Разработка обобщенного масштабноaвременного представления сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391

РАЗРАБОТКА ОБОБЩЕННОГО МАСШТАБНО-ВРЕМЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

С.Ф. Быков, А.А. Блынский*

Институт «Кибернетический центр» ТПУ *ЗАО «Иркос», г. Москва E-mail: [email protected]

Рассмотрено получение обобщенного масштабно-временного представления сигналов, которое определяется как совокупность масштабно-временного (вейвлет-преобразования) и масштабно-инверсного представления сигналов. Применение обобщенного масштабно-временного представления сигналов позволит расширить возможности анализа и обработки сигналов различной природы.

Ключевые слова:

Вейвлет-преобразования, масштабно-инверсное представление сигналов, масштабно-временное представление сигналов, теоретико-групповой подход.

Key words:

Wavelet transform, scale-inverse signal presentation, scale-time signal presentation, group-theoretical approach.

В настоящее время масштабно-временное представление сигналов, более известное как вейвлет-преобразование, прочно вошло в инструментарий методов обработки сигналов, связанных с кодированием, анализом, прогнозированием, распознаванием и фильтрацией [1-5].

Широкое распространение масштабно-временного представления (МВП) сигналов определило теоретические направления его развития. Можно выделить два основных направления развития. Первое из них связано с разработкой банков фильтров (вейвлетов) для улучшения аппроксимации и корреляции сигнала [6]. Второе направление характеризуется исследованиями, опирающимися на достижения в области масштабно-временного представления сигналов и направленными на разработку новых методов представления сигналов [7-9]. Одним из таких методов является разработка масштабно-инверсного представления (МИП) сигналов.

Как МВП, так и МИП имеют свои достоинства и недостатки, в частности, МИП сигналов имеет преимущество перед МВП при обработке сигналов малой длительности и анализе переходных процессов. Поэтому представляется перспективным получение представления сигналов, объединяющего свойства указанных выше представлений.

В данной статье предлагается метод, позволяющий объединить вычисление МВП и МИП, и тем самым получить общее представление, которое для краткости будем называть обобщенным масштабно-временным представлением сигналов (ОМВП).

Обычное масштабно-временное представление сигналов (вейвлет-преобразование) определяется выражением [1]:

Ls(a, t) =

Jv f— W)d^,

v a

где Ща,0 - непрерывное вейвлет-преобразование сигнала s(t); а - коэффициент масштабирования; t -время, т - переменная интегрирования, s(t) -

Ы|2

исследуемый сигнал, С¥ = 2п I —:--------

-dw < да —

условие допустимости для вейвлета у/(0, причем ¥|(м)|2 - преобразование Фурье вейвлета у/(0, V - частота.

Масштабно-инверсное представление сигналов определяется в соответствии с выражением:

Bs(a, t) =y/a Js'(tj)h

t1t a t - t1

dtj

-4a J s(t1)h

_ti_

a

dtj

t2'

Здесь Бз(а^) - масштабно-инверсное представление сигнала s(t), Н(0 - импульсная характеристика системы формирования масштабно-инверсного представления, t1 - переменная интегрирования.

Масштабно-временное представление сигналов позволяет обрабатывать сигнал в координатах масштаб-сдвиг по времени, тем самым реализуя представление сигнала относительно группы преобразований подобия и сдвига. Обратный элемент данной группы преобразований характеризуется множеством матриц, следующего вида

g (a,^)-1

f j a 0

a

1

Преобразование сигнала записывается в виде s{g (a,T) _10 =-j- s f-1(t-t)

л/a \a

Здесь множитель 1/а выбран из условия сохранения энергии сигнала при групповом преобразовании времени.

В свою очередь, масштабно-инверсное представление сигналов позволяет обрабатывать сигнал в координатах масштаб-инверсный сдвиг, т. е. относительно инверсной группы преобразований. Инверсная группа преобразований включает в себя инверсный сдвиг и преобразование подобия, а обратный элемент принадлежит множеству матриц вида:

'1 '

ё (а, р)—

— о

р 1

\а

Преобразование сигнала с помощью инверсной группы определяется в виде

5(ё(а, Р) V) = 4а5

£ / а

~Р~7\

V а

(2)

Множитель а в (2) необходим для выполнения условия сохранения энергии сигнала при групповом преобразовании времени.

Необходимо отметить, что рассмотрение МВП с помощью теоретико-группового подхода позволяет выделить наиболее фундаментальные свойства данного преобразования и определить перспективные направления развития в области разработки новых методов представления сигналов.

Определение МВП на частотно-временной плоскости с применением теории каркасов [1] схематично представлено на рис. 1.

0 пща* т

Рис. 1. Разбиение частотно-временной плоскости с помощью прямоугольников Гейзенберга для вейвлета ;п. Здесь ц - шаг дискретизации частоты ю; ] - номер отсчета по оси частоты; а - значение масштаба; и0 -шаг дискретизации времени т; п - номер отсчета по оси времени

Из рис. 1 видно, что протяженность прямоугольника Гейзенберга по оси времени т и частоте ю пропорциональна соответственно масштабу а и 1/а.

На рис. 2 представлено определение МИП. В отличие от МВП, МИП определено в области инверсных частот V и инверсных сдвигов р.

пЪ0а] ¡3

Рис. 2. Разбиение инверсной частотно-временной плоскости с помощью прямоугольников Гейзенберга для вейвлета щп. Здесь к - шаг дискретизации инверсной частотыы у, ] - номер отсчета по оси инверсной частоты; а - значение масштаба; Ь0 - шаг дискретизации в инверсно-временной области р; п - номер отсчета в инверсно-временной области

Область инверсных частот V определяется инверсным преобразованием Фурье (аналог преобразования Фурье для инверсной группы преобразований)

5(у) = 15(£)ехр112пу 11 = I{¿(О},

—да V £ у £

где /{...} - оператор инверсного преобразования Фурье.

Подобие между частотно-временной и инверсной частотно-временной плоскостями характеризуется наличием изоморфизма между временной и инверсно-временной областями.

В [5] рассматривается вычисление МВП (1) в частотной области с целью сокращения количества операций при вычислении. Данный метод основан на возможности вычисления свертки в частотной области. Для чего необходимо вычислить преобразование Фурье входного сигнала и набора импульс-

ных характеристик ;а (£)

■¥\ — а

найти их про-

изведение, и получить обратное преобразование Фурье. Схематично это можно представить так:

1

Vе;

где /{...} и ^Ч...} - прямое и обратное преобразование Фурье.

При вычислении МИП свертка между входным сигналом и набором импульсных характеристик осуществляется в инверсно-временной области и называется инверсной сверткой.

Операция инверсной свертки определяется в соответствии с выражением

sl(t ) <g> s2(t ) = Js2

t ■ t1 tj -1

dt1

ti2'

Таким образом, методы реализации указанных представлений отличаются операцией свертки, которая задается конкретной группой преобразований.

Однако существует отображение, позволяющее привести свертку на группе инверсных преобразований к свертке, определенной на группе аддитивных преобразований, и тем самым использовать существующие алгоритмы вычисления МВП. Данным отображением является преобразование сигналов из временной области в инверсно-временную, определяемое как

^)_-1^(-1А). (3)

Выражение (3) основано на существовании изоморфизма между группой аддитивных преобразований 5{^(т)-1/|=8(/-т) и группой инверсного сдвига (проективных преобразований) s{g(P)-1t}=s(t/(f^t+1)).

Для реализации перевода дискретного сигнала в инверсно-временную область существует метод, основанный на нахождении значений сигнала в точках, значения которых определяются выражением:

(N - i)An0 + 1 '

где иi - индексы отсчетов инверсного сигнала; N -количество отсчетов инверсного сигнала; Л - интервал между инверсными отсчетами; и0 - индекс начального отчета интерполяции; wN-1 - индекс последнего отсчета интерполяции.

Таким образом, дополнительное преобразование обрабатываемого сигнала s(t) -1/> >s(-1/t) позволяет использовать метод МВП для нахождения МИП.

Обобщенное масштабно-временное представление сигналов состоит из МВП и МИП, и определяется как двухмерное комплексное представление сигнала.

Метод получения обобщенного масштабновременного представления сигналов заключается в следующем:

1. Входной сигнал, определенный на вещественной оси, преобразуется по закону s(t)>s(-1/t), т. е. переводится в инверсно-временную область s (t).

2. Формируется комплексный сигнал y(t), вещественная часть которого представляет собой входной сигнал s(t), а мнимая часть - входной сигнал в инверсно-временной области, т. е. y(t)=s(t)+isi(t).

3. Производится преобразование Фурье от сигнала y(t): Yf)=F{y(t)}.

4. Формируется набор импульсных характеристик y/a(t), зависящих от параметра масштаба:

/а (?) = — у | — |, где у(^ - импульсная харак-

а \а )

теристика МВП (вейвлет).

5. Для полученного набора импульсных характеристик с помощью преобразования Фурье формируется набор передаточных характеристик: ^а(/)=Л/а( 0}.

6. Производится перемножение спектрального представления сигнала У(/ и каждой передаточной характеристики Та(0 из набора: У(^^а(^).

7. Вычисляется обратное преобразование Фурье от каждого произведения, полученного на предыдущем шаге: Ш(а^)=¥~1{У(/У¥ ()}.

ОМВП определяется в комплексном виде. Вещественная часть ОМВП является масштабно-временным представлением, а мнимая часть - масштабноинверсным представлением входного сигнала s(t).

Необходимо отметить, что за счет использования комплексной формы представления вещественных сигналов вычисление МВП и МИП в виде ОМВП позволит сократить количество вычислений в два раза.

Необходимым условием при нахождении ОМВП является условие определения входного сигнала s(t) и импульсной характеристики у(^ в вещественном виде.

Для проверки работоспособности предложенного метода было проведено моделирование в системе МаШСаё. В качестве тестового сигнала использовался гармонический сигнал, временная диаграмма которого представлена на рис. 3. По оси ординат показаны значения амплитуд сигнала Л=8т(0, а по оси абсцисс - значения времени I

На рис. 4, а, представлена вещественная часть ОМВП (МВП) для тестового сигнала, а на рис. 4, б, -мнимая часть ОМВП (МИП).

На рис. 4, а, по оси ординат приведены значения масштабов, по оси абсцисс - временные отсчеты. На рис. 4, б, по оси ординат - значения масштабов, по оси абсцисс - отсчеты во инверсновременной области 1Д Необходимо отметить, что при реализации МИП производиться интерполяция сигнала, за счет чего количество отсчетов сигнала увеличивается в два раза, а количество масштабов увеличивается на один.

Полученная диаграмма ОМВП на рис. 4, а, соответствует МВП гармонического сигнала [4], а диаграмма на рис. 4, б, соответствует МИП гармонического сигнала или МВП частотно-модулирован-ного сигнала 8т(2я/0/0, где/0 - несущая частота [4].

Таким образом, разработан метод, позволяющий получить совокупность масштабно-временного и масштабно-инверсного представления сигналов, определяющих обобщенное масштабно-временное представление сигналов. Этот метод увеличивает возможности по анализу и обработке сигналов различной природы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. - М.: Мир, 2005. -671 с.

2. Способ и устройство быстрого вычисления дискретного вейвлет-преобразования сигнала с произвольным шагом дискретизации масштабных коэффициентов: пат. 2246132 Рос. Федерация. № 2003100794/09; заявл. 09.01.2003; опубл. 20.07.2004, Бюл. № 6. - 3 с.

3. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории. - М.: Техносфера, 2006. - 272 с.

4. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.: СО-ЛОН-Р, 2002. - 448 с.

5. Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС. - М.: Техносфера, 2007. - 192 с.

6. Чобану М. Многомерные многоскоростные системы обработки сигналов. - М.: Техносфера, 2009. - 480 с.

7. Малый В.В. Развитие теории масштабно-временных сигналов и ^ауеМ-анализа в интересах совершенствования системы освещения подводной обстановки: дис. ... докт. техн. наук. -СПб.: ВМА, 2006. - 404 с.

8. Сапрыкин В.А. Проблемы аддитивно-мультипликативной симметрии // Военная радиоэлектроника: Опыт использования и проблемы, подготовка специалистов: ХХ Межвузовская научно-техн. конф. ВМИРЭ. - СПб.: Петродворец, 2002. -С. 3.

9. Бутырский Е.Ю. Определение функции неопределенности сигналов на группах преобразований // Информация и космос. - 2008. - № 3. - 120 с.

Поступила 23.04.2010 г.

УДК 004.94

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И АНАЛИЗ ОБЛАСТИ СОСТОЯНИЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ

В.К. Погребной

Институт «Кибернетический центр» ТПУ E-mail: [email protected]

Выделены условия динамики функционирования объекта управления и на этой основе предложена методика представления модели системы реального времени совокупностью динамических объектов (процессов). Определена область состояний, в которых может пребывать динамическая модель системы реального времени. На примере построения расчётной траектории смены состояний модели, отражающей динамику её функционирования, показана возможность эволюционного поиска варианта модели системы реального времени с улучшенными характеристиками траектории.

Ключевые слова:

Модель системы реального времени, прикладная функция, процесс, модуль, условия динамики, область состояний, траектория смены состояний.

Key words:

Real-time system mode!, applied function, process, module, dynamic conditions, région of states, pass of state change.

Динамика автономной и совместной работы агрегатов объекта управления (ОУ) определяется техническим регламентом его функционирования и при проектировании системы реального времени (СРВ) по управлению данным объектом воспринимается неизменной. Это означает, что область возможных состояний ОУ и траектории, отражающие динамику функционирования ОУ в границах этой области, принимаются заданными. Известны также правила (алгоритмы) расчёта эффективных траекторий изменения состояний ОУ в границах этой области. Задача заключается в разработке такой СРВ, которая, реализуя данные алгоритмы, способна обеспечить пребывание ОУ на эффективной траектории. При этом условия динамики функционирования ОУ должны соблюдаться неукоснительно.

Состояние ОУ определяется потоком информации с датчиков, а смена состояния осуществляется через исполнительные механизмы агрегатов упра-

вляющими воздействиями, которые вычисляются с помощью технологических алгоритмов, выполняющих основные прикладные функции управления. Такие алгоритмы, реализуя совокупность прикладных функций (ПФ), составляют основную программную нагрузку на вычислительную систему проектируемой СРВ. В [1] предложен способ визуального представления на языке SML моделей алгоритмов ПФ программной нагрузки и их доопределения в соответствии с требованиями SML-технологии, а в [2] подробно изложена методика отображения условий динамики функционирования ОУ на модель программной нагрузки СРВ.

Динамика функционирования модели СРВ при выполнении программной нагрузки на виртуальной машине моделирования (ВММ) [1] во многом определяется динамикой функционирования ОУ. Вместе с тем, модель СРВ, выполняя программную нагрузку и тем самым обеспечивая пребывание ОУ на эффективной траектории, функционирует как