Разрешение фазовой неоднозначности в однобазовой угломерной аппаратуре ГЛОНАСС/GPS Текст научной статьи по специальности «Математика»

Разрешение фазовой неоднозначности в однобазовой угломерной аппаратуре ГЛОНАСС/GPS

Фатеев Ю.Л. ([email protected]) Красноярский государственный технический университет

При создании угломерной радионавигационной аппаратуры, работающей по сигналам глобальных спутниковых радионавигационных систем (СРНС) ГЛОНАСС и GPS основной проблемой является разрешение фазовой неоднозначности при измерении разности фаз на разнесенные в пространстве антенны. С целью повышения точности определения пространственной ориентации используют интерферометры с расстоянием между антеннами (длиной базы), достигающим нескольких метров. Неоднозначность измерения фазового сдвига обусловлена тем, что длина волны измеряемых сигналов достаточно мала (около 19 см), что намного меньше длины баз интерферометра. Методы разрешения фазовой неоднозначности можно разделить на два класса: одномоментные, работающие по результатам каждого измерения [1,2] и методы на основе фильтрации, требующие измерения фазовых сдвигов в течение некоторого интервала времени [3,4].

Особый интерес представляют одномоментные методы разрешения фазовой неоднозначности. Одномоментные методы на основе максимального правдоподобия используют избыточность системы уравнений, которую можно получить, используя линейную многоантенную решетку [5], либо избыточное созвездие навигационных космических аппаратов (НКА). Теория линейных антенных решеток используется в радиопеленгации и достаточно хорошо изучена, в то время, как исследования переборных алгоритмов в однобазовом интерферометре, работающему по избыточному созвездию НКА, практически отсутствуют. В данной статье исследуется одномоментный метод разрешения фазовой неоднозначности за счет избыточности созвездия НКА.

Уравнение однобазового интерферометра, с помощью которого определяется его ориентация, имеет вид [6]:

^ = Ц = kxx + kyy + kzz, (1)

2р

где X - длина волны сигнала НКА, ф - фазовый сдвиг, Ф - фазовый сдвиг, выраженный в единицах длины, является разностью хода сигналов НКА между антеннами, kx,y,zi - направ-

ляющие косинусы вектора-направления на навигационный космический аппарат (НКА), х, у, z - координаты вектора-базы.

При наличии фазовой неоднозначности уравнение (1) записывается в виде кхх + куу + kzz = Ц i + ni X i, (2)

где п - целочисленная фазовая неоднозначность, i = 1,2,...N - порядковый номер наблюдаемого НКА.

Для разрешения фазовой неоднозначности в однобазовом интерферометре используется переборный метод. Решение выбирается по критерию максимального правдоподобия. Функция правдоподобия (ФП) при приеме сигналов N НКА имеет вид

хч

,Ф 2 ,-Ф п I X, У^ )=П

i=1

1

2п

■ ехр

-Г

[фi + niхi -(kxiX + kyiУ + к^)]:

2а 2

(3)

при дополнительном условии

2 2 2 2 х + у + z = В .

(4)

Функция (3) может иметь локальные минимумы для каждой комбинации неоднозначностей п. Задача минимизации функции правдоподобия по всем возможным значениям п решается путем их перебора. Основной недостаток этого метода минимизации - большое количество комбинаций неоднозначностей п. Количество комбинаций неоднозначностей при

приеме сигналов N НКА будет п^, где п^ = т^2В/Х+1). Например, при длине базы В=1м

неоднозначность п по каждому НКА может принимать 11 значений (от -5 до 5). Общее количество комбинаций неоднозначностей при измерениях по трем НКА будет 113 =1331, по четырем НКА - 114 = 14641, по шести НКА - 1771561, по восьми НКА - « 2-108. Каждой комбинации п соответствует локальный минимум функции (3). При большом количестве комбинаций п может сложиться ситуация, когда значения локальных минимумов близки к глобальному минимуму, и будет иметь место вероятность принятия ложного решения. Для уменьшения объема вычислений при разрешении неоднозначностей фазовых измерений можно уменьшить длину базы, однако при этом ухудшается точность угловых измерений.

Объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать начальное созвездие с минимальным числом НКА (безизбыточное созвездие НКА). Перебирая все возможные комбинации фазовой неоднозначности и решая задачу при этих значениях фазовой неоднозначности, составляется начальный набор решений. Далее каждое решение из начального набора проверяется путем решения по полному созвездию. При этом производится отбра-

ковка ложных решений по критерию максимального правдоподобия, или, что то же самое, по допустимой суммарной невязке решения МНК.

Целью исследований является определение потенциальных возможностей переборного алгоритма разрешения фазовой неоднозначности при одномоментных измерениях, в частности, максимально допустимой погрешности измерения фазовых сдвигов, а также максимальной длины базы интерферометра при заданных шумах измерений, при которых возможна работа переборного алгоритма.

Потенциальные возможности переборных методов можно исследовать путем анализа функции правдоподобия. Угловое положение вектора-базы при известной длине можно задать двумя параметрами - углами курса и тангажа K и Y, поэтому функция правдоподобия будет двумерной. Углы курса и тангажа связаны с прямоугольными координатами с помощью выражений

X = B • cos K • cos Y, Y = B • sin K • cos Y, Z = B • sin Y . (5)

При разрешении фазовой неоднозначности особый интерес представляет вероятность грубых ошибок, т.е. случаев, при которых фазовая неоднозначность определяется с ошибками. Грубые ошибки возникают тогда, когда ФП имеет побочные максимумы, величина которых соизмерима с величиной основного максимума, соответствующего верному решению. Такую ситуацию характеризует рис.1, где приведена функция правдоподобия для одного НКА. Из рисунка следует, что разрешение фазовой неоднозначности при измерении на одну базу по каждому НКА невозможно, поскольку функция правдоподобия принимает экстремальные, притом максимально возможные значения, в целых областях и ложные решения неотличимы от верного решения. При увеличении числа наблюдаемых НКА логарифм функции правдоподобия представляет собой взвешенную сумму квадратов невязок по всем НКА.

Невязки по каждому НКА представляют собой волнообразную функцию, экстремальные значения которой в пространстве углов курса и тангажа K, Y образуют замкнутые кривые. Суммарная невязка представляет собой сумму волнообразных функций и является результатом интерференции этих функций. На рис.2. приведена ФП при четырех наблюдаемых НКА. Здесь четко различаются основной и побочный максимумы.

ФП достаточно сложна для анализа, поэтому возникает необходимость введения одного параметра, по которому можно оценить вероятность пропуска правильного решения и вероятность грубых ошибок, т.е. принятия ложного решения. Таким параметром может служить показатель ФП, представляющий собой суммарную невязку решения МНК, равная сумме квадратов невязок по всем НКА, или корню квадратному из этой величины.

Рис. 1. Рис.2.

Невязки имеют две составляющие: одна из них обусловлена невязками в побочных максимумах за счет принятия ложного решения, а другая - за счет дисперсии измеренных фазовых сдвигов. В побочном максимуме ФП получается ложное решение, при этом в случае избыточности система уравнений становится несовместной даже при нулевых значениях погрешности измерения фазовых сдвигов. Величина невязок в побочных максимумах ФП при отсутствии шумов измерения зависит от конфигурации НКА и значений фазовой неоднозначности, поэтому данную величину можно рассматривать как математическое ожидание невязок. Шумовая погрешность измерения фазовых сдвигов имеет нормальное распределение, поскольку измерения производятся узкополосными устройствами. Поскольку система уравнений линейная, то можно считать, что шумовая составляющая невязок также распределена по нормальному закону. Таким образом, невязки при решении системы уравнений (1) в основном и побочных максимумах ФП распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным невязкам, возникающим при отсутствии шумов измерения.

Рассмотрим функцию распределения вероятностей суммарной невязки. Если математи-

22

ческие ожидания величин xi равны нулю, а их дисперсии равны, то величина z = х1 + х2 +...+ хп2 распределена по закону х2 с п степенями свободы [7]. Это имеет место в главном максимуме ФП при равноточных измерениях фазовых сдвигов. В побочных же максимумах математические ожидания не равны нулю, и в классическом виде закон распределения х2 применять нельзя.

Функцию распределения суммарной невязки можно получить следующим образом. Сначала получим плотность вероятности квадрата одной случайной величины, а затем, по закону сложения случайных величин, можно получить искомую плотность вероятности. Для вычисления функции распределения квадрата суммарной невязки воспользуемся характеристическими функциями [8].

Можно показать, что характеристическая функция квадрата случайной величины с ненулевым математическим ожиданием имеет вид

1 т2у

И(у )= . = • е1-2у 2у. (6)

При т = 0 она сводится к известному выражению для характеристической функции распределения х2 с одной степенью свободы [8]:

И(у ^тгЬУ (7)

Характеристическая функция суммы квадратов независимых нормальных случайных величин с ненулевыми средними равна произведению характеристических функций слагаемых:

у •Е т

2 к к = 1

©п (у)= (1 - 2ш2у)- 2 -е 1-у . (8)

Из выражения (8) следует одно из свойств характеристической функции - она зависит

от суммы квадратов математических ожиданий случайных величин т2 =Е т^ . Этим же

к

свойством должна обладать и функция распределения суммы квадратов невязок.

Плотность вероятности можно получить, выполнив обратное преобразование Фурье от характеристической функции (8).

2

1 <» 1 <» п i ™

Рп (х) = — • |Ип (у)• е-УМу = — • - ^у 2у)2 . е 1-2у2у • е-iуxdу . (9)

2р —ад

2р

—ад

Графики плотности вероятности при различных значениях т при пяти наблюдаемых НКА приведены на рис. 3. Из графиков Рис. 3. видна принципиальная возможность отбраковки ложных решений при т > 5а.

Р(2)

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

т = 0

т = (7

Ь т = 2(7 т = 3 <Г

\\ т = 4 о _ т = 5 7

/// /

10

20

30

40

50

Рис. 3.

Плотность вероятности (9) не выражается через элементарные и табулированные функции, что усложняет задачу вычисления вероятностей нахождения данной величины в той или иной области. Для этих целей можно получить интегральную функцию распределения

Iх 1 тт/ \

(х) = 2- ЦИ(у) е= ± |ИЩ -е~))

Г —да—ад г —ад

1 ад (л г\' 2 VП im2v

^ Л!-2^^( — е—-

?ТТ К/ V ;

(!0)

2п iv

—ад

По интегральной функции распределения (!0) можно определить вероятность ложного решения при заданной вероятности пропуска верного решения. Для этого необходимо определить пороговое значение, при котором правильное решение попадает в список возможных решений с заданной вероятностью. Выбор порогового значения можно осуществить с помощью интегральной функции распределения (!0), приняв т=0. Для определения вероятности ложного решения удобно представить выражение (!0) как функцию суммарного математического ожидания т.

На рис. 4 приведена зависимость вероятности ложных решений от отношения суммарного математического ожидания невязок к их СКО при различном числе наблюдаемых НКА. Вероятность принятия ложного решения во многом характеризуется минимальным математическим ожиданием суммарной невязки в побочных максимумах. Из рисунка видно, что эффективность отбраковки ложных решений достигается в случае т > (5.. ,6)о.

Ро=0.99

гл 0.8

0.6

0.4

0.2

п=4

п=5 п=7

\ Кг п=9

2 5 5 5 7т/„а

Рис.4. Вероятность ложных решений от отношения суммарного математического ожидания невязок к их СКО Составляющая невязки за счет неправильного разрешения фазовой неоднозначности является детерминированной величиной, ее можно вычислить априорно для каждой комбинации фазовых неоднозначностей. Очевидно, значения этой составляющей зависят от геометрии НКА и положения вектора-базы. Однако вычисление невязок для каждого конкретного случая встречает значительные трудности, в первую очередь из-за большого числа комбинаций фазовой неоднозначности. Поэтому были проведены исследования с целью выявить общие закономерности. При исследованиях математические ожидания невязок в побочных максимумах (при нулевых погрешностях измерения фазовых сдвигов) рассматривались как случайная величина и анализировалось ее распределение. В ходе исследования были проанализированы математические ожидания невязок при различных созвездиях НКА, от 4 до 13 спутников в созвездии, и различных положениях и длинах вектора-базы.

По полученным данным квадратный корень из суммы квадратов невязок (суммарная невязка) достаточно точно описывается нормальным распределением, причем среднеквадра-тическое отклонение не зависит о числа НКА в созвездии и составляет 28 мм. Исключение составляет случай при измерении по 4-м НКА. Гистограммы распределения при различных п приведены на рис. 5. Максимумы функции правдоподобия формируются путем интерференции волнообразных функций, подобных приведенным на рис.1. Значения максимумов зависит от множества параметров, поэтому нормальное распределение при большом числе НКА можно объяснить следствием центральной предельной теоремы. Математическое ожидание

суммарной невязки при числе НКА более 5 линейно зависит от числа НКА в созвездии. Распределение невязок не зависит от длины вектора-базы. При изменении дины базы от 0.5 до 100 м при неизменном созвездии НКА функция распределения практически не изменяется, однако минимальное значение суммарной невязки уменьшается с возрастанием длины базы. Эта зависимость объясняется квадратичным возрастанием числа возможных положений вектора-базы при возрастании ее длины. Функция распределения при одинаковом числе НКА и геометрическом факторе менее 3 очень мало зависят от геометрии созвездия НКА и от положения вектора-базы.

Ш

п=4

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12:. 0.14 0.16 0.18 0.2

Р(х) □ .□16 . □ .□1 4 □ .□12 ■ □ .□1 п=9 22

ий-

А 1

у / ■

/

□ .□□б . □ - Л 1

у

У

]2 □. и □. 6 □. 1 □. 2 □. 4 □. 6 □. в □ 2 □. X

Рис. 5. Гистограммы распределения суммарной невязки при различном числе наблюдаемых НКА

Вероятность принятия ложного решения во многом характеризуется минимальной невязкой в побочных максимумах. Пользуясь выражением (10) для интегральной функции распределения, можно определить вероятность принятия ложного решения. На рис. 6 и 7 приведены вероятности грубой ошибки при минимальной суммарной невязке и длине базы 1 и 10 м.

Рл 1 _

5 10 15 20 25 30 35 <¡0 45 50 55 Й0

<7°

Рис.6. Вероятность грубой ошибки при длине базы !м.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 6Н

Рис.7. Вероятность грубой ошибки при длине базы !0м.

По результатам исследований можно сделать следующие выводы: !). Эффективность переборного метода разрешения фазовой неоднозначности зависит от числа наблюдаемых НКА и длины базы. При длине базы !м возможна работа переборного метода уже при 5 наблюдаемых НКА при шумовой погрешности измерения фазового сдвига 5°, в то время как при длине базы !0м при такой же погрешности измерения фазовых сдвигов необходимо наблюдение 7-8 НКА.

2). Переборный метод разрешения фазовой неоднозначности можно применять при длине баз интерферометра до 3м и предельной СКО погрешности измерения фазовых сдвигов !5...20°.

3). Минимальное созвездие НКА для реализации переборного метода составляет 5-6 наблюдаемых НКА. При измерении сигналов 8 НКА и при длине базы 1 м практически во всех случаях получается однозначное решение.

Отметим, что одномоментный переборный метод по одной базе на практике применяется для составления начального набора решений, поэтому важнейшей характеристикой является вероятность пропуска верного решения, которая определяется пороговым значением функции правдоподобия. Наличие ложных решений в начальном наборе не означает грубую ошибку, если верное решение также присутствует в начальном наборе решений. Дальнейшая отбраковка ложных решений может быть осуществлена путем фильтрации решений из начального набора решений, а также при применении многобазовой антенной системы.

Литература

1. Патент РФ №2105319. Способ угловой ориентации объектов по сигналам космических аппаратов глобальных навигационных спутниковых систем. / Чмых М.К., Фатеев Ю.Л. Опубл. 1998, бюл. № 5.

2. US Patent № 4963889. Method and apparatus for precision attitude determination and kinematic positioning./ Ronald R. Hatch.

3. Патент РФ №2122217. Способ угловой ориентации по радионавигационным сигналам космических аппаратов. /Алешечкин А.М., Фатеев Ю.Л., Чмых М.К. Опубл. 1998, Бюл. № 32.

4. Использование системы NAVSTAR для определения угловой ориентации объектов //Абросимов В.И., Алексеева В.И., Гребенко Ю.А. и др. Зарубежная радиоэлектроника. 1988. № 1. с.46-53.

5. Денисов, В. П. Анализ квазиоптимального алгоритма устранения неоднозначности в многошкальной фазовой измерительной системе. // "Радиотехника и электроника", Вып. 4, 1995г.

6. Фатеев, Ю.Л. Определение угловой ориентации на основе глобальных навигационных спутниковых систем. // Радиотехника, №7, 2002, -С. 51-57

7. В.И. Тихонов Статистическая радиотехника. -М.: Советское Радио, 1966. -678с.

8. Б.Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. Т.1. - М.: Советское радио, 1974, 552 с.