CC BY
15
УДК 517.955
РАЗРЕШИМОСТЬ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В БАНАХОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
THE SOLVABILITY OF PARABOLIC FUNCTIONAL DIFFIRENTIAL
EQUATION IN BANACH SPACES
А.М. Селицкий A.M. Selitskii
Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН ФИЦ «Информатика и
управление» РАН, 119333, г. Москва, ул. Вавилова д. 40
Dorodnicyn Computing Center of RAS of Federal Research Center "Computer
Science
and Control" of RAS, 40 Vavilova St, 119333, Moscow, Russia
E-mail: [email protected]
Аннотация
Рассматривается разрешимость параболического функционально-дифференциального уравнения в пространстве С(0, Т; Щ(Q)) с s и р близкими к 1 и 2 соответственно.
Abstract
In this paper, a parabolic functional differential equation is considered in the spaces C(0, T; Hp(Q)) with s and p close to 1 and 2 respectively.
Ключевые слова: функционально-дифференциально уравнения, банаховы пространства.
Keywords: functional-differential equations, Banach spaces.
1. Введение
Параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при описании нелинейных оптических систем с преобразованиями поля в двумерной обратной связи (см., например, [1]). Возникающие в таких системах устойчивые световые явления могут быть использованы в оптических методах обработки и хранения информации. С точки зрения приложений в нелинейной оптике представляет интерес изучение бифуркации периодических решений указанного уравнения. Результаты такого рода были получены в работах [2]-[4].
Разрешимость сильно эллиптических систем в банаховых пространствах рассматривалась в работе [5], в статье [6] была исследована разрешимость параболических функционально-дифференциальных уравнений в пространствах С(0, Т; Щ($)) при 5 = 1 и р близких к 2. В настоящей работе получено обобщение на случай 5 близких к 1.
2. Основные определения и постановка задачи
Пусть Р — ограниченная область в Мп с липшицевой границей дQ. Пусть А^, В^, С - ограниченные операторы в 12(0), ь, ] = 1,2,..., п.
Рассмотрим параболическое функционально-дифференциальное уравнение Щ - + Т1=г В{их. + Си = /(х, 0, (х, I) ЕQT = Q X (0, Т),
(1) ^ с краевым условием
£11=! Аиих. соб(у, ) = 0, (х, I) ЕГТ = дQ X (0, Т), (2)
и начальным условием
= ф(х), xЕQ, (3)
где 0 < Т < <х>, у - единичный вектор внешней нормали к Гт, [ Е Ь2), ф Е
Ш).
Рассмотрим полуторалинейную форму в Ь2(0) с областью определения
н!т
ф(у, ш) = (Ачух., ^ + 1]1=1(В1ух., ^+ (су, ш)ь2в). (4) 2
Существует с0 > 0, такое что
Яе Ф(у, и?) < СоЫ\нЧд)М\нЧд), V, Н1 (5)
Так как форма Ф(р, w) непрерывна по w, то она определяет ограниченный оператор А\ H1(Q) ^ H-1(Q) = (H1(Q))', действующий по формуле
(Av, w) = Ф(у, w), v, weH1(Q). (6)
Здесь скобки двойственности (•, •) понимаются в смысле продолжения скалярного произведения в L2(Q), поэтому в дальнейшем мы будем использовать соглашение (Av, w) = (Av, w)L2^Q) = (Av, w).
Определение 1. Оператор A называется сильно эллиптическим, а форма Ф (v, w) коэрцитивной, если существуют числа с1 > 0 и с2 > 0 такие, что
Ke(Av, v) = Яе Ф(v, v) > c1\\v\\2h1(Q) - C2\\v\\l2(Q), v Е H1(Q). (7)
В дальнейшем мы будем предполагать, что оператор A сильно эллиптический. Также мы будем предполагать, что форма сильно коэрцитивна, то есть в неравенстве (7) с2=0. В противном случае положим и = ze°2t, что приведет к рассмотрению оператора A+c2I вместо A.
Введем гильбертово пространство
W(A) = [wE Lp([0, Т]; H1(Q)) : wt Е Lp ([0, T]; H-1(Q))}, 1< p < ю. (8)
Определение 2. Функция и Е W(A) называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если при почти всех t она удовлетворяет уравнению
% + Au = f (9)
и начальному условию
и\ = = (р. (10)
Для формулировки основных результатов нам понадобятся определение пространств Бесова и обобщенных пространств Соболева, так называемых пространств бесселевых потенциалов.
Рассмотрим оператор, действующий в пространстве S' Шварца обобщенных функций
Л5 = f-1(1 + \^\2)s/2 F, SEM, (11)
где F - преобразование Фурье в смысле обобщенных функций.
Пространство Нр (Mn), называемое пространством Лиувилля или обобщенным пространством Соболева, определяется при всех вещественных s и 1 < р < ю как пространство обобщенных функций из S' с конечной нормой
\Ы\\ц m = Ул5иу1р(Еп}. (12)
Модулем гладкости второго порядка функции f Е Lp (Мп) называется
функция (f, t) = sup\\f(x + 2h) - 2f(x + h) + f(x)\\LrRn). Пусть 1 <
\h\<t p
p, в < <x>, s >0 и s = r + a, где 0 < a < 1. Функция f Е Lp (Mn) принадлежит пространству Бесова Врв (Жп), если она имеет обобщенные производные вплоть до порядка г и
/ ex1/6
\\Л\в;„т = \\П\нЖ) + [С ^^ т) < (13)
>s
t
Пространства Нр ^) и Врв ^) определяются как сужения пространств Н*(Мп) и В5рв (Мп) на Q с -нормой (см. п. 14.5 в [7] и п. 4.2.1 в [8] соответственно). Положим В0>р(О) = Ьр(0). Обозначим через Н— (О) и
пространства сопряженные пространствам Нр $) и Вр в $)
1 1 1 1 соответственно, здесь - + - = 1 и - + -= 1.
р ц От/
В [6] была доказана следующая теорема о разрешимости.
Теорема 1. Задача (1)-(3) имеет единственное обобщенное решение и Е Ш(А) для любых f Е Ьр ([0, Т]; Нтогда и только тогда, когда р Е
Л 2 „ 2 1-- ~1--
В2рр№) при 2 <р < го и ф Е в2 ;(О) при 1 < р <2, которое определяется по формуле
и(х^) = Тг(р(х) + j^Tt_sf(x,s)ds,
где (Ь > 0) — аналитическая полугруппа с генератором (-А).
Замечание 1. При р = 2 определение 1 обобщенного решения эквивалентно определению в смысле интегрального тождества.
Замечание 2. Граничное условие (2) не определено, вообще говоря, для функций из Ш(А). Если его записать в виде Т+и = 0, то значение оператора Т+ на функции и Е W(A) может быть определено из формулы Грина:
(Г(, О, Я) = (и,, Я) - (Т+и, Ъ\д(^)г + (Аи(, I), ш), п Е Н1Ш (12)
Которое при р = 2 и кусочно гладкой границе совпадает с (2).
3. Обобщение на случай банаховых пространств
Предположим теперь, что и Е Нр 1/2+1/р(д) и у е Н— (@),
13 1
б + ~ — 2 < 2, а операторы А^, В1, С являются ограниченными в Ьр Тогда существует с3 > 0, такое что
Ф(и, V) < Сз\\и\\ hs-i/2+i/P{q)\\v\\ h-s-i/2+i/4{q). (13)
Таким образом, для каждого и форма Ф(и, v) определяет ограниченный линейный функционал fu, который мы обозначим через Apsи. Оператор
Ap,s : Нр-1/2+1/р( Q) ^ Hp+1/2-1/q ( Q) является ограниченным: \\Аp,su\\„s+i/2-i/q < SUp - < С3Ы Hs-i/2+i/p (14)
Ир (Q) \\П H-s-l/2 + l/q(Q) Мр (V)
Рассмотрим обобщение задачи (1) - (3):
^ + Ар_3и = Г (15)
и\ = = (р. (16)
Определение 3. Функция иЕС ([0, Т); Нр—1/2+1/р ((} )) П
С1 ((0, Т); Нр~1/2+1/р( Q )) называется классическим решением (16)-(17),
если и( Е Нр—1/2+1/р( Q) при 0 < t < Т и удовлетворяет равенствам (16) и (17) на [0, Т).
Теорема 2. Пусть feL1 (0, Т; Нр+1/2—1/чудовлетворяет условию
Липшица на [0, Т] и ф Е ц^+1/2—1/<1 Тогда найдутся такие £ >0 и 5 >0,
что задача (15)-(16) имеет единственное классическое решение при — 1\ < 11
< 6, которое определяется по формуле
£ и
Р
и(х, г) = Тм(х) + ¡0 Т—/(х, 5)^5, (17)
где (Ь > 0) — аналитическая полугруппа с генератором (—Ар з).
Доказательство. Заметим, что пространства Нр ^) образуют
интерполяционную шкалу: [Нрг №), Н^2 = Н^1 9^31+в32 (@), где 1 = 1—в в
+ - Как было показано выше, оператор Ар з ограничен при
13
s +----
р 2
<
Р я 1
-, а при р = 2, б = 1 А21 = А - обратим. Применяя теорему Шнейберга об экстраполяции обратимости (см., например, теорему 13.7.2 в [7]), получаем
существование £ >0 и 8 >0, таких что Арз обратим при ^ — 1\ < £ и 1-1 < 5. ,
Р 2
Для завершения доказательства требуется получить оценку резольвенты \\и\\нз-1/2+1/Р + ШЫ^+г^-г/ч^) < С4\^\\пз+1/2-г/Ч{(2), (18)
где f = (Арз — А1)и, с4 не зависит от f и А Е Е £ : \arg/а\ > 72 — и В£г (0) при некоторых ^ >0 и £1 > 0. Ее достаточно объемное доказательство по сути аналогично доказательству оценки (1.20) в работе [5].
Автор благодарен М.С. Аграновичу за обсуждение работы [5]. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 17-01-00401).
Список литературы References
1. Воронцов М.А., Думаревский Ю.Д., Пруидзе Д.В., Шмальгаузен В.И. 1988. Автоволновые процессы в системах с оптической обратной связью. Изв. АН СССР. Физика, 52(2): 374-376.
Voroncov M.A., Dumarevskii Yu.D., Pruidze D.V. Shmalgauzen V.I. 1988. Avtovolnovie processi v sistemah s opticheskoi obratnoi svyazyu. Izv. AN SSSR. Fizika, 52(2): 374-376.
2. Разгулин А.В. 1993. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом. Журнал вычислительной математики и математической физики, 33(1): 69-80.
Razgulin A.V. 1993. Ob avtokolebaniyah v nelineinoi parabolicheskoi zadache s preobrazovannim argumentom. Jurnal vichislitelnoi matematiki i matematicheskoi fiziki, 33(1): 69-80.
3. Скубачевский А.Л. 1996. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений. Успехи мат. наук,.51, №1(307): 169-170.
Skubachevskii A.L. 1996. O nekotorih svoistvah ellipticheskih i parabolicheskih funkcionalno-differencialnih uravnenii. Uspehi mat. Nauk., 51, №1(307): 169-170.
4. Варфоломеев Е.М. 2008. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике. Современная математика. Фундаментальные направления, 21: 5-36.
Varfolomeev E.M. 2008. O nekotorih svoistvah ellipticheskih i parabolicheskih funkcionalno_differencialnih operatorov, voznikayuschih v nelineinoi optike. Sovremennaya matematika. Fundamentalnie napravleniya, 21: 5-36.
5. Agranovich M.S. 2016. Spectral problems in Sobolev-type spaces for strongly elliptic systems in Lipschitz domains. Math. Nachr., 289(16): 1968-1988.
6. Selitskii A.M. 2016. On the solvability of parabolic functional differential equations in Banach spaces. Eurasian Math. J., 7(4): 85-91.
7. Агранович М.С. 2013. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М.: МЦНМО.
Agranovich M.S. 2013. Sobolevskie prostranstva_ ih obobscheniya i ellipticheskie zadachi v oblastyah s gladkoi i lipshicevoi granicei. M.: MCNMO.
8. Трибель Х. 1980. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: МИР.
Tribel H. 1980. Teoriya interpolyacii, funkcionalnie prostranstva, differencialnie operatori. M.: MIR
