Разработка математической модели функционирования вибрационной мельницы с учетом динамических нагрузок на подшипниковые узлы Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

- © Н.Ю. Грачева, 2015

УДК 622.23.05:622.272

Н.Ю. Грачева

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ВИБРАЦИОННОЙ МЕЛЬНИЦЫ С УЧЕТОМ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА ПОДШИПНИКОВЫЕ УЗЛЫ

Рассмотрены некоторые вопросы теории функционирования вибрационной мельницы с эксцентриковым приводом, в частности, вопрос повышения долговечности конструкции мельницы на основе выявления зоны максимальных напряжений в ее узлах. Использован векторный способ задания движения центра масс мелющей загрузки. Сделано допущение, что при сухом помоле загрузка в целом представляет собой абсолютно вязкое тело, не обладающее упругостью. Доказано, что центр масс мелющей загрузки совершает сложное движение относительно неподвижного центра вращений. Определены переносная и относительная составляющие этого движения. Для каждого вида движения получены выражения для скоростей и ускорений точек загрузки. Установлены выражения для абсолютных скорости и ускорения центра масс мелющей загрузки. Использован метод кинетостатики для определения усилий в подшипниковых узлах мельницы. Даны выражения для сил, действующих на конструкцию вибрационной мельницы. Составлены выражения для результирующей реакции подшипниковых опор и суммарной силы упругости, действующей на помольную камеру со стороны пружинных опор.

Ключевые слова: теория функционирования вибрационной мельницы, эксцентриковый привод, зоны максимальных напряжений, долговечность конструкции, векторный способ задания движения, центр масс, мелющая загрузка, сложное движение, переносная и относительная составляющие, скорость и ускорение точки, результирующая реакция подшипниковых опор, суммарная сила упругости.

Основной задачей механики вибрационных мельниц является определение взаимодействия загрузки с корпусом и мощности, сообщаемой загрузке при заданных частоте и амплитуде колебаний помольной камеры. Решение задачи производится при допущении того, что механические характеристики загрузки описываются линейными функциями. Это позволяет представить движение загрузки как совокупность взаимонезависимых одномерных колебаний. Предполагается также, что при сухом помоле загрузка в целом представляет собой абсолютно вязкое тело, не обладающее упругостью.

Особенностью конструкции рассматриваемой вибромельницы является несимметричное расположение вибровозбудителя относительно оси помольной камеры (рис. 1, а). В результате такой компоновки помольная камера совершает помимо круговых колебаний еще и направленные малые линейные перемещения в плоскости перпендикулярной продольной оси помольной камеры. Свяжем неподвижную систему координат х1, у1, z1 с продольной осью помольной камеры, находящейся в состоянии покоя, а подвижную систему координат х, у, z с продольной осью помольной камеры, находящейся в движении во время работы мельницы. При этом помольная камера будет совершать плоско-параллельное движение односительно плоскости, перпендикулярной продольной оси помольной камеры. Данную плоскость в механике принято

Рис. 1. Cхема векторного способа задания движения мелющей загрузки вибрационной мельницы (а); кинематический портрет мелющей загрузки (б)

называть направляющей. Движение мелющей загрузки задается векторным способом. Подобный подход к описанию движения мелющей загрузки использовали авторы в работах [1] и [2]. Однако в этих работах не был проведен динамический анализ процесса взаимодействия мелющей загрузки со стенками помольной камеры и, кроме того, в математических моделях не были учтены силовые параметры, влияющие на интенсивность напряжений в отдельных узлах конструкции. Существует и еще одно важное отличие рассматриваемой модели от исследований, проведенных в работах [1] и [2]. Обычно при симметричном расположении вибровозбудителя помольная камера вибромельницы совершает поступательное движение по круговой траектории, где радиусом траектории является расстояние С1С между центрами окружностей помольной камеры при ее движении и статическом положении. Но в связи с тем, что вибровозбудитель данной мельницы расположен несимметрично относительно оси помольной камеры, к поступательному движению камеры добавляется вращательное (знакопеременное) движение, характеризуемое угловой координатой 9, относительно ее оси (рис. 1, б). Таким образом, помольная камера совершает полноценное плоское движение.

Тогда движение центра масс помольной камеры относительно начала неподвижной системы координат будет описываться следующими выражениями: X. = С1С • соэ(юе£)

У = СС • зтМ (1)

где С1С - модуль соответстующего вектора; юе - угловая скорость вращения вектора СгС .

Положение движущегося центра масс помольной камеры С соответствует угловому положению дебаланса вибровозбудителя, изображенного на рис. 1, а). Поэтому отрезки С1С и ЕК параллельны.

Анализ расчетной схемы, изображенной на рис. 1, б), свидетельствует о том, что центр масс загрузки совершает сложное движение. При этом движение центра масс загрузки относительно подвижного центра масс камеры (точки О относительно точки С) будет относительным, движение подвижного центра масс камеры относительно неподвижного (точки С относительно точки С1) будет переносным и движение центра масс загрузки относительно неподвижной системы координат (точки О относительно точки С1) - абсолютным.

Таким образом обоснованно можно рассматривать сложное движение центра масс загрузки, которое задается векторным способом.

Уравнение вращательного (абсолютного) движения центра масс помольной камеры относительно начала неподвижной системы координат запишется в следующем виде:

а = а($, (2)

где а = - абсолютная угловая координата центра масс камеры, движу-

щейся по круговой траектории.

а = ф + 9, (3)

где ф - переносная угловая координата центра масс камеры, движущейся по круговой траектории; 9 - относительная угловая координата центра масс камеры, движущейся по круговой траектории.

Радиус-вектор центра масс загрузки определится из следующего выражения:

С(д = С(С + г (4)

Продифференцируем формулу (4) по времени. Следует отметить, что, так как вектор г проведен не из начала неподвижной системы координат, то при его дифференцировании необходимо использовать формулу Бура [3]. Отсюда имеем:

¿(Ср ) = ё(((С) ¿¿Г

¿г ~ Л + ¿г (5)

или

г г' б? — г г' — г г г г

-о = -с + + ®е * г = -с + ®е * г + -ос = -с + -ос (6)

где —— = ю, х r = Voc - скорость относительного движения точки O в подвиж-

dt

ной системе координат. При этом:

Vc + юе х r = ve = Ve - (7)

переносная скорость точки O.

Ive| = ®e • eie ; (8)

|roe| = |®,| • |r| • sin Y , (9)

dw

где ю, = —— модуль относительной угловой скорости движения радиуса вектора r ; у - угол между векторами ю, и r ; у - относительная угловая координата вращения радиуса-вектора r относительно подвижной системы координат.

Направление вектора ю, найдем по правилу правового винта и установим, что этот вектор перпендикулярен плоскости чертежа и направлен «от нас». Следовательно, вектора ю, и r перпендикулярны. Отсюда следует, что siny = 1. Поэтому

Продифференцируем формулу (6) по времени:

dvo = dC + dVoc_ d(me x v ) dt dt dt dt (11) Следует отметить, что, так как вектора vOC и r проведены из начала подвижной системы координат, то при их дифференцировании необходимо использовать формулу Бура [3]. Отсюда имеем:

— v, civOC — v dme - — dr v, dvOC aO = ac + —— + ш x vOC + —-x r + ш x — = ac + —— +

O c dt e OC dt e dt c dt

— v dm- - — .dr — v, v — v

ш x vOC +--x r + m x (--+ ш x r ) = ac + aOc + ш x vOC +

e Oc dt e dt e c e Oc

+sr x r + me x VOC +me x (me x r) = a'c + aOc + s x r +

+me x (me x r) + aK = ac + aOc + aK = ae + ar + aK , (12)

где ак = 2me x VOc - ускорение Кориолиса. (13)

Здесь_

a'c + se x r + me x (me x r) = ac = ae - переносное ускорение точки O.

a'c+se x r + me x (me x r) = ac = ae, _ _ (14)

Т.к. при установившемся движении ш = const и se = o , то выражение (14) примет вид:

ac =me x vc = a"c , (15)

v n

где ac - нормальное ускорение точки C.

Соответственно это ускорение направлено к центру абсолютного вращения, т.е. к точке C1.

|ac| = |ш J • |vc| sin в; в = 900 , поэтому

_ (16)

a dvOc

aOc =

й . (17)

Вектор аос является относительным ускорением точки О - центра масс загрузки относительно начала подвижной системы координат - точки С.

^ ^ п ^ т

аос = аос + а (18)

aoc =mr x vr (19)

v n 2

aOC =Ш ■Oc (20)

aOc=s r x oc (21)

aOc =sr ■Oc (22)

Т.к. sr = o , то вектор sr x ОС = 0 (по физическому смыслу он эквивалентен тангенциальному ускорению центра масс загрузки O при его вращательном движении вокруг точки С). _

Модуль вектора ускорения Кориолиса aK равен:

aJ = 2 ю x voc • sin и

Очевидно, что sinu = 1. Тогда

aJ = 2 ю • voc

(23)

(24)

Выражение (12) позволяет определять направление вектора абсолютного ускорения центра масс мелющей загрузки в любой момент времени.

Для определения модуля абсолютного ускорения центра масс мелющей загрузки спроектируем слагаемые из формулы (12) на оси ц и Е,:

a. = -ac cos 8 + аПс + aK

an = ac sin 8

Л c

(25)

(26)

Абсолютное ускорение центра масс О мелющей загрузки найдем из следующего выражения:

(27)

а - ао = V+ а2п

Таким образом, составлен кинематический портрет вибрационной мельницы, позволяющий перейти к силовому анализу процессов взаимодействия мелющей загрузки с корпусом вибрационной мельницы и определить нагрузки, действующие на подшипниковые узлы.

Для определения усилий, действующих на подшипниковые узлы в точке Е, применим метод кинетостатики, или принцип Даламбера. Покажем действующие на вибрационную мельницу активные силы, реакции связи и добавим силы инерции рис. 2, а). Тогда согласно принципу Даламбера сумма этих сил будет равна нулю:

+ G + Gl + G2 + G3 + Ye + Xe + Fa + Fe + Fr + FK = 0,

(28)

где р , - сила упругости пружин; G, G1, G2, G3 - силы тяжести соответственно мелющей загрузки, подвижной части конструкции мельницы, вибро-

Рис. 2. Динамический портрет вибрационной мельницы (а); к определению суммарной силы упругости пружин (б)

возбудителя и дебалансов; Ye , Xe - опорные реакции подшипниковых узлов; FU FU FU FU - силы инерции соответственно дебалансного вала, переносная, относительная и Кориолисова мелющей загрузки.

—' ónp

F = -ку, (29)

где y - вектор перемещения точки крепления пружины к корпусу по оси y; к - коэффициент жесткости пружины. Из рис. 2, а видно, что

y = C1C sin ф (30)

Тогда:

F^ = ку = кС1 С sin Ф (31) Кроме того,

К =- т3 ак (32)

F: = ш3о>2е ■ КЕ (33)

Fe = - mae (34)

Fe = mae = m(°Ze ' C1C (35)

Fr = - mar (36)

FU = mra2 • OC

(37)

FK = - maK (38)

FU = 2m®e (39)

Для нахождения реакций подшипниковых опор YE и XE спроецируем выражение (28) на оси x1 и у^

XE + Fl cos ф + Fl cos ф - Flcos (5 - ф) - Flcos (5 - ф) = 0 (40)

Ye - G - G1 - G2 - G3 + Ye + Fynp - F" sinф-

-F" sin ф - F" sin(5 - ф) - F" sin(5 - ф) = 0 ; (41)

или, подставив в (40) и (41) выражения (31), (33), (35), (37), (39), получим:

XE = -т3ю2 ■ КЕ cosф-mю2 • C1C ■ cosф +

m®f ■ OC ■ cos(5 - ф) + 2шюеюгг ■ cos(5 - ф) = 0 (42)

Ye = mg + m1 g + m2g + m3g - кС1С sin ф + m3®2 ■ КЕ sin ф +

+m<a2e ■ C1C sin ф + m®2 • OC sin(5 - ф) + 2m®e®rr sin(5 - ф) = 0 (43)

Результирующая реакция подшипниковых опор находим по формуле:

Re =V X2 + YE2 (44)

Таким образом, определены выражения для нахождения усилий, действующих на подшипниковые опоры вибрационной мельницы.

Для нахождения величины суммарной силы упругости пружин составим уравнение моментов всех сил относительно точки E. Точка E в рассматриваемой систетеме сил является так называемой «точкой Риттера»: через эту точку

(47)

(48)

проходит наибольшее число линий действия неизвестных в данной системе сил ( ye и XE). Предварительно воспользуемся теоремой Вариньона и разложим

—* и —* и —* и

силы Fe, Fr, Fк на составляющие, параллельные осям x1 и y1 (рис. 2, б). Выражения для проекций этих сил будут иметь вид:

FX = F; • cos Ф ; (45)

Fe"y = FS • sin Ф ; (46)

F?x = F^cos (5-Ф);

?

f; = f; sin(s - ф)

F^ = F"cos(5 - ф); (49)

F; = Fки sin(S - ф). (50)

Уравнение моментов с учетом (45)-(50) будет иметь вид:

n _ рупр

X M0 (р а) = - — • QE + РХ • OD + ре; • DE +

а=1 2

+G • DE - FX • OD + Р; • DE - P¡X • OD + P"KV • DE +

р упр

+G, • LE---HE - G3 • KE • cosф = 0 ......

1 2 3 T , (51)

OD = ; (52)

DE = JE + C1C •cosф + C1D ; (53)

CiD = CiOx!. (54)

Для нахождения C1O и C1Ox спроецируем выражение (4) на оси x1 и y1. На ось x1:

C1O^ = C1C • cos ф - CO • cos(S - ф) (55)

На ось y1:

C1O = -C1C •sinф-CO • cos(S -ф). (56)

С учетом (55) и (56) выражения (52) и (53) будут иметь вид: OD = -C1C •sinф-CO •cos(S^); (57)

DE = JE + C1C • cos ф + C1C • cos ф - CO • cos(S - ф). (58)

Из (51) находим выражение для суммарной силы упругости пружин: 2FM • OD + 2FH • DE + 2G • DE - 2FH • OD

рулр _ ex _

• ey

QE + HE

2F; ■ DE - 2FX ■ OD + 2F"KV ■ DE + 2G1 ■ LE - 2G3 ■ KE ■ cos Ф

QE + HE (59)

Суммарный коэффициент жесткости пружин найдем из (59), подставив вместо Fynp ее выражение из (31):

2FM • OD + 2Fи • DE + 2G • DE - 2Fи • OD

к =---+

(QE + HE) • C,C sin ф

2Fr; • DE - 2FKX • OD + 2FK- • DE + 2G1 • LE - 2G3 • KE • cos ф

(QE + HE) • C, C sin ф (60)

Таким образом, выражение (60) позволяет определять рациональные значения коэффициентов жесткости пружин, при которых обеспечиваются минимальные нагрузки на подшипниковые узлы вибрационной мельницы, что повышает долговечность ее конструкции.

_ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шишканов К.А. Выбор кинематических параметров шаровой загрузки вибрационной мельницы для тонкого измельчения горных пород. Дисс. канд. техн. наук. - М.: МГГУ, 2012. - 117 с.

2. Вержанский А.П. Исследование движения мелющей загрузки в мельницах барабанного типа // Горный информационно-аналитический бюллетень. - 2005. - № 7. - C. 28-33.

3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. 5-е изд. - М.: Высшая школа, 1990. -607 с. ЕЕЗ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ_

Грачева Наталья Юрьевна - соискатель, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет).

UDC 622.23.05:622.272

DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL OF VIBRATORY MILL

TAKING INTO ACCOUNT THE DYNAMIC LOADS TO THE BEARING ARRANGEMENTS

Gracheva N.U., Applicant,

North Caucasus Mining-and-Metallurgy Institute (State Technological University), 362021, Vladikavkaz, Russia.

Some problems of the theory of vibratory mills with eccentric drive were reviewed. In particular, the issue of improving the durability of the of mill's construction on the basis of the detection zone of maximum stresses zone in arrangements of mill was reviewed too. A vector method was used to set the moving of mass center of the mill loading. Assumed that mill loading in general is a very viscous body which does not possess elasticity in dry grinding process. It is proved that the mass center of the mill loading makes a complex movement about the fixed center of rotation. The portable and relative components of movement were determined. For each type of movement the expressions of velocities and accelerations of mill loading points were received. The expressions for absolute speed and acceleration of mass center of the mill loading were set. Kinetotostatik method is used to determine the efforts at mill bearing arrangements. The expressions of the forces acting to the vibratory mills' construction were given. The expression for the resultant reaction of bearing supports and the combined forces of elasticity, affecting to grinding chamber by spring supports were compiled.

Key words: the theory of vibratory mills, the eccentric drive, the areas of greatest stress and deformations, the durability of construction, a vector method of settin the moving, mass center, mill loading, complex movement, the portable and relative components, velocity and acceleration of point, the resultant reaction of bearing supports, combined force of elasticity.

REFERENCES

1. Shishkanov K.A. Vybor kinematicheskikh parametrov sharovoi zagruzki vibratsionnoi mel'nitsy dlya tonkogo izmelcheniya gornykh porod (The determination of kinematic parameters of vibratory mill's ball charge for the fine grinding of rocks), Candidate's thesis, Moscow, MGGU, 2012, 117 p.

2. Verzhanskii A.P. Gornyi informatsionno-analiticheskii byulleten'. 2005, no 7, pp. 28-33.

3. Nikitin N.N. Kurs teoreticheskoi mekhaniki (Course on theoretical mechanics), 5th edition, Moscow, Vysshaya shkola, 1990, 607 p.