Разрешимость краевой задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.956.4

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В. Г. Марков

Аннотация. Рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений высокого порядка вида

т

(Ь) + Ьп = f, (ж, Ь) £ Q = (а, Ь) х (0, Т),

¿=0

оператор Ь имеет вид

Ьи = -(Ьои + Ло и + Мгг),

д(ж)

где Ьо — дифференциальный оператор по переменной ж, М — его возмущение, а д — вещественная функция, которая может обращаться в 0 и менять знак. Сформулированы и доказаны теоремы об обобщенной разрешимости данной задачи.

Ключевые слова: спектральная задача, индефинитная метрика, метод продолжения по параметру.

Введение

В работе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений высокого порядка вида

т

и(2т+1) п(г)аг(1) + Ьп = /, (М) е <3 = (а, Ь) х (0,Т), (1)

¿=0

где и^ = оператор Ь имеет вид

Ьи = (Ьои + Ло и + Ми),

д(х)

Ьо — дифференциальный оператор по переменной х вида

2 д®

¿=о

и М — его возмущение вида

2«-1 д® ¿=о

© 2014 Марков В. Г.

Дополним уравнение (1) краевыми условиями

28-1 дк 28-1 дк из{и) ее ]Г а^и(а, Т) + ]Г Т) = °> ^ = 1,2-----2«, (2)

к=0 к=0

и(г)(х, 0)= и(г)(х,Т), (3)

где а3к, вjk — некоторые комплексные постоянные.

Функция д(х) может обращаться в нуль и менять знак на отрезке (а,Ь). В частности, при т = 0 получаются параболические уравнения с меняющимся направлением времени, которые достаточно хорошо изучены.

В настоящей работе рассматриваются вопросы разрешимости краевой задачи (1)-(3).

Отметим, что подобные уравнения возникают во многих областях физики, механики и некоторых других приложениях. Уравнения высокого порядка рассматривались в работах [1-4].

В § 1 приводятся некоторые обозначения и вспомогательные утверждения. В § 2 даны доказательства основных результатов.

§ 1. Обозначения и вспомогательные утверждения

Обозначения функциональных пространств, которые будем использовать, стандартны: Wp(G) —пространство Соболева (см. [5]) и пространства Гельдера С*(С) (см. [6]). Резольвентное множество и спектр оператора Ь обозначим через р(Ь) и <(Ь), а пространство, построенное при помощи метода вещественной интерполяции из банаховых пространств X и У, — символом (X, У)в,р.

Предполагаем, что область определения О(Ьо) оператора Ьо состоит из функций и(х) € W22s(а, Ь), удовлетворяющих условиям (2), и имеет место неравенство

Ие(Ьои,и) > ¿о||и||^|(а,ь), и € £(Ьо), $о > 0, (4)

где (•, •) — скалярное произведение в Ь2(а, Ь). Обозначим через Н1 замыкание О(Ьо) по норме ||и||#1 = ||и||^|(а,ь). Естественно также предположить, что существует постоянная с > 0 такая, что

|(Ьои,и)|< с||и||Я1 |М|Я1, и,у € Б(Ьо). (5)

Отсюда вытекает оценка

||Ьои||я; < сЦиЦщ, (6)

где Н1 — негативное пространство, построенное по паре Н1;Ь2(а, Ь). Введем оператор

Ь0 и = + А 0)и.

д(х)

Считаем, что д(х) € Ь1(а, Ь) и ^({х € (а, Ь) : д(х) = 0}) = 0, где ц — мера Лебега. Положим = Ь2(0,Т; Н1). По определению пространство Ь2,5(а, Ь) состоит из измеримых на (а, Ь) функций таких, что

о

^(аь) = J !д(х)||и|2^х <

и

Определим вспомогательное пространство . = Ь2(0,Т; Ь2,д(а, Ь)). Пространство . становится пространством Крейна, если определить на нем индефинитную метрику и скалярное произведение:

[и,г>]о = J д(х)и(х, £)г>(ж, Ь) ¿жсЙ, (и, г>)о = J \д(х)\и(х,£)ь(х,£) йхсП. Я Я

Имеем

И,е[Ьои,и]о = И^(Ьо + Ао)ии ^ > ^М^ + Ке Ло\\и\\12(я)' и е ДЬо). (7) Я

В силу оценок (6), (7) и неравенства (4) оператор Ьо + Ао, Ие Ао > 0, допускает расширение до изоморфизма и Р' = Ь2(0,Т; Н'). Это утверждение является следствием теоремы Лакса — Мильграма.

Построим пространство Н_1 как пополнение Ь2 д(а, Ь) по норме

'[и, V]'

1М|я-! = йиР п п— = \\9(х)и\\Н' \М\ях 1

где

[и, V] = / д(ж)и(ж)г>(ж) ¿ж.

Положим = Ь2(0,Т; Н_1). Отметим, что р плотно вложено в р в силу условия на функцию д(ж). Рассмотрим оператор Ьо как оператор из Р_1 в Р_1 с областью определения Р1. Поскольку Ьо + Ао при Ие Ао > 0 является изоморфизмом из Ь2(0,Т; Н1) в Ь2(0,Т; Н[), Ьо — изоморфизм из Р1 в Р_1. Справедливо следующее утверждение (см. [3, гл. 1, лемма 4.1].

Лемма 1. Имеет место включение Ж С р(Ьо). Справедлива оценка для резольвенты

иЬо + гХГ'Пг^ <ТТщ||/|к

1

й2т+1

Рассмотрим оператор А = I д{2т+1. Пусть Д^ — гильбертово пространство со скалярным произведением (•, )н. Положим

£(А) = {и е ^22т+1(0, Т, Н) : и(г) (0) = и(г) (Т), I = 0,1,..., 2т}.

Лемма 2. Оператор А : Ь2(0, Т; Н) ^ Ь2(0, Т; Н) самосопряжен.

Рассмотрим задачу

Аи + Аи = /, и(г)(0) = и(г)(Т), г = 0,1,..., 2т.

Решение краевой задачи представим в виде и = ^ где ^ — ортого-

нальный базис в Н, а е^ (£) обладают следующими свойствами:

Асг + Асг = /г, / = (/, ), ИегА = 0.

Покажем, что каждое уравнение имеет решение. Достаточно доказать единственность решения [7]. Единственность решения вытекает из оценки

1 ИегА1\Ы\ь2(о,т) < еУ/\\ь2(о,т),

ь

которая устанавливается, если проинтегрировать по частям интеграл в выражении

T T

Re j(¿Au + ¿Au,u)h dt = Re j(¿f, u) dt. 0 0 Таким образом, ¿R \ {0} С p(A) и из определения легко найти, что A симметричен и, значит, самосопряжен (см. [8, гл. 8, § 3]).

§ 2. Основные результаты

Сформулируем теорему об обобщенной разрешимости задачи (1)—(3). Имеем L2,g(а, 6) С H_i, и это вложение плотно. Найдется самосопряженный в H_i оператор Ao такой, что D(Ao) = ¿2,5(а, 6), ||Aou||n_i = |М|ь2,э(а,ь), Ao — изоморфизм из L2,g(a, 6) в H_i (см. [8, с. 315, 316]). Тогда ||v|h_i = ||A_1v|L2,g(a,b). Уравнение (1) можно переписать в виде

u(2m+1) + ¿ou + Mou = f, (8)

где

2m 1 2s-1 d j Mou = XX'Wt) + -7-T E

i=o g( ) j=o

В следующей теореме рассмотрим случай, когда Mou = 0, т. е. уравнение вида

u(2m+1) + Lo = f. (9)

Теорема 1. Пусть f G L2(0,T; F_1), Re Ao > 0 и Mou = 0 для всех u. Тогда существует единственное решение u G Fi, u(i) G (F1, F_1)1_eij2 (0j = ¿/(2m + 1), г =1, 2,..., 2m), u(2m+1) G F_1 задачи (9), (2), (3), удовлетворяющее оценке

2m

||u||Fi + E |u(i) |(Fi,F_i)i_ei,2 + ||u(2m+1) |f_i < c||f |f_i , (10)

i=1

где c — некоторая постоянная, не зависящая от f.

Доказательство. Рассмотрим оператор A = ¿dt2m+1 как оператор из F_1 в F_1 с областью определения D(A) = {u : u(i) G F_1, u(i) (0) = u(i) (T), г = 0,1,..., 2m}. Перепишем уравнение (1) в виде

Au + ¿Lou = ¿f. (11)

Как вытекает из леммы 1, R С p(iL) и справедлива оценка резольвенты

IKiZo + A)-1/!^-! ^^Т^У' ^ = (12)

Применяя теоремы 3.1 и 3.2 из [9], можем записать решение уравнения (11) в виде

u

= / (¿Lo + A)_1dEAf.

где — спектральное разложение оператора А, причем и обладает свойствами и € ^(А) П ^(¿¿0), таким образом, и(г) € г = 0,1,..., 2т +1, и € Fi.

Чтобы обосновать последнее утверждение теоремы, применяем теорему о промежуточных производных [10, гл. 1, теорема 2.3].

Рассмотрим вопрос о разрешимости задачи (1)—(3). Предполагаем, что для любого е > 0 найдется постоянная е(е) такая, что справедливо неравенство

1)

2s-1

Е, , . dJ bjix^j—u

J=0

< e|M|Fl + c(e)yuyL2(Q), u G D(Lo). (13)

F1

Простейшие условия, гарантирующие выполнение условия 1, суть условия

bj = 0 при j > s,

bj(x,t) G LTO((0,T) x (ß, b)) при j < m — 1.

2) ßj (t) G LP0 (0,T), j = 0,1,..., m, po > 2, g(x) G ¿2(0, b).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и условия 1, 2. Фиксируем е G (0,п/2). Тогда найдется Л1 > 0 такое, что при всех Ao, Re Ao > Л1; | arg Ao| < п/2 — е, задача (1)—(3) имеет единственное решение со свойствами, указанными в теореме 1 .

Доказательство. Рассмотрим уравнение, зависящее от параметра т G [0,1]:

LlT u = g(x)u(2m+1) + Lou + Aou + tMu = fg. (14)

При т = 0 уравнение (14) имеет единственное решение, удовлетворяющее краевым условиям (2), (3). Получим априорные оценки, равномерные по параметру т. В силу условия 1 существует постоянная c > 0 такая, что

2s-1

1

g(x)

bJ(x,t)u

(j)

s=o

< e||u||Fi + c(e)||u||L2(Q).

(15)

F-i

Имеем

2m

]T ^u« =

i=o F-i

--1u(i)

i=o

(16)

Fo

Норму в Fo можно записать в виде нормы в L2,g(ß, b; L2(0,T)). Оценим

aiV(l)|L2,s(a,b;L2(o,T)), v(i) = A01u(i). Имеем

ßiv(i)||l2(o,t) <|ßi|Lp(o,T)||vwHl

(i)||2

p/(p-2)

(o,T),

где р е (2,4). В силу теорем вложения норма \\г>(г)\\ьр/(р_2)(о,т) оценивается через

г/1' ||vr23(o,T); s = Р G (2,4)- Используя интерполяционное неравенство,

получим llv(i)

^ II II26 II и 2(1-0)

W(o,T) < c211 v 11m+i(o)||v||L2(o,T)

<

m + 1

M|^2m+i(0iT) + c3e 1-e \\V\\L2(o,T)

<

1(o,T) е

гДе ^ = 2m+i и e G (0,1). Имеем -As = 'f.- „ • Отметим, что

m + 1

9 _ _

1-0 2ra+l-i-s

i + s m + s

max - =- < 1,

o<i<m 2m + 1 — i — s m + 1 — s

0

поскольку s = < i при р £ (2,4). Тогда

Е

i=0

2

< p||,,(2m+1)||2

< Hl2,s (a,b;L2(0,T))

L2,g (a,b;L2(0,T))

+ c5e |М|ь2,э(а,ь;ь2(о,т)),

где постоянная С5 не зависит от е. Таким образом, окончательно неравенство примет вид

i=0

<e||u(2m+1)|||_i (17)

Умножим уравнение (14) скалярно в L2(Q) на и. Проинтегрировав по частям, получим уравнение

Re(L0u, и) + Re А0(и, и) + Re(M0u, ид) = Re(g/, и),

где (•, •) — скалярное произведение в L2(Q). Отсюда

¿ЦиЦ? + ReA0IM|L2(Q) < II/IIF-1 c(£i) + £iM?i + e2IMI?i + с(£2)УМ0иУ|-1.

Взяв £i = £2 = |, получим

с

-|M||. +ReA0|Mli2(Q) < 11/llL^i +с2||Мои|||_1. (18)

Из уравнения (14) вытекает оценка

Ии(2т+1)||-1 < c3(y„yFi + |A0i2H«NL2(Q) + Ими?- +1/IIF-1),

где сз — некоторая постоянная, не зависящая от и и А0. Делим это неравенство на y|А01 и складываем его с (18). Получим

Выберем 7 = и Ai > 0 такое, что при |Ао| > Ai выполняется неравенство

jzfc < !• Тогдае

l|w(2m+1)|lLlTO + + М^НUq) ^ c5ll/lll-i +сб11мои|||_1, (19)

где без ограничения общности можем считать, что постоянные С5 и сб не зависят от |А01 такого, что А0 > А1. Из неравенств (15), (17) и (19) получим

ll-(2m+1)HL1p^ +ill-Ill,+ |Aol^lkllL(Q)

< С5II/IIF-i + eiI«IFi + c(ei)I«IL2(Q) + ^2IIи(2т+1)IF-1 + c(£2)I«IF-i,

2

где с(е2) = С7£2 m+1 3 и постоянная С7 от £2 не зависит. Выберем е\ = | и

Аг > А1 такое, что с(£х) < 0 при |Ао| > Аг- Тогда

1к(2т+1)Ш_1^ +11^111,+ |Ао||к1112(д)

< свУ/+ с9е2Уи(2т+1)у|_1 + сюс^МЦ-. Выберем £2 = 4|Л|||еа. Предыдущее неравенство перепишется в виде

||и(2т+1)|11-^ + Н* + \Хо\Ы12{я) < сМ^ + С1оС(е2)|к|||_1. (20)

Оценим |Н|^_1 = ЦиЦь2(о,т;я_1)- Имеем II II Mc[a,b]||u||L2(a,b) ЬУ^а.Ь) , ,, ,,

Мя-1 = ЙиР -м-Й- <вир--1| п -— < Си и £,2(0,6)-

Таким образом,

||и|^_1 < С11|и|ь2(д).

Используя это неравенство в (20), получим

,¿J + N& + |Ao||klli2(Q) < cell/Ilk, + ci2|A0|^fe|k||i2(Q).

Поскольку ^

найдется Л3 ^ Л2 такое, что

|А0| - с12|А0|2т++1-3 > при |Ао| > А3.

Тогда последнее неравенство для функции и перепишется в виде

Постоянная С13 не зависит от параметра т £ [0,1]. Применяя стандартную схему метода продолжения по параметру (см. [11, гл. 2, § 7]), получим утверждение теоремы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кислов Н. В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С. 1427-1436.

2. Егоров И. В., Федоров В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995.

3. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические операторно-дифференциальные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

4. Pyatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002.

5. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. Berlin: VEB Deutcher Verl. Wiss., 1977.

6. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

7. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

8. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

9. Дубинский Ю. A. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Мат. сб. 1973. Т. 90, № 1. С. 3-22.

10. Лионе Ж^.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

11. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

Статья поступила 6 мая 2014 г. Марков Виктор Гаврильевич

Северо-Босточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, Институт математики и информатики

ул. Белинского, 58, Якутск 677000, Республика Саха (Якутия) Ъп"Ьг@гатЪ1ег. ги