в точке Б. Доказать, что ^ = .
ко бс
Для решения таких задач требуется уже не только высокоразвитое пространственное мышление, но и хорошее логическое и абстрактное мышление, знание основных приемов доказательств. Учащимся приходится задействовать процессы синтеза и анализа, применять приемы обобщения и сравнения, аналогии, абстрагирования и т.д., владеть методами дедукции, индукции, эвристики.
Можно предложить учащимся выбрать одну из подобных задач для самостоятельного решения из списка, предложенного учителем, с представлением решения на семинарском занятии. Примеры таких задач мы подобрали из сборников [1, 10].
В четвертом блоке курса «Применение аппарата сферической тригонометрии к решению стереометрических задач» рассматривается метод геометрического построения, устанавливающий соответствие между треугольной пирамидой и сферическим треугольником. Для установления такого соответствия соединим вершины сферического треугольника радиусами с центром сферы и проведем плоскость через каждую пару радиусов. Получим трехгранный угол, соответствующий данному сферическому треугольнику. Соединив вершины сферического треугольника хордами, получим треугольную пирамиду, боковыми ребрами которой являются радиусы сферы. Поскольку длину стороны сферического треугольника определяет мера соответствующего плоского угла трехгранного угла, а угол сферического треугольника - мера соответствующего двугранного угла, то в данном сферическом треугольнике стороны равны соответствующим плоским углам при вершине пирамиды, а углы - соответствующим двугранным углам между боковыми гранями пирамиды. Поэтому, решив сферический треугольник, соответствующий данной пирамиде, мы сможем установить и некоторые параметры пирамиды, необходимые при решении задач.
Этот метод можно применять не только к треугольным, но и к четырех-, пяти-, шести- и т.д. п-угольным пирамидам. Необходимым условием, налагаемым на пирамиду, к решению которой мы хотим применить аппарат сферической тригонометрии, является условие равенства боковых ребер, т.к. они соответствуют радиусам сферы.
Естественно, прежде чем решать задачи с применением такого метода, необходимо ознакомить учащихся с основными положениями сферической геометрии как одной из неевклидовых геометрий, изучающих свойства фигур и линий, расположенных на по-
верхности шара. Перечислим основные понятия и факты, необходимые нам для применения данного метода:
1. Элементы геометрии на сфере. Дуги и углы.
2. Сферический треугольник.
3. Свойства сферических треугольников. Треугольники Эйлера.
4. Прямоугольные и прямосторонние треугольники.
5. Основные соотношения в сферическом треугольнике. (Формулы косинусов и синусов сторон и углов, теорема Пифагора для сферического треугольника.)
Далее для иллюстрации преимуществ применения аппарата сферической геометрии к решению стереометрических задач рассматриваются несколько примеров решения задач двумя способами: средствами стереометрии и методом сферической тригонометрии.
Рассмотрим пример такой задачи.
Задача: Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен а. Найти угол между апофемой и противоположным ребром.
Решение:
1. Решим эту задачу средствами стереометрии.
В пирамиде БАВС (рис. 8) ААБС = АСБВ = ААБВ = а. Найти ZASD.
Рис. 8. Стереометрический чертеж
Пусть АВ = АС = ВС = а (т.к. пирамида - правиль-
а
ная). Тогда CD = BD =
2
Из прямоугольного треугольника
АСБ:АБ= -
2
Из прямоугольного треугольника CSD:
СБ а ОГЛ СБ
-= Ге — ^ ББ =-
ББ 2 .а
,а СБ =
а
а
2<81
-> ■ а
2sln— 2
Поскольку пирамида правильная и все плоские углы при вершине равны, то АБ = ВБ = СБ.
а
Из треугольника ASD по теореме косинусов AD = AS2 + SD2 - 2AS SD cosZASD. Обозначим ZASD= Zf. Тогда
3 2 2 2 3a a a
„■2 — 4 sin2 —
, 2 — 4g -
- 2-
Сократим
2 - 0t 2 -2 sin — 2tg —
22 на
■ • cos ф
3 = 1 + ctg2 — + ctg2--2-2 • cosrn]
2 2 . — sin— 2
a
ctg — 2 — 2 1 = ctg---— • cos ф .
2 . —
2
Отсюда
cosf =
2 — ,1 — ctg — -1\sin— . v 2 I 2 a a ----= ctg — sin---
ctg
2
2
2
ctg
—
cos ф = cos — 2
2 — I2 — 2
—
cos — 2
cos ф = -
cos —
—
Поэтому ZASD = arccos
cos — —
cos — 2
2. Решим теперь эту же задачу средствами сферической тригонометрии. Построим сферический треугольник ABC так, как это было описано выше (рис. 9).
3. Продолжив апофему пирамиды SD в пересечении с дугой BC, получим точку D'. Так как в пирамиде AD1BC и SD1BC, то сферический треугольник AD'C является прямоугольным.
Рис. 9. Чертеж с применением элементов сферической геометрии
В нем Сй' = — ; АС = а.
2
По теореме Пифагора для сферических треугольников в треугольнике Ай'С
сова
cosAC = cosCD' • cosAD' откуда cosAD" = ■
—
cos — 2
Возвращаясь к интерпретации меры стороны в сферическом треугольнике, получаем, что
- ,„п cos— _ „ cascos ZASD =-. Откуда ZASD = arccos-
2 2
После решения стереометрических задач двумя способами делается вывод о преимуществе применения сферической тригонометрии: в некоторых случаях: решение становится менее громоздким и более наглядным. Целесообразно рассмотреть решение подобным образом нескольких задач, причем желательно, чтобы в задачах использовались не только треугольные, но и четырех-, и шестиугольные пирамиды, во избежание формирования стереотипа у учащихся.
Для достижения цели нашего элективного курса -развития пространственного мышления - преимущество применения данного метода состоит уже в том, что для успешного решения подобных задач учащимся приходится трансформировать образ, созданный на основе планиметрического чертежа пирамиды, в гораздо более сложный образ, изменяя исходный как по положению, так и по структуре, т.е. развивать третий тип оперирования образами.
Кроме того, применение нестандартных методов в изучении геометрии ведет к повышению у учащихся познавательного интереса, который является одним из важнейших мотивов обучения. Познавательный интерес побуждает ученика к самостоятельной деятельности, делает процесс овладения знаниями более активным, творческим, что в свою очередь влияет на развитие интеллекта ребенка. Новизна, необычность, странность нового материала способны не только вызвать мгновенный интерес, но и пробудить эмоции, порождающие желание изучать предмет более глубоко, т.е. содействуют устойчивости интереса.
Далее учащимся предлагается самостоятельно подобрать из школьного курса стереометрии 2-3 подобные задачи и самостоятельно решить их указанным методом.
Предлагаемый курс был экспериментально апробирован в классах физико-математического профиля лицея ИГУ и подтвердил свою эффективность. Результативность данного курса подтверждается опытом практической работы автора в качестве преподавателя элективного курса в лицее ИГУ, дисциплины «Математика» в ИрГТУ, а также положительными результатами экспериментальной работы, подтвержденными статистической обработкой полученных данных.
+
4
2
a
a
2
a
а
2
2
2
Библиографический список
1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: кн. для учителя. М.: Просвещение, 1987. 175 с.
2. Битнер Г.Г. Деятельностный подход в формировании математической культуры будущих инженеров // Проблемы образования: Тезисы докладов Российской Школы конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании». М.: РУДН, 2009. С.250-256.
3. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9. Углубленный курс развивающего математического образования. М.: Просвещение, 1998. 165 с.
4. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / под ред. Якиманской И.С. М.: Педагогика, 1989. 221 с.
5. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия. М.: Наука, 1997. 135 с.
6. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки: сб. задач. 4-е изд., перераб и доп. М.: Наука, 1984. 189 с.
7. Кордемский Б.А. Математическая смекалка: сб. задач. 9-е изд. М.: Наука, 1991. 574с.
8. Литвиненко В.Н. Задачи на развитие пространственных представлений: кн. для учителя. М.: Просвещение, 1991. 125 с.
9. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики: альбом заданий для развития пространственного мышления учащихся. М. Педагогика, 2003. 108 с.
10. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (стереометрия): кн. для учителя. М.: Наука, 1984. 159 с.
УДК 882(092) Распутин
ИНВАРИАНТ «ЗОВ-ГОРА-ВСТРЕЧА-СВЕТ» В ПРОЗЕ В.Г. РАСПУТИНА: СТРУКТУРА И СЕМАНТИКА
В.Я.Иванова1
Иркутский государственный университет, 664025, г. Иркутск, ул. Чкалова, 2.
Рассматривается сюжетно-образный инвариант «зов-гора-встреча-свет» в творчестве В.Г. Распутина. Анализируется структура выделенного инварианта, динамика его компонентов, семантические сдвиги в процессе эволюции прозы писателя. Представлены разные вариации данного инварианта, в том числе «минус-прием» и негатив инварианта, то есть анти-инвариант. В аспекте изменчивости и устойчивости структурно-семантический анализ образной системы писателя помогает раскрыть глубинные смыслы его творчества. Библиогр. 9 назв.
Ключевые слова: проза В.Г. Распутина; инвариант; анти-инвариант; вариация; структура; семантика; встреча.
INVARIANT "CALL-MOUNTAIN-MEETING-LIGHT" IN V.G. RASPUTIN'S PROSE: STRUCTURE AND SEMANTICS V.Ya. Ivanova
Irkutsk State University, 2 Chkalov St., Irkutsk, 664025.
The article considers a plot-image invariant "call-mountain-meeting-light" in the works of V.G. Rasputin. It analyzes the structure of identified invariant, the dynamics of its components, and the semantic shifts in the evolution of the writer's prose. The author presents different variations of the invariant, including a "minus-technique" and an invariant negative, i.e. anti-invariant. In the aspect of variability and stability the structural and semantic analysis of the imagery of the writer helps to reveal deeper meanings of his works. 9 sources.
Key words: prose of V.G. Rasputin; invariant; anti-invariant; variation; structure; semantics; meeting.
Структурно-семантические изменения художественных образов в процессе эволюции прозы В.Г. Распутина можно наблюдать на примере отдельных образов, имеющих сквозную выраженность. В процессе развития образных единиц творческого мира писателя важны и постоянство, и изменчивость, то есть устойчивость одного или группы образов в диахроническом ряду произведений и структурно-семантические изменения, которые претерпевают образы от произведения к произведению, проявляя магистральные семантические линии. Сквозные обра-
зы в эволюционной динамике могут образовывать некие сплавы, семантические единства, которые, следуя терминологии А.К. Жолковского [1], можно определить как инварианты. Таким образным комплексом в творчестве В.Г. Распутина является выделенный нами сюжетно-образный инвариант «зов - гора -встреча - свет».
Впервые данный образно-сюжетный инвариант можно обнаружить в повести «Последний срок» (1970). Образ зова организует архитектонику текста произведения и отмечает кульминационные встречи
1Иванова Валентина Яковлевна, соискатель кафедры новейшей русской литературы факультета филологии и журналистики, тел.: 89041298385, e-mail: [email protected]
Ivanova Valentina, Competitor of the Department of New Russian Literature of the Faculty of Philology and Journalism, tel.: 89041298385, e-mail: [email protected]
