CC BY
39
УДК 001.891.573; 519.6
А. С. Васильев, Н. А. Тарануха, В. П. Назарова
РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЁТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В работе представлены алгоритмы для расчёта строительных конструкций из композиционных материалов на основе матрицы жёсткости физически-нелинейного конечного элемента, разработанного автором. Алгоритмы представлены на языке matlab, на основе которого работает программа. Разработан алгоритм сборки глобальной матрицы жёсткости в векторной форме, алгоритм расчёта напряжённо-деформированного состояния конструкции, алгоритм учёта физической нелинейности материалов на основе диаграмм деформирования. Выполнен тестовый расчёт балки из изотропного материала. Тестирование на линейном расчёте статически-определимой балки из изотропного материала показало хорошую корреляцию при сравнении с расчётом в ПК ЛИРА и аналитическим расчётом.
Ключевые слова: алгоритм расчёта, физическая нелинейность, матрица жёсткости, балка, диаграмма деформирования материала.
Введение
Численным исследованиям конструкций из композитных материалов посвящено много работ. В настоящее время композитные материалы активно используют в различных современных отраслях промышленности: строительстве, автомобилестроении и кораблестроении. Как известно, композитные материалы состоят из двух или более компонентов, различающихся по составу и разделённых выраженной границей. В таких материалах имеются усиливающие элементы в виде нитей, волокон или хлопьев более прочного материала.
Компонентами композитов являются самые разнообразные материалы: металлы, керамика, стёкла, пластмассы. В наше время распространены полимерные композитные материалы: стеклопластики, углепластики, органопластики. Традиционным композитом является железобетон, сочетающий в себе совместную работу бетона и стальной арматуры, активно используемый в строительстве зданий и сооружений. Су-
Васильев Алексей Сергеевич — кандидат технических наук, старший преподаватель (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: [email protected].
Тарануха Николай Алексеевич — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой кораблестроения (Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре); e-mail: [email protected].
Назарова Вероника Павловна — студент (Приамурский государственный университет имени Шолом-Алейхема, Биробиджан); e-mail: [email protected].
© Васильев А. С., Тарануха Н. А., Назарова В. П., 2018
40
шествуют различные подходы и методики для расчёта строительных конструкций из железобетона. При этом исходя из действующих нормативных документов расчёт ведётся по двум группам предельных состояний: по несущей способности и по пригодности к нормальной эксплуатации. M. T. Suidan и W. C. Schnobrich [12] одними из первых применили пространственные изопараметрические конечные элементы для расчётов балок.
Первые нелинейные методики расчёта железобетонных конструкций с использованием шагового итерационных методов расчёта использовали в своих трудах A. Nilson [10], H. A. Franklin [9], V. Cervenka [7].
Следует также отметить работы А. А. Гвоздева и Н. И. Карпенко [2], в которых железобетон представляется как комплексный материал, а арматура при помощи коэффициента армирования представляется «размазанной» по сечению элемента.
В математических моделях С. Ф. Клованича [3], [4] арматура представлена стержневыми конечными элементами, а учёт её направления в составе железобетонных конструкций осуществляется при помощи направляющих косинусов в результате суммирования матриц упругости бетона и арматуры.
Большая распространённость композитов требует изучения их свойств, влияние на жёсткость и несущую способность конструкций на разных этапах их работы под нагрузкой. Расчёт таких конструкций можно выполнять методом конечных элементов с использованием шаго-во-итерационных процедур на базе общих принципов механики деформируемого твёрдого тела и численных методов решения физически нелинейных задач. Это позволяет проследить за характером напряжённо-деформируемого состояния конструкций на различных этапах на-гружения, включая предельные. При этом информация о физической нелинейности материалов конструкции содержится в матрице жёсткости системы.
Существуют различные подходы для учёта совместной работы нескольких материалов в составе одного при изменении механических характеристик этих материалов под нагрузкой. Однако единой, общей методики для этого на настоящий момент нет. Разработанная авторами математическая модель и матрица жёсткости представлена в работах [1], [6].
1. Алгоритм сборки глобальной матрицы жёсткости системы
Программа Composit [8] содержит алгоритм, позволяющий рассчитывать коэффициенты матриц жёсткости для однородных и композитных конечных элементов, из которых составляют общую матрицу жёсткости системы (рис. 1). Входные данные: физико-механические характеристики материалов; матрица индексов, содержащая информацию об архитектуре конструкции и граничных условиях.
41
□ aal**«*) + + > Base - 1 А
nil - 1.0 + 1 ^ 1J X 1 1 О.
1 % Характеристики материала №1
2 - Е initial 1=3. й*10Л10; ^ начальный модуль упругости материала Nil ( Н/м"2 )
3 - vl=0.2; % коэффициент Пуассона для материала №1
4 - carapressive_strengthl=43500000; % прочность на сжатие материала N51 (Ла)
5 - tensile strengthl=2500000; ^ прочности на растяжение материала №1 (Ла)
6
7 % Характеристики материала N52
S - Е initial 2=2 *1Q'L11; ^начальный модуль упругости материала №2 (Н/м"2)
9 - v2=0.3; % коэффициент Луассона для материала №2
10 - carapressive_strength2=400000000; % прочность на сжатие материала N52 (Ла)
11 - tensile strength2=400000000; ^ прочности на растяжение материала №2 (Ла)
12 - d2=0.012; % диаметр материала №2
13 - S2=pi* (d2/2) "2; % площадь материала N52 в конечном элементе
14
15 % Характеристики материала №3
16 - E_initial_3=0; % начальный модуль упругости материала №3 (Л/м~2)
17 - v3=0; ^ коэффициент Луассона для материала N°3
IS - campressive_strength3=0; % прочность на сжатие материала №3 (Ла)
19 - tensile_strength3=0; % прочности на растяжение материала №3 (Ла)
20 — S3=0;^ площадь материала №3 в конечном элементе ?1
Рис. 1. Характеристики материалов
На программу «Composit» получено свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2014661694. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 16 января 2015 года. В качестве компилятора использовалась программная среда Matlab 2009b, использующая язык программирования Matlab.
Матрицы жёсткости для КЭ вычислялись исходя из математической модели, приведённой в третьей главе. Матрица индексов, характеризующая связность узлов и последовательность элементов, а также граничные условия, строилась в программе Excel, а затем импортировалась в среду Matlab.
Ниже приведён алгоритм формирования общей матрицы жёсткости системы на языке Matlab для линейного расчёта изотропного материала:
MG=sparse(100000,100000); for n=1:ni1; i=1:m1;
I=W(n,i); MG(I,I)=MG(I,I)+K; end
MGS=MG(1:p,1:p);
где MG — пустая матрица размером 100000 на 100000, которая впоследствии будет заполняться значениями из матриц жёсткости конечных элементов; nil — общее количество КЭ в системе; ml — количество степеней свободы КЭ, для прямоугольного параллелепипеда ml = 24; W(n,i) — матрица индексов; p — количество перемещений в расчётной схеме.
42
Следующий алгоритм основан на сборке матрицы жёсткости в векторной форме и модифицирован для нелинейных расчётов. При этом каждый КЭ имеет свои механические характеристики. Данный алгоритм значительно быстрее предыдущего по скорости вычислений и позволяет использование матриц жёсткости нелинейных конечных элементов:
mk=m1A2; m=mk*ni1;
x=zeros(m,1); z=zeros(m,1); y=ones(m,1);
for n=komp_material; m=1:m1"2;
Z(n,m)=K_reduc.*E(n);
end
for n=material_1; m=1:m1"2;
Z(n,m)=K1.*E(n);
end
for n=1:ni1; i=1:m1; I=W(n,i); ii=repmat(I(:),1 ,m1); jj=ii'; l=mk*(n-1)+(1:mk); x(l)=ii(:); z(l)=jj(:); y(l)=Z(n,:); end MGS=sparse(x,z,y,100000,100000); MGS=MGS(1 :p,1:p);
Команды в третьей строке создают два нулевых вектора x и z с количеством элементов m и один единичный вектор y с аналогичным количеством единиц. Векторы komp_material и material_1 соответствуют номерам композитных и однородных КЭ в расчётной схеме. K_reduc и K1 соответственно неполные матрицы жёсткости. КЭ^(и,т) — матрица, состоящая из последовательно расположенных матриц жёсткости КЭ, каждый КЭ со своими механическими характеристиками. Функция repmat(I(:),1,m1) формирует массив, в котором будет количество строк, соответствующее вектору I(:), и количество столбцов ml, содержащих значения этого вектора. Команды x(l) = ii(:); z(l) = jj(:); y(l) = Z(n,:) преобразуют матрицы ii, jj и Z в столбцы и сохраняют их в соответствующих позициях векторов x, z, y. Затем при помощи функции sparse все векторы собираются в единую матрицу жёсткости системы.
2. Алгоритм расчёта напряжённо-деформированного состояния конструкции
Данный алгоритм применяется в программе Strength [11] (свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2015610762. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 16 января 2015 года). Входные данные: общая матрица жёсткости системы, вектор сил, вектор модулей упругости материала.
Данный алгоритм решает систему уравнений равновесия с последующим определением перемещений каждого узла элемента по трём направлениям, совпадающим с направлениями координатных осей, вычисляет компоненты тензоров напряжений и деформаций для каждого конечного элемента.
Направление сил на узлы:
43
load Sili;
P=10000; % Значение силы, действующей на конструкцию (Н)
k1=1:p; F(k1)=0;
F(Sili)=-P/length(Sili); % Задание вектора сил
Команда «load Sili» загружает в систему MATLAB вектор, содержащий номера перемещений в узлах, вдоль которых направляются силы. Создаётся вектор F(k1) = 0, длиной от 1 до максимального номера перемещения в системе. Команда F(Sili) = -P/length(Sili) распределяет нагрузку по соответствующим узлам.
Ниже приведён алгоритм расчёта перемещений и формирование векторов перемещений вдоль каждой из координатных осей:
U=MGS\F; O=isnan(U); U(0==1)=0;
F=F(:);
for s1=1 :p/3;
Po_osi_x(s1)=U(s1*3-2); Po_osi_y(s1)=U(s1*3-1); Po_osi_z(s1)=U(3*s1); Vector_peremesheniy_Po_0si_x= Po_osi_x(:); Vector_peremesheniy_Po_0si_y= Po_osi_y(:); Vector_peremesheniy_Po_0si_z= Po_osi_z(:);
Vector_peremesheniy=U; еnd
Данные команды вычисляют вектор перемещений U, а затем делят его на три вектора перемещений вдоль каждой из осей. Зная перемещения, осуществляем расчёты напряжений и деформаций каждого КЭ.
Ниже приведены части алгоритмов для расчётов деформаций и напряжений системы:
% Расчет деформаций V=W;
q=(p+1):300000; U(q)=0;
[ni1,m1]=size(W); Ui=zeros(m1 ,ni1);
for n=1:ni1; i=1:m1; Ui(i,n)=U(V(i,n));
Defor=B*Ui; еnd
% Расчет напряжений
Napr=zeros(6,ni1); % создание нулевой матрицы напряжений для ее заполнения Napr_1=Stress(W,U,D1 ,material_1 ,a1 ,b1 ,c1); Napr_komp=Stress(W,U,D_komp,komp_material,a1 ,b1 ,c1); for n=material_1; m=1:6;
Napr(m,n)=Napr_1(m,n).*E(n); % напряжения в КЭ материала № 1 end
for n=komp_material; m=1:6;
Napr(m,n)=Napr_komp(m,n).*E(n); % напряжения в композитных конечных элементах еnd
Здесь V —транспонированная матрица индексов; q — вектор перемещений, не входящих в систему; В — матрица деформаций КЭ.
44
3. Алгоритм учёта физической нелинейности материалов
Данные алгоритмы реализованы программой Ultimate State [13] (свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2015618399. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 7 августа 2015 года). Данное приложение использует диаграммы деформирования материалов и необходимо для учёта нелинейности во время расчета. Алгоритмы данной подпрограммы изменяют механические характеристики материалов конструкции во время расчёта до полного разрушения КЭ. Для учёта нелинейности применяются зависимости, используемые в третьей главе.
Step=1; % 0 - линейный расчет, 1 - включить нелинейность if Step==0
E1(1 :ni1 )=E_initial_1; E2(1 :ni1)=E_initial_2; E3(1 :ni1)=E_initial_3;
E4(1 :ni1)=E_initial_4; E5(1 :ni1)=E_initial_5; elseif Step==1
E1=deformation_stress_depend(compressive_strength1 ,tensile_strength1,E_initial_1 ,Defor,ni1); end
E(1 :ni1)=E1; % модуль упругости связующего материала
E(komp_material)=(E1 (komp_material).*S1+E2(komp_material).*S2+E3(komp_material).*S3+E4(komp_materi al).*S4+E 5(komp_material) .*S5)...
/(S1+S2+S3+S4+S5); % модуль упругости в каждом композитном КЭ конструкции v=(v1*S1+v2*S2+v3*S3+v4*S4+v5*S5)./(S1+S2+S3+S4+S5); % приведенный коэффициент Пуассона
Данный алгоритм позволяет использовать несколько различных материалов как в самой конструкции, так и в составе композитного конечного элемента. E_initial_ — начальный модуль упругости каждого из материалов. Функция deformation_stress_depend реализует диаграммы деформирования материалов. Общий модуль упругости определяется как сумма отношений модулей упругости каждого из материалов в конечном элементе к соответствующим площадям этих материалов в КЭ. Аналогично определяется коэффициент Пуассона композитного КЭ.
Далее приведён алгоритм работы функции deformation_stress_depend:
function E=deformation_stress_depend(compressive_strength,... tensile_strength,E_initial,Defor,ni1) Rc=compressive_strength; Rt=tensile_strength;
Defor_compressive_max=(Rc*(RcA2+6*10"7*Rc+9*10"12))/(E_initial*(RcA2+5.4*10"6*Rc+6.75*10A12)); Defor_tensile_max=0.0001;
A1=[0.55*Rc/E_initial (0.55*Rc/E_initial)A2 (0.55*Rc/E_initial)A3 (0.55*Rc/E_initial)A4 1 2*0.55*Rc/E_initial 3*(0.55*Rc/E_initial)A2 4*(0.55*Rc/E_initial)A3
Defor_compressive_max Defor_compressive_maxA2 Defor_compressive_maxA3 Defor_compressive_maxA4 1 2*Defor_compressive_max 3*Defor_compressive_maxA2 4*Defor_compressive_maxA3]; B1=[0.55*Rc
(E_initial+Rc/Defor_compressive_max)/2 Rc 0];
A2=[0.55*Rt/E_initial (0.55*Rt/E_initial)A2 (0.55*Rt/E_initial)A3 (0.55*Rt/E_initial)A4 1 2*0.55*Rt/E_initial 3*(0.55*Rt/E_initial)A2 4*(0.55*Rt/E_initial)A3 Defor_tensile_max Defor_tensile_maxA2 Defor_tensile_maxA3 Defor_tensile_maxA4 1 2*Defor_tensile_max 3*Defor_tensile_maxA2 4*Defor_tensile_maxA3]; B2=[0.55*Rt
(E_initial+Rt/Defor_tensile_max)/2
Rt
0];
X_compressive=A1\B1; X_tensile=A2\B2;
45
Def(1,1:ni1)=Defor(1,1:ni1); for n=1:ni1
if (0>Def(n)) && (Def(n)>-0.55*Rc/E_initial) E(n)=E_initial;
elseif Def(n)<-0.55*Rc/E_initial && Def(n)>-Defor_compressive_max;
E(n)=X_compressive(1)+X_compressive(2)*(-Def(n))+X_compressive(3)*(-Def(n))A2+X_compressive(4)*(-Def(n))A3; elseif Def(n)<-Defor_compressive_max; E(n)=0;
elseif Def(n)>0 && Def(n)<0.55*Rt/E_initial E(n)=E_initial;
elseif Def(n)>0.55*Rt/E_initial && Def(n)<Defor_tensile_max
E(n)=X_tensile(1)+X_tensile(2)*Def(n)+X_tensile(3)*Def(n)A2+X_tensile(4)*Def(n)A3; elseif Def(n)>Defor_tensile_max; E(n)=0; end end end
Здесь compressive_strength — прочность материала при сжатии; tensile_strength — прочность материала при растяжении; E_initial — начальный модуль упругости; Defor — деформации, полученные на предыдущем этапе нагружения; ni1 — количество КЭ в расчётной схеме. Данная функция применяет деформационные зависимости материалов при сжатии и растяжении согласно зависимости, построенной во второй главе.
4. Алгоритм для численного исследования композитных материалов и конструкций в области предельной прочности
ПО «Программа для расчёта конструкций из композитных материалов» [5] (свидетельство об официальной регистрации программ для ЭВМ № 2015618400), используя все вышеперечисленные алгоритмы, и осуществляет расчёты конструкций в нелинейной постановке. Для уточнения решения нелинейной системы уравнений на каждом этапе нагружения используется метод последовательных приближений.
На рисунке 2 приведён алгоритм формирования системы МКЭ. Используя компоненты матрицы индексов и коэффициенты матриц жёсткости каждого КЭ, формируется общая матрица жёсткости системы. В результате решения системы уравнений находятся перемещения, а затем и напряжённо-деформированное состояние конструкции.
На рисунке 3 показан краткий алгоритм разрушения конструкции при наличии двух материалов в составе композита: связующего и арматуры. Итерационный процесс и постепенное увеличение нагрузки продолжается до тех пор, пока не будет превышен предел прочности частиц более прочного материала в составе композита (арматуры), т. к. именно стержни (нити, хлопья) более прочного материала берут на себя впоследствии основную нагрузку. От прочности арматуры в конструкции зависит её несущая способность. Данный алгоритм предполагает наличие двух совместно работающих материалов в конструкции, однако на его примере их может быть любое количество. Как можно заметить, итерационный
46
процесс сопровождается постепенным изменением — исключением КЭ из модели и увеличением шага нагрузки на конструкцию.
Рис. 2. Схема формирования и расчёта системы МКЭ
5. Задача исследования напряжённо-деформированного состояния статически-определимой балки на изгиб при фиксированной нагрузке
Рассмотрим статически определимую балку прямоугольного сечения. Размеры балки следующие: длина 3200 мм, ширина 100 мм, высота 600 мм. Модуль упругости Е = 3Х1010 Па, аналогичный модулю упругости бетона класса В25. Коэффициент Пуассона ц = 0,2. Расчётная схема балки изображена на рисунке 4. Нагрузка Р = 10 кН приложена на расстоянии 0,8 метра от краёв балки, как показано на рисунке.
Для нахождения перемещений в середине пролёта балки (её прогиба) использовались и сравнивались три метода: аналитический; расчёт в ПК ЛИРА (МКЭ стержневой); расчёт с помощью алгоритмов автора, с использованием конечных элементов в виде прямоугольного параллелепипеда в программной среде МЛТЬЛВ. На рисунке 5 представлена схема разбивки балки на конечные элементы.
47
На рисунке 6 изображены векторы перемещений вдоль нижней границы балки.
Рис. 3. Блок-схема алгоритма работы программы
Прогиб балки характеризуется вертикальным перемещением вдоль оси OY. Рассмотрим результаты прогибов по всей длине балки на рисунке 7.
48
Используя векторы перемещений, вычисляем значения напряжений и деформаций в каждом КЭ. На рисунке 8 изображены компоненты тензоров напряжений в серединах КЭ конструкции.
Рис. 4. Размеры и расчётная схема балки
Рис. 5. Схема разбивки на КЭ
Я Vi.....hl, Filitnr - l\l 1' £3 d
File Edit View Giaphrcs - | * X
В.. Novalid plotsfon Po_osi. П -
E0 Po_osiji <1155«1 double»
1 2 3
1 -5.4066e-05
2 -5.0671e-05 Ы
3 -4.6950e-05
' 4 -432G4e 05
1 5 -3.8519e-05
1 6 -3.2747e-05
7 -2.6337e-05
1 8 -1.9742e-05
1 9 -13188e 05
1 10 -6.7029e-06
11 -2.5147e-07
12 6.1999e-06
13 L2685e-05
14 1.9239e-05
15 23834e 05
1 16 3.2244e-05
17 3.8017e-05
ia 42761e-05
19 4.6447e-05
¿0 5.0108e-05
21 53563e-05 -
<1
Po osi к * | Po osLy * | Po osi z
|ГТ^ Variable Editor Po osi_yl 1 | [=1 Ik £3
File Edit View Graphics 3» » J X
B... - Novalid plotsfon Ро_оя|П -
E3 Po_osi_y <1155x1 double»
1 2 3
1 0
2 -4.1U5e-05 i_i
3 -6,7928 e-05
1 4 -9,3533e-05
1 5 -11665e-04
1 6 -1.3667e-04
7 15289e 04
' a -l£523e-04
1 9 -1.73S9e-04
1 10 -1.7903e-04
11 -1 ,8074e-04
12 -1.7903e-04
13 -1 7389e-04
14 -1.&523 e-04
15 15289e 04
' 16 -1 3667 e-04
17 -11665e-04
18 -93533e-05
19 -6,7928 e-05
' 20 -4,1115e-05
21 0
►
Po O S i s к (Го _osi_y к] Po_osi_z X
^ Variable Fditnr - Po osi 71 ^l"®' ■ " ш\
File Edit View Graphics » * ? X
[ B... - | No valid plots for: Po_osi_z(ll,l}
1 Щ Po_osi_z <1155x1 double>
1 2 3 a
1 0
2 2.8104e-07
3 2Д205е-07
1 4 2,5706e-07
M 5 3,4185e-07
1 6 39327 e-07
7 41962e-07
" 8 4,2177e-07
* 9 4,1692e-07
1 10 4,1337e-07
11 4J233e-07
12 4,1337e-07
13 4,1692e-07
14 4,2177e-07
15 41962e-07
1 16 33327e-07
* 17 34185e-07
у 18 2,5706e-07
19 2,4205e-07
1 20 2.8104e-07
21 0
<L
Po osi И к Po osijy f Po (Kl z j
Рис. 6. Перемещения вдоль осей координат ОХ, ОУ, OZ
49
Рис. 7. Результаты расчёта прогибов при аналитическом расчёте, расчёте в ПК ЛИРА и расчёте авторов
Рис. 8. Компоненты тензора напряжений в каждом КЭ
На рисунке 9 приводятся эпюры напряжений на границе балки при каждом из расчётов. При этом в результате расчёта в ПК ЛИРА получаются изгибающие моменты M на различных участках балки. Используя известную формулу из [9], напряжения в балке составят:
где I — момент инерции сечения балки, h — высота балки (измерение вдоль оси Y), M(x) — изгибающие моменты по длине балки.
Как можно заметить, перемещения и напряжения при аналитическом расчёте и расчёте в ПК ЛИРА почти полностью совпадают. Нормальные напряжения, вычисленные каждым из вышеперечисленных способов, также имеют близкие по значениям результаты. Анализ результатов расчёта приведён в таблице.
50
1,5
-0,1 6 0,2 0,-1 0,6 0,8 1 1,2 1,1 1,6 1,8—2 2,2 2/1 2,6 2,8 3—3,2
Длина, м
Рис. 9. Напряжения ох на нижней границе балки при расчётах: автора, ПК ЛИРА, аналитическом
Таблица
Методы расчёта Прогиб в середине пролёта при Р=10 кН (мм) Наибольшее нормальное напряжение при Р=10 кН (МПа)
Расчёт автора 0,18038 1,305282
Расчёт в ПК ЛИРА 0,17437 1,335333
Аналитический расчёт 0,17384 1,333333
Отклонение результатов расчёта Отклонение по максимальному прогибу Отклонение по наибольшему нормальному напряжению
Отклонение расчёта автора от аналитического расчёта 3,3 % -2,3 %
Отклонение расчёта автора от расчёта в ПК ЛИРА 3,6 % -2,1 %
Данная таблица показывает, что погрешность расчётов автора по сравнению с расчётом в ПК ЛИРА и аналитическим не превышает 4 %. Можно сделать вывод, что полученные результаты хорошо коррелируют между собой.
Рисунок 10 иллюстрирует напряжения эпюры напряжений в различных участках балки: на нижней границе, верхней границе и нейтральной оси. Как можно увидеть, на нейтральной оси напряжения практически равны нулю. При этом максимальные значения эпюры напряжений имеются именно на верхней и нижней границах.
Как можно увидеть, на нейтральной оси напряжения практически равны нулю. При этом максимальные значения эпюры напряжений имеют именно на верхней и нижней границах.
51
Рис. 10. Напряжения на верхней границе балки, на нижней границе и на нейтральной оси
Выводы
Для исследования композитов в области предельной прочности разработан комплекс программ:
- «Composit» содержит алгоритм, позволяющий рассчитывать коэффициенты матриц жёсткости для однородных и композитных конечных элементов, из которых составляют общую матрицу жёсткости системы;
- «Strength» решает систему уравнений равновесия с последующим определением перемещений каждого узла элемента по трём направлениям, совпадающим с направлениями координатных осей, вычисляет компоненты тензоров напряжений и деформаций для каждого конечного элемента;
- «UltimateState» использует диаграммы деформирования материалов и необходимо для учёта нелинейности во время расчёта. Алгоритмы данной подпрограммы изменяют механические характеристики материалов конструкции во время расчёта до полного разрушения КЭ;
- «Программа для расчёта конструкций из композитных материалов» использует вышеперечисленные алгоритмы и осуществляет расчёты конструкций в нелинейной постановке. Для уточнения решения нелинейной системы уравнений на каждом этапе нагружения используется метод последовательных приближений.
Программы зарегистрированы, получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Тестирование некоторых разработанных программ на линейном расчёте статически-определимой балки из изотропного материала пока-
52
зало хорошую корреляцию при сравнении с расчётом в ПК ЛИРА и аналитическим расчётом.
Список литературы
1. Васильев А. С., Тарануха Н. А. Разработка конечного элемента для конструкций из гетерогенной среды с металлической составляющей / / Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. 2016. № 4(25). С. 19-31.
2. Гвоздев А. А., Карпенко М. И. Работа железобетона с трещинами при плоском напряжённом состоянии / / Строительная механика и расчёт сооружений. 1965. № 2. С. 20 - 23.
3. Клованич С. Ф., Безушко Д. И. Метод конечных элементов в расчётах пространственных железобетонных конструкций. Одесса: Изд-во ОНМУ, 2009. 89 с.
4. Клованич С. Ф., Мироненко И. Н. Метод конечных элементов в механике железобетона. Одесса, 2007. 111 с.
5. Программа для расчёта конструкций из композитных материалов: программа для ЭВМ № 2015618400 RU / А. С. Васильев, Н. А. Тарануха. № 2015615161; заявл. 16.06.2015; зарег. 07.08.2015; опубл. 20.09.2015.
6. Тарануха Н. А., Васильев А. С. Численное исследование конструкций из гетерогенных сред на основе метода конечных элементов / / Вестник Приамурского государственного университета им. Шолом-Алейхема. 2017. № 1(26). С. 90—102.
7. Cervenka V. Inelastic Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Panels. Boulder: University of Colorado, 1970. 210 p.
8. Composit: программа для ЭВМ № 2015610761 RU / А. С. Васильев, Н. А. Тарануха. № 2014661694; заявл. 19.11.2014; зарег. 16.01.2015; опубл. 20.02.2015.
9. Franklin H. A. Non-Linear Analysis of Reinforced Concrete Frames and Panels. Berkley: University of California, 1970. 140 p.
10. Nilson A. Internal Measurement of Bond Slip // Journal of ACI. 1972. Vol. 69. № 7. P. 439—441.
11. Strength: программа для ЭВМ № 2015610762 RU / А. С. Васильев, Н. А. Тарануха. № 2014661692; заявл. 19.11.2014; зарег. 16.01.2015; опубл. 20.02.2015.
12. Suidan M. T., Schnobrich W. C. Finite element analysis of reinforced concrete // Journal of the structural division. 1973. Vol. 99. P. 2109 — 2122.
13. Ultimate State: программа для ЭВМ № 2015618399 RU / А. С. Васильев, Н. А. Тарануха. № 2015615160; заявл. 16.06.2015; зарег. 07.08.2015; опубл. 20.09.2015.
•Je -Je -Je
Vasilyev Alexey S.1, Taranukha Nikolay A.2, Nazarova Veronica P.3 INFORMATION SYSTEM FOR SELECTION OF HEAVY CONCRETE COMPOSITION WITH ANTI-FROST ADDITIVES
Л 3 Sholom-Aleichem Priamursky State University, Birobidzhan; 2 Komsomolsk-on-Amur State Technical University, Komsomolsk-on-Amur)
The paper presents algorithms for the calculation of building structures made of composite materials based on the stiffness matrix of physically nonlinear finite element developed by the author. The algorithms are presented in matlab, on the basis of which the program works. An algorithm for assembling a global stiffness matrix in vector form, an algorithm for calculating the stress-strain state of the structure, an algorithm for taking into account the physical nonlinearity of materials based on deformation diagrams. A test calculation of a beam made of isotropic material
53
was performed. Testing on the linear calculation of the statically-definable beam of their isotropic material showed a good correlation when compared with the calculation in the PC LIRA and analytical calculation.
Keywords: the algorithm of calculation, physical nonlinearity, stiffness matrix, beam, stress-strain diagram of the material.
References
1. Vasilyev A. S., Taranuha N. A. Development of a Finite Element for Structures from a Heterogeneous Medium with a Metallic Componen [Razrabotka konechnogo elementa dlya konstrukcij iz geterogennoj sredy s metallicheskoj sostavlyayushchej], Vestnik Priamurskogo gosudarstvennogo universiteta im. Sholom-Alejhema, 2016, no. 4 (25), pp. 19-31.
2. Gvozdev A. A., Karpenko M. I. Work of reinforced concrete with cracks in the plane stress state [Rabota zhelezobetona s treshchinami pri ploskom napryazhyonnom sostoyanii], Stroitel'naya mekhanika iraschyot sooruzhenij, 1965, no. 2, pp. 20 — 23.
3. Klovanich S. F., Bezushko D. I. Metod konechnyh elementov v raschyotah prostranstvennyh zhelezobetonnyh konstrukcij (The finite element method in calculations of spatial reinforced concrete structures), Odessa, Publishing house ONMU, 2009. 89 p.
4. Klovanich S. F., Mironenko I. N. Metod konechnyh elementov v mekhanike zhelezobetona (The finite element method in reinforced concrete mechanics), Odessa, 2007. 111 p.
5. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Programma dlya raschyota konstrukcij iz kompozitnyh materialov: programma dlya EVM № 2015618400 RU (Program for calculation of structures made of composite materials: computer program No. 2015618400 RU), registered on 08/07/2015, published on 09/20/2015.
6. Taranuha N. A., Vasil'ev A. S. Numerical research of constructions from heterogeneous media based on the finite element method [Chislennoe issledovanie konstrukcij iz geterogennyh sred na osnove metoda konechnyh elementov], Vestnik Priamurskogo gosudarstvennogo universiteta im. Sholom-Alejhema, 2017, no. 1 (26), pp. 90—102.
7. Cervenka V. Inelastic Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Panels, Boulder, 1970. 210 p.
8. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Composit: programma dlya EVM № 2015610761 RU (Composit: computer program No. 2015610761 RU), registered on 01/16/2015, published on 02/20/2015.
9. Franklin H. A. Non-Linear Analysis of Reinforced Concrete Frames and Panels, Berkley, 1970. 140 p.
10. Nilson A. Internal Measurement of Bond Slip, Journal of ACI, 1972, vol. 69, no. 7, pp. 439—441.
11. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Strength: programma dlya EVM № 2015610762 RU (Strength: computer program No. 2015610762 RU), registered on 01/16/2015, published on 02/20/2015.
12. Suidan M. T., Schnobrich W. C. Finite element analysis of reinforced concrete, Journal of the structural division, 1973, vol. 99, pp. 2109—2122.
13. Vasilyev A. S., Taranukha N. A. Ultimate State: programma dlya EVM № 2015618399 RU (Ultimate State: computer program No. 2015618399 RU), registered on 08/07/2015, published on 09/20/2015.
•Jc -Jc -Jc
54
