Разрешимость краевых задач для линейных параболических уравнений в случае задания интегрального по временной переменной условия Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2014. Том 21, № 4

УДК 517.946

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ ЗАДАНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПО ВРЕМЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ УСЛОВИЯ А. И. Кожанов

Аннотация. Изучается нелокальная задача для параболических уравнений

и + Аоп = ^п + f

с самосопряженным эллиптическим оператором А о в случае задания интегрального по временной переменной условия

т

У N(Ь)п(х, Ь) ёЬ = 0.

о

Приводятся условия, дающие существование, несуществование, единственность и неединственность регулярных решений

Ключевые слова: параболическое уравнение, интегральное уравнение по временной переменной.

Введение

Задачи с нелокальным по временной переменной и, в частности, с интегральным условием для параболических уравнений достаточно хорошо изучены [1-18]. Во многих случаях в подобных задачах вместо начального условия задается условие вида и(х, 0) — Ви = 0 с некоторым оператором В или же условие, сводящееся к такому (например, с помощью интегрирования по частям). В [2,9,11,12,15,18] изучались задачи с условием Ви = 0 (вместо начального), оператор В в котором являлся интегральным оператором и не использовался прием, позволяющий перейти от задачи с условием Ви = 0 к задаче с «полуинтегральным» условием и(х, 0) — Вхи = 0. В настоящей работе также будет изучаться задача с заданием значений оператора Фредгольма, а именно, с заданием условия

т

У^(Ь)и(х,Ь) ¿Ь = 0, (*)

о

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 15-01—06582).

© 2014 Кожанов А. И.

и не будет использоваться прием, позволяющий перейти от задачи с данным интегральным условием к задаче с «полуинтегральным» условием.

Отметим следующее. В вышеназванных работах [2,9,11,12,15,18] одним из условий являлась невырожденность функции N(4) в точке 4 = 0: N(0) = 0 в [2,9,11,15], N(0) = •• • = N(п-1)(0) = N(Т) = •• • = N(п-1)(Т) = 0, но N(п)(0) = 0, п € М, в [12,18]. В настоящей работе даются другие условия разрешимости, в частности, допускающие бесконечный порядок обращения в нуль функции N(4) в нуле или допускающие выполнение условий N(0) = • • • = N(п) (0) = 0, N (п)(0) = 0, но не требующие обращения в нуль функции N(4) при 4 = Т.

По используемой технике и идее подхода настоящая работа близка к работе автора [19]. Некоторые из возможных обобщений полученных результатов приведены в конце статьи.

1. Постановка задачи

Для простоты ограничимся изучением одномерного по пространственным переменным случая.

Пусть О — интервал (0,1) оси Ох, ^ — прямоугольник О х (0,Т). Далее, пусть т — натуральное число, /(х, 4) и N(4) — заданные действительнозначные функции, определенные при (ж,£) £ <3 и ( € [О,?1] соответственно, а^, а^, г = 0,..., 2т — 1, j = 1,..., т, суть заданные действительные числа, ^ — заданное комплексное число, Ь и А, j = 1,..., 2т, — операторы, действие которых на функциях г>(х, 4) и ад(х) определяется равенствами

2m-1 2m-1

dx2m' " j

Lv = vt + (-1Г—= ]T aljWW(0) + ]T ay-W«(l).

i=0 i=0

Нелокальная задача. Найти функцию u(x, t), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

Lu = ^u + f (x, t) (1M)

и такую, что для нее выполняются условия

Aj u(x,t) = 0, j = 1,..., 2m, t G (0,T), (2)

T

Jn(t)u(x, t) dt = 0, x G O. (3)

0

C помощью интегрирования по частям в умноженном на функцию N(t) уравнении (1м) нетрудно показать, что в случае дифференцируемой функции N(t) нелокальная задача (1)-(3) эквивалентна задаче нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего условию (2), а также в случае N(0) = 0 — «полуинтегральному» условию

T т

И(х, 0) = --щ J N'(t)u(x, t) dt + + J N(t)f(x, t) dt. (4)

00

Нелокальная задача для параболических уравнений с подобным условием (условие вида и(х, 0) = Ви) изучалась во многих работах (см. [1, 3-8,10,14] и др.). Если же выполняется N(0) = N(Т) = 0, то исходная задача будет эквивалентна нелокальной задаче для уравнения (1м) с условием

т

1"'(()и(х()Л = "(х), х6а

Вновь выполняя переход от задачи с данным интегральным условием к задаче с «полуинтегральным» условием вида (4), получим либо задачу с новым «полуинтегральным» условием, либо задачу с новым интегральным условием с ядром N"(£), и т. д. Очевидно, что в случае финитной бесконечно дифференцируемой на отрезке [0,Т] функции N(г) исходная задача (1)-(3) никогда не перейдет в задачу с «полуинтегральным» условием. Именно такая ситуация будет допускаться в настоящей работе.

2. Разрешимость нелокальной задачи (10), (2), (3)

Обозначим У0 = {«(х) : у(х) 6 Ж2т(0), А, «(х) = 0, j = 1,..., 2т}. Нам понадобится

Условие (А). Система граничных операторов {А,такова, что дифференциальный оператор (—1)т £ -¿т является самосопряженным на пространстве Уо, обладает полной в У0 и ортонормированной в системой собственных функций (х)}£=1 с соответствующими неотрицательными собственными числами А., к = 1, 2,..., и при этом начально-краевая задача

Ьь = /(х, г),

А,«(х, г) = 0, j = 1,..., 2т, г 6 (0, Т), «(х, 0) = 0, х 6 О, разрешима в пространстве W^m'1(Q).

Введем обозначения:

/(х) ¿х, /.(т)ехр[-А.(г - т)] ¿т,

(х,г)адй (х) о о

т т

7. = / 0

1

N(г)с.(г) ¿г, О. ^N(г)ехр(-А.г) ¿г,

4(4) =-т^ехр(-Л^), к = 1,2,.... Ок

Теорема 1. Пусть выполняются условие (А), а также условия

N (г) 6 С ([0,Т]), (5)

Ок = 0, к = 1,2,..., (6)

^ \ 2

ряд -ТГ~ сходится. (7)

к=1 °к

Тогда нелокальная задача (1о), (2), (3) разрешима в пространстве для

любой функции /(ж, 4) из пространства Ь2(^).

Доказательство. Пусть и1(ж,4) — решение начально-краевой задачи

Ьи1(ж, 4) = /(ж, 4),

Аи1(ж,4) = 0, j = 1,..., 2т, 4 е (0,Т),

и1(ж, 0) = 0, ж е О.

Поскольку эта функция принадлежит пространству ее можно пред-

ставить рядом Фурье:

И1(ж,-£) = ек(ж). к=1

Пусть

«2 (ж, 4) = ^ ¿к (¿)^к (ж).

к=1

Согласно условиям (6) и (7) и2(ж, 4) корректно определена и является элементом пространства ^г2т'1(^). Определим функцию

и(ж, 4) = и1(ж, 4) + и2(ж, 4),

которая, очевидно, и будет требуемым решением нелокальной задачи (1о), (2), (3). Теорема доказана.

Теорема 1 имеет общий характер. Приведем конкретные примеры и докажем утверждения, дающие достаточные и легко проверяемые условия, обеспечивающие справедливость теоремы 1. Уточним, что предложенные примеры и доказанные утверждения будут такими, что для функции N(4) условия работ [2, 9,11,12,15,18] выполняться не будут.

Прежде всего заметим, что условие (6) заведомо выполняется для любой неотрицательной не тождественно равной нулю непрерывной на отрезке [0, Т] функции N(4). Обозначим

^о = ^11ВД11£2([О,П). Ъ = / (7 я-

Для чисел 7к, к = 1, 2,... ,в случае Ак = 0 имеет место оценка

11 (8) Ак

Из этой оценки следует, что условие сходимости ряда (7) можно далее формулировать в терминах коэффициентов Фурье функции /(ж, 4).

Пусть N (¿) = ¿.В этом случае не выполняется условие невырожденности в нуле из [2,9,11,15] и не выполняется условие N(Т) = 0 из [12,18]. С другой стороны, при Ак = 0 имеем

1 - (1+ АкТ) ехр(—АкТ)

4

Ак

Поскольку А к ^ при к то, для фиксированного числа то из интервала (0,1) найдется натуральное число ко такое, что при к > ко имеет место неравенство

1 - то

4 >

Ак

ж

и,

Вследствие (8) ряд (7) будет сходиться, если сходится ряд ^ Ак^к, сходимость

к=1

же последнего ряда нетрудно обеспечить условием быстрого убывания коэффициентов Фурье функции /(ж,£).

Аналогичные рассуждения можно провести и для функций N(¿) = ехр(с£) с целым неотрицательным показателем р и произвольным действительным числом с. Очевидно, что для таких функций N(¿) не выполняются условия из [2, 9,11,12,15,18] при р > 1 и условие N(Т) < N(0) при р = 0, а > 0, возникающее при исследовании разрешимости нелокальной задачи для уравнения (1о) с условием (4).

Следующие два утверждения соответствуют как приведенным выше примерам, так и более общей ситуации.

Утверждение 1. Пусть N(¿) —неотрицательная на отрезке [0, Т] функция, принадлежащая Ср+1([0, Т]) (р > 0 целое) и такая, что N (0) = ••• = N(р-1)(0) = 0, N(р)(0) > 0. Далее, пусть /(ж,£) — функция из £2(ф) такая, что сходится ряд

ж

ЕАк^к. (9)

к=1

Тогда нелокальная задача (10), (2), (3) разрешима в ^Г2т'1(ф). Доказательство. Имеет место равенство

Т , N т

Г N (р)(0) [ / Ж(Х)ехр(-Ак£)(Й =-/ ехр(А^) М

оо

т

+ (^ТТ)! /

о

Вычисляя первый из интегралов правой части данного равенства, оценивая второй

N(р+1)((9)^+1 ехр(-Ак¿) Л

о

и вычисляя последний, получим

< О^ ¿р+1 ехр(-Ак¿) Л,

1

о

Л > ^ 4 > др ,

где постоянная С2 определяется функцией N(4) и числом Т. Из этого неравенства, неравенства (8) и условия теоремы следует, что ряд (7) сходится. Согласно теореме 1 это означает разрешимость задачи (1о), (2), (3). Утверждение доказано.

Утверждение 2. Пусть N(4) — неотрицательная не тождественно равная нулю непрерывная на отрезке [0, Т] функция. Пусть /(ж, 4) — функция из Ь2(^) такая, что сходится ряд

ж

к=1

ехр(2Лк Т )*к. (10)

Тогда нелокальная задача (10), (2), (3) разрешима в Ж2™'1^).

Доказательство. Имеет место неравенство 5к > Сехр(-ЛкТ). Из этого неравенства, неравенства (8) и теоремы 1 и следует требуемое. Утверждение доказано.

Безусловно для сходимости рядов (9) или (10) требуются весьма сильные условия на убывание коэффициентов /к (4) при к ^ ж, тем не менее очевидно, что множество функций /(ж, 4), для которых требуемое убывание имеет место, непусто.

Заметим, что при выполнении условий утверждения 2 функция N(4) может быть финитной на отрезке [0,Т]. Далее, комбинируя утверждения 1 и 2, нетрудно указать условия, позволяющие коэффициентам Фурье функции /(ж, 4) экспоненциально (относительно Лк) убывать на отрезке [0,То] при 0 < То < Т и убывать степенным образом при 4 > То, а функция N(4) может иметь при 4 = 0 нуль бесконечного порядка.

И последнее замечание. Функция N(4) может быть и не знакоопределенной на отрезке [0,Т]. Например, пусть для не тождественно равной нулю функции N(4) выполняются соотношения

т t

J N(4) 4 = 0, J N(т) ¿г > 0. оо

Имеем

4 = у N(г)ехр(-Лк4) = Лк у N1(4) ехр(-Лк4)

оо <

N1(4) = ^ N(т) ¿т. о

Отсюда следует, что асимптотику чисел ¿к можно определять, исходя не из функции N(4), а из функции N1(4).

Все изложенное в разд. 2 можно резюмировать следующим образом: в теореме 1, в утверждениях 1 и 2 даны новые условия разрешимости нелокальной задачи с интегральным по временной переменной условием для параболических уравнений.

3. Нелокальная задача (2), (3)

со спектральным параметром

Рассмотрим задачу (1м), (2), (3) с произвольным комплексным параметром

II.

11 \ ; сначала /(ж, £) — тождественно равная нулю при (ж, £) (Е (5 функция (другими словами, рассмотрим вначале задачу на собственные числа). Для комплексного числа р обозначим через ^(р) функцию

т

<^(р) = J N(4) ехр(р4) о

Далее, пусть ^о — множество нулей этой функции: ^о = {р € С : <^(р) = 0}.

Теорема 2. Пусть N(4) — непрерывная на отрезке [0,Т] функция. Тогда всякое число ри, к = 1,..., вида ри = Ак + р, р € ^о, есть собственное число задачи (1М), (2), (3), а соответствующая собственная функция ик(ж,4) имеет вид ии(ж,4) = ехр(р£)ади (ж).

Доказательство теоремы 2 очевидно.

Рассмотрим нелокальную задачу (1м), (2), (3) в случае произвольной функции / (ж, 4).

Теорема 3. Пусть выполняется условие (5), и пусть для некоторого натурального числа ко, для числа р из множества ^о и для заданной функции /(ж, 4) из пространства Ь2(^) выполняется

I N(¿) ^ I /ко (т) ехр[р(4 - т)] ¿т^ ^ =0. (11)

Тогда при выполнении условия (А) нелокальная задача (1Мк0), (2), (3) не разрешима в Ж^'1^).

Доказательство. При выполнении условия (А) и при принадлежности функции /(ж, 4) пространству Ь2(^) решение и(ж, 4) нелокальной задачи (1Мк0),

(2), (3), если оно существует, необходимо имеет вид

^

и(ж,4) = ^ си (г)од; (ж).

и=1

Для функции с^о (4) имеем с^0 (4) - рс^ (4) = /ко (4). Отсюда

t

ско (4) = ехр(р£)ско (0) + У ехр(-рт)/ко (т) о

Поскольку должно выполняться

т

/ N(4)ско (4) Л = 0,

полученное выше представление функции Ск0 (*) и условие (11) приводят к противоречию. Теорема доказана.

В условиях теоремы 3 числа м и р могут быть комплексными. Пусть далее числа м и р действительные — для простоты и для аналогии с теоремой 1.

Итак, пусть м — действительное число, и пусть для конечного множества натуральных чисел к^ ... , кр выполняется

М - Ак, е Это, г = 1,...,р (12)

(подразумевается, что для остальных натуральных к числа м — Ак не являются элементами множества ЭТо). Положим

4 т

Ск,м(£) ^ У /к(т) ехр[—(Ак — м)(* — т)] йт, 7к,м = J N(*)ск,м(*) оо т

= IN(*) ехр[—(Ак — м)*] Л, к =1, 2,.... о

Пусть Ь1, ... , — заданные действительные числа.

Теорема 4. Пусть выполняются условия (А) и (5), а также условия ^к,^ = 0, к = 1, 2,..., к = к^, г = 1,...,р,

°° (А. ^М)7к2,

Х2

-- СХОДИТСЯ,

к=1, к ^^ к1 ,...,кр

У N(4)^ У /к, (т)ехр[—(Ак, — м)(* — т)] Л = 0, г = 1,...

Тогда нелокальная задача (1м), (2), (3) имеет бесконечно много решений, принадлежащих Ж^™'1^), при выполнении же дополнительных условий

У и(ж, 0)адк; (х) йх = , г = 1,...,р, (13)

о

задача (1м), (2), (3) разрешима в пространстве Ж^™'1^) единственным образом.

Доказательство. Искомое решение задачи (1м), (2), (3) имеет вид

и(ж,*) = ^ < В ехр[—(Ак, — м)*] + / /к, (т)ехр[—(Ак, — м)(* — т)] йт (х)

^ I о ]

+ | - ^^ ехр[-(Ак+ У /к(т) ехр[—(Ак —//)(£ — т)] с1,т > ги^ (х),

к=1, ^ 0 к ^^ к1 ,...,кр

4

здесь Bi — произвольные действительные числа. Из этого представления и следует первая часть теоремы. Если же выполняются условия (13), то числа Bi однозначно определяются, тем самым будет справедлива и вторая часть теоремы. Теорема доказана.

В случае комплексных чисел р и р имеют место аналогичные теореме 4 утверждения, все рассуждения при этом вполне аналогичны вышеприведенным. Далее, включения (12) могут иметь место и для счетного множества к1, к2, ... натуральных чисел, но при этом числа Bi уже не могут быть произвольными. Именно, если обозначить через Ж множество натуральных чисел к, для которых выполняются включения (12), то числа Bi должны быть такими, чтобы числовой ряд ^ (Ак; — р)Bi сходился (другие условия теоремы 4 легко

трансформируются в условия, соответствующие счетному множеству ).

4. Дополнение

Укажем некоторые другие обобщения представленных выше результатов о разрешимости нелокальной задачи с интегральным условием (3).

1. Очевидно, что все полученные выше результаты переносятся на многомерный случай (при выполнении многомерного аналога условия (А)).

2. Все полученные выше результаты нетрудно перенести (с соответствующими изменениями) на параболические уравнения с обратным направлением времени, а именно, на уравнения

—щ + Аи = рщ + /(ж, 4),

причем как в одномерном, так и в многомерном случаях.

3. Как уравнение (1), так и уравнение (14) или их многомерные аналоги могут быть уравнениями с переменными коэффициентами такими, чтобы метод Фурье для них работал.

4. Все представленные выше результаты нетрудно перенести на уравнения

д

— (и + Аи) + кАи = ¡ли + /

(называемые псевдопараболическими уравнениями, или уравнениями соболевского типа).

5. Интегральное условие (3) соответствует условию

т

/,Ф»„ж.(,Л = 0

о

с линейным оператором Ф, являющимся оператором умножения. Нетрудно получить результаты о существовании, несуществовании, единственности и неединственности решений уравнений (1) для некоторых других операторов Ф — например, для интегральных операторов Фредгольма

т

(Фщ)(ж,() = / N Мж,г)

о

и для более общих операторов.

6. Для всех указанных выше уравнений в интегральном условии (3) можно считать N = N(x,t). В этой ситуации существование решений будет определяться сходимостью не числовых, а функциональных рядов. Далее, во всех случаях интегральное условие может быть неоднородным, а именно, иметь вид

т

iN w"(xt) dt =

о

функция h(x) при этом должна принадлежать пространству V0.

ЛИТЕРАТУРА

1. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Диф-ференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.

2. Крейн С. Г., Хазан М. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 21. С. 130-264.

3. Chabrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. V. 93. P. 109-131.

4. Chabrowski J. On the nonlocal problems with a functional for parabolic equation // Funkc. Ekvacioj, Ser. Int. 1984. V. 27, N 1. P. 101-123.

5. Byszewski L. Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem // J. Math. Appl. Anal. 1991. V. 162, N 2. P. 494-505.

6. Byszewski L., Lakshmikantham V. Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space // Appl. Anal. 1991. V. 40, N 1. P. 11-19.

7. Шелухин В. В. Задача о прогнозе температуры океана по средним данным за предшествующий период времени // Докл. АН. 1992. Т. 324, № 4. С. 760-764.

8. Шелухин В. В. Вариационный принцип в нелокальных по времени задачах линейных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 191-207.

9. Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 6. С. 841-843.

10. Либерман Г. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. Международная математическая сер. Новосибирск: Ин-т математики, 2002. С. 233-254.

11. Тихонов И. В. Теоремы единственности в нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Сер. мат. 2003. Т. 67, № 2. С. 133-166.

12. Тихонов И. В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Интегральные преобразования и специальные функции. 2004. Т. 4, № 1. С. 49-69.

13. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

14. Gil' M. I. Nonlocal initial problem for nonlinear nonautonomous differential equations in a Banach space // Ann. Differential Equations. 2004. V. 20, N 2. P. 145-154.

15. Сильченко Ю. Т. Уравнения параболического типа с нелокальными условиями // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. Т. 17. С. 5-10.

16. Уварова М. В. О некоторых нелокальных краевых задачах для эволюционных уравнений // Мат. тр. 2010. Т. 13, № 2. С. 179-207.

17. Kozhanov A. I., SaGullova R. R. Linear inverse problems for parabolic and hyperbolic equations // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2010. V. 18, N 1. P. 1-24.

18. Федоров В. Е., Иванова Н. Д., Федорова Ю. Ю. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 4. С. 882-897.

19. Кожанов А. И. Задачи с условиями интегрального вида для некоторых классов нестационарных уравнений // Докл. АН. 2014. Т. 457, № 2. С. 152-156.

Статья поступила 15 ноября 2014 г. Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 кс^Капо¥@ша"ЬК .nsc.ru