CC BY
10
УДК 512.544.2+512.74
Разложение трансвекции в элементарной группе
Владимир А. Койбаев*
Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л.Хетагурова,
Ватутина, 46, Владикавказ, 362025, Южный математический институт ВНЦ РАН, Маркуса, 27, Владикавказ, 362027,
Россия
Получена 22.12.2011, окончательный вариант 06.01.2012, принята к печати 10.03.2012
Рассматривается элементарная сеть (элементарный ковер) а = (aij) порядка 3 аддитивных подгрупп коммутативного кольца, связанная с ней производная сеть ш, элементарная группа Е(а) и сетевая группа С(ш). Получено разложение элементарной трансвекции tij (а) из Е(а) в произведение матрицы из группы {tij (aij),tji(aji)} и матрицы из О(ш).
Ключевые слова: сеть, ковер, элементарные сети, сетевая группа, ковровая группа, элементарная группа, трансвекция.
Элементарная сеть (ковер) а = (а^) называется допустимой, если элементарная группа Е(а) не содержит новых элементарных трансвекций. Настоящая статья мотивирована вопросом В.М.Левчука (Коуровская тетрадь, вопрос 15.46) о том, что необходимым и достаточным условием допустимости элементарной сети а является допустимость всех пар (а^,аji). С элементарной сетью а = (а^), 1 ^ г,] ^ 3 порядка 3 связана элементарная группа Е(а), производная сеть ш = а1 и сетевая группа О(ш). В настоящей статье получено разложение элементарной трансвекции (а) из Е(а) в произведение матрицы из группы (Ь^ (ац ),tji(аji)) и матрицы из О(ш).
Мы пользуемся следующим стандартным набором определений и обозначений. Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, п — натуральное число. Система а = (а^), 1 ^ г,] ^ п, аддитивных подгрупп кольца Л для которой а^аrj С а^ при всех значениях индексов г,г,] называется сетью или ковром (над кольцом Л порядка п), а связанные с ними группы — сетевыми, ковровыми (см. [1-7]). В данной работе мы используем первый термин. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер [3,4], вопрос 15.46).
Если А, В — подгруппы аддитивной группы кольца Л, то через АВ мы обозначаем подгруппу аддитивной группы кольца Л, порожденную всеми произведениями аЬ, а € А, 6 € В.
Пусть е — единичная матрица порядка п, eij — матрица, у которой на позиции (г,]) стоит 1, а на остальных местах нули. Если а € Л, то через (а) = е + аeij обозначается элементарная трансвекция. Положим
^(А) = (а) : а € А}.
Для элементарной сети (или сети) а через Е(а) обозначается элементарная группа:
Е(а) = (а^) : 1 < г = ] < п).
В настоящей работе рассматривается элементарная сеть а порядка 3
/ * a 12 a 13
a = a2i * a23
\аз1 аз2 *
* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved
В [5] (см. также [7]) для элементарной сети а мы определили производную сеть иа = и (иц), которая имеет вид
(и11 а13а32 а12а2э\
а 1заз2 ^22 а21а1з , аз2а21 аз1а12 изз у
где
и 11 = Ш22 = шзз = 712 П 71з П 72з,
и
^2(а3гац )т■
т= 1
Для элементарной группы Е(а) степени 3 справедлива (см.[6, 7]) факторизация :
Е(а) = Г12Г1з Г2зЕ (и), (1)
где
ГЪЗ = {¿ц (ац ),^зг(аог)) ■
Через О(и) обозначается сетевая (ковровая) группа, определенная для сети и [1,2].
Основным результатом статьи является следующая теорема, где мы (дабы не загружать читателя громоздкими формулировками) даем разложение элементарной трансвекции ¿12 (а) из Е(а) (из которого очевидно, как выглядит разложение произвольной трансвекции ¿ц(а) из Е(а)).
Теорема. Пусть Ь12(а) € Е(а). Тогда
¿12(а) = аН,
где а € Г12, Н € Г1зГ2зЕ(и), причем Н = Ьсд, где Ь € Г1з П О(и), с € Г2з П О(и), д € Е(и), и для матрицы
'1 + ац а12 О4* а21 1 + а,22 О О 0 1,
мы имеем ац,0,22 € иц, а21 € и21, а — а12 € и12.
Следствие. Если а — элементарная сеть порядка 3 и пара (ац,а^) дополняется до (полной) сети, то из того, что ¿ц (а) € Е(а), следует, что а € ац.
Из предложения 6 [5] вытекает следующее утверждение (как обычно а = (ац) — элементарная сеть).
Предложение 1. Если матрица (5ц + хц) (5 - символ Кронекера) содержится в группе Е(а) , то
Хгц (Ш^ц, X'цг
для любых г, г, ].
Лемма 1. Пусть ¿12(а) € Е(а). Тогда
¿12(а) = аН,
где а € Г12, Н € Г1зГ2зЕ(ш) и матрица Н имеет вид
(1 + НЦ Н12 0\ Н = | Н21 1 + Н22 0 ■ (2)
0 0 1
Доказательство вытекает из (1).
Согласно лемме 1 для доказательства теоремы нам нужно исследовать матрицу Н вида (2), где Н € Г1зГ2зЕ(и).
В дальнейшем мы рассматриваем матрицы: Ь € Г1з, с € Г2з, О = Ьс,
/1 + Ьп 0 Ь1з \ (10 0 \
Ь = | 0 1 0 \,с =01 + С22 С2з , (3)
Ьз1 0 1 + Ьзз/ \0 сз2 1 + сзз/
'1 + Ьц Ь1зсз2 Ь1з(1 + сзз) \
О = | 0 1 + с22 с2з , (4)
Ьз1 (1 + Ьзз)сз2 (1 + Ьзз)(1 + сзз)!
1 + Ьзз 0 —Ь
13
О-1 =| с2зЬз1 1 + сзз —с2з(1 + Ьц) (5)
у— (1 + с22)Ьз1 —сз2 (1 + с22)(1 + Ь11),
Предложение 2. Пусть Н = Ьсд = Од, где Ь € Г1з,с € Г2з,д € Е(и), О = Ьс (см (3) -(5)). Если матрица Н имеет вид (2), то
Н12 € Ш12, Н21 € Ш21, Ь1з € Ш1з, Ьз1 € из1, с2з € Ш2з, сз2 € Шз2, (6)
далее, следующие элементы
Н11 — Ьц, Н22 — Ьзз, Н22 — с22, Нц — сзз, сзз — Ьц, с22 — Ьзз (7)
содержатся в и11 = и22 = изз.
Q = (чц) = О н, 1 =
Доказательство. Положим Q = (чц) = Б-1Н, Р = (рц) = Н-1О■ Тогда Р^ € Е(и) (на самом деле Q = д, Р = д-1).
Доказательство разделим на этапы.
а)Так как и является сетью, то из включения Q € Е(и) следует, что чц € 5ц + иц, а потому мы имеем включения
Ч11 = (1 + Ьзз)(1 + Нп) € 1+ ип, 412 = (1 + Ьзз)Н12 € Ш12, Ч1з = — Ь1з € и1з,
421 = с2зЬз1 (1 + Нц) + (1 + сзз)Н21 € Ш21,
422 = с2зЬз1Н12 + (1 + сзз)(1 + Н22) € 1 + Ш22, Ч2з = — с2з(1 + Ьц) € Ш2з, Чз1 = —(1 + с22)Ьз1 (1 + Н11) — сз2Н21 € из1, 4з2 = —(1 + с22)Ьз1 Н12 — сз2(1 + Н22) € из2, Чзз = (1 + с22)(1 + Ьц) € 1 + изз■ Отсюда Ь1з € и1з. Далее, согласно предложению 1
421(1 + с22 ) € Ш21, 4з1с2з € Ш21.
Но так как det с = 1, то из приведенных формул следует, что
Н21 = Н2l(det с) = 421(1 + с22) + 4з1 с2з,
а потому Н21 € Ш21. Аналогично, согласно предложению 1
4з2 (1 + Н11) € Шз2, 4з1Н12 € Шз2 ■
Но так как det h = 1, то С32 = ^31^12 — ©2(1 + h-ц), а потому С32 G Ш32. б) Из включения P G Е(ш) мы имеем
Р11 = (1 + h22)(1 + bii) G 1 + Шц, P12 = (1 + h22)bl3C32 — hi2(1 + C22) G W12,
P13 = (1 + h22)b13(1 + C33) — h12C23 G W13, P21 = —h21(1 + 6ц ) G W21, P22 = —h21&13C32 + (1 + hn)(1 + C22) G 1 + W22, P23 = —h21^13(1 + C33) + (1 + hn)023 G W23, P31 = 631 G W31, P32 = (1 + b33)c32 G Ш32, P33 = (1 + b33)(1 + C33) G 1 + Ш33. Отсюда 631 G ш31. Далее, согласно предложению 1
P23(1 + h22) G W23, P13h21 G W23.
Но так как det h = 1, то из приведенных формул следует, что
С23 = С23 (det h) = p23(1 + h22 ) + P13h21,
а потому C23 G W23. Аналогично, согласно предложению 1
P12(1 + C33) G W12, P13C32 G W12.
Но так как det c = 1, то h.12 = P13C32 — ^12(1 + C33), а потому h.12 G W12.
Таким образом, пункты а) и б) доказывают включения (6). Докажем справедливость включений (7).
Так как det h = 1, то 1 + 6ц = рц(1 + hu) + p21h12. Но согласно предложению 1 имеем рц(1 + hu) G 1 + шц + hn, P21h12 G шц, а потому h-ц — 611 G шц.
Аналогично, так как 1 + 633 = q11(1 + h22) — h21q12, то h22 — 633 G ш11.
Далее, так как det 6 =1, 631 G ш31, 613 G ш13, то (1 + 611 )(1 + 633) G 1 + ш33. Так как
?33 = (1 + C22)(1 + 611) G 1 + Ш33,
то
(1 + C22)(1 + 611 )(1 + 633) G 1 + 633 + Ш33.
Следовательно, c22 — 633 G ш33. Аналогично, так как
P33 = (1 + 633)(1 + C33) G 1 + Ш33,
то, рассматривая ^33(1 + 611) G 1 + 6ц + Ш33, мы получим С33 — 6ц G Ш33.
Из доказанных включений hu — 6ц G шц, h22 — 633 G шц, С33 — 6ц G Ш33, С22 — 633 G Ш33 вытекают включения h.22 — С22 G W22, hu — С33 G W33. □
Следствие 1. Если Î12(a) G Г13Г23Е(ш), то a G Ш12 Ç <712.
Следствие 2. В условиях предложения 2 элементы h11, h22, 611, 633, c22, c33 содержатся в 713 П y23 .
Доказательство. Согласно предложению 4 [5] 611 G 713, c33 G y23, но согласно предложению 2 (c33 — 6ц) G ш11, причем ш11 Ç y13 П y23. Отсюда c33 G 713, 611 G y23, а потому 611, C33 G 713 П 723. Аналогично из предложения 2 вытекают включения 633, С22 G 713 П 723. Теперь из доказанного и предложения 2 следуют включения hu, h.22 G 713 П 723. □
Замечание. Так как (713 П y23)2 Ç ш11, то из того, что det 6 =1 и следствия 2 следует включение (611 + 633) G ш11 (аналогично и для матриц c и h).
Доказательство теоремы. Согласно предложению 2 для доказательства теоремы нам достаточно доказать включения ац,a,22,hii,^22,^11 ,Ьзз,с22, сзз G шц = ^22 = ^33, а21 G Ш21, а — а 12 G W12.
Из предложения 2 и следствия 2 мы имеем Нц,Ь,22 G Y13 П 723, h12 G ш12, h21 G ш21. Далее,
(1 а\ = [! + а11 а12 \ [1 + Нц hu \
V0 1) V а21 1 + а22 J \ Н21 1 + Н22) ' ( )
Отсюда а21 = —h21 G ш21, а22 = h11 G y13 П y23, но согласно предложению 4 [5] а22 G y12, а потому а22, а вместе с ним и Нц содержатся в шц. Далее, так как det h = 1, то в силу последнего замечания мы имеем h-22 G шц. Тогда из предложения 2 следует, что элементы b11, b33, c22, c33 также содержатся в ш11.
Нам осталось доказать включение ац G шц. Так как det а = 1, то
ац + а22 + аца22 — а12а21 = 0. (9)
По доказанному а22 G ш11. Тогда из предложения 1 имеем а11а22 G ш11. Далее, а21 G ш21, тогда из предложения 1 мы имеем а12а21 G шц. Теперь из (9) мы имеем ац G шц.
Наконец, из (8) имеем а = (1 + ац^^ +а12(1 + h22). Согласно уже доказанному ац, h22 G ши, h12 G ш12, тогда согласно предложению 1 мы имеем (1 + ац)^2 G ш12, аl2h22 G ш12, следовательно, а — а12 G ш12. □
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 10-01-00324).
Список литературы
[1] З.И.Боревич, О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями, Зап. науч. семинаров ЛОМИ, 75(1978), 22-31.
[2] М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1982.
[3] В.М.Левчук, Замечание к теореме Л. Диксона, Алгебра и логика, 22(1983), №5, 504-517.
[4] Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, Издание 17-е. Новосибирск, 2010.
[5] В.А.Койбаев, Сети, ассоциированные с элементарными сетями, Владикавказский мат. журн., 12(2010), вып. 4, 39-43.
[6] В.А.Койбаев, Элементарные сети в линейных группах, Труды Института математики и механики УрО РАН, 17(2011), №4, 134-141.
[7] Я.Н.Нужин, Факторизация ковровых подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами, Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ., 4(2011), вып.4 , 527-535.
Decomposition of Transvection in Elementary Group
Vladimir A. Koibaev
The elementary net (elementary carpet) a = (aij) an order 3 of additive subgroups commutative ring is considered, the derivative net ш connected, with it, elementary group E(a) and net group G(u). It is proved that a elementary transvection tij (a) from E (a) is a product of a matrix from group (tij (aij ),tji(aji)) and matrixes from О(ш).
Keywords: net, carpet, elementary nets, net group, carpet group, elementary group, transvection.
