Разработка и исследование математических моделей объема и массы турбин сверхмалой мощности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.438.001 2 (02)

В.А. Григорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет), Российская Федерация

РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕМА И МАССЫ ТУРБИН СВЕРХМАЛОЙ

МОЩНОСТИ

Разработана методика построения математических моделей объема и массы осевых (ОТСММ) и центростремительных турбин сверхмалой мощности (ЦС ТСММ) с привлечением методов математической статистики. Проанализировано влияние основных режимных и геометрических параметров на массу турбин указанных типов, проведено сравнение массовых характеристик ОТСММ и ЦС ТСММ при различных значениях диаметральных габаритных параметров. Приведены обобщенные регрессионные математические модели массы, которые могут использоваться при решении задачи оптимизации параметров турбин сверхмалой мощности по системным показателям эффективности.

Ключевые слова: турбина сверхмалой мощности, математическая модель, масса турбины, оптимизация параметров.

Введение

Турбины сверхмалой мощности (ТСММ) наряду с входными и выходными устройствами входят в состав турбоприводов сверхмалой мощности [1]. Наиболее распространенными являются приводы с одноступенчатыми турбинами осевого и центростремительного типов. С целью повышения эффективности турбоприводов необходимо решать задачу оптимизации основных режимных и геометрических параметров турбин [2] по нескольким критериям, одним из которых является масса турбопривода. В известной научно-технической литературе практически отсутствуют какие-либо сведения по математическим моделям массы таких агрегатов.

В данной работе поставлена задача построения математических моделей массы ТСММ. Причиной является многообразие вариантов конструктивного исполнения входных и выходных устройств с одной стороны и недостаточная изученность влияния параметров этих устройств на эффективность приводов с другой, что затрудняет формирование математических моделей тур-боприводов в целом.

Формирование математических моделей объема и массы турбин сверхмалой мощности

В работе [3] была показана необходимость построения моделей критериев оценки эффективности в зависимости от десяти безразмерных влияющих факторов — геометрических и режимных параметров ТСММ. Перечислим эти факторы:

© В.А. Григорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов, 2012

Ут =0,1...0,58 — параметр нагруженности ТСММ;

рт = 1,0.56 — степень понижения давления в турбине;

Б

-=0,01...0,05_

относительная высота ло-

1(ср)

— эффективный

патки соплового аппарата (СА);

[9,2... 25° для ЦС ТСММ [5...240 для ОТСММ

угол выхода потока из СА;

е = 0,1.1 — степень парциальности;

Б=0,4...0,9 — отношение выходного диаметра Б2 рабочего колеса (РК) к его входному диаметру Б1 в ЦС ТСММ;

5кр СА = 0,14...0,42 — относительная толщина выходной кромки лопатки СА в ОТСММ;

'Ь ^ =[1,2...2,2 для ЦС ТСММ I) РК = [1...1,7 для ОТСММ шетки РК;

[15.60° для ЦС ТСММ

густота ре-

Ь2эф

15. 40° для ОТСММ

ный угол выхода потока из РК;

— эффектив-

Б"РК =0,975...2,625 — отношение площади канала на выходе из РК к площади на входе в РК ЦС ТСММ;

— удлинение СА;

0,4...1,6 для ЦС ТСММ 0,4...2 для ОТСММ

— фактор мас-

штабности, учитывающий влияние отклонения величины диаметра Оц) ступени от величины диаметра испытуемой ступени турбины Оц)исп = 50 мм на ее эффективность.

Индекс «ср» относится к среднему диаметру ступени ОТСММ.

На начальном этапе проектирования можно сформировать эскизный облик одноступенчатой турбины, близкий к конструктивному.

На рис. 1 для турбин осевого и центростремительного типов представлен такой схематический облик. Пунктирными линиями показаны контуры корпуса соплового аппарата, не учитывающиеся при формировании математической

модели ввиду многообразия вариантов конструктивного исполнения.

Математическая модель массы одноступенчатой турбины базируется на предварительном определении ее объема.

Объем турбины складывается из следующих составляющих

Ут = УлСА + УеСА + УлРК + УкорСА + +УдРК +УбандРК,

(1)

где Улса — объем лопаток СА;

Уе са — объем непроходной части СА парциальной турбины;

УлРК — объем лопаток РК;

У

корСА

— объем корпуса СА;

УдРК — объем дисковой части РК без учета рабочих лопаток;

УбандРК — объем бандажного кольца РК.

аб Рис. 1. Схема одноступенчатой ТСММ: а — осевого типа; б — центростремительного типа

Объем лопаток СА для турбин обеих типов

УлСА 2лСАРлСАИСА

7лСАРлСА ^^ О1(ср)исп Бм

(2)

1(ср)

где £лса — число лопаток СА;

РлСА — площадь профиля лопатки СА; ^СА — высота лопатки СА. Объем непроходной для потока части СА ОТСММ и ЦС ТСММ соответственно

УеСА О = рОср 8СА (1 - е) =

ьсд

УеСА ЦС р

ПОСр =ОМ I i 0СД Вср

X (1 - е);

(1 - е) ^

б2-Б;

(3)

(4)

где .?са—ширина решетки лопаточного венца СА. Объем лопаток РК

УлРК О 7лРКРлРКИРК 7лРКРлРКИСА(1 + Ан + Ав);

У = 7 Р = УлРК ЦС 7лРКглРК —--

7лРКРлРК~ О1испх

X Бм (1+ А + Ав) ^ 2С

0,5+^РК

(5)

(6)

где 7лрк — число лопаток РК;

РлРК — площадь профиля лопатки РК; Ирк — высота лопатки РК ОТСММ;

и =

Б1

°1исп Б„ (1+ Ан + Ав ) - высота

+ 2Ав + 2Абанд + Акор)

Акор1т+

Бср -2ЬСА

ор

У

х

(7)

5 = 0,01 — относительный радиальный зазор

[4];

лопатки РК ЦС ТСММ на входе;

и2 = - высота лопатки РК ЦС ТСММ Б

на выходе;

Ан и Ав — относительная величина нижней

и верхней перекрыш.

Объем корпуса СА ОТСММ

УкорСА О = р(0ср+ 2ИРК + 5г + Ав + Абанд)х

х(§г + Ав + Абанд) + Р(°ср+ 2ИРК + 2§г +

50 = (°л25 -0,675)^г °1исп Бм [4];

8д = §0 — зазор между диском РК и корпусом

СА;

Абанд = (0,5...0,6)^ — толщина бандажного кольца РК;

В1 = (0,1.0,15)01 — И — ширина обода диска [4].

Объем диска РК

V =П

* дРК О 11

1(Бср -ЬСА -2ДН)2-а,2 ^

; (9)

где 8Г = 0,3.0,8 мм — радиальный зазор [5];

Акор = (0,5. 1)Иса — толщина стенки корпуса СА;

1т = 8СА + §о + 8РК — длина турбины;

8о = (0,16.0,48) Иса — осевой зазор между венцами СА и РК [5];

8РК = (3,5.5,5) Ирк — ширина решетки лопаточного венца РК [5];

Абавд = 0,1.0,5 мм — толщина бандажного кольца [5].

Объем корпуса СА ЦС ТСММ

корСА ЦС

Б2 -Б

р|-4-] (§д+§0+Аб анд 2

— И!+В1+В2+

,Б12-Б2 и | Б2-Б32

^рк ЦС =п| IВ1 + р| | (В1 — В3) +

+п

Бз+авТ

(Ь1+В1-В3) ^-в, +

+ р(И2+В1)

¿вВт -¿2

(10)

где В3 = 0,00601 — величина подрезки диска на выходе потока из РК [6];

^ = 0,2Б1 — диаметр вала турбины [4]; йвт = 0,24Б1 — диаметр втулки диска [4];

°3 = йвт + 2И1. Объем диска ЦС ТСММ складывается из

объема цилиндрической части обода диска и объема втулки диска РК. Объем бандажа РК

I Б? -Б2 ) 12В2+Ь2 - Ь, +5^7Л

+Ан+Ав) + II 2 2 2 1 I, (8)

где Б1' = 0^1+2 5 ) — диаметр на выходе из

СА;

Б0 = 41 г I агсА + 01' — диаметр на

входе в СА;

|Ь | =12 — густота решетки СА [4];

I I 0 СА

агСА = 0,036Б1 — минимальное сечение канала СА в радиальной плоскости [4];

УбандРК О р(0ср + ИРК + 2Ав + Абанд)

хАбанд 8РК;

УбандРК ЦС пДбанд

Б,2-Б^

(11)

(12)

Лопаточные венцы ТСММ, как правило, целиком выполняют из одного материала с плотностью р, поэтому масса турбины Мт = рУт.

Значения одной части исходных данных представленной аналитической модели задаются проектировщиком из указанных выше диапазонов значений. Большинство из них определяется че-

Ь

X

рез факторы Бм и о . Другая часть исходных

О1(ср)

данных — площади лопаток Рлса и Рлрк — зависят от нескольких влияющих факторов. Из-за сложности определения величин образующих кривых лопаток в зависимости от основных параметров ТСММ и невозможности применения единого метода построения профилей лопаток РК, выражения для Рлса и Рлрк были получены не аналитическим путем, а с помощью регрессионного статистического анализа данных по площадям профилей лопаток, построенных для 85 комбинаций варьируемых параметров по планам экспериментов [3].

РлСА О - f(pr> hCA/DcP'

ср> 1эф> кр СА

, (b/t)

PK'

(S/h)cA, DM );

(13)

РлСА ЦС - 5(а1эф' s' 5кр са > Dm ); (14)

РлРК О - f(hCA/Dcp' s,(bA)pK' Р2эф' Dm ); (15)

РлРК ЦС = ^ Р* «Ь^ О , (b/t)pк, P2эф, Ом ). (16)

Наличие в выражении (13) фактора (ЬД)рк объясняется его взаимосвязью с (ЬД)са [4], а влияние е и ИсА/Оср на Рлрк о обусловлено их совместным воздействием на величины Ирк и 8рк. Режимные параметры влияют на площади лопаток СА ОТСММ и РК ЦС ТСММ. В первом

случае с изменением рт меняется форма сверхзвукового профиля, во втором — конструктивный угол наклона входной кромки рабочей лопатки за счет сохранения постоянным угла атаки набегающего потока 1рк = 0. При профилировании рабочих лопаток ОТСММ было принято условие независимости величины угла р^ от 1рк с целью обеспечения равенства Р1к = Р2к, соответствующего активной турбине, поэтому на Рлрк о режимные параметры не влияют. На рис. 2 показаны варианты характерных профилей лопаточных венцов турбин обеих типов. Такие параметры, как со 1СА(РК), ®2СА(РК^ УустСА и др. задавались при профилировании из допустимых диапазонов их значений, указанных, например, в [6].

Рис. 2. Варианты профилей лопаточных венцов: а, б — центростремительного типа; в — осевого типа (дозвуковое истечение из СА); г — осевого типа (сверхзвуковое истечение из СА)

в

г

Анализ влияния режимных и геометрических параметров на массу турбин сверхмалой мощности

При проведении анализа влияния геометрических и режимных параметров на массу ОТСММ и ЦС ТСММ, детали которой вытолнены1 из материала Д-16Т с плотностью р = 2800 кг/м3, была использована сформированная выше математическая модель. В ходе анализа вышвлено, что увеличение параметров Ьсд/В, е, 5кр, (ЬД)рК,

(8/И)сд, Бм в осевых турбинах приводит к уменьшению Мт, а в центростремительных турбинах увеличению Мт способствует рост Бм ,

Б, ЁРК , (ЬД)рк. Увеличение а1эф и р2эф для двух типов турбин приводит к малозначительному уменьшению Мт. Режимные параметры Ут и рт на величину массы ОТСММ практически не влияют, а на массу ЦС ТСММ рт оказывает суще-

сит величина перекрыш, а, значит, и высота ло-

патки на входе в РК. Характер протекания зависимости Мт цс от параметров ^д/В^ рт и е может быть различным при определенных комбинациях значений некоторых параметров. Так, увеличение Исд/В1 при малых значениях

ГРК и больших Б приводит к линейному убыванию Мт, а в противном случае — к возрастанию. Это связано с изменением вклада массы корпуса Сд и массы рК в общую оценку массы турбины.

Наиболее существенно влияющим на массу фактором являются диаметральные размеры, т.е.

параметр Бм . На рис. 3 показано влияние Б на Мт при фиксировании остальных параметров на оптимальных по условию минимума массы уровнях с учетом технологических ограничений, указанных в данной работе и в [3]. Сравнение массовых характеристик турбин осевого и центростремительного типа при указанных условиях свидетельствует о незначительном преимуществе в

этом отношении ЦС ТСММ при увеличении Б. Этот факт может позволить расширить область возможных конструктивных решений при проектировании турбоприводов.

М^ кг

0,16

0,12

0,08

0,04

0,4

0,8 1 -^ЦСТСММ

Рис. 3. Зависимость Мт от Бм при значениях параметров Ут = 0,3; рт = 3,525; ьса/б1(ср) = 0,017; аЬф = 19°; е0 = 0,142; ецС = 0,1; Б = 0,845; (Ъд)рк о = 1; (ЪА)рк Р2эф о = 40°; р2эф цс = 60°; Ёрк = 0,975

ЦС

= 1,2;

Предложенная в статье аналитическая форма не всегда удобна как для проведения анализа воздействия одновременно нескольких параметров турбины, так и для последующей оптимизации этих параметров по массовым критериям. Поэтому путем статистической обработки значений Ут для 100 опытов планов эксперимента, рассчитанных по (1), были получены регрессионные выражения в виде квадратичных полиномов для

турбин двух типов течения рабочего тела. Низкая точность оценки критериев вблизи границ

диапазона значений Бм , вызванная существенным различием значений Ут и, соответственно, Мт в опытах с разныши Бм , обусловила необходимость разбиения диапазона варьирования фактора Бм на пять частей с повторением вычис-

ственное воздействие, т.к. от величины рт зави

0

лительных экспериментов по плану эксперимента [3]. Это позволяет сократить разницу в значениях критериев при изменении Бм относительно эксперимента по плану с полным диапазоном варьирования. В итоге было получено десять регрессионных выражений, адекватно оценивающих критерии с коэффициентами детерминации Я2 > 0,96. В таблице 1 приведены значения статистически значимых коэффициентов при соответствующих параметрах этих моделей. Свободный член обозначен как Ьсв. Из таблицы видно, что на Мщс влияет больше факторов, чем на Мт0, что обусловлено как конструктивными особенностями турбин двух типов, так и скрытым влиянием пт на величины оптимальных перекрыш в ЦС ТСММ.

Окончание табл. 1

ЬСА/Ш х х а1эф 0,00765 0,00862 - - -

Пт 8 -0,00113 -0,00307 -0,00583 -0,01045 -0,02305

(Ьса/Б1)8 0,1522 0,32 - 0,9218 1,6619

а1 эф 8 -0,0003 -0,001 -0,00253 -0,00563 -0,00435

пт о - 0,00336 0,0093 0,03536 0,03129

ЬСА/Шх х Б -0,4248 -1,449 -2,629 -3,0155 -8,2346

Пт ррк -0,00064 -0,0015 -0,00345 -0,00837 -0,0015

ЬСА/Шх х ^РК - 0,1381 0,5197 0,6861 1,2681

Щ.К -0,0046 -0,0133 - -0,07841 -0,1049

ЬСА/Шх х Бм - - - - 2,4956

8 Бм 0,02098 0,03068 0,05438 0,09472 0,08504

ББм -0,06995 -0,08897 -0,31858 -0,41835 -0,4244

Ьсв -0,0177 -0,02908 -0,11074 -0,1236 -0,19556

Таблица 1

Коэффициенты регрессионных выражений для Мт0 и МтЦС (р = 2800 кг/м3)

Значение коэффициента при факторе X;

xi в выражении для мт0

б=0,4... б=0,72... б=1,04... б=1,36... б=1,68...

...0,72 ...1,04 ...1,36 ...1,68 ...2

Ьс^Бор -1,7534 -6,5808 -16,197 -35,915 -62,59

(ЬсА/Бср)2 0,6681 4,8388 9,811 40,453 36,183

8 -0,0191 -0,0669 -0,1306 -0,332 -0,59

(8/ь)са -0,0053 -0,0241 -0,0519 -0,0953 -0,173

Ом -0,2615 -0,6972 -1,1056 -1,573 -2,686

Бм2 0,1605 0,2888 0,322 0,3426 0,514

(ЬсА/Оор) 8 0,1693 0,8064 2,0267 3,6341 7,073

Ьсл/Бср х х(я/Ь)сА 0,0683 0,2378 0,6007 1,2864 2,3111

(Ьсл/Бср)х х Бм 3,4295 7,9774 14,3931 24,0159 35,498

8 Бм 0,0363 0,0651 0,1136 0,2212 0,3144

(8/Ь)сл Бм 0,0093 0,0241 0,0427 0,06 0,0892

Ь св 0,094 0,397 0,8578 1,6243 3,227

Значение коэффициента при факторе X;

в выражении для мтцс

б=0,4... б=0,64... б=0,88... б=1,12... б=1,36...

...0,64 ...0,88 ...1,12 ...1,36 ...1,6

п2т 0,00015 0,00031 0,00061 0,00158 0,00178

Ьсл/Б1 - 0,4938 - - -

(Ьсл/Б1)2 3,4329 4,0673 28,1684 18,889 -

а2 а 1эф -910-6 - - - -

8 -0,004 - - - 0,0344

Б 0,0262 - 0,2733 - -

Б2 0,0148 0,06355 - 0,30335 0,50131

*РК 0,0078 0,01733 - 0,09284 0,13683

Бм2 0,0756 0,08883 0,17673 0,22136 0,18733

П, х (Ьса/Б1) -0,0165 -0,03862 -0,1013 - -

Пт а1эф 3,810-5 - - - -

а

б

в

Рис. 4. Зависимости Мт0 и МщС а - Мто = «Ь/Бср, е); б - МтЦС = б);

в - МтЦС = Ррк )

Заключение

В работе предложена методика определения объема и массы ОТСММ и ЦС ТСММ, справедливая в достаточно широких диапазонах варьирования важнейших параметров турбины. Проведено исследование влияния этих параметров на массу и объем РК Разработанные математические модели могут использоваться при моделировании процессов испытания ТСММ и при решении оптимизационных задач.

Литература

1. Григорьев В.А. Анализ состояния проблемы повышения эффективности турбоприводов сверх-

малой мощности и пути ее решения [Текст] / В.А. Григорьев, Д.С. Калабухов, В.М. Радько, Н.Ф. Мусаткин // Авиационно-космическая техника и технология.- 2010.— №7.— С. 168-172.

2. Григорьев В.А. Выбор и обоснование критериев оценки эффективности турбоприводов сверхмалой мощности [Текст] / В.А. Григорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов // Проблемы и перспективы развития двигателестроения: материалы докл. Междунар. научн.-техн. конф., Самара, 2011.- 4.1- С. 42-43.

3. Григорьев В.А Выбор параметров турбопри-водов основных схем при планировании эксперимента [Текст] / В.А. Григорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов // Вестник Уфимского гос. авиац. техн. ун-та. - Уфа, 2012.- Т.16. - №2.- С.35-44.

4. Матвеев В.Н. Конструктивный способ улучшения технологичности рабочего лопаточного венца центростремительной микротурбины [Текст] / В.Н. Матвеев, Д.В. Сивиркин, Н.Т. Тихонов // Актуальные проблемы производства. Технология, организация, управление. - Самара, 1996.- С. 129-135.

5. Наталевич А.С. Воздушные микротурбины [Текст]/ А.С. Наталевич.- М.: Машиностроение, 1979.- 192 с.

6. Овсянников Б.В. Теория и расчет агрегатов питания жидкостных ракетных двигателей [Текст] / Б.В. Овсянников, Б.И. Боровский.- М.: Машиностроение, 1986. - 376 с.

Поступила в редакцию 01.06.2012

В.О. Грнорьев, В.М. Радько, Д.С. Калабухов. Розробка та дослвдження математич-них моделей обсягу i маси турбш надмалш потужност

Розроблено методику побудови математичних моделей об'ему та маси осьових (ОТНМП) i доцентрових турбт надмалш потужност1 (ДЦ ТНМП) 1з залученням методов матема-тичног статистики. Проаналiзовано вплив основнихрежимних i геометричних nараметрiв на масу турбт зазначених титв, проведено nорiвняння масових характеристик ОТНМП i ДЦ ТНМП при рiзних значеннях дiаметральних габаритних nараметрiв. Наведено узагаль-неш регресшш математичш моделi маси, яKi можуть використовуватися при виршенш завдання оnтимiзацii nараметрiв турбн надмалш nотужностi з масових характеристикам.

Ключов1 слова: турбна надмалш nотужностi, маса турбни, оnтимiзацiя nараметрiв, регресшний аналiз.

V.A. Grigoriev, V.M.Rad2 ko, D.S. Kalabuhov. Development and study of ultralow power turbine volume and mass mathematical models

A method of constructing mathematical models of volume and mass of the axial (AULPT) and centripetal ultralow power turbine (CULPT) using the methods of mathematical statistics is designed. The influence of the basic regime and geometric parameters on the mass of these turbine types, a comparison of AULPT and CULPT mass properties, and for different values of diametrical size parameters are analyzed. The generalized regression mathematical model of mass, which can be used to solve the problem of ultralow power turbine parameters optimizing by characteristics of the mass are given.

Key words: ultralow power turbine, turbine mass, optimization of parameters, regression analysis.