CC BY
31
УДК 519.6:517.962
сеточных
РАЗНОСТНЫЙ аналог одного мультипликативного НЕРАВЕНСТВА О. А. ЛАДЫЖЕНСКОЙ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА W22„ (О)
© Ф. В. Лубышев, М. Э. Файрузов*
Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
Тел.: +7 (347) 229 96 32.
E-mail: [email protected]
В статье приводится доказательство мультипликативного неравенства для пространства r2 (W) ■, w c О
которое является сеточным аналогом 2
функций W2o(w), заданных на сетке wc°,
мультипликативного неравенства О. А. Ладыженской для пространства ^2 0 (О).
Ключевые слова: сетка, сеточная функция, конечные разности, теорема вложения.
Введение
При исследовании краевых задач, задач оптимального управления, обратных задач для уравнений математической физики чрезвычайно большую роль играет теория вложения функциональных пространств [1-4]. При этом наиболее точные зависимости между функциональными пространствами IV1 (О), Ь (О), Ст(О) отражают так называемые
«мультипликативные» неравенства [2-4]. Проблема численного решения прямых и обратных задач, задач оптимального управления для уравнений математической физики приводит к необходимости их конечномерных аппроксимаций методом сеток или методом конечных элементов [5-10]. При этом при исследовании сходимости и точности аппроксимаций наряду с теоремами вложения Соболева и мультипликативными неравенствами для пространств функций непрерывного аргумента чрезвычайно большую роль играют их разностные аналоги.
В настоящей работе мы приводим доказательство одного мультипликативного неравенства для пространства сеточных функций Ш220(ю), заданных
на сетке исО , которое является сеточным аналогом мультипликативного неравенства О. А. Ладыженской для пространства Ш220(О) функций непрерывного аргумента. Установленный в работе разностный аналог мультипликативного неравенства и следствие из него могут найти широкое приложение при доказательстве центральных положений о разрешимости и единственности решения сеточных краевых задач, обосновании сходимости и точности разностных аппроксимаций уравнений математической физики, обратных задач и задач оптимального управления для уравнений математической физики, сходимости итерационных процессов.
1. Некоторые обозначения и вспомогательные утверждения
Для функций и(х) непрерывного аргумента,
заданных в Ос К2, введем полунормы и нормы Соболева [1-4]:
1 u |W2S (О)“
is
Э su
О S[+S2 =s V
dx1dx2
1/2
I u W(n)“II u II¿2(П)’
"wf (П)
=S|u I
k=0
u IW2k(П)
Здесь символом
обозначена полунорма в
W2s(О), s > 0. В частности, нормы в w21(W) W2 (О) определяются равенствами
2 ( Э, V
W2 (О) i
||2
s
a=1
i2
Эм Эх
V a У
+ u
dx’
I u II22 =I u I22 + II u Ii 1 =
1 %22(О) 1 'ж22(О) 11 "»'¿(О)
Э2u
л2
2
1 u Iw2!(n) = i s I эх Эх
О a,b=1 V ЭХаЭХР У
dx'
Через V 2(О), как обычно, мы обозначаем подпространство пространства Ш2(О), плотным множеством в котором является совокупность С ¥(О) всех бесконечно дифференцируемых финитных в О функций. Через ш220(О) обозначаем подпространство пространства ш22 (О), плотным множеством в котором являются все дважды непрерывно дифференцируемые в О функции, равные нулю на ЭО - границе области О. Пусть О - прямоугольник О = {х = (х1,х2)е Я2:0< ха < /а,а = 1,2} с границей Г = ЭО. В данном случае (О) сов-
падает с Ш22 (О) п V 2(О).
В дальнейшем нам понадобятся сетки на [0,1а ], а = 1,2 и в прямоугольнике
О = {х = х хг) е и2 :0 < ха< /а ,а = 1,2}: Юа = {х0а,а) = г'айа е [0,/а]:
ia= 0, ^a, N aha = la}, Wa = Wa ^ (0,la ), < = Wa П (0, la ],
w-a=Wan [0, la ^ a = 1,2;
2
2
u
и
u
О
* автор, ответственный за переписку
ю = ю1 Хю2, 7 = ю \ ю, у = (Ю[\юх) X (Ю2\ю2) -
множество угловых точек прямоугольника О,
у±а = {хе у\у:ео8(п,ха) = ±1^ а = 1,2, где п -внешняя нормаль к границе Г = ЭО; Уа=У—а^У+а , а = 1,2; Ш(±1) =Ю!±Х®2, Ю(±2) = ^ X Ю+ , ю+ = ю+ X ю+, ю"=и"хю-. Введем также средний шаг сетки Юа : Й а = Й(ха) = На, если х еЮа и Йа= 0.5На, если ха= 0,/а, а = 1,2. Для функций
у(х), заданных на сетке Ю или на ее частях Ю С ю, будем использовать следующие обозначения: у = у(х) = у(х^ х2), у (±1[)( х) = у( х1 ± Н„ х2), у(±12)(х) = у(X1, х2 ± Н2);
у(+1а) — у уха= уха (х) = —,----------= Оа у’
На
у—у(Ча) —
уха= уха (х) =-----;-----= Оау
К
- правые и левые разностные отношения по ха , а = 1,2
у(+1а ) — 2 у + у( 1а ) —
Ухаха = Уха ха (Х) =
ка
- = в В у, а =1,2
^а.а.У
Множество сеточных функций, заданных на сетке Ю, будем обозначать через Нк, а его подмножество, состоящее из сеточных функций, обращающих-
о
ся в нуль на у , - через Н г ■ Введем сеточные аналоги градиента Уы = (Эы/Эхь Эы/дх2) с помощью
соотношений
(+)
У у = (BlУ, В2У) =(Уx1, Ух2>
(—) _ _
V у = (BlУ, в2 у) =(Уxl, Ух2),
а также следующие операторы сеточного дифференцирования Ла второй производной по направлению
ха, а = 1,2 и Л - пятиточечный разностный оператор Лапласа Ла у = В Ва у = Уха ха , а = 1,2,
2 _____ 2
Лу = Л1 у + Л2 у = X Ва Ва = X у хаха а=1
а=1
Далее обозначим
(+) (—)
^у|= (у2 + у^)172, ^у|= (у2 + у?2)1/2_
Для сеточных функций, заданных на сетке Ю и на ее частях, введем следующие полунормы и нормы:
11 у Ус(ю) =Ну ||Ь¥(ю) = тах| у(х)1,
І у ІІІ2( Ю) = X П1П 2 у2( x),
I ух1
|| 2
¿2(Ю+ ХЮ2)
= X кп 2ух21(х)’
ХЮ2
ц2
1 ух-2 ||22(Ю1ХЮ+) =Х Й1К2 yХ2(x),
Ю[ХЮ+
| |2 _11 м2 + || 112
| у Щ( Ю) || ух1 ||І2(Ю+ХЮ2) || ух2 ||І2(Ю1ХЮ+)'
у ||21 =| у |2 1 + || у112
ІІИ^Гтї 1 11
'^(Ю) 1 ^ |^21(Ю)
| ух1х1 ||_Т,2(Ю1ХЮ2) =У Л1у ||Ь2(Ю1ХЮ2) = X К1Й 2 ух21х1( х>
Ю1ХЮ2
І ух2х2 ||і2(й1ХЮ2) = Л2у Н-£.2(Ю1ХЮ2) = X й 1К2 у|х2( Х),
Ю1ХЮ2
|| ух1х2 ||І2(Ю+ХЮ+ ) = X ух1х2( х)
Ю+ХЮ+
| у ^22(ш) || ^ ||Ь2(^хтаі) +
¿2( Ю)9
+ || у_ ||2 , +2 || у_||2 + +
II ' Х2Х2 ПЬ2(и1хШ2) Ч ' Х1Х2 Ь2 (и^ хщ+)
|| ||2 ____| |2 + || | |2
|| у ||Ш22(ю) =| у ю) || у ||Ш21(ю)'
Здесь || у ||с - дискретный аналог чебышев-ской нормы || и ||~,т ; || у || . - дискретные ана-
II IIе(ОМ/ (ю)
логи соболевских норм || и || , 5 = 012,
11 "ж/(П) ’ ’
а | у | - разностные аналоги полунорм | и |
1У1ж2' (ю) 1 ж (О)
в соболевских пространствах V/ (О) , 5 = 1,2.
Пусть теперь На = {у(х): х ею, у( х) = 0, х е у} -подмножество из Н,, состоящее из сеточных функций, обращающихся в нуль на у = ю \ ю. Для
сеточных функций из множества НА введем скалярные произведения и нормы:
(У,= XН1Н2у(х)у(х),
| у ||2!2(ю)=(y, у) і2(ю) = X г1г2 у2( х),
(1)
у ||2о 1 _ =||у|Ц=(Лу,у)ь;
W ’2(ш)
уХ ||2 + +1| у
^ * Х1 11 ^ (иі хгіі,) 11 З
2(ш)
2
||2
IIW22„(Ш)
ІІЬ2(Ш1хЩ2) Х2 '^(Цхц,)
=|| у ||І2 =|| Ау||Ьг(ш)=||уХ1Х1 +
+у
х2х2 ||Ь2(ш) || А1у ||Ь2(ш) + || А2у ||Ь2(ш) +
+ 2(А1у, А2у)Ь2(ш) 11 уХ1Х1 ||Ь2(ш) +
+1| у
+2 || у
Х1Х2 * * Ь2(и+ ХЩ+) "
Здесь А - разностный оператор, определенный в
о
пространстве Нг формулами:
А = А1 + А2 , Аау = —Лау = —ухаха , а = 1,2.
Нетрудно убедиться, что разностные операторы А1 и А2 являются самосопряженными положительно
определенными и перестановочными в Н г в смысле скалярного произведения (1): Аа = А** > 0,
а = 1,2, и А1А2 = А2 Аг Так что оператор А = А1 + А2 является самосопряженным и положи-
Ю
у
2
2
тельно определенным в НА в смысле скалярного произведения (1). Кроме того, при определении нормы
|| у || мы негласно воспользовались тождеством ||у ^ю)
(А1У,А2У)Ь2(ш) = X УхЛУх2хАЬ2 =
X|| Ух1х2 ||Ь2(Ш+хш+)
в справедливости которого для "у е На можно
убедиться, используя формулы суммирования по частям.
Заметим, что сеточная норма
УI
w 2( w)
чается от стандартной сеточной нормы || у || ,
11 У 'Щ(ю)
определенной выше. Однако нетрудно убедиться, что эти сеточные нормы эквивалентны для функций, обращающихся в нуль на у = ю \ ю. Заметим
также, что сеточная норма || у || отличается от
11 7 "ж220(ю)
стандартной сеточной нормы
У 11 W-.2
W22( W)
определен-
ной выше. Однако нетрудно убедиться, что в пространстве НН сеточных функций, обращающихся в нуль на границе у = ю \ ю, полунорма
| у | =|| у || эквивалентна норме
/|Г!2( Ж220( ю)
|| у || . Вводя на множестве сеточных функций
11 7 Ж22 (ю)
Н А различные н°рмы ||у||ь2(ю), ||у||„ ,
V 2(ю)
|| у || , мы превратили это множество в норми-
11 * ж22 0 (ю)
рованные пространства, которые обозначили через Ь2(ю), V 2(ю), ж220(ю) соответственно.
2. Сеточный аналог мультипликативного неравенства Ладыженской
Справедлива следующая [2]
Лемма 1. Для любой функции и(х)е Ж220(О),
где О — открытая выпуклая ограниченная область в И2, справедливо следующее мультипликативное неравенство Ладыженской
Jv „
V u|4dQ <
(2)
^ д 2u
< (2W2)||u||C(Q) \L dQ
J1
Qa,p=1
где
Vu =
Эu Эu
\
Эх1 ’ Эх
1 Vu |=
2 У
.3=1 dx adx e
Эх1
+
V Эх2 У
1/2
Следствие 1. Имеет место неравенство
Vu |Іі4(О) £ (2 + V2)1/2 С^/2(О) I u I
W22(О)
"u єw¿;0(О),
где
1 u 1
I Vu
°II u I'2
|і4(О) = i1 Vu 1 d°
О
= i X i э2u
W2,0(О) i ^X I Эх Эх„
QO,P=1^хЬ
dQ,
- полунорма в соболевском пространстве W22(W), отли- которая в пространстве w220(W) эквивалентна стан-
дартной норме || u || , C0(W) = const > 0 из
11 %22(П) 0
хорошо известного утверждения [4]: функции из W220(W) суть непрерывные функции x, если размерность пространства Rn не более 3, причем для них справедливо неравенство
|| u ||с(W)< Q (W) | u |W2(W), "u е W20 (W). (3)
Справедливы следующие разностные аналоги леммы 1 и следствия 1.
Лемма 2. Для любой сеточной функции y(x), заданной на сетке
ю=ш1хю2 cW = {x = (x1,x2)е R2:0<xa <la,a = 1,2} и обращающейся в нуль на границе g = W \ w, справедлив сеточный аналог мультипликативного неравенства (2)
(
(-)
Л
1/2
S h1h2 1 V У 1
V W xwj
(-)
£ 8|ІУ Ус(W)||y 11 w22,0(W)
где у y = (y y ) = (Dy D2y) — разностный ана-
(-)
||y||W220(w) = X ьму!* + y4x2)+2 Х^ау2
Ю1ХЮ2 w+ xwj
сеточный аналог выражения
лог градиента Vu; | V у |= (у2 + у2 )1/2 *
2
I u |^2
W22(n) i X I эх Эх
О a,b=1 Vх^хЬ
d°-||u ||W22,0(n)’
определяющего в соболевском пространстве ж22 (О) полунорму, которая в пространстве
ж220 (О) = V,2 (О) п V 2(О) эквивалентна стандартной норме || и || .
11 %22(П)
Следствие 2. Для любой сеточной функции у(х), заданной на сетке ю с О и обращающейся в нуль на границе у = ю \ ю, имеет место неравенство
() ) < ^Т2С!/2(О)|
V у |
'¿4(Ю+ХЮ+ )"
1 У IIW220(®)’
4
•2
1/2
1/2
где
(—)
| V у
ч 1/4
'¿4(Ю+ХЮ+ )
(—)
Xгlг2| У у|
VЮ+ХЮ+
а С1 (О) = соті > 0 из сеточного аналога неравенства (3), не зависящая от у [5]:
у ||с (ю) £ ^1(О)||у |
»2,0 ( Ю)
С1(П) =
12
2(І1І2)1/2
/0 = тах{/1,/2}.
ЛИТЕРАТУРА
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 575 с.
3. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
4. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
5. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 614 с.
6. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 350 с.
7. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Издательство ЛКИ, 2009. 480 с.
8. Лубышев Ф. В. Разностные аппроксимации задач оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных. Уфа: БашГУ, 1999. 244 с.
9. Лубышев Ф. В. Аппроксимация и регуляризация задач оптимального управления для параболических уравнений с управлениями в коэффициентах // Докл. АН. 1996. Т. 349. С. 598-602.
10. Лубышев Ф. В., Манапова А. Р. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. С. 376-396.
Поступила в редакцию 14.05.2010 г.
