Разрешимость в h22(ω) краевой задачи для продольных перемещений срединной поверхности оболочки в модели Маргерра-Власова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Построим вспомогательную сеть G".

2,0

Применим алгоритм прорыва.

Перенесем результат на исходную сеть.

2

1

4

3

Работа выполнена по проекту «Графы и сети с нестандартной достижимостью» по разделу 3.3 Развитие научно-исследовательской работы молодых преподавателей, научных сотрудников, аспирантов и студентов по ведомственной научной программе Минобразования РФ «Развитие научного потенциала высшей школы» (рук. проекта Я.М. Ерусалимский).

1. Скороходов В.А. Графы с магнитной достижимостью. Марковские процессы и потоки в сетях // Деп в ВИНИТИ. 2003. № 410-В2003.

2. Ерусалимский Я.М., Петросян А.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2005. № 11. С. 10-18.

УДК 517.944

РАЗРЕШИМОСТЬ В Я22(П) КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПРОДОЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБОЛОЧКИ В МОДЕЛИ МАРГЕРРА-ВЛАСОВА © 2006 г. В.И. Седенко

In this paper we proof the solvability boundary value problem for the elliptic system of the equations for the literal displacements of the points of the surface.

Однопараметрическое семейство краевых задач

Для а е [0,1] рассмотрим для функций иа, va на Q краевую задачу

Литература

Ростовский государственный университет

8 февраля 2006 г

2 иа иа а1 + ^ уа = f

1 ХЛ Х2 Х2 1 Хл 1

Vа 2 Vа а 1 +^ иа = А Х1Х1 1 Х2 Х2 1 хХ2 2'

иа1г = Vй 1г = 0, (1)

которая при а = 1 переходит в краевую задачу, указанную в заглавии статьи [1, с. 759-761]. Здесь Г = дО.

Вспомогательные сведения Лемма 1. Пусть Г е С1 и имеет вторые ограниченные производные, 2 ° 1

w е Н2(О) п Н 2(О).Тогда имеет место следующее соотношение:

Х2 - WХ2Х2 ) = - | ¡Х[ ^) ^ (2)

где х - кривизна Г [2, с. 274].

Лемма 2. В условиях леммы 1 для любого е > 0

Г^У^ w2VJ + Се |Vw|2)А, (3)

где константа Се зависит лишь от О и от е [2, с. 79, 215]. Лемма 3. В условиях леммы 1 для любого е > 0

I (Х2 - Wх1 Х1 Wх2Х2 ) < 11 W2x¡х + Се |Vw|2 I йХ, (4)

О О( 1=1 )

где константа се зависит лишь от О и от е.

Доказательство в силу достаточной гладкости Г непосредственно следует из (2) и (3).

2

Равномерные по а неравенства коэрцитивности в Н2 (О) для операторов краевой задачи (1)

2 ° 1

Теорема 1. В условиях леммы 1 для иа, V ае Н2(О) п Н 2(О) имеет место следующая оценка:

)), (5) где константа С зависит от О и д, но не зависит отА / и а.

Доказательство. Умножим уравнения (1) на (иа, уа) скалярно в ¿2(О)х х£2(О). Интегрируя по частям с учетом краевых условий, имеем

)+(иа ) +( )+)+2а1±£и.а ^ ] * = = |( Аиа + А V),

О

П\Н2(П)+1 ГЩ(Q)* С(IЯ,(^21 ,(Ü))

следовательно,

* <11 ¿11(Q)l u\ o+I ¿1L (QJ v\ (Q)<

(и01) + (уя)

^ (I/.1,2(О) +11 /Л,2

редь, следует неравенство

|УМ1,2(О)+|УУ1,2(О) ~ С2 (IМ,21.^2(0)^

где константа С2 зависит лишь от О. Далее непосредственно из (1) имеем

+ Vv I, откуда, в свою оче-

IIl2 (q) II IIL2 (Q) 1

(6)

= 1

q

2 )2 Г 2 Л2

~_yix + yßc I +1 va + va

X1 X1 X2 X1 i ^2

1 -)

1 -)

(a - + )2 +(a Г-) - + * )!

dx =

dx.

При 51 e (0,1), S2 e (0,+да) получаем

S

1 - M 8 (1 -S)

2_^a + ^a I +| va + 2 va

X1X1 X2 "2 \ "1X1 ^ X2 "2

1 - M

2 Л

[1Sw/ a a . a a \1 j ✓

+- (UX X • UX x + VX X • VX X )l dX <

1 - M V X1X1 X2 X2 X1X1 X2 x2 ) J

Г i )

<1

q

M

2

(1+S2)) )2+(a )2 )+|1+S )(+f2)

dX.

1 + )

Поскольку при ) e(0;0,5) -> I-I , то можно подобрать 5j и S2

1-M l1 -M

так, что

^ = P + S2 )) 1

1 +m)2

-m) '

(7)

Тогда из (6) с использованием неравенств коэрцитивности для эллиптических операторов - первых двух слагаемых уравнений (1), с учетом (7) и применением (4) при достаточно малом е, имея в виду (6), получаем (5). Теорема полностью доказана.

2

Разрешимость краевой задачи (1) в Н2 (О)

Лемма 4. Пусть в условиях леммы 1 /р/,е ¿2(Ц). Тогда при а = 0 краевая задача (1) имеет единственные решения и0, у0еН2(Ц) п Н 2(О), удовлетворяющие оценке (5).

Доказательство непосредственно следует из известных результатов о разрешимости эллиптических уравнений [2, с. 222].

Лемма 5. Пусть в условиях леммы 1 краевая задача (1) имеет решения иа, V0' при всех а е [0, а0], где ао < 1, и всех/р /,е ¿2(О). Тогда краевая за-

дача (1) имеет решения иа, уа для всех а е [0, а'0], где

а С - константа из (5).

а0 = min

( 1 А а + 1 ~U i а 2(1 + u)C'

\

Доказательство. Пусть а е (ао, а'0]. Обозначим для п е Z+ и?00, у?,«„ - решения задачи (1) для

/ = (а-а0)1-^уП-а0 + /х, /2 = (а-а0^у??0 + /2, (8)

причем и?'00, у?'00 - решения задачи (1) при а = ао. Непосредственно из (5) для п е Z+

„ „ „„ „„ „„ <

" 1Н22(О) II " 11Н22(О)

1 ||| аа а,00 У , II аа аа II

^ 2 [К ° " ип-10|н22 (О)Тп ° " (О)

2

откуда следует фундаментальность и? 00, у?? в Н2(О) и сходимость в

2

Н2(О) и0'а° к иа, у0'а° к Vа Перейдя к пределу по п в уравнениях (1) для и0, у0с учетом (8), получим, что иа, V? являются решениями (1). Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть Г е С1 и имеет ограниченные вторые производные; /х, /2е ¿2(О). Тогда краевая задача (1) имеет при любом а е [0,1] единст-

2 ° 1

венные решения иа, vаеH2(Q) п Н 2(О), удовлетворяющие оценке (5). Доказательство непосредственно следует из лемм 4, 5.

Литература

1. Ворович И.И. // Изв. в АН СССР. Сер. Мат. 1957. Т. 21. № 6. С. 747-784.

2. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., 1973.

Ростовский государственный экономический университет 30 января 2006 г.