РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. C. 20-30. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-20-30

УДК 517.956.4

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ОПЕРАТОРОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ

О. С. Зикиров, М. М. Сагдуллаева

Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, ул. Университетская 4, 100174, г. Ташкент. Республика Узбекистан

E-mail: [email protected],[email protected]

В работе доказаны теоремы существования и единственности регулярных решений одной нелокальной задаче с интегральным условием для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части. Доказательство основано на сведение поставленной задачи к смешанной задаче для нагруженного уравнения теплопроводности.

Ключевые слова: краевая задачи, нелокальное условие, нелокальная задача, параболическое уравнение, функция Грина, интегральные уравнения.

(с) Зикиров О. С., Сагдуллаева М. М., 2020

Введение

Нелокальные задачи с интегральными условиями возникают при исследовании физических явлений в случае, когда граница области протекания недоступна для непосредственных измерений. Например, математическое моделирование процессы влагопереноса в капилярно-пористых средах [1], распространения тепла в гетерогенных средах [2], влагопереноса в почво-грунтах [3] и исследование одномерной диффузионной модели [4] приводят к таким задачам.

К первым работам для параболических уравнений с интегральными условиями относятся, по-видимому работы [5] и [6]. Различные классы краевые задачи с интегральными условиями для уравнений теплопроводности рассмотрены в работах [7]-[13] и др.

В настоящей работе рассматривается задача с интегшральным условием для уравнений в частных производных третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части.

Постановка задачи и основные результаты

В области D = {(x,t) : 0 < x < l, 0 < t < T} рассмотрим уравнение в частных производных третьего порядка вида

Lu s lx( I- §0 +c(x't )u=f (xt), (1)

где c(x,t), f (x,t) — заданные функции.

Заметим, что уравнение (1) относится к первому каноническому виду относительно старших производных, указанных в работе [12], т. е. уравнение характеристики имеет один общий интеграл, причем трехкратный. Этот фактор существенно влияет как на корректность постановки задач, так и на их разрешимость.

В работе для уравнения (1) исследуется следующая задача: найти в области D решение u(x, t) уравнения (1), удовлетворяющее начальному

u(x, 0) = ф(x), 0 < x < l, (2)

граничным

u(0,t) = ^i(t), 0 < t < T, (3)

их(0,г) = У2(г), о < г < Т, (4)

и интегральному условию

I г

Jи(х,г)Сх = 1 Н(г, т)и(1, т)Ст + щ3(г), 0 < г < Т, (5)

о о

где ф(х), щ(г), (I = 1,3), к(г,т) - заданные, непрерывные при х е [0,I], г е [0,Т], т е [0,г] соответственно функции, удовлетворяющие условиям согласования:

I

ф(0) = Щ1 (0), ф (I) = Щ2(0); |ф(х)Сх = щз(0).

0

В поставленной задаче в краевых условиях содержится нелокальность по времени, впервые рассмотренные в работе [13]. Заметим, что в работе [14] исследованы разрешимость краевых задач, сочетающих задачи с нелокальными условиями А.А.Самарского и задачи с интегральными условиями.

Через Ск,!'(Б) обозначен класс функций и(х,у), непрерывных вместе со своими частными производными порядка дт+пи(х,у)/дхтдуп для всех т = 0,к, п = 0,1; С0,0(Б) обозначим через С(Б).

Под классом С(к,у\Б) понимаются определенные в области Б функции, у которых все частные производные порядка к существуют и удовлетворяют условию Гельдера с показателем V е (0,1).

Определение. Регулярным в области Б решением уравнения (1) называется функция и(х,г), из класса С3,1 (Б) ПС2,0(Б), удовлетворяющая ему в обычном смысле.

Условие 1. Коэффициент и правая часть уравнения (1) удовлетворяют условиям

с(х, г), /(х, г) е С(П).

Условие 2. Заданные функции ф(x), i#(t), (i = 1,2,3) и р(t,т) удовлетворяют условиям

Ф(x) G C2[0,l]; ^(t), V3(t) G C1[0,T], ^2(t) G C[0,T].

Имеет место следующая теорема о разрешимости нелокальной задачи (1)-(5). Теорема. Пусть выполнены Условие 1 и Условие 2. Тогда существует единственное непрерывное и ограниченное решение нелокальной задачи (1)-(5).

Сведение задачи (1)-(5) к смешанной задаче для нагруженного уравнения теплопроводности

Сначала рассмотрим задачу (1)-(5) в случае когла c(x,t) = 0. Пусть u(x,t) является решением задачи (1)-(5). Интегрируя уравнения (1) по x от 0 до x, и учитывая условия (3), получим нагруженное уравнения параболического типа

дu д2u г . . д2u(0,t) ...

dt- 57 = --' (6)

здесь

x

fi (x, t) = Щ (t) + J f (z, t )dz. 0

Легко убедиться, что решение уравнения (5) также является решением уравнения (1) при c(x,t) = 0. Сложность этой задачи состоит в том, что в обе части граничного условия (5) входит неизвестное решение u(x,t).

Поэтому обозначим u(l,t) через д(t) и решим следующую задачу найти в области D решение u(x,t) уравнения (6), удовлетворяющее начальному условию (2) и краевым условиям

ux(0,t) = y2(t), u(l,t)= д(t), 0 < t < T. (7)

Предположим, что д(t) непрерывно-дифференцируема и интегрируема на [0, T] функция, причем д(0) = ф (l).

Известно (см. например [15], [16]), что функция Грина смешанной задачи (2), (7) для уравнения теплопроводности имеет вид

G(x,t; t, t) = £ (-1)

U (x - t + lnl, t - t) - U(x +t + lnl, t - t)

здесь

1

exp

U(x -t; t - t) = < ly/n(t - t

t > t ,

(x - t )2" 4(t - t) _

0, t < t.

n

n=— ж

Используя свойства функции Грина G(x,t; £, т) получим явное решение и(х, t) смешанной задачи в виде [17]

I г

u(x,г) = !ф(£)G(x,г;£,0)й£ + ^д(т)G£(х,г;0, т)йт-

0 0

г г I

у2(т№,г;0,т)йт+ ||G(x,г;£,т)[/!(£,т) -ихх(0,т)]й£йт. (9)

0 0 0 В равенство (9) входят неизвестные функции д(г) и ихх(0,г). Сначала находим функцию ихх(0,г). С этой целью формулу (9) перепишем в виде

г

и(х, г) = -1 К(х; г, т )ихх(0, т )й т + g(x, г), (10)

где

0

I

К (х; г, т ) = ! G(x, г; £, т)й £; (11)

0

I г

g(x, г) = I ф (£ Щх, г; £, 0)й£ + ^ д (тЩ (х, г ;0, т)йт -

00 г г I

-I №(тЩх,г;0, т)йт + ^^G(x,г;£,т)/г(£,т)й£йт. (12)

0 0 0 В дальнейшем исползуемся дифференциальные свойства ядра К(х;г, т) и свободного члена g(x,г) в окрестности точки х = 0.

Исследования функции К(х;г, т) и g(x, г)

Полученное интегро-дифференциальное уравнение (10) будем решать методом сведения к интегральному уравнению относительно ихх(0,г). Имеет место следующее утверждение.

Лемма 1. При г > т ядро К(х, г, т) определяемой равенством (11) имеет вторые производные по х и они ограничено при х = 0, т. е.

d2K (x, t, т)

dx2

< M.

x=0

Доказательство. Лемма 1 доказывается с помощью известных оценок функции Грина и ее производных [17]

di+jG(x, t; £, т)

dxitj

<

C

(t - т)(i+2j+l)/2

exp< -co

(x - £)2

4(t - т)

, i, j = 0,1,2,

C = const > 0, 0 < c0 = const < 1, а также неравенств

XYe-X < Me-qX

где X > 0, у = const > 0,M = const > 0,0 < q = const < 1. Дифференцируя (11) под знаком интеграла имеем

dK

д x

д G(x, t; , т) d x

d<§ = -

d G(x, t; , т)

d £ = —G(x, t; /, т).

В силу равенства (8) получим

dK

d x

2 £ (—1)nU(x + (2n + 1)/,t — т)

Отсюда дифференцируя по x, находим

d2K „ , lVlx +(2n + 1)1 ,

= 2 £ (-1)и^т:—U(x +(2n + 1)1,t-т).

Теперь полагая x = 0, имеем

д 2K

д x2

1

=0 V П (t — т )3

2(t — т)

£ (—1)n [(2n + 1)/] exp

[(2n + 1)/ ]2 4(t — т)

(14)

Общий член ряда (14) представим в виде

(2n + 1)/

(t — т )3/2

exp

2 Г(2я + 1)/1 3 / 1 Г (2n + 1)/1

Vn L 2 Vt — т J exp|—2 L 2 Vt — т J

[(2n + 1)/]2 4(t — т)

1

[(2n + 1)/]'

exp

(2n + 1)/

2 V?—т

Используя известное неравенство (13) 0<

Г (2n + 1)/1 3 J 1 Г(2я + 1)/1

L 2 Vt — т J exp|—2 L 2 Vt — т J

< M,

получим оценку для общего члена ряда (14) (2n + 1)1

д 2K <

d x2 x=0

2(t — т)

U ((2n + 1)/, t — т)

<

2M

exp

(2n + 1)/]2 _ 2Vt—т _

л/Л [(2п + 1)1 ]2

Так как (2п + 1) = 0 при любом п е N, то нетрудно убедиться, что знака чередующий ряд (14) сходится абсолютно и равномерно, т. е.

д 2К (х, г, т)

д x2

<M.

x=0

□

Лемма 1 доказана.

Теперь рассмотрим функцию #(х,г), определяемую равенством (12), которая состоит из суммы тепловых потенциалов. Из теории тепловых потенциалов известно, что если ф(х) е С(0,1), д(г) е С(0,у2(г) е С1(0,у2(0) = 0, то

*(х,г) е СХ2(Я) -- д^г)

д x2

< Mo.

(15)

x=0

Таким образом, функции К(х;г,т), #(х,г) и производные второго порядка по х, при х = 0 являются непрерывными и ограниченными функциями.

x

га=—^

2

2

2

2

Нахождение нагруженного слагаемого uxx(0,t) уравнения (6)

Из доказанной леммы 1 и неравенства (15) следует, что равенство (10), можем дифференцировать по x два раза и затем полагая x = 0, получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно uxx(0, t) :

[ д2К(0; t, т) ,п d2g(0, t)

Uxx(0, t) +-d_-L Uxx(0, т) d т = dx2 , (16)

0

Ядро и правая часть интегрального уравнения (16) непрерывные и ограниченные функции. Решение уравнения (16) имеет вид

t

Uxx(0, t) = g0(t) + J R(t, т)g0(T) dT (17)

0

, x d2 К (0; t, т) .. d2g(0, t) где R(t,т) - резольвента ядра -dpi-, а g0(t) = —dpi— •

Подставляя значение uxx(0,t) из (17) в формулу (10), получим

t t u(x, t) = J (x, t; i, т)ц (т) dт -J k(x, t, т) д (т)dт + g2(x, t) (18)

00

здесь

t Г т ^

k(x, t, т) = j К(x, t,sW (0, т;i,s) +JR^,s)G$ (0,z; i,s)dz ids; т s

g2(x,t) - известная функция.

Разрешимость нелокальной задачи (1)-(5)

Интегрируя (18) по x от 0 до i будем имееть

i t . i . t . i

\dт -

0 0 ч0 ' 0 ч0 ' 0

J u(x, t)dx = J у J G£ (x, t; l, ^dxj л (т) йт -Jy J k(x, t, ^dxj л (т)йт + Jg2(x, t)dx

(19)

Заметим, что

i i

J G£ (x, t, l, т)d£ = -J Gx(x, t, l, т)dx = -G(l, t; l, т) + G(0, t;l, т);

Jx

00

Тогда (19) примет вид

i t t

¡u(x,')dx=-^rn+¿¿¿IG(o,'; i,т )л (т) d т -

0 0 0

t . i . i

(У к(х, г, т)йх\ д (т)йт + ^ g2(x, г )йх (20)

0 0 0 Теперь умножим обе части (18) при х = I на Н(г, т) и интегрируем по т от 0 до г, меняя порядок интегрирования, получим

г г г . г

к(г,т)и(1,г)йт = Iд(т)Ык(г,а) G£(I,а;I,т) -к(1,т,я) йЛйт+ ^к(г,т)g2(l,т)йт

0

(21)

0 0

Отсюда используя условие (5), будем иметь

t t

1 [л (т )dx

2^%,! ф - т

00

f Jki(t, т)л (т) dT = gs(t) (22)

здесь

L l

k1 (t, т) = G(0, t; l, т) - J K(x, t, т)dx - Jh(t,s)

0 т

1 t

G| (x, s; l, т) + k(x, т, s)

ds;

g3(t) = - jgi(x,t)dx + Jh(t, т)g2(l, т^т + w(t).

00 Уравнение (22) перепишем в виде

t

1 ' Л Шт = g4(,), (23)

2^J Vt - т

где

g4(г)= gз(г) +1 к\ (г, т)д (т)й т. 0

Из условия согласования, имеем g4(0) = 0. Вычислим производную функции g4(г)

г

^(г) = gз(г) + к\(г,г)д(г) + ! ^^т) д(т)йт.

0

Пользуясь явным решением полученного интегрального уравнения Абеля (23), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода в виде

г

д (г) = g5 (г) + -^д! к2 (г, т)д (т)й т, (24)

здесь

t t

k2(t, т) = Щ + h(f, t)G(l, т ;0, t)+ -ß^ds + G(l, т ;0, s)ds;

t- т t т- s t

тт

t /

2 /g4(r)d т

g5(t) = ^^ 4 — известная функция.

V^ V t - т

В силу свойств функции Грина, легко показать [17], что

|k1 (t, т)|<-^; |K (t; %, т)| < , С1, C2 = const > 0.

t- т t- т

Как показано в [17], уравнение (24) является интегральным уравнением Вольтер-

ра второго рода со слабой особенностью и правая часть непрерывна, тогда она имеет

единственное решение в классе непрерывно-дифференцируемых функций.

Таким образом, разрешимость нелокальной задачи (1)-(5) доказана.

Список литературы/References

[1] Баренблатт Г. Н., Желтов Ю. П., Кочина И. Н., "Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах", Прикладная математика и механика, 24:5 (i960), 852-864. [Barenblatt G. I., Zheltov Yu. P., Kochina I.N., "Basic concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks", J. Appl. Math. Mech, 24:5 (1960), 1286-1303].

[2] Дзекцер Е.С., "Уравнения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах", Доклады АН СССР, 220:3 (1975), 540-543. [Dzektser E. S., "Equation of motion of underground water with a free surface in multilayer media", Soviet Physics Doklady, 20:3 (1975)].

[3] Чудновский А.Ф., Теплофизика почвы, Наука, М., 1976, 352 с. [Chudnovsky A. F., Thermophysics of the soil, Nauka, Moscow, 1976, 352 pp.]

[4] Голованчиков А. В., Симонова И.Э., Симонов Б. В., "Решение диффузионной задачи с интегральным граничным условием", Фундамент. и прикладн. матем., 7:2 (2001), 339-349. [Golovanchikov A. B., Simonova I.E., Simonov B.V.,, "The solution of diffusion problem with integral boundary condition", Fundam. Prikl. Mat., 7:2 (2001), 339-349].

[5] Cannon J.R. J., "The solution of the heat equation subject to the specification of energy", Quart. Appl. Math., 21:2 (1963), 155 - 160.

[6] Камынин Л. И., "Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями", Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 4:4 (1964), 10061023. [Kamynin L. I., "A boundary value problem in the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition", Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 4:6 (1964), 33-59].

[7] Ионкин Н. И., "Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелолкаль-ным условием", Дифференц. уравнения, 13:2 (1977), 294-304. [Ionkin N. I., "The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition", Differ. Uravn, 13:2 (1977), 294-304].

[8] Ионкин Н. И., Моисеев Е. И., "О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями", Дифференц. уравнения, 15:7 (1979), 1284-1295. [Ionkin N.I., Moiseev E. I., "A problem for a heat equation with two-point boundary conditions", Differ. Uravn, 15:7 (1979), 1284-1295].

[9] Самарский А. А., "О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений", Дифференц. уравнения, 16:11 (1980), 1925-1935. [Samarskii A. A., "Some problems of the theory of differential equations", Differ. Uravn., 16:11 (1980), 1925-1935].

[10] Юрчук Н.И., "Смешанная задача с интегральным условием для некоторых араболиче-ских уравнений", Дифференц. уравнения, 22:12 (1986), 2117--2126. [Yurchuk N. J., "A mixed problem with an integral condition for some parabolic equations", Differ. Uravn, 22:12 (1986), 2117-2126].

[11] Кожанов А. И., "Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений", Сиб. журн. индустр. матем., 7:1 (2004), 51--60. [Kozhanov A.I. , "A time-nonlocal boundary value problem for linear parabolic equations", Sib. Zh. Ind. Mat., 7:1 (2004), 51-60].

[12] Джураев Т.Д., Попелек Я., "О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка", Дифференц. уравнения, 27:10 (1991), 1734 - 1745. [Dzhuraev T. D., Popelek Ya., "Classification and reduction to canonical form of third-order partial differential equations", Differ. Equ., 27:10 (1991), 1225-1235].

[13] Кожанов А. И., "Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера", Дифференц. уравнения., 40:6 (2004), 763 - 774. [Kozhanov A. I., "On a nonlocal boundary value problem with variable coefficients for the heat equation and the Aller equation", Differ. Equ., 40:6 (2004), 815-826].

[14] Кожанов А. И., Попов Н.С., "О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений", Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 10:3 (2010), 46--62. [Kozhanov A. I., Popov N. S., "On solvability to nonlocal boundary value problems for pseudoparabolic equations", J. Math. Sci., 186:3 (2012), 438-452].

[15] Нахушев А. М., Уравнения математической биологии, Высшая школа, М., 1995, 301 с. [Nakhushev A.M., Moscow, 1995, 301 pp.]

[16] Орынбасаров М.О., "Решение смешанной краевой задачи для уравнения третьего порядка составного типа в полуполосе", Известия НАН РК. Сер. физ.-матем., 2009, № 1, 3-8. [Орынбасаров М.О., "Solution of a mixed problem for a third-order equation of composite type in a half-band", Izv. NAN RK, Ser. Phis.-math., 2009, № 1, 3-8].

[17] Джураев Т.Д., Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, Фан, Ташкент, 1979, 240 с. [Dzhuraev T. D., Fan Publ., Tashkent, 1979, 120 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

[1] Баренблатт Г. Н., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. 1960. Т. 24, вып. 5, С. 852-864.

[2] Дзекцер Е. С. Уравнения подземных вод со свободной поверхностью в многослойных средах // Доклады АН СССР. 1975. Т. 220, № 3, С. 540-543.

[3] Чудновский А. Ф. Теплофизика почвы. М.: «Наука», 1976. - 352 с.

[4] Голованчиков А. В., Симонова И. Э., Симонов Б. В. Решение диффузионной задачи с интегральным граничным условием // Фундамент. и прикладн. матем. 2001. Т. 7. вып. 2. С. 339-349.

[5] Cannon J.R. J. The solution of the heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math. 1963. - vol. 21, №2. - P. 155 - 160.

[6] Камынин Л.И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими краевыми условиями // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1964. Т. 4. №4. - С. 1006-1023.

[7] Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелолкальным условием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №2. - С. 294-304.

[8] Ионкин Н.И., Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1979. Том 15, №7. - С. 1284-1295.

[9] Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16. №11. - С.1925-1935.

[10] Юрчук Н.И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых араболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №12. -С. 2117--2126

[11] Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. матем., 2004. Т. 7. №1. -С. 51--60.

[12] Джураев Т.Д., Попелек Я. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1991. -Т. 27. №10. - С. 1734 - 1745.

[13] Кожанов А.И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнения теплопроводности и Аллера.Дифференц. уравнения. 2004. - том 40, №6. - С. 763 - 774.

[14] Кожанов А.И., Попов Н.С. О разрешимости некоторых задач со смещением для псевдопараболических уравнений. Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ., 2010. Том 10, вып. 3. -С. 46--62.

[15] Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - М.; Высшая школа. 1995. - 301 c.

[16] Орынбасаров М.О. Решение смешанной краевой задачи для уравнения третьего порядка составного типа в полуполосе. Известия НАН РК. Сер. физ.-матем. 2009, №1/ - С.3-8.

[17] Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент.: «Фан», 1979. - 240 с.

Для цитирования: Зикиров О. С., Сагдуллаева М. М. Разрешимость нелокальной задачи для уравнения третьего порядка с оператором теплопроводности в главной части // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 30. № 1. C. 20-30. DOI: 10.26117/2079-66412020-30-1-20-30

For citation: Zikirov O.S., Sagdullayeva M M. Solvability of a non-local problem for a third-order equation with the heat operator in the main part, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2020, 30: 1, 20-30. DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-20-30

Поступила в редакцию / Original article submitted: 22.03.2020

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2020. vol. 30. no.1. pp. 20-30.

DOI: 10.26117/2079-6641-2020-30-1-20-30

MSC 35K20, 35K35

SOLVABILITY OF A NON-LOCAL PROBLEM FOR A THIRD-ORDER EQUATION WITH THE HEAT OPERATOR IN THE MAIN PART

O. S. Zikirov, M M. Sagdullayeva

National University of Uzbekistan after named Mirzo Ulugbek, 100174. Universitetskaya

St., 4. Tashkent. Republic of Uzbekistan

E-mail: [email protected],[email protected]

In this paper, we considered the solvability of a non-local problem with integral condition for a third-order equation with head operatot in the main part. The existence and uniqueness of a regular solution to this problem are proved. The proof is based on reducing a non-local problem to the mixed problem for a loaded heat equation.

Key words: boundary-value problem, non-local condition, non-local problem, parabolic equation, Green's function, Volterra integral equation.

© Zikirov O. S., Sagdullayeva M M., 2020