CC BY
15
© В.Я. Потапов, 2014
УДК 622.771 В.Я. Потапов
РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В СЕПАРАТОРЕ ПО ТРЕНИЮ И УПРУГОСТИ
Рассмотрена математическая модель движения частиц в сепараторе по трению и упругости в процессе их разделения.
Ключевые слова: сепаратор по трению и упругости, математическая модель, алгоритм разделения, коэффициенты трения и восстановления, отражающие элементы.
Л ля проведения исследований процесса разделения компонентов полезных ископаемых была разработана и создана полупромышленная модель сепаратора с двугранными отражающими элементами. Сепаратор состоит из следующих основных узлов (рис. 1): корпуса с загрузочным желобом, отражающих элементов, закрепленных консольно в раме, состоящей из подвижной и неподвижной решеток, приемных воронок для продуктов разделения, шиберов. Изменение угла наклона элементов осуществляется путем перемещения в вертикальной плоскости подвижной решетки винтом.
Эффективность разделения прутковых грохотов исследовались на основе анализа закономерностей движения частиц в данных аппаратах. Закономерности получены теоретическими в соответствии с теориями и принципами механики и описывают движение частиц по наклонной плоскости, свободный полет, а также удары о прутки.
Если материал поступает на загрузочный лоток с начальной скоростью V0 и движется с ускорением
(1)
■ = Я •( ^
эта,
-• соэ а0
) •
где: а0 — угол наклона к горизонту, ]] — коэффициент динамического трения частицы ]-го типа.
Скорость материала в конце лотка определяется соотношением
V = V +
2а< Н -Н
Э1па0
(2)
Рис.1. Схема аппарата с неподвижной разделительной поверхностью.
1 - корпус сепаратора; 2 - наклонный желоб; 3 - отражательные элементы
где: И1, Н2 — высота точек отсчета.
Как видно, скорость частиц зависит от коэффициента трения, угла наклона лотка и его длины.
Скорость V, приобретенная частицей в конце лотка, является начальной
для свободного полета как до соударения с отражательными элементами, так и после него. Если учесть при движении влияние сил сопротивления, пропорциональных скорости или квадрату скорости частиц, то для описания движения частиц, возможно, использовать дифференциальные уравнения, полученные на основании II закона Ньютона.
\тХ. = Гх
тх = тд + Гу ; (3)
[т'ё = тд + ,
где: т — масса частицы; х, у — текущие координаты частицы; д — ускорение свободного падения; Гх, Гу, Г — проекции сил сопротивления движению частицы на оси координат.
В зависимости от принятого закона изменения сопротивления среды возможны два варианта записи величин силы сопротивления. При линейном изменении сил Г с = - ] • V — закон Стока, где ] — коэффициент сопротивления, имеем
Гх = -] • х, Гу = - х • у, Г = -у • (4)
Более сложные зависимости соответствуют квадратному закону сопротивления:
Если Гс = т • Яс • V2, где Кс — коэффициент пропорциональности, то
Гх = -т • Яс -У х2 + у2 • х
Гу = т • Нс • У (5)
Г = т • Ис -7 х2 + у2 • ¿.
Для первого из приведенных законов изменения сила сопротивления текущей координаты частицы получается в виде решения дифференциальных уравнений (3). При этом для линейного закона уравнение (3) разрешено в квадратурах, а для квадратичного — нет. В соответствии с указанными замечаниями текущие координаты удобнее не выражать в конечном виде, а получать непосредственно как решения дифференциальных уравнений по стандартным компьютерным программам.
В каждый момент времени полета частицы выполняются проверки:
• нахождение отражающего элемента, на который проектируется частица;
• сравнение координат ё частицы и точки вертикальной проекции ее на отражающий элемент;
• проверка возможности взаимодействия частицы с боковой плоскостью сепаратора.
Встреча с элементом фиксируется в случае, если выполняется условие:
Ь = ё, (6)
Уравнение встречи частицы с отражательными элементом представлено уравнением: \г - кх + в < е .
где: ё, Ь — вертикальные координаты частицы и ее проекции на элемент.
Учитывая дискретность моделирования (шаг по времени г), условие (6) в точности никогда не выполнится, поэтому точка встречи рассчитывается специальной подпрограммой на основе интерполирования. В результате решения задачи о точке встречи определяются следующие параметры (рис. 2):
• координаты х, у, г точки встречи;
• угловые параметры а и в траектории в точке
встречи;
• значение скорости до удара [/в — по вертикали, [/г — по горизонтали;
• номер ряда т и номер элемента п;
• угловые параметры плоскости ] (угол наклона оси элемента к горизонту) и 8 (угол наклона полки уголка к горизонту).
• коэффициент восстановления скорости к.
Синус угла между вектором скорости в точке встречи и плоскостью равен: N • Н
Рис. 2. К определению точки взаимодействия частицы с плоскостью отражательного элемента
sin ц =
N I R
(7)
где: N = {A; B; C} — вектор нормали к плоскости,
R = {£; m; n} — направляющий вектор траектории частицы.
В свою очередь A = sin S ■ cos у, B = cos S ■ sin у, C = - cos S ■ cos y, I = cos в ■ cos a, m = sin в ■ cos a, n = sin a.
После подстановки получим
cos a ■ (tgY ■ sin в + tgS ■ cos в) - sin a
sin ц = ■
4W-
(8)
+ sec y
Вектор скорости частицы V раскладывается на две составляющих: а) Vk = V ■ cos^ — касательная составляющая, которая в результате соударения частицы с плоскостью уменьшается, сохраняя направление:
(9)
КОНЕЦ ])
Рис. 3. Блок схема алгоритма рабочего процесса сепарации
V/ = Vk • (1 -2),
где: X — коэффициент мгновенного трения.
б) Vн = V • эту — нормальная составляющая скорости, которая в результате отскока меняет направление на противоположное. При этом величина ее также уменьшается:
V/ = Vн • к, (10)
где: к — коэффициент восстановления скорости.
Раскладывая векторы V]/ и V/ по направлениям координатных осей и суммируя, получим:
Vx = V • {соэ а • соэ в • (1 ) - эт у • (1 + к] - ) •
tgS
^эес2 у +
(11)
Vy = V ■ {cos a ■ sin в ■ (1 - Áj) - sin i¡/ ■ (1 + kf - )
tgS
sec2 y + tg S
(12)
V = V ■ {sin a ■ (1 - Áj) + sin W ■ (1 + kj -Á;) ■ tgS l, (13)
ysec2 y + tg S J
Указанные векторы полностью определяют направление и скорость частицы после отскока ее от плоскости отражающего элемента:
в = arctgV, (14)
x
a = arctg—j=Vz , (15)
V = 4 V22 + V2 + V2, (16)
После удара об отражательные элементы частица вновь участвует в свободном полете, а потому при численном моделировании ее движения необходимо вновь обратиться к дифференциальным уравнениям (3). Алгоритм моделирования процесса движения частицы приведен на рис. 3. Указанный алгоритм реализуется на ПЭВМ со случайной выборкой начальных параметров движения (точки начала движения по наклонной плоскости и ее начальной скорости), а также случайным выбором параметров самой частицы (ее размеров и физических параметров трения и упругости). Результаты численного моделирования позволяют оценить эффективность разделения при выбранных конструктивных параметрах аппарата, а также выбрать их наиболее рациональные значения.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. ЦыпинЕ.Ф., Потапов В.Я., Пелевин А.Е., Иванов В.В., Слесарев О.Ю. Коэффициенты трения частиц асбестосодержащих продуктов // Научные труды ВНИИПроектасбест «Совершенствование технологии обогащения асбестовых руд». - Асбест, 1990. - с. 110-115.
2. Тимченко Н.К. Основы механического разделения зерен щебня и гравия по упругости и трению. - Строительные материалы, 1964, № 4. - с. 17-19. и'.'-^
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Потапов Валентин Яковлевич — кандидат технических наук, доцент кафедры горной механики, е-шаИ [email protected] Уральский государственный горный университет
А
UDC 622.771
MATHEMATICAL MODEL OF PARTICLE FLOW IN SEPARATOR BY FRICTION AND ELASTICITY
Potapov V.Ya., Candidate of Engineering Sciences, Assistant Professor Ural State Mining University e-mail [email protected]
The author considers the mathematical mode! of particle flow under separation by friction and elasticity.
For testing of mineral separation process, a semi-industrial mode! of a separator with two-sided repelling elements was designed and constructed.
Bumped on the repelling elements, a particle is on free flight, and the numerical modeling of the particle movements requires differential equations. The article presents the particle movement modeling algorithm using PC-assisted random choice of the initial movement parameters (the point of initial movement in an inclined plane and the initial movement velocity) and random choice of the particle parameters (size, friction and elasticity). The numerical modeling allows estimation of separation efficiency of the chosen equipment and selection of the most rational parameters of separation equipment design.
Key words: separator by friction and elasticity, mathematical model, separation algorithm, friction and recovery coefficients, repelling elements.
REFERENCES
1. Tsypin E.F., Potapov V. Ya., Pelevin A.E., Ivanov V.V., Slesarev O. Yu. Friction Coefficients of Particles of Asbestos-Containing Products. In: Asbestos Ore Processing Improvement. Transactions of VNllProektasbest. Asbest, 1990. pp. 110-115.
2. Timchenko N.K. Basics of Mechanical Separation of Crushed Rock and Pebble Grains by Elasticity and Friction. Stroitelnye materialy—Building Materials Journal, 1964, No. 4, pp. 17-19.
A
ГОРНАЯ КНИГА
ФЛОТАЦИЯ
Собрание сочинений. Том 8. Флотация. Сульфидные минералы
Абрамов A.A. 2013 г. 704 с.
ISBN: 978-5-98672-338-9 UDK: 622.765
Дано теоретическое и экспериментальное обоснование методов и способов совершенствования, оптимизации и интенсификации технологии флотационного обогащения сульфидных руд на основе результатов анализа химических, электрохимических и электрофизических свойств сульфиднык минералов при их окислении и взаимодействии с флотационными реагентами. Показано, что приведенные в книге теоретически обоснованные и экспериментально подтвержденные результаты исследований и разработанные физико-химические модели оптимальных условий селективной флотации основных сульфидных минералов могут послужить основой создания принципиально новых эффективных технологических решений в практике обогащения руд цветных металлов, решении проблем полного водооборота на фабриках и охраны окружающей среды.
