Научная статья на тему 'Разработка процедур численной оптимизации объектов со структурно- вариативным управлением на основе использования популяционных алгоритмов'

Разработка процедур численной оптимизации объектов со структурно- вариативным управлением на основе использования популяционных алгоритмов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
105
29
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОБЪЕКТ СО СТРУКТУРНОВАРИАТИВНОЙ ФОРМОЙ УПРАВЛЕНИЯ / ОПТИМИЗАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ / ПРОЦЕДУРА ЧИСЛЕННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ / ПОПУЛЯЦИОННЫЙ АЛГОРИТМ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тишуков Б. Н., Львович Я. Е.

В представленной статье рассматривается описание объектов со структурновариативной формой управления, их основные особенности. Определяются цель и задачи оптимизации объектов данного типа, рассматриваются методики их решения. Предлагается описательная постановка задачи структурной оптимизации с элементами вариативности, строится и описывается оптимизационная модель объектов рассматриваемого типа. В качестве математического аппарата для решения описанного класса задач рассматривается использование популяционных алгоритмов (алгоритм поведения обезьян), изучаются теоретические основы построения и принципы их функционирования, обосновывается необходимость их применения. Разрабатываются процедуры численной оптимизации объектов со структурновариативной формой управления, в основе которых лежит аппарат популяционных алгоритмов. По полученным результатам разработки делаются выводы об эффективности предложенной методики решения задач структурной оптимизации с использованием вариативных компонентов

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тишуков Б. Н., Львович Я. Е.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

DESIGN OF PROCEDURES FOR NUMERICAL OPTIMIZATION OF OBJECTS WITH STRUCTURALLYVARIABLE CONTROL BASED ON THE USE OF POPULATION-BASED ALGORITHMS

In the submitted article the description of objects with the structurally variable form of government, their main features is considered. The purpose and problems of optimization of objects of this type are defined, techniques of their decision are considered. The descriptive problem definition of structural optimization with variability elements is offered, the optimizing model of objects of the considered type is under construction and described. As the mathematical device for the solution of the described class of tasks use of population algorithms (algorithm of behavior of monkeys) is considered, theoretical bases of construction and the principles of their functioning are studied, need of their application is proved. Procedures of numerical optimization of objects with the structurally variable form of government which cornerstone the device of population algorithms is are developed. By the received results of development conclusions about efficiency of the offered technique of the solution of problems of structural optimization with use of variable components are drawn

Текст научной работы на тему «Разработка процедур численной оптимизации объектов со структурно- вариативным управлением на основе использования популяционных алгоритмов»

УДК 681.3

РАЗРАБОТКА ПРОЦЕДУР ЧИСЛЕННОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ОБЪЕКТОВ СО СТРУКТУРНО- ВАРИАТИВНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОПУЛЯЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ

Б.Н. Тишуков, Я.Е. Львович

В представленной статье рассматривается описание объектов со структурновариативной формой управления, их основные особенности. Определяются цель и задачи оптимизации объектов данного типа, рассматриваются методики их решения. Предлагается описательная постановка задачи структурной оптимизации с элементами вариативности, строится и описывается оптимизационная модель объектов рассматриваемого типа. В качестве математического аппарата для решения описанного класса задач рассматривается использование популяционных алгоритмов (алгоритм поведения обезьян), изучаются теоретические основы построения и принципы их функционирования, обосновывается необходимость их применения. Разрабатываются процедуры численной оптимизации объектов со структурновариативной формой управления, в основе которых лежит аппарат популяционных алгоритмов. По полученным результатам разработки делаются выводы об эффективности предложенной методики решения задач структурной оптимизации с использованием вариативных компонентов

Ключевые слова: объект со структурновариативной формой управления, оптимизационная модель, процедура численной оптимизации, популяционный алгоритм

Введение

В работе рассматриваются основные характеристики объектов со структурновариативным управлением, особенности организации оптимизационных процедур для данного типа объектов. В качестве численных методов оптимизации объектов со структурновариативным управлением предлагается использовать популяционные алгоритмы для поиска экстремального значения (максимума) целевой функции с учетом заданных ограничений.

1. Понятие объектов со структурновариативной формой управления

В решаемом классе задач в качестве исследуемого объекта выступают объекты со структурно-вариативной формой управления.

Под структурным управлением (структурной оптимизацией) будем понимать поиск такой структуры объекта исследования, которая будет являться наиболее рациональной и эффективной в рамках существующих условий.

В ходе решения задач структурной оптимизации происходит поиск альтернативных структур исследуемого объекта, при этом чем больше их количество, тем вероятность подбора оптимальной (рациональной) структуры выше.

Под вариативностью решений для объектов будем понимать такое воздействие на объекты, целью которого является разработка, обобщение и реализация многообразия предлагаемых решений (вариантов) для достижения необходимого результата (оптимального или рационального состояния).

Одной из эффективных форм осуществления вариативности процесса управления объектами является проектирование.

Исходя из этого, сформулируем определение объекта со структурновариативной формой управления.

Объектом со структурновариативной формой управления будем называть такие объекты, решение задач управления (оптимизации) которыми требует поиск рациональной (оптимальной) их структуры за счет перебора возможных вариантов ее изменения с учетом заданных ограничивающих факторов и параметров.

2. Постановка задачи оптимизации объектов со структурновариативной формой управления

Исходя из описания и определения, сформулированного в п.1 данной статьи, рассмотрим постановку задачи оптимизации объектов исследуемого типа.

Как уже было указано, пусть имеется некоторый объект, для которого необходимо найти оптимальную структуру. При этом существует ряд ограничений и известен вид искомого решения.

Очевидно, что оптимальность структуры объекта будет определяться по какому-либо из критериев, в наибольшей степени влияющих на нее. Именно этот критерий и будет являться критерием оптимальности структуры объекта и будет выражаться целевой функцией в математической модели задачи (1).

Тишуков Борис Николаевич - ВГТУ, аспирант, тел. 8 (473) 243-77-04

Львович Яков Евсеевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8 (473) 243-77-04

/(хк , Х1 ,..., хт ) ^ тах,

Хк = {рк , Хк ,

Х1 = Г7 :

к к

X,

, X , X

хк е а: '

к

Хт = Iхт , Хт ,"

хк > 0, х{ > 0,

}

1 ц XI е

, хмт }, Хт е М .., X. > 0.

(1)

Из (1) имеем, что целевая функция, выраженная в виде f (хк, XI, ..., хт), будет отображать зависимость критерия оптимальности от основных параметров объекта.

Ограничения в построенной оптимизационной модели будут задаваться в дискретном виде. При этом каждое из значений параметров может принимать значения строго больше 0 и из соответствующего конечного множества (множества вариантов решений).

Решение поставленной задачи будем искать в виде вектора X (2):

X =

X

X

X,.

(2)

Процесс решения поставленной задачи классическими оптимизационными методами является трудоемким, а в некоторых случаях и невозможным. Это обусловлено рядом факторов: нелинейность, многоэкстремальность, высокая вычислительная сложность оптимизируемой функции, большая размерность области поиска решений и др.

3. Теоретические основы популяционных алгоритмов решения задач оптимизации

Одним из способов, позволяющих решать описанный класс задач, является использование для этого популяционных алгоритмов оптимизации.

Рассмотрим методику популяционного алгоритма в обобщенном виде:

10. Инициализация популяции (в заданной области поиска решений создаем произвольным образом несколько начальных приближений к искомому решению поставленной задачи). Этот этап можно назвать как создание популяции агентов.

20. Миграция агентов популяции (с помощью определенного набора миграционных операторов распределяем агентов популяции так, чтобы в конечном счете подобраться к искомому оптимальному значению заданной функции).

30. Завершающий этап (Проверка условий окончания итерационных процедур алгоритма. Если они достигнуты - завершаем процедуру алгоритма и лучшее положение агентов считаем в качестве приближенного решения поставленной задачи. В противном случае возвращаемся к шагу 2).

Для дальнейшей работы с популяционными алгоритмами введем следующие обозначения:

- Заданная целевая функция (ц.ф.);

АХ°Р') - значение ц.ф., соответствующее оптимальному значению;

S0 - начальная популяция;

S - популяция, имеющаяся на данный момент;

S' - дальнейшие популяции;

- лучший агент популяции;

рта - предельное значение количества итерационных процедур (популяций);

р - номер текущего поколения (итерации);

Х - текущий вектор параметров оптимизационной модели;

Х]+1 - вектор параметров оптимизационной модели на следующем шаге итерационного процесса;

Х°Р' - лучшее положение агента за весь период итерационного процесса;

¡¡(X) - функция приспособленности агента (фитнесс-функция);

¡¡¡^ - оптимальное значение фитнесс-функции.

Считаем, что целевая функция поставленной оптимизационной задачи достигает максимального (минимального) значения, при этом соответствующая ей «фитнесс-функция» также должна достигать максимального (минимального) значения.

Для процесса формирования начальной популяции в большинстве случаев распределяют по случайному принципу. При этом распределение должно быть равномерным по всей области поиска.

Условием окончания поиска в популяционных алгоритмах является достижение предельного значения (верхней границы) количества поколений заданной популяции или на протяжении нескольких итерационных шагов (их количество оговаривается в начальных условиях работы алгоритма) значение целевой функции остается неизменным.

4. Популяционный алгоритм, основанный на поведении обезьян

Одним из эффективных алгоритмов рассматриваемого класса для решения задач представленного типа является алгоритм, основанный на поведении обезьян.

Данный алгоритм основан на поведении обезьян в процессе их миграции по горам с целью поиска пищи. Полагается, что обезьяны считают «чем выше гора, тем больше пищи на ее вершине».

Из начального положения каждая обезьяна, входящая в сформированную популяцию, перемещается по склону горы, пока не достигнет горной вершины. После серии таких подъемов обезьяна совершает перемещение на соседние горы, после чего процедура повторяется (локальный способ).

В случае, если на локальном этапе все окрестности начального положения обезьяны исследованы, но поставленная цель при этом не достигнута, происходит переход к глобальному способу.

Глобальный способ заключается в более длинном перемещении обезьяны в новую область исследования.

Описанная процедура будет иметь количество итераций, которое задает пользователь перед началом работы алгоритма.

Оптимальным решением задачи при использовании описанного алгоритма будет являться самая высокая из просмотренных вершин, исследованных выбранной популяцией.

Пусть имеется популяция Я, состоящая из i агентов. Тогда локальный способ будет иметь следующую формулировку:

1. Исходя из начального (текущего) положения агента X, определяем его возможное новое положение X', в виде (3):

<1 = ^ ((X - Ь); (х,. + Ь)), 1 е [1: | Я |], 1 е [1 :| X |], (3)

где Ь - максимально возможное значение длины прыжка агента в заданном направлении, Ь > 0.

2. Если точка Xявляется допустимой, при этом ¡л(Х') = ¡х(X) тогда присваиваем Хi значение X',. При этом для агента 1 заданной популяции Я завершаем процедуру локальных прыжков (локальный способ). В противном случае возвращаемся к 1 шагу локального способа заданное кол-во раз.

Далее рассмотрим глобальный способ (глобальные прыжки):

1. По равномерному закону распределения выбираем случайное вещественное число т из интервала [ттш; ттах]. Это значение будет характеризовать значение величины глобального прыжка (4):

т ^(тт1т ттах)" (4)

Значения ттш и ттах могут иметь разные знаки, поэтому значение т может быть как отрицательным, так и положительным.

2. На следующем этапе глобального способа осуществляем поиск возможного нового положения

для агента si в виде (5):

= + т(х; - ху),1 е [1:| Я ] е [1:| X |], (5)

с

где х j - текущее положение центра тяжести агентов заданной популяции по j-ому координатному направлению (6), при этом:

1 Я

хС, =— У х,,. (6)

1,1 | я | ^

3. В случае, если положение Хявляется допустимым по заданным условиям, то присваиваем Х, значение X';. При этом для агента i заданной популяции Я завершаем процедуру глобальных прыжков. В противном случае возвращаемся к 1 шагу глобального способа.

В связи с тем, что с помощью рассмотренного оптимальное решение может быть получено на промежуточном итерационном шаге, то необходи-

мо сохранять наиденные значения на всех итерационных шагах.

5. Особенности применения популяционно-го алгоритма, основанного на поведении обезьян для решения задач оптимизации объектов со структурновариативным управлением

Рассмотрим особенности применения алгоритма, описанного в п.3-4 данноИ статьи для решения задачи (1) - (2).

Основными особенностями будет являться наличие возможных значении переменных, входящих в вектор искомого решения Х, представленного в виде (2).

Также для каждого из параметров (2) задано конкретное значение шага при «локальных прыжках» bm.

Сам алгоритм в модифицированном виде под класс решаемых задач можно представить в следующем виде:

10. Задаем m начальных популяций с соответствующими значениями b = {b1, b2, ■■■,bm}. При этом значение шагов рассчитывается с учетом возможных решении.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

20. В соответствии с установленными значениями шагов и начальными популяциями совершаем локальные прыжки. Для каждого i-го шага вычисляем значение фитнесс-функции.

30. Проводим сравнение значении фитнесс-функций для i-го и i-1 итерационных шагов. После вычислений проводим проверку условий: ¡л i > ¡i-1.

40. В случае выполнения условия полученное на i-ом шаге решение запоминаем как оптимальное и продолжаем итерационную процедуру, переместившись в точку на величину шаг b.

50. После того, как все возможные точки пройдены, проводим сравнение результатов, полученных на каждом из локальных шагов и выбираем из них наилучшее.

Заключение

Таким образом, в ходе написания статьи была поставлена задача оптимизации объектов со струк-турновариативным управлением, подобраны алгоритмы, позволяющие наилучшим образом решить ее и описана модификация одного из популяцион-ных алгоритмов, позволяющих находить оптимальное решение рассматриваемого класса задач.

Литература

1. Карпенко, А.П. Популяционные алгоритмы оптимизации. Обзор новых и малоизвестных алгоритмов [Текст] / А.П. Карпенко // Приложение к журналу «Информационные технологии». - 2012. - № 7. - 30 с.

2. Львович, Я.Е. Принятие решений в экспертно-виртуальной среде [Текст] : монография / Я.Е. Львович Воронеж : ИПЦ «Научная книга», 2010. - 140 с.

Воронежский государственный технический университет

DESIGN OF PROCEDURES FOR NUMERICAL OPTIMIZATION OF OBJECTS WITH STRUC-TURALLYVARIABLE CONTROL BASED ON THE USE OF POPULATION-BASED ALGORITHMS

B.N. Tishykov, Postgraduate, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: tishykov [email protected]

Ya.E. Lvovich, Doctor of Technical Sciences, Full Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, e-mail: [email protected]

In the submitted article the description of objects with the structurally variable form of government, their main features is considered. The purpose and problems of optimization of objects of this type are defined, techniques of their decision are considered. The descriptive problem definition of structural optimization with variability elements is offered, the optimizing model of objects of the considered type is under construction and described. As the mathematical device for the solution of the described class of tasks use of population algorithms (algorithm of behavior of monkeys) is considered, theoretical bases of construction and the principles of their functioning are studied, need of their application is proved. Procedures of numerical optimization of objects with the structurally variable form of government which cornerstone the device of population algorithms is are developed. By the received results of development conclusions about efficiency of the offered technique of the solution of problems of structural optimization with use of variable components are drawn

Key words: object with structuralization form of management, optimization model, a numerical optimization procedure, a population-based algorithm

References

1. Karpenko A.P. Populjacionnye algoritmy optimizacii. Obzor novyh i maloizvestnyh algoritmov [Population algorithms of optimization. Review of new and little-known algorithms.] Application to academic periodical "Information Technologies" N 7/2012. - 30p.

2. Lvovich Ya.E. Prinjatie reshenij v jekspertno-virtual'noj srede : monografija [Decision-making in the expert and virtual environment: monography.] Voronezh: IPTs "Scientific Book", 2010. - 140p.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.