Разложение заданных характеристик методом наименьших квадратов по системе неортогональных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 52195

РАЗЛОЖЕНИЕ ЗАДАННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ПО СИСТЕМЕ НЕОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

© 2012 В.Р. Крашенинников, Р.Р. Микеев

Ульяновский государственный технический университет

Поступила в редакцию 02.11.2012

Предложен способ построения математической модели заданной характеристики методом наименьших квадратов в виде разложения по заданной системе функций, которые не ортогональны по своей природе или ввиду нерегулярности системы точек отсчёта. В качестве примера приводится построение модели рельефа Луны по данным каталога ULCN 2005.

Ключевые слова: моделирование рельефа, метод наименьших квадратов, ортонормирование системы функций, нерегулярная система отсчётов, двумерный ряд Фурье.

В настоящее время к точности математического описания различных характеристик объектов предъявляются повышенные требования. Например, большое значение имеет разработка математических моделей по имеющимся измерениям потенциального поля или мегарельефа Луны и планет земной группы в связи с задачами их исследования и навигации космических аппаратов. При построении этих моделей возникают трудности, связанные с большим количеством точек отсчёта (измерений) и с большим количеством функций, по которым производится разложение. В данной работе предлагается способ преодоления этих технических трудностей.

Пусть даны функции {/), f,(x),...,fM(x)} =F, определённые на множестве точек

x2,...,xN}= X , где X - множество точек из

любого пространства (прямая, плоскость, сфера и т.д.). Требуется аппроксимировать заданную функцию H(x) по системе F, то есть получить приближение

H(x) *ajx(x)+... + aMfM(x), (1) оптимальное по методу наименьших квадратов (МНК).

В практических задачах область определения X представляет собой набор точек, где имеются измерения характеристики H(x), например, измерения рельефа планеты космическими аппаратами. Это множество обычно представляет собой нерегулярный набор точек, в частности, бессистемный набор точек на сфере при исследовании планет. Ввиду бессистемности множе-

Крашенинников Виктор Ростиславович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика». E-mail: [email protected]

Микеев Руслан Раилевич, аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика». E-mail: [email protected]

ства X функции из доказываются неортогональными, даже если они являются ортогональными как непрерывные или заданные на некоторой специальной сетке. Поэтому применение МНК приводит к решению очень больших систем линейных уравнений, что далеко не всегда удаётся выполнить с требуемым качеством. В ряде работ предлагается введение специальной сетки отсчётов, на которой функции ^являются орто-нормированными, например, выборочные, сферические и двумерные тригонометрические функции. Но тогда приходится интерполировать измерения характеристики H(x) в точки этой специальной сетки, что вносит дополнительные погрешности в модель уже в самом начале.

Для облегчения применения МНК можно сначала ортонормировать систему функций р , то есть получить систему функций Ф = (х \ф2 (х),...,^ (х)} таких, что их скалярное произведение

W; )= YuVr

(xk- (x)== {0; \; j (2)

При этом возможно, что система р линейно зависима, тогда т < М. Функции ф линейно выражаются через р , то есть ф будет ортонор-мированным базисом линейного пространства векторов (в данном случае - функций), натянутого на р . Процедура Грама-Шмидта решает задачу ортогонализации системы векторов в случае линейно независимой системы р [1]:

У =fv У2-

Vk

(ff) f (//) /2

Уз =

(x ) =

Ук

(/1f) (//) f

(/2f) (Л/2) f2

/3f) (/з/2 ) /З

1

(3)

Т/УЛ" VrX' (4)

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 14, №4(3), 2012

Г = 1, Г = г(/1;...,/) =

(/ У!) / /)

(/1 /к) ((2 /к)

(/к/1) . .. (/*/*)

(5)

определители Грама. При этом, если потребовать, чтобы срк (х) выражалась через /1 (х),..., /к (х), то решение (3-5) является единственным.

Если система функций И1(х),..., Ик (х) является линейно зависимой, то Г(^1,...,Ик)= 0 . Поэтому, если Гк_1 ^ 0 и Гк = 0, то в процедуре (3-5) функцию /к (х) следует удалить, так как она линейно зависима от предыдущих функций

у1 (4 /2(х)'...' Л_1(х). Если при этом ук (х)

тождественно не равна 0 (а тождественно равных нулю функций в р быть не должно), то из (ук/к) = Гк = 0 следует ук (х) = 0 , что также является признаком линейной зависимости /к (х) от предыдущих функций.

При большем количестве м функций в множестве р процедура (3-5) становится громоздкой и может давать неточные результаты, так как требует вычисления определителей высоких порядков. Применим модифицированный вариант этой процедуры ортонормирования. Преобразуем процедуру следующим образом. Будем представлять очередную функцию срк (х) в виде разложения по /к (х) и уже найденным

Р (х (х V.., Рк _1 (х) :

(х )= Л (х ) _ (/кР1 )Р1 (х ) _ 1 _ (/кР 2 (2 (х )- - _ (/кРк _1 рк _1 (х ) , (6)

^к (х) =

Рк (х ) =

л1(к2к )

Ук (х)

^((к/к)-(Р)2 _((кР2)2 _..._((кРк_1)2 ' (7) В силу единственности системы функций ф процедуры (3-5) и (6-7) дают одни и те же функции ф, а функции ук (х) и 2к (х) могут отличаться только постоянным множителем. Поэтому, если 1к (х) = 0 (или подкоренное выражение в (7) равно нулю), то /к (х) нужно исключить из рассмотрения.

Отметим, что процедура (6-7) не требует вычисления определителей больших порядков, как это имеет место в (3-5). Однако получаемые функции в (6-7) не выражены в явном виде через функции р . При необходимости к этому представлению

Рк = Ск1 У1 + Ск 2У2 + ... + СккУк (8) можно вернуться следующим образом. Предста-

вим (6-7) в виде

Рк = ак(Р + ак2Р2 +... + акклРк_1 + аккук . (9) Тогда

Скр акрСрр + ак, р+1Ср+1, р + ак, р+2 Ср+2, р + ...

... + ак ,к_1Ск _1, р *

к_1

Е акгСгр , 1 ^ р ^ к _ 1 (10) р = к.

г=р

а

кк

Или в матричном виде:

С =

(С л к,1 Ч1 ак2 ак3 к • акк_1 (С }

Ск,2 0 ак2 ак3 к • акк_1 0 Ск_1 2

Ск,3 = 0 0 аз к • акк_1 0 Ск_1 3

Ск,к_1 0 0 0 к • акк_1 0 Ск_1к_1

V Скк У ,0 0 0 к . 0 1 у V акк у

=А

(с ^

Чы

(11)

Приведём в качестве иллюстрации построение модели мегарельефа Луны в виде конечного отрезка двумерного ряда Фурье

ь

Н(в,Я)« а0 + Ес°^(тв)[атп соъ(п2) + Ьтп 8т(пЯ)]

т,п=1

(12)

по данным каталога иЬСЫ 2005 [2], содержащего 272931 точек. Из этого каталога выбиралось множество 5 из 7736 опорных точек, приблизительно равномерно распределённых по поверхности, и для них описанным способом строились модели (12) с различными порядками Ь. При возрастании порядка модели (12) СКО её погрешности на множестве 5 уменьшалось до нуля. Однако СКО на всём каталоге достигало минимума 4.78км при Ь=17, а затем начинало возрастать, так как при повышении порядка в модель вводятся высокочастотные гармоники, несвойственные рельефу Луны. Это является обычной ситуацией при построении моделей: на опорных точках она может быть хорошей, но неудачной в целом. Отметим, что применение стандартных пакетов программ (например, АСНИ "СФЕРА" [3], 8НТООЬ8 [4]) для построения модели непосредственно методом наименьших квадратов на 5 оказалось безуспешным из-за вычислительных погрешностей при решении систем линейных уравнений высоких порядков.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.

К°кк у

2. The Unified Lunar Control Network 2005 / B.A. Archinal, M.R. Rosiek, R.L. Kirk, B.L. Redding//U.S. Geological Survey Open-File Report 2006-1367 Version 1.0 URL: http://pubs.usgs.gov/of/2006/1367/ (дата обращения 12.10.2012).

3. Valeev S.G. Mikeev R.R. The software package of

statistical modeling of potential fields of the planets// International Astronomical Congress "Astrokazan-2011", August 22-30, Kazan, Russia. 2011. C.101-103 4. Wieczorek MA. Gravity and topography of the terrestrial planets // Treatise on Geophysics. - 2007. Volume 10: Planets and Moons. Pp. 165-206.

GIVEN CHARACTERISTICS EXPANSION INTO NON-ORTHOGONAL FUNCTIONS BY LEAST SQUARE METHOD

© 2012 V.R. Krasheninnikov, R.R. Mikeev

Ulianovsk State Technical University

We propose a method of constructing a mathematical model of the characteristics of a given method of least squares in the form of an expansion in a given set of features that are not orthogonal by nature or because of irregularities of the reference points. As an example, to build a model of the relief of the moon according to the catalog ULCN 2005.

Keywords: terrain modeling, the method of least squares, the orthonormal system of functions, irregular frame of reference, the two-dimensional Fourier series.

Victor Krasheninnikov, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head at the Applied Mathematics and Computer Science Department. E-mail: [email protected] Ruslan Mikeev, Post-Graduate Student. E-mail: [email protected]