CC BY
34
ВЕСТНИК 6/2012
6/2012
УДК 624.15
Е.Б. Коренева
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
РАЗРАБОТКА АНАЛИТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАСЧЕТА ФУНДАМЕНТОВ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ТЕСНОЙ ГОРОДСКОЙ ЗАСТРОЙКИ
Предложена аналитическая методика расчета фундаментов зданий и сооружений в условиях тесной городской застройки. Построены две аналитические модели, позволяющие учесть влияние прокладываемого туннеля и расположенных поблизости глубоких выемок и котлованов. Принято, что свойства основания описываются моделью Винклера.
Ключевые слова: полубесконечная балка, балка конечной длины, упругое основание, аналитическая модель, выемка, котлован, туннель.
В работе разрабатываются методы расчета фундаментов зданий и сооружений, находящихся поблизости от прокладываемых туннелей, глубоких котлованов и выемок; близость последних может вызвать существенные дополнительные прогибы, что приведет к ухудшению работы конструкций. Изучению подобных вопросов посвящен ряд отечественных и зарубежных публикаций. Использовались экспериментальные и численные методы, в частности, метод конечных элементов.
Дифференциальное уравнение совместности деформаций зданий и оснований на подрабатываемых территориях было получено в ряде работ, например, в [1]. В [2] для решения указанных выше задач предлагается экспериментально-аналитический метод. В [3] и [4] был изложен новый аналитический метод для расчета фундаментов зданий и сооружений в условиях тесной городской застройки.
Ниже будут изучаться две расчетные модели для решения поставленных в работе задач. Ленточный фундамент будет рассмотрен как полубесконечная балка и балка конечной длины. Изучаемые конструкции лежат на упругом основании, свойства которого описываются моделью Винклера. Данная конструкция находится под действием собственного веса; кроме внешней нагрузки учитываются дополнительные перемещения, вызванные влиянием расположенных поблизости выемки, котлована или туннеля, и угловые деформации, связанные с поворотом сечений ленточного фундамента (рис. 1).
► х
Рис. 1. Фундамент, расположенный вблизи глубокой выемки или котлована
Приведем дифференциальное уравнение, описывающее изгиб балки, лежащей на упругом винклеровском основании [5]:
г 4
+ к™ = (1)
dx
где к — коэффициент постели.
Общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего (1), имеет следующий вид:
w
= e (A cos Ax + B sin Ax) + e (C cos Ax + D sin Ax),
(2)
где A =
k
4 EJ
; постоянные A, B, C и D определяются из граничных условий; для со-
кращения записи обозначим X = Ах.
В специальной литературе принято, что дополнительные прогибы, связанные с расположенной поблизости выемкой или котлованом, изменяются по экспоненциальному закону
7 = & "аХ, (3)
где а — константа, подбираемая эмпирически.
1. Рассмотрим сначала модель фундамента, представляющего собой полу бесконечную балку, лежащую на упругом винклеровском основании (рис. 2).
а_
Рис. 2. Полубесконечная балка, загруженная равномерно распределенной нагрузкой, угловой деформацией и прогибами
Предположим, что изучаемая конструкция находится под действием следующих нагрузок: собственного веса здания, который считаем равномерно распределенной нагрузкой, угловой деформации, обусловленной сдвигающими усилиями, а также под действием прогибов, связанных с влиянием расположенной поблизости глубокой выемки или котлована и изменяющихся по закону (3).
Запишем общее решение, которое может быть получено с помощью наложения результатов, полученных в [4]:
(4)
w = w + w + w ;
i ii HP
dw dx
dwl dwn dx dx
dwil
dx
M = M + M + M ; i ii iii'
(6) (7)
Q = 61 + а п + а ш,
^ л, гл
где ^р , Ы1, а1 — решения, которые соответствуют загружению при х = х0 угло
вой деформацией 90.
Используя [3]—[5], получим: 2Эо
=-—Л/г,
где
dwi = OA п
— = -2Ао Л^ dx
MI = -4AEJ Э0 Лп, Q = -4AEJ Эо лш,
ni (x) = e(cos x - sin x), Лп (x) = e-
Лш (x) = e~X(sin x + cos x), niv (X) = e" dwл
cos X, ' sin X.
(8)
(9)
(10) (11)
(12)
Решения ^п, , Мп, ап соответствуют случаю действия на полубесконечную
балку равномерно распределенной нагрузки д; принимая во внимание результаты, приведенные в [4], [5], получим следующие выражения:
ВЕСТНИК
МГСУ
6/2012
для прогибов
w -
-^(ХЛг (Х) —Лгу (Х));
для углов поворота
^ = ^(Х(пш (Х) + П (Х» + П11 (Х)-П (X));
для изгибающих моментов
м = (Х)-ПП (X));
для поперечных сил
д = § (х(п (Х)-Лш (Х))-(пп (Х)+п. (X))).
Выражения для wIII, , Мш, бш соответствуют случаю, когда полубесконечная балка дополнительно загружена прогибами, изменяющимися по закону (3); указанные решения определяются при помощи следующих зависимостей:
(13)
(14)
(15)
(16)
2
wrn =— 5 fxe "2Х—L (3sin x—cos x);
= —4 f -2Х—L (sin x —2cos Х);
dx 5 1 V }
4
Mггг = -X2f1e~2E'-LEJ(sinХ + 3cosХ);
o
Qrrr =— 8 X3f¡e "2 x—lej ( cos X + 2sin Х).
(17)
(18)
(19)
(20)
Заметим, что в [4] приведены формулы, соответствующие загружению ленточного фундамента лишь только влиянием усредненных дополнительных прогибов.
2. Рассмотрим вторую расчетную модель фундамента — балку конечной длины, лежащую на упругом основании, свойства которого описываются моделью Винклера.
Для решения поставленной выше задачи будут использованы фундаментальные функции Y1 (Х), y2 (Х), y (Х), y (Х), свойства которых охарактеризованы в [5]. Приведем выражения для этих функций:
y (Х) = сЬХ cos Х; y2 (Х) = 1 (сИХ sin Х + shX cos Х);
Y3 (Х) = ^Х sin Х; Y4 (Х) = 2 (^Х sin Х — shXcos Х).
(21)
Запишем уравнение упругой линии балки конечной длины, загруженной на левом конце прогибом, углом поворота, моментом и силой, которые мы соответственно обозначим через wo, Э0, м0, до (рис. 3).
Рис. 3. Балка конечной длины, загруженная прогибом, углом поворота, моментом и силой
Указанное выше уравнение имеет вид:
пРи x ^ Xi - m
w=w i=w0y1© + еда + л
EJ X
Y3 (Х) +
ео
2 13
EJ X
y4(X);
3 4
(22)
при xl < x < Х2 —
= w. У3(£); (23)
II I 2
при х > х2 —
_Р
X
wrn = w„ "^Г Ш- (24)
Учтем влияние дополнительных прогибов, вызванных влиянием расположенных поблизости выемки или котлована. Примем, что указанные дополнительные прогибы изменяются по закону (3). Для получения частного решения в этом случае w * (X) используется фундаментальная функция Y1 (X). В результате получим
fe-L ( e"2'x \
w* = I sinX + —(2cosX-sinX)l. (25)
Для учета влияния имеющихся предварительных прогибов, вызванных влиянием глубокой выемки, котлована или туннеля, следует суммировать решения (22)— (24) и (25).
Рассмотрим действие на балку равномерно распределенной нагрузки. При этом представим, что P = qx . Решение получим, интегрируя четвертое слагаемое в выражении (22):
wg = -6Jт [X (nvi (X) - niii (X) - nv (X)-ni (X)) - nil (X)+niv (X)], (26)
где nv (X) = eX(sinX + cosX), nvi = eX(sinX-cosX), П1, Пп, Пш, niv определяются зависимостями (12).
Обозначим выражение в квадратной скобке в (26) через wq * (X).
Приведем уравнение упругой линии балки конечной длины, загруженной равномерно распределенной нагрузкой и дополнительными прогибами, вызванными влиянием имеющихся поблизости котлована или выемки.
указанное выражение имеет следующий вид:
w = wn (X) = w, (X) + w * (X) + -Jj wq * (X), (27)
где w1 (X) определяется выражением (22), w * (X) — с помощью формулы (26).
Библиографический список
1. Шейнин В.И., Пушилин А.Н. Разработка инженерной схемы расчета конструкций зданий с учетом смещений земной поверхности // Тр. Междунар. науч.-практ. конф. ТАР-Россия. М., 2002. С. 463—467.
2. Ильичев В.А., Никифорова Н.С., Коренева Е.Б. Метод расчета деформаций зданий вблизи глубоких котлованов // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2006. № 6. С. 2—6.
3. Коренева Е.Б., Гросман В.Р. Расчет ленточного фундамента вблизи глубокой выемки // Тр. Междунар. конф. по геотехнике «Развитие городов и геотехническое строительство». СПб., 2008. Т. 3. С. 146—152.
4. Коренева Е.Б. Вопросы аналитического моделирования работы полу бесконечных фундаментов, расположенных вблизи глубоких выемок или котлованов // Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2012. № 1. С. 12—18.
5. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании. М. : Госстройиздат, 1954. 231 с.
Поступила в редакцию в мае 2012 г.
Об авторе: Коренева Елена Борисовна — доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, +7 (499) 183-59-94, [email protected].
Для цитирования: КореневаЕ.Б. Разработка аналитических моделей расчета фундаментов зданий и сооружений в условиях тесной городской застройки // Вестник МГСУ. 2012. № 6. С. 42—47.
E.B. Koreneva
DEVELOPMENT OF ANALYTICAL MODELS FOR THE ANALYSIS OF FOUNDATIONS OF BUILDINGS AND STRUCTURES IN THE DENSE URBAN ENVIRONMENT
The author proposes analytical methods of analysis of foundation slabs in the dense environment of present-day cities and towns. The two analytical models, including the model of semi-infinite and finite beams are considered. The influence produced by adjacent tunnels, deep excavations and foundation pits is examined. Bedding properties are described through the employment of the Winkler model. Account of additional deflections and angles of deflections must be taken in the above-mentioned cases.
The equation describing the flexure of a beam, resting on the elastic Winkler foundation, shall read as:
EJyIV + kw = q, where k is the bedding coefficient. The general solution of the homogeneous differential equation reads as: w = e~kx (A cosKx + B sin Ax) + ekx (C cosKx + D sin Ax), where A = tfkjAEJ; we assume that £ = Kx.
In the literature, additional deflections, caused by the influence of adjacent tunnels, deep excavations and foundation pits, are subjected to the exponential law y = , where a is the empirical coefficient. For the model of a semi-infinite beam we use the following functions:
ni (5 ) = e~5 (cos 5 - sin 5), nn ) = e5 cos5 , nm (5) = e'- (sin - + cos-), niv (5) = e - sin 5 .
Then, the pattern of above-mentioned additional deflections is examined. First averaged deflections are considered
f e-aL + e-ar
2
For this case, we obtain the solution designated for the estimation purposes:
w = 2/Ov ().
Thereafter, the case of exponential loading is considered. We have
2
w = -—fe 25 L (3sin 5 - cos 5).
For a model of a finite beam, the following fundamental functions
Y (5) = ch5 cos Y (5) = 2(ch5 sin 5 + sh5 cos 5),
Y (5)=|sh5 sin 5, Y4 (5)=2 ((sin 5 - sh5 cos 5)
are used. For this model, in the case of exponential loading we use
w* = f~e-~jjsin 5 + e"-(2cos5 - sin5)).
Key words: semi-infinite beam, beam of finite length, elastic foundation, analytical model,
deep excavation, foundation pits, tunnels.
References
1. Sheynin V.I., Pushilin A.N. Razrabotka inzhenernoy skhemy rascheta konstruktsiy zdaniy s uchetom smeshcheniy zemnoy poverkhnosti [Development of an Engineering Model for Computation of Structures of Buildings with Account for Displacements of the Earth Surface]. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference TAR-Russia. Moscow, 2002, pp. 463—467.
2. Il'ichev V.A., Nikiforova N.S., Koreneva E.B. Metod rascheta deformatsiy zdaniy vblizi glubokikh kotlovanov [Method of Computation of Deformations of Buildings in Proximity to Deep Pits]. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov [Beddings, Foundations and Soil Mechanics]. 2006, no. 6, pp. 2—6.
3. Koreneva E.B., Grosman V.R. Raschet lentochnogo fundamenta vblizi glubokoy vyemki [Computation of Strip Foundation in Proximity to Deep Pits]. Proceedings of International Conference on Geomechanics «Development of Cities and Geotechnical Engineering». St.Petersburg, 2008, vol. 3, pp. 146—152.
4. Koreneva E.B. Voprosy analiticheskogo modelirovaniya raboty polubeskonechnykh funda-mentov, raspolozhennykh vblizi glubokikh vyemok ili kotlovanov [Problems of Analytical Simulation
of Behaviour of Semi-infinite Foundations in Proximity to Deep Excavations and Pits], Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2012, no. 1, pp. 12—18.
5. Korenev B.G. Voprosy rascheta balok i plit na uprugom osnovanii [Problems of Analysis of Beams and Plates resting on Elastic Foundation]. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1954, 231 p.
About the author: Koreneva Elena Borisovna — Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7(499) 183-59-94.
For citation: Koreneva E.B. Razrabotka analiticheskikh modeley rascheta fundamentov zdaniy i sooruzheniy v usloviyakh tesnoy gorodskoy zastroyki [Development of Analytical Models for the Analysis of Foundations of Buildings and Structures in the Dense Urban Environment]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 42—47.
