Разработка комплекса программ для построения кривых обогатимости с помощью численных методов анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

© И.А. Королев, В.И. Удовицкий, 2012

И.А. Королев, В.И. Удовицкий

РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ

ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ КРИВЫХ ОБОГАТИМОСТИ

С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННЫ1Х МЕТОДОВ АНАЛИЗА

Проведено сравнение со стандартной методикой чисденных методов, которые могут быть исподьзованы ддя построения кривых обогатимости, а также преддожен пример реадизании некоторых методов в виде компдек-са программ.

Кдючевые сдова: кривые обогатимости, чисденные методы, метод наименьших квадратов, спдайн-интерподяния.

Л ля исследования углей на обогатимость в практике обогащения используется метод фракционного анализа, изложенный в ГОСТ 4790—93 [1]. На основании результатов расслоения пробы угля в нескольких тяжелых жидкостях рассчитывают фракционный состав и строят кривые обогатимости Анри. Эти кривые отражают зависимость между выходом и зольностью всплывших и потонувших фракций, а также между плотностью разделения и выходом продуктов обогащения. Обычно их построение ведется вручную на миллиметровой бумаге или с использованием электронных таблиц EXCEL.

Некоторые исследователи [2] при обработке результатов фракционного анализа вообще не используют кривые обога-тимости Анри, либо применяют методики, отличные от представленной в ГОСТ 4790-93. Например, в статье [3] построение кривых обогатимости ведется приближением по методу наименьших квадратов [4], суть которого заключается в следующем. Пусть имеется n значений аргумента х,- и соответствующих ему значений функции у,-. Необходимо найти такую функцию F(x), чтобы сумма квадратов ее отклонений от заданных значений у,-, была минимальной:

Q = £ (F(X.)-yi )2 = min (1)

Искомую функцию F(x) можно представить в виде F(x) = C0 • ф0 (x)+С1-ф0(х)+...+Cm • фт(х), (2)

где ф0,..., фт - базисные функции; Со,..., Ст - неизвестные коэффициенты. В качестве базисных функций могут быть использованы различные функции, например, целые степени аргумента, логарифмические функции и пр. Для нахождения коэффициентов следует решить систему уравнений

50" = 0 (3)

дСк

или, после подстановки (1) и (2) в (3)

п

X ( С0 • Фо (Х1 ) + С 1 Ф (X ) + - + Ст • Фт (Х1 ) - У1 ) • Фо (X ) = 0

1=0

п

X ( С0 • Фо (Х1) + С 1 Ф (Х1) + - + Ст • Фт (Х1) - У1 ) • Ф1 (Х1) = 0

1=0

(4)

X ( С0 • Ф0 (X ) + С 1 Ф (X ) + - + Ст • Фт (Х1 ) - У1 ) • Фт (X' ) = 0

1=0

Коэффициенты аппроксимирующей функции определяются после решения системы линейных уравнений (4) относительно С0, Сг, ... Ст. Поскольку число уравнений в системе невелико, то для отыскания ее корней можно применить прямой метод решения, позволяющий найти точное решение за определенное количество действий, например, метод Гаусса. Чтобы воспользоваться данным методом, нужно составить расширенную матрицу, называемую матрицей Грама, элементами которой являются скалярные произведения базисных функций и столбец свободных членов:

(Фо, Фо) (Фо, Ф1) ••• (Фо, Фт) (Фо, У) (Ф1, Фо ) (Ф1 > Ф1 ) - (Ф1 > Фт ) (Ф1 > У)

(5)

(Фт > Фо) (Фт > Ф ) - (Фт > Фт) (Фт > У)

п п

где (ф), Фк) = XФj(х,)Фк(х,), (Ф;, У) = XФ;(X)у/, } = °--т> к = °-т .

1=0 1=0

Прямой ход метод Гаусса заключается в приведении матрицы (5) к треугольному виду. Из элементов второй строки вычи-

таются элементы первой, умноженные на такое число, чтобы сократился элемент первого столбца, т. е. коэффициент при С0. Затем таким же образом элементы первой строки вычитаются из третьей, четвертой и т. д. Далее аналогичные действия производятся со вторым столбцом. Продолжается этот процесс до тех пор, пока не исключатся все элементы, лежащие ниже главной диагонали, после чего начинается обратный ход метода Гаусса — собственно вычисление неизвестных значений Ст,

Ст-1, Cl, С0.

Возможность использования метода наименьших квадратов для представления кривых обогатимости также описывается российскими учеными [5], поэтому следует отметить ряд особенностей такого способа. В первую очередь, аппроксимация данных фракционного анализа методом наименьших квадратов позволяет установить функциональную зависимость между выходом продукта и его зольностью, также имеется возможность оценить точность построения кривых по значению среднеквад-ратического отклонения. Другой особенностью этого метода является тот факт, что кривая при построении не проходит через точки исходных данных, а лишь максимально приближается к ним, что не соответствует стандартной методике.

Этого недостатка лишен способ построения кривых Анри путем интерполяции результатов расслоения. Существует множество методов интерполяции, наиболее простой из них — применение интерполяционного полинома Ёагранжа — многочлена минимальной степени, который проходит через точки экспериментальных данных. Для описания кривых обогатимо-сти [6] многочлен Ёагранжа будет иметь вид

п Ad - Ad

у А") = X /; П ^т-Ат,

1=1 I - А

где у,-, А61 — соответственно экспериментальные значения выходов и зольностей фракций. Этот метод наименее трудоемок в программном исполнении, но и его надежность также невысока.

Более эффективным методом интерполяции кривых является сглаживание сплайнами — кусочно-кубическими функциями.

Кубическим сплайном [7] называется функция s(x), удовлетворяющая следующим условиям:

• на каждом участке [x,--j; x,] (i=1,2,...,n) между узлами интерполяции функция является многочленом третьей степени;

• ее значения в узлах интерполяции равны экспериментальным значениям у;

• s(x), ее первая и вторая производная непрерывны на всем интервале интерполирования.

На каждом отрезке [x,-_j; x,] (i=1,2,...,n) сплайн выражается функцией вида

Si (x) = a + b (x - Xi) +f (x - Xi )2+f (x - x )

где a,-, bi, c,-, di — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. Для вычисления коэффициентов с,- следует решить систему уравнений

+ 2 (hi+h i+i)c. + h i+ic+i = ef^^ - co =c„ = 0, (6)

^ h i+i h i j

где h, = x, — xm — расстояние между узлами интерполяции, i=1, 2, ..., n-1.

Оставшиеся коэффициенты рассчитываются по формулам:

d = , b. = hc-^d + , a = y., i = 1,2, ..., n

1 h 1 2 1 6 1 h 1 1

Систему (6) можно представить в виде трехдиагональной матрицы

2(+Ы) Ы «о - о о о б|6 --^ 1

h2 2(+Ы) Ыз 0 - 0 0 0 e[

, h2 Ы1 „

Уз -У2 У2-У1

„ Ыз Ы2 .

У4 -Уз Уз -У2

0 Ыз 2(з+Ы4) h4 - 0 0 0 6 Ы Ы

0 0 - ы-2 2(n-2+hn-i) e^^f-^ -^f-г

Уп-Уп-1 У:-1-У:-2 "l

0 hn-1 2Ы-1+Ы) 6 . .

1 Ы: hn-1

Системы уравнений с трехдиагональной матрицей решаются метолом прогонки [4], который сводится к определению значений неизвестных переменных из рекуррентного соотношения

С =Ь ,+1С,+1 +П+1, ' = п -1,-,2, (7)

где п — коэффициенты прогонки, вычисляемые по формулам

Ь =__Ьш_

Ь ¡+1

6

П+1 =

2(( + Л,.+1)+И,. Ь,

\

ГУ ¡+1- У1 у1- у ¡-1Л

Ь1+1_ь

2((+Ь+1 )+Ь Ь1 ■

Для начала расчета необходимо задаться начальными значениями этих коэффициентов и щ. При 1 = 0 со = 0, тогда из уравнения (7) следует, что £г=щ= 0.

Возможности использования метода построения кривых Анри с помощью сплайн-интерполяции для оценки обогатимо-сти углей описаны в работе [8]. Данный способ позволяет получить наиболее гладкие кривые, которые будут точно проходить через экспериментальные точки, кроме того, можно добиться полного соответствия методике ГОСТ 4790-93. Также возможно получить аналитическое представление кривых обо-гатимости на отдельных участках в виде многочленов третьей степени.

Анализ приведенных методов построения кривых обогати-мости позволяет сделать следующие выводы:

• в большинстве случаев для построения кривых требуется сравнительно большое число исходных данных, однако внедрение компьютерных методов снизит трудоемкость исследований обогатимости углей;

• лишь небольшое число методов могут давать результаты, которые будут соответствовать стандартной методике обработки результатов фракционного анализа, изложенной в ГОСТ 4790-93;

• необходимо стремиться к уменьшению вычислительной сложности алгоритмов для сокращения времени, затрачиваемого на обработку данных, и обеспечения достаточной для технологических расчетов точности.

Рис. 1. Главное окно программы

В связи с этим наиболее перспективным видится сочетание нескольких методов построения кривых обогатимости Анри. Такой подход к построению кривых обогатимости реализован авторами в комплексе программ [10, 11, 12]. Главное окно программы (рис. 1) содержит таблицу, в которую вносятся результаты расслоения пробы угля в нескольких тяжелых жидкостях. После внесения исходных данных выполняется расчет фракционного состава пробы и построение кривых обогатимости.

Кривая элементарных фракций X аппроксимируется по методу наименьших квадратов, поскольку такое приближение позволяет получить аналитическое выражение зависимости между выходом и зольностью элементарных слоев. Эта зависимость имеет большое значение для моделирования технологических процессов обогащения.

Кроме того, с помощью формул, описанных в [9] можно определить функции, аппроксимирующие остальные кривые:

Yв 100-Кв

J AddY = Ad • у p, J dy = Ade • (100 - у p),

0 0

где ye — выход всплывшей фракции, Adh Ade, Ad g - зольность

элементарного слоя, всплывшей и потонувшей фракций соответственно.

Рис. 2. Результат построения кривых обогатимости

Для построения кривых всплывших фракций в и потонувших фракций в, а также кривой плотностей р разумно воспользоваться интерполяцией кубическими сплайнами, т. к. в этом случае легко рассчитываются значения выхода при любой зольности, что необходимо, например, для составления теоретического баланса продуктов обогащения. Общий вид кривых Анри, полученных в результате работы программы, представлен на рис. 2.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГОСТ 4790-93. Топливо твердое. Определение и представление показателей фракционного анализа. Общие требования к аппаратуре и методике. — Минск: Межгос. совет по стандартизации, метрологии и сертификации, 2002.

2. Characterization of Washability of Some Mexican Coals / C. L. Lin, J. R. Parga, J. Drelich, J. D. Miller // Coal Preparation, 1999. — V. 20. — P. 227245.

3. Salama A.I.A. Balancing of Raw Washability Data Utilizing the Least-Squares Approach / A. I. A. Salama, M. W. Mikhail // Coal Preparation, 1993.

— V. 13. — P. 85-96.

4. Калиткин H.H. Численные методы. — M.: Наука, 1978. — 512 с.

5. Кандинская И. В. Аналитическое представление кривых обогатимо-сти. / И. В. Кандинская, В. И. Удовицкий // Вестник КузГТУ, 2003. — №4.

— С. 48-54.

6. Прогнозирование количественных характеристик полезных ископаемых на ПЭВМ / В. И. Удовицкий, В. Г. Левин, M. А. Тынкевич, И. В. Кандинская. — Кемерово, 1997. — 167 с.

7. Самарский А.А. Численные методы. / А. А. Самарский, А. В. Гулин.

— М.: Наука, 1989. — 432 с.

8. Козлов В.А. Показатель обогатимости, как инструмент исследования фракционного состава угля // Горный информационно-аналитический бюллетень, 2010. — №9. — С. 13-18.

9. Коткин А.М. Оценка обогатимости угля и эффективности процессов обогащения. / А. М. Коткин, М. Н. Ямпольский, К. Л. Геращенко. — М.: Недра, 1982. — 200 с.

10. Свидетельство о гос. рег. программы для ЭВМ №2012613674. Аппроксимация кривой элементарных фракций методом наименьших квадратов / И.А. Королев, В.И. Удовицкий. — Заявка №2012611249 от 22.02.2012; зарег. 19.04.2012.

11. Свидетельство о гос. рег. программы для ЭВМ №2012613675. Применение полинома Лагранжа для построения кривых обогатимости / И.А. Королев, В.И. Удовицкий. — Заявка №2012611250 от 22.02.2012; зарег. 19.04.2012.

12. Свидетельство о гос. рег. программы для ЭВМ №2012613676. Интерполяция кривых обогатимости кубическими сплайнами / И.А. Королев, В.И. Удовицкий. — Заявка №2012611251 от 22.02.2012; зарег. 19.04.2012. ЕЕШ

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Королев Иван Алексеевич — студент, [email protected], Удовицкий Владимир Иванович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой обогащения полезных ископаемых, [email protected], Кузбасский государственный технический университет, [email protected].

д