Разрушение открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 75-84 Механика

УДК 532.528+546.3

Разрушение открытой цилиндрической оболочки взрывом неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ

Г. Т. Володин, А.С. Новиков

Аннотация. Получены соотношения, связывающие геометрические и механические характеристики открытой цилиндрической оболочки с геометрическими и энергетическими характеристиками заряда конденсированного взрывчатого вещества, при взрыве которого происходит разрушение оболочки. Применен энергетический метод и вариационный подход в решении поставленной задачи.

Ключевые слова: взрыв, заряд конденсированного взрывчатого вещества, энергетический метод, упругое деформирование, критерий разрушения.

Введение

Нахождение условий гарантированного разрушения оболочечных конструкций является актуальной проблемой при проектировании несущих элементов конструкций взрывоопасных производств, определении технических условий при проектировании складов боеприпасов, утилизации крупногабаритных элементов конструкций, при проектировании взрывозащитных инженерных сооружений и др. Важно определить, сколько нужно взрывчатого вещества (ВВ), чтобы заряд из него, находящийся на некотором расстоянии от оболочечной конструкции, привел к гарантированному её разрушению; какой толщины должна быть оболочка, чтобы взрыв определенного заряда ВВ, расположенного на заданном расстоянии от неё, гарантированно не разрушил оболочку. Следовательно, для решения этих задач нужно найти связь между энергетическими и геометрическими характеристиками заряда ВВ и геометрическими и механическими характеристиками оболочечной конструкции.

Постановка и решение задачи

А. Физическая модель (основные допущения).

Рассмотрим тонкую открытую цилиндрическую оболочку постоянной толщины Н с радиусом кривизны К, защемленную в идеальных (недефор-

мируемых) опорах, с размером плана 2а х 2Ь м (рис.1). Оболочку принято считать тонкой, если Н/К ^ 1/20 [1]. Материал оболочки предполагается однородным и изотропным. Рассматривается упругий режим деформирования вплоть до разрушения. Принимаются основные классические гипотезы теории тонких оболочек (гипотеза прямолинейного элемента, гипотеза прене-брежимой малости нормальных напряжений, в слоях параллельных срединной поверхности). На расстоянии Нz от поверхности оболочки над центром симметрии плана оболочки располагается сосредоточенный сферический заряд взрывчатого вещества массой С, тип и энергетические характеристики которого определяются обобщенным параметром Ао (например, для тротила Ао = 400 м/с) [2]. Рассматривается ближняя область действия взрыва, при этом давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением продуктов взрыва.

Под разрушением оболочки понимается утрата ей несущей способности вследствие появления в ней трещин, сколов или разделений на фрагменты.

Прогибы оболочки предполагаются малыми, не превышающими 1/5 ее толщины.

Б. Математическая модель и решение задачи.

Пусть в начальный момент времени £ = 0 происходит взрыв указанного заряда радиуса г о, находящегося в ближней области действия взрыва, при этом Нz/го ^ 15 [2]. Как показали исследования Т.М. Саламахина [2], возникшая взрывная нагрузка носит импульсный характер вследствие ее кратковременности действия (время действия взрывной нагрузки не превы-

Рис. 1. Тонкая открытая цилиндрическая оболочка

шает 2 х 10_4 с). Поэтому за время ее действия точки оболочки не получают заметных смещений, а получают только начальные скорости. Таким образом, импульсный характер динамической нагрузки эквивалентен сообщению точкам элемента конструкции начальных скоростей.

Введем прямоугольную декартову систему координат Охух с началом в центре симметрии плана оболочки (рис.1). Обозначим 5 — стрелу подъема оболочки над планом, О1 — центр кривизны, 29 — угол, определяющий длину дуги цилиндрической оболочки радиуса К.

Вследствие гипотезы о малой толщине оболочки рассматриваются перемещения точек ее срединной поверхности.

Обозначим через Л [и (х, у) ,у (х,у) ^ (х, у)] вектор перемещения произвольной точки М(х,у,х) срединной поверхности оболочки. Вследствие принятия гипотезы о малости перемещений, компоненты и(х,у) и у(х,у) считаются пренебрежимо малыми по сравнению с -ш(х,у). Следовательно, вектор перемещения принимается в виде Л [0, 0,и: (х, у)].

Применим энергетический метод, предложенный Т.М. Саламахиным [5], согласно которому кинетическая энергия, полученная оболочкой за время действия взрыва, полностью расходуется на работу ее деформирования вплоть до разрушения.

Граничные условия соответствуют виду закрепления оболочки — отсутствие прогибов по всему контуру закрепления и углов поперечных поворотов сечений оболочки на контуре.

При относительных расстояниях Нz/г0 ^ 15, удельный импульс г, действующий на оболочку, может быть вычислен по формуле [5]

• А0С 2 т

г =^Т СОЙ Ф' (1)

где ф — угол падения (угол образованный скоростью потока возмущенной среды с нормалью к поверхности оболочки), а

где Р(£) - давление в продуктах взрыва в момент времени £, т - время действия взрыва.

Найдем кинетическую энергию, полученную оболочкой за время действия взрыва. Элементарная кинетическая энергия, полученная элементом оболочки массой с1ш в точке М(х,у,г), согласно импульсному характеру действующей на него взрывной нагрузки вычисляется в виде

ёэ =(Дщ) V2 , (2)

где ё,ш = рН(1Б; р — плотность материала оболочки; Н — ее толщина; (1Б — площадь рассматриваемого элементарного участка, окружающего точку М.

Скорость V, получаемая рассматриваемым элементом в начальный момент времени, определяется из закона сохранения импульса:

I

V =

йш ’

(3)

где I = гйБ — импульс, действующий на элемент оболочки площадью йБ. После подстановки (3) в (2) получим с учетом выражения (1) и уравнения поверхности оболочки х € [—а, а], у € [—Ь, Ь], г = д/К2 — у2 — К + 5,

А2с 2

йЭ = —ссе4 ф ■ йБ, 2г4рН * ’

(4)

где йБ = Кйхйу/ д/К2 — у2, 5 = К — д/К2 — Ь2.

Следовательно, кинетическая энергия Э, полученная всей цилиндрической оболочкой, с учетом выражения (4) выразится в виде

Ь а

Э=

КС 2 — 0

(К + Нz) ^/1 — (у/К)2 — К

—Ь —а 2рНд/К2 — у2

х2 + у2 + (к + Нz — у/К2 — у2^

-йхйу. (5)

Найдем теперь работу деформирования цилиндрической оболочки взрывной нагрузкой.

Известно [6], что формула для выражения работы упругого деформирования тонкой оболочки произвольной формы имеет вид

П

ЕН

2(1 — V2)

(£1 + £2) — 2(1 — V) ( £1£2 —

—Вйайв+

+

ЕН3

24(1 — V2)

JJ [(«1 + К2)2 — 2 (1 — V) (К1К2 — X2)] —Вйайв,

(6)

где а и в — криволинейные координаты поверхности оболочки; А и В — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности; £1, £2 — соответственно компоненты продольной деформации по направлениям а и в; 7 — деформация сдвига в касательной плоскости ав; кь К2 — кривизны срединной поверхности в направлениях а и в; X — кручение срединной поверхности. Выражения для £1, £2, 7, к1, к2 и х будут равны [6]:

ди

£1

д/К2 — у2 ду ш

дх’ £2 К ду + К’

ду

7 = ш +

у/К2 — у2 ди ду

К

к1 = —

д ш дх2 '

4

2

д/Я2 — у2 ду у дw К2 Я2 ду + Я2 ду

X

Я

1 ду \/Я2 — у2 д2w

. „ , д2w

" ду2 '

(Я)'

2Я дх Я дхду

Тогда, если данные выражения подставить в (6) с учетом, что Л [0, 0, w (х, у)], то получим, что работа П деформирования рассматриваемой открытой цилиндрической оболочки будет

Ь а

ЕН3 ( (\ Я „о у2

24(1 — /а,2)

—Ь —а

,у„ м,2+

хх Я^v/Я2-Я2 у

+(Я2 -у2)1’5 wl2 — ^„^Хх + 2ал/я у2 wx/xw:/;—

Я3 уу Яу/Я2—^ у хх Я

2уТЯ — у2w/^w", + 2(1 — а) УЯ2 — у_w'/ 2

■'ух

йхйу+

Ь а

+ 2(1ЕН^// “’2"у- (7)

—Ь —а

где штрихи функции w = w(x,y) с индексами обозначают соответствующие ее частные производные.

Из выражения (7) видно, что работа П упругого деформирования оболочки зависит от прогибов w(x,y) и, следовательно, является функционалом.

Согласно принципу Остроградского-Гамильтона наиболее близкой к действительной форме упругой поверхности будет та форма, определяемая функцией w(x,y), для которой упругий потенциал П имеет минимальное значение. Таким образом, приходим к вариационной задаче нахождения минимума функционала (7).

Используем прямой вариационный метод Ритца, согласно которому приближенное решение вариационной задачи (потенциальную функцию w(x,y)) представляют в виде линейной комбинации системы координатных функций с варьируемыми коэффициентами, при этом координатные функции должны удовлетворять граничным условиям задачи.

Функцию w(x,y) будем аппроксимировать следующим образом:

w ^,у) ъ Wn ^,у),

П

Wn ^,у) = W0/с (x,y)+Y: Си/и+2 ^,у), (8)

к=1

/0 (х,у) = (а2 — x2)2 (Ь2 — у2)2 ,

где система координатных функций {/г^^)} удовлетворяет заданным граничным условиям. Для защемленных краев оболочки граничные условия имеют вид

w ^, у) = 0, wlx ^, у) = 0, при x = ±а, wy (x,y) = 0, при у = ±Ь.

Систему координатных функций возьмем в следующем виде:

/г ^, у) = (а2 — x2)г (Ь2 — у2)г, г = 3, 4, 5,...

Для первого приближения (п = 1)

Wl (x, у) = W0 (а2 — x2)2 (Ь2 — у2)2 + С1 (а2 — x2)3 (Ь2 — у2)3 . (9)

Следует отметить, что константа Wo в выражении (8) предполагается неварьируемой, через нее определяется величина области (зоны) разрушения, а для определения Си используем принцип минимума потенциальной энергии, откуда следуют необходимые условия минимума:

^^=0, к = Т"П, п £ N. (10)

дек

Из системы уравнений (10) выразим Си = Си^0). Тогда выражение (9) примет вид

Wl (x, у) = wo (а2 — x2)2 (Ь2 — у2)2 + С1 (wo) • (а2 — x2)3 (Ь2 — у2)3 . (11)

Если задать параметр wo, то, воспользовавшись одним из критериев разрушения, можно определить картину разрушения (расположение зоны разрушения на элементе конструкции и ее протяженность). Воспользуемся критерием разрушения П.П. Баландина [7]. Согласно введенным ранее основным гипотезам теории тонких оболочек этот критерий приводит к соотношению

аХ + аУ2 — °хОу + 3тХу — (ар — ас) (ах + ^ арас, (12)

где

Е Е Е

ах = 1 — ц2 (£х + Ц£у), аУ = 1 — ц2 (£у + ^£х'), тху = 2 (1 + ц) ^ху,

при этом согласно принятым допущениям для срединной поверхности имеем

w

Я

поэтому

£х — 0, £у — п , 7ху — 0,

Ец w Е w 0

ах = 1—^2 Я ау =1—^2 Я Тху = °.

После подстановки этих выражений в соотношение (12), получим

Q (x, y) ^ 0, (13)

где

Q(x,y) =

Е 2w

apac (1 — i2)2 R2

i w — iw + w —

(ap — &c) (1 + i) (1 — i2) R

E

-1.

(14)

Равенство в соотношении (13) определяет минимальную линию уровня, на которой выполняется критерий разрушения (12). Следовательно, семейство линий уровня Q(x,y) = const > 0 определяют линии гарантированного разрушения. Линия уровня const = 0 определяет минимальный заряд, необходимый для разрушения оболочки.

Чтобы найти величину этого заряда при заданной величине зоны разрушения, которая определяется величиной параметра wo, воспользуемся, согласно энергетическому методу [2-4], соотношением

Э = П.

(15)

Подставив в (15) выражения для П из (7) и выражение для Э из (5) получим

С = h / ЕР

Ao\ (1 — i2) R • Ii V 12

(l2 12 + h) '

(16)

где

a b

ii

(R + hz )^1 — (y/R)2 — R

-a -by/R2 — y2

x2 + y2 + (r + hz — V R2 — y2)

-dxdy,

a b

I2 =

-a -b

2iy

R

yfRTZ. y2

rV R2 — y2

w, 2 +(R2 — у2)1'5 w„ 2

R3

w

UJyy

RVR2 — y2

J M t 21л/R2 — y2 M _,, 2y\JR2 — y2 j j/ ,

wywxx + R wxxwyy R3 wywyy +

, 2 (1 — i) VR2 — y2 w// 2

+ R wxy

a b

I3 =

w

-a b

Ry/ R2 — y2

dxdy, dxdy.

X

X

4

2

2

y

Полученная формула (16) определяет минимальную величину (массу С) заряда конденсированного ВВ, расположенного на высоте hz над оболочкой, эпицентр которого совпадает с центром симметрии плана оболочки, при взрыве которого произойдет разрушение оболочки заданных размеров, причем картину разрушения определяет при заданном wо функция О.

Вычисления проводились для оболочек разных размеров и разных материалов с различными случаями расположения зарядов над оболочкой. Здесь в качестве примера приведены результаты вычислений для открытой цилиндрической оболочки, выполненной из серого чугуна марки СЧ 12-28, со следующими геометрическими и механическими параметрами: а = 0, 5 м, Ь = 0, 35 м, К = 0, 5 м, 8 = К — у/К2 — Ь2 м, h = 10_2 м, р = 7, 2 • 103 кг/м3, ц = 0, 25, Е = 1, 2 • 1011 Па, ар = 1, 2 • 108 Па, ас = 0, 5 • 109 Па.

Параметр А0 для заряда ВВ (литой тротил) равен 400 м/с.

Тогда для выражения (11) с1 ^0) = —38, 41193^0.

Для выражения (14) при wо = 3.5 получим следующую поверхность над планом 2а х 2Ь м оболочки (рис.2).

Рис. 2. Поверхность разрушения Q(x,y, wo), расположенная над планом

оболочки

Пересечение данной поверхности Q с плоскостью z = 0 даст линию нулевого уровня. На рис.3 показаны линии уровня Q(x,y,w0) = const > 0 при различных значениях const.

Накопленная оболочкой потенциальная энергия при wo = 3.5 будет

П (w0) = 102.1 Дж.

Тогда, согласно равенству (15), мы найдем зависимость массы заряда С от расстояния hz. Для некоторых hz и wo приведены расчеты в табл.1 и 2.

Рис. 3. Линии уровня &(х,у^о)

Таблица 1

Зависимость массы заряда С от расстояния hz при и>о = 3.5

hz, м 0,2 0,3 0,4 0,5

р г С, 74 117 167 223

массы заряда С от расстояния

hz, м 0,2 0,3 0,4 0,5

р г С, 77 122 174 232

Таблица 2

Подставив wo = 3.5 в выражение (11), найдем максимальный прогиб "Мтах оболочки. Он будет располагаться в точке с координатами х = 0, у = 0. Отношение максимального прогиба к толщине рассматриваемой оболочки будет

|wmax|

ь

= 0.058.

Данная величина не превышает 1/5 толщины оболочки Ь, а это подтверждает правильность введенной гипотезы малых прогибов.

Список литературы

1. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: ГСИСП, 1962. 432 с.

2. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.

3. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Ч. 2: Взрывостойкость и гарантированное разрушение элементов конструкций. Тула: Левша, 2005. 160 с.

4. Володин Г.Т. Прямой вариационный метод исследования взрывостойкости и

гарантированного разрушения балочных конструкций взрывной нагрузкой //

Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи.

2009. Вып.1. С.49-54.

5. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961.

275 с.

6. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1963.

278 с.

7. Гольденблат И.И., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. 191 с.

Володин Геннадий Тимофеевич ([email protected]), д.т.н., профессор, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Новиков Андрей Сергеевич ([email protected]), аспирант, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

The destruction of the open cylindrical shell explosion non-contact charge of condensed explosives

G.T. Volodin, A. S. Novikov

Abstract. The relations between the geometrical and mechanical characteristics of an open cylindrical shell with geometric and energy characteristics of the charge condensed explosive (HE), the explosion of which is the destruction of the shell. Used the energy method, and the variational approach to the task.

Keywords: explosion, condensed explosive charge, the energy method, the elastic deformation, fracture criterion.

Volodin Gennady ([email protected]), doctor of technical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tula State University.

Novikov Andrey ([email protected]), assistant, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 12.01.2013