Размещение центров обслуживания в ГИС с использованием баз интервальных графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.В. Боженюк, О.А. Фефелова

РАЗМЕЩЕНИЕ ЦЕНТРОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ В ГИС С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ГРАФОВ*

Введение

В настоящее время геоинформационные технологии получают широкое распространение, а геоинформационные системы (ГИС) занимают достойное место в ряду информационных систем различного назначения. Под ГИС понимается «система аппаратно-программных средств и алгоритмических процедур, созданная для цифровой поддержки, пополнения, управления, манипулирования, анализа, математико-картографического моделирования и образного отображения географически координированных данных» [1].

Происходящее во всем мире широкомасштабное наращивание и разноплановое внедрение географических информационных систем (ГИС) в значительной степени связано с необходимостью совершенствования информационных систем, обеспечивающих принятие решений. Сфера применения ГИС широчайшая, а решаемые задачи самые разнообразные [2].

В настоящее время ГИС - это многомиллионная индустрия, в которую вовлечены миллионы людей во всем мире. Так, по данным компании Dataquest, в 1997 г. общие продажи программного обеспечения ГИС превысили 1 млрд долл. США, а с учетом сопутствующих программных и аппаратных средств рынок ГИС приближается к 10 млрд.

В данной работе рассматривается одна из задач ГИС - задача размещения центров обслуживания [3]. Данная задача подразумевает поиск оптимального размещения больниц, полицейских участков, пожарных частей и многих других крайне необходимых предприятий и служб. В таких случаях критерий оптимальности может состоять в минимизации расстояния (или времени проезда) от пункта обслуживания до самой отдаленной вершины графа, т.е. в оптимизации «наихудшего варианта».

Будем считать, что некоторая территория разделена на п районов. На территории может находиться до k центров обслуживания (к < п). Необходимо для заданного числа центров определить места их наилучшего размещения, то есть, чтобы обслуживание всей территории осуществлялось на минимально возможном расстоянии.

Предполагается, что расстояние между центрами обслуживания задается в виде некоторого интервала расстояний, который определяет неточность или погрешность измерений. Адекватной моделью такой задачи является интервальный граф G=(X,U). Здесь X - множество вершин графа, представляющее районы некоторой территории, а множество U={<lij\(xi,xj)>} - ориентированные ребра (хъх) еХ2 с весами в виде интервалов 1у= [а^Ьу] (расстояний или времени), где а$, е Я1 и

а/)-,<Ь/)-. Причем будем считать, что интервал 1//= [0,0], V/ е{1,2,...,п}.

Основные определения и операции

В работах [4. С. 11-17; 5. С. 64-72; 6. С. 79-86] был предложен метод решения данной задачи на основе алгоритма Хакими [3], примененного к интервальным графам. С его помощью для заданного интервального графа и заданного числа центров обслуживания k определяется их оптимальное размещение и минимальное

* Работа поддержана РФФИ (проект № 03-07-90202).

интервальное расстояние на графе. Однако было бы полезно получать данные характеристики не для одного, заранее заданного числа центров обслуживания ^ а для любого числа ke[l,n]. Это позволило бы более объективно решать задачу выбора числа центров обслуживания.

В данной работе предлагается подход к решению поставленной задачи. Для его обоснования рассмотрим ряд операций над интервалами и введем понятие интервальной базы интервального графа. Данное понятие является расширением аналогичного определения для обычного ориентированного [7] и нечеткого графов [8. С. 161-165] на интервальный граф.

Рассмотрим ряд операций над интервалами. Пусть 11=[а1,Ь1] и 12=[а2,Ь2] -произвольные интервалы.

Будем считать, что интервалы 11 и 12 равны и обозначать 11=12, если выполняются равенства а1= а2 и Ь1= Ь2.

Будем считать, что интервал 11 меньше интервала 12, и обозначать 11<12, если выполняются неравенства а1<а2 и Ь1<Ь2.

Будем считать, что интервал 11 строго меньше интервала 12, и обозначать 11<12, если выполняются неравенства а1<а2 и Ь1< Ь2 или а1< а2 и Ь1<Ь2.

Будем считать, что интервал 11 больше интервала 12, и обозначать 11>12, если выполняются неравенства а1>а2 и Ь1>Ь2.

Будем считать, что интервал 11 строго больше интервала 12, и обозначать 11>12, если выполняются неравенства а1> а2 и Ь1>Ь2 или а1>а2 и Ь1> Ь2.

Если выполняются неравенства а1> а2 и Ь1< Ь2, то интервалы 11 и 12 будем называть несоизмеримыми.

Суммой интервалов 11 и 12 назовем интервал I = 11 + 12 =[а,Ь], в котором а=а1+а2 и Ь=Ь1+Ь2.

Введем на множестве интервалов Ь={1} две операции ШСМШ(Ь) и ШСМАХ(Ь) - выделение подмножеств наименьших и наибольших интервалов из множества интервалов Ь соответственно.

Пример 1. Пусть множество интервалов Ь={[10,15], [12,14], [12,17], [15,18]}. Тогда тСМШ(Ь) = {[10,15], [12,14]} и МСМАХ(Ь) = {[15,18]}.

Пусть G=X,U) - произвольный интервальный граф. Интервальным путем от вершины х1 к вершине xk назовем такую последовательность неповторяющихся вершин (х1,х2,...,х^1,хк), что х/+1еГ(х/), Ы={1,2,...^-1}, а величину 1=[а,Ь], где к-1

а=Е а‘,

и 1=1

вершину хк. При этом будем говорить, что вершина хк: достижима из вершины х1 с помощью интервала I.

Пусть х и у - произвольные вершины интервального графа G. Обозначим через Ьху множество интервалов, с помощью которых вершина у достижима из вершины х. Тогда паре вершин (х,у) можно поставить в соответствие множество интервалов Лху=ШСМШ(Ьху), определяющее наименьшие интервалы.

Интервальной базой графа G назовем подмножество БсХ с семейством интервалов Л, определяемым выражением

л=тсты тсмлх [ь}}.

^е*\В VxеB 1

Здесь Ьху - множество интервалов, с помощью которых некоторая вершина уеХБ достижима из вершины хеБ, и при этом подмножество Б является минимальным в том смысле, что:

= У а и ъ = ^ Ь. , назовем интервальной длиной пути из вершины х1 в

1,1 + 1 1,1 + 1

(УВ’сБ)(3 іє Л)(3 і’є Л’| 1’> 1).

Здесь Л ’ - множество интервалов, определяемое как:

л ’=тсты {тсылх щ.}}.

УуєХ\Б’ Ухєв' 1

Пример 2. Для графа О, представленного на рис. 1, одной из баз является подмножество (х1, х2, х3} с семейством интервалов Л={[6,8], [5,10]}.

Множество интервальных баз определяет совокупность наименьших не сравниваемых интервалов расстояний от любого района до некоторого центра обслуживания при обслуживании всей территории центрами, соответствующим вершинах множества В.

Рис. 1

Метод нахождения интервальных баз

Для нахождения множества интервальных баз предлагается использовать метод, являющийся обобщением метода Магу для обычных ориентированных [7] и нечетких графов [8].

Пусть В - интервальная база с семейством интервалов Л. Пусть некоторый интервал I принадлежит семейству интервалов Л. Тогда для произвольной вершины х/е X должно выполняться одно из условий:

а) хе В;

б) если х/ £ В, то существует некоторая вершина ху е В, такая, что интервал расстояния 1^ от нее до вершины х/ не больше I. Иными словами, справедливо высказывание

(Ух^ХХ х1 еВ V (Эх,еБ| 1^ < 1)). (1)

С каждой вершиной х/еХ интервального графа G свяжем булеву переменную р/, равную 1, если х/е В, и 0 при х/ £ В. Введем предикатную форму Qj/=Q(lj/) равную 1, если 1^ <I, и 0 в противном случае. Используя аналогию между кванторами общности и существования, с одной стороны, и операциями конъюнкции и дизъюнкции, с другой, получаем истинность выражения:

Фв = &(Р, V V,(Ру & 0,р)) = 1. (2)

,=1,П 1 =1,П

Полагая, что Qiii=Q(li)=Q([0,0])=1, выражение (2) перепишем как:

Фв = &( V. (Ру & Яу , )) = 1. О)

,=1,п 1 =1,п

Раскрывая скобки в выражении (3) и приведя подобные члены, используя правила поглощения: Q(l1)&Q(l2)=Q(l1), если 11 > 12 и р1&р2&<2(11) V р1& Q(l2) = p1&Q(l2), если 12<11, выражение (3) окончательно преобразуем в вид

Ф,

= ^(А, & Р2, &•••&Рк, & &•••&Qr1)) = 1-

1=1,t 11 III і

(4)

*1 *2 * *4 *5

*1 {[0,0]} {[2,4]} {К«]} {[3,5]} {К «]}

*2 {[4,6]} {[0,0]} {[3,5]} {[1,3]} {К«]}

*3 {К «]} {[3,5]} {[0,0]} {[4,6]} {[2,5]}

*4 {[3,5]} {[1,3]} {[4,6]} {[0,0]} {[6,8]}

*5 {К «]} {К «]} {[2,5]} {[6,8]} {[0,0]}

Если в выражении (4) дальнейшее упрощение на основе правил поглощения невозможно, то для каждого г-го дизъюнктивного члена совокупность всех вершин, соответствующая переменным, которые в нем присутствуют, дает некоторую базу с семейством интервалов, определяемым выражением присутствующими предикатами.

Рассмотрим данный метод на примере интервального графа, представленного на рис. 1. Матрица смежности данного графа имеет вид

=

Здесь на пересечении строки и столбца стоит подмножество (состоящее из одного элемента) интервалов расстояний между соответствующими вершинами.

По матрице смежности построим матрицу достижимости яв = || д ||,

I, у = 1, п интервального графа О. Здесь Бу являются подмножествами наименьших интервалов от вершины х,■ к вершине Ху.

Для нахождения матрицы достижимости графа возведем матрицу смежности в степени 2, 3,..., (п—1). Для этого введем операцию умножения матриц, элементы которых являются множествами интервалов, следующим образом.

Пусть Я1 =|| Д ||, Я2 =|| Д ||, 1 = 1,п, I = 1,к, у = 1,т - матрицы, элементы которых являются множествами интервалов. Произведением Я1 и Я2 назовем матрицу Я = Я х Я2 =|| Д ||, 1= 1,п, ] = 1,т, элементы которой определятся как

д = тсыт (Ц(4 + Д)), где Д + Д = 1^+ к) ■

1=\л

Можно показать, что матрица достижимости определится как Яд = Я^г1.

Для нашего графа матрица достижимости примет вид

Я = К =

По матрице достижимости запишем выражение (3):

Фв= ^(0,0)&рі vQ(4,6)&p2 vQ(7,11)&pз vQ(3,5)&p4 Vд(9,13)&р3) &

*1 *2 *3 * 4 *5

*1 {[0,0]} {[2,4]} {[5,9]} {[3,5]} {[7,14],[9,13]}

*2 {[4,6]} {[0,0]} {[3,5]} {[1,3]} {[5,10]}

*3 {[7,11]} {[3,5]} {[0,0]} {[4,6]} {[2,5]}

*4 {[3,5]} {[1,3]} {[4,6]} {[0,0]} {[6,8]}

*5 {[9,13]} {[5,10]} {[2,5]} {[6,8]} {[0,0]}

&(Q(2,4)&Pi vQ(0,0)&p2 vQ(3,5)&p3 vQ(1,3)&p4 vQ(5,10)&p5) & &(Q(5,9)&pI vQ(3,5)&p2 vQ(0,0)&p3 vQ(4,6)&p4 vQ(2,5)&ps) & &(Q(3,5)&pi vQ(1,3)&p2 vQ(4,6)&p3 vQ(0,0)&p4 vQ(6,8)&p6) & &(Q(7,14)&Q(9,13)&pi vQ(5,10)&p2 vQ(2,5)&p3 vQ(6,8)&p4 vQ(0,0)&p5).

Перемножая скобки, используя правила поглощения, окончательно получаем

Фв= Q(7,14)&Q(9,13)p1 vQ(5,10)p2 vQ(3,5)pp3 vQ(2,5)ppp3 v

vQ(2,5)pp3p4 vQ(3,5)pp vQ(4,6)p2p3 vQ(7,11)p3 vQ(3,5)p3p4 v vQ(5,9)&Q(6;8)pp vQ(6,8)p4 vQ(2;4)pp2pp5 v vQ(2,5)pp2p5 vQ(1,3)pp2p3p5 vQ(0,0)p1ppp4p5 v vQ(1,3)p^3p^p5 vQ(2,5)pp4ps vQ(4,6)p2p5 vQ(3,5)p4ps vQ(9,13)ps.

Множество интервальных баз определяет следующее оптимальное распределение сервисных центров. Если мы имеем 5 сервисных центров, то размещаем их в каждом районе. В этом случае никаких затрат на достижение остальных районов не потребуется, так как расстояние равно 0. Если имеется 4 сервисных центра, то их надо разместить в районах 1, 3, 4, 5 (или 1, 2, 3, 5). В этом случае минимальное расстояние от центра до других районов находится в интервале [1,3]. Если имеется 3 сервисных центра, то их надо разместить в районах 1, 2, 5 (1, 2, 3 или 1, 3, 4). В этом случае минимальное расстояние находится в интервале [2,5]. Если имеется 2 сервисных центра, тогда их надо разместить в районах 1, 3 (3, 4 или 1, 5 или 4, 5). В этом случае минимальное расстояние находится в интервале [3, 5]. И, если имеется только один сервисный центр, то его нужно разместить в районе x2, и тогда минимальное расстояние находится в интервале [5, 10].

Заключение

Необходимо отметить, что рассмотренный метод позволяет определять наилучшие места распределения сервисных центров только в случае их размещения в вершинах графа (а не на ребрах с генерацией новых вершин). Кроме того, определенный интерес вызывает задача свертки несоизмеримых интервалов, что позволило бы упростить процесс вычислений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Симонов А.В. Агроэкологическая картография.- Кишинев: Штиинца, 1991.

2. Malczewski J. GIS and multicriteria decision analysis.- USA, John Wiley&Sons, 1999.

3. КристофидесН. Теория графов. Алгоритмический подход.- М.: Мир, 1978.

4. Dziouba T., Rozenberg I. The decision of service centres location problem in fuzzy conditions // Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2206, Computational intelligence: theory and applications (Proceedings of International Conference 7th Fuzzy Days). Bernd Reusch (ed.).-Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 2001.

5. Розенберг И.Н. Использование нечетких представлений данных при определении медиан графа // Известия ТРТУ. Тематический выпуск: Материалы Международной научнотехнической конференции «Интеллектуальные САПР».- Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. № 4 (22).

6. Дзюба Т.А., Розенберг И.Н. Оптимзация размещения центров скорой помощи с учетом нечетких данных // Известия ТРТУ. Тематический выпуск: Материалы Международной научно-технической конференции «Интеллектуальные САПР».- Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. № 4 (22).

7. КофманА. Введение в прикладную комбинаторику.- М.: Наука, 1975.

iGi

8. Берштейн Л.С, Боженюк А.В. Определение нечетких внутренне устойчивых, внешне устойчивых множеств и ядер нечетких ориентированных графов // Известия РАН. ТиСу.

Системы уравнений. Рассмотрим систему уравнений вязкой несжимаемой жидкости [l]

где v = iava - вектор скорости среды (парные строчные греческие буквы традиционно для тензорного исчисления означают суммирование от l до размерности пространства n) в момент времени t в точке с декартовыми координатами Xі, І < j < n ; i j , v1, І < j < n - декартовы единичные орты и

компоненты вектора v вдоль соответствующих координатных направлений; v - кинематический коэффициент вязкости; p - плотность среды (p = const); p - давление; ф - гравитационный потенциал.

Сеточными методами система (l), (2) может быть разрешена с помощью MAC-техпики [l]

где ~ - промежуточное, не удовлетворяющее уравнению неразрывности (l) поле скоростей; х - шаг по времени; v и p - удовлетворяющее уравнению неразрывности (l) поле скоростей и давление на новом временном слое соответственно.

Но для адекватного описания гидродинамики мелкого моря нельзя не учитывать плотностную неоднородность (p ф const). Так, например, в эстуариях пресные воды впадающих в моря рек, растекаясь поверх соленых морских вод, могут «забрасывать» примеси на расстояния, заметно превышающие расстояния, получающиеся без учета различия в плотностях. В то же время различие в плотностях таково, что в уравнениях вязкой сжимаемой (p ф const) жидкости [l]

1999. № l.

В.С. Васильев

ТРЕХМЕРНАЯ СЕТОЧНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ МЕЛКОГО МОРЯ. I

div v = 0,

v't + ia div(vav-v grad va)=-p-1grad p - grad ф,

(i)

(2)

(З)

(4)

p^ + div(pv) = 0,

(5)

(pv) + ia div(vapv-^(grad va+dv/ ara))=- grad (p-|a'div v)-p grad ф, (6)

где ц и ц' - первый и второй динамические коэффициенты вязкости, допустимо ограничиться приближением возмущенной плотности [2-5]