CC BY
48
3. Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М. : Физматлит, 2007. 440 c. [Polovinkin E. S., Balashov M. V. Elements of convex and strongly convex analysis. Moscow : Fizmatlit, 2007. 440 p.]
4. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М. : Мир, 1973. 472 c. [Rockafellar R. T. Convex analysis. Princeton, New Jersey : Princeton university press, 1970. 472 p.]
5. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М. : Наука, 1980. 320 c. [Pshenichny B. N. Convex analysis and extremal problems. Moscow : Nauka, 1980. 320 p.]
6. Aubin J.-P., Frankovska H. Set-Valued Analisys. Boston; Basel; Berlin : Birkhauser, 1990. 464 p.
7. Aubin J.-P. Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems // Math. of Oper. Res. 1984. Vol. 9. P. 87-111.
8. Колмогоров А. Н, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1975. 496 c. [Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elements of the theory of functions and functional analysis. Moscow : Nauka, 1975. 496 p.]
УДК 517.927.25
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ КВАДРАТИЧНЫХ СИЛЬНО НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В. С. Рыхлов
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]
Рассматривается квадратичный сильно нерегулярный пучок обыкновенных дифференциальных операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами и с положительными корнями характеристического уравнения. Найдены суммы двукратных разложений в ряд по собственным функциям таких пучков и необходимые и достаточные условия сходимости указанных разложений к разлагаемой вектор-функции.
Ключевые слова: квадратичный пучок дифференциальных операторов, сильно нерегулярный пучок, двукратное разложение по собственным функциям.
Expansion in Eigenfunctions of Quadratic Strongly Irregular Pencils of Differential Operators of the Second Order
V. S. Rykhlov
We consider a quadratic strongly irregular pencil of 2-d order ordinary differential operators with constant coefficients and positive roots of the characteristic equation. Both the amounts of double expansions in a series in the derivative chains of such pencils and necessary and sufficient conditions for convergence of these expansions to the decomposed vector-valued function are found.
Key words: quadratic pencil of differential operators, strongly irregular pencil, two-fold expansion in the eigenfunctions.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И КРАТКАЯ ИСТОРИЯ ВОПРОСА
Рассмотрим в пространстве Ь2 [0,1] квадратичный пучок £(А) обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка при pj ,avj, е С:
l(y,A) := y'' + piAy' + p2A2y, Uv(y, A) := (aviy'(0) + Aav2y(0)) + (^iy'(1) + A^2y(1)) =0, v =1, 2.
(1) (2)
Обозначим через w, w2 корни характеристического многочлена (х.м.) пучка и пусть выполняется условие
0 < Wi < W2. (3)
Функции y (х,А) = ехр(А^^x), i = 1,2, образуют фундаментальную систему решений (ф.с.р.) уравнения l(x, А) = 0. Считаем далее при каждом v = 1, 2, что av 1 = 0 или evi = 0. В остальных случаях рассуждения принципиально не отличаются.
Обозначим Vvj = Uvo(yj ,А)/А = aviWj + , wvj = e-Aaj Uvi (yj ,А)/А = ^viWj + ^v2, Vj = (vij,V2j)T, Wj = (wij,W2j)T, v,j = 1, 2; asfc = det(Ws, Wk), a^ = det(Vs, Wk), a^ = det(Ws, Vk), a^ = det(Vs, Vk), s,k = 1, 2.
Характеристический определитель пучка £(А) тогда имеет вид
A(A)=det( Uv (yj, A))
= A2 |V1 + eAwi W1 ; V2 + eA^2 W2| =
v\y j Aa>i
v,j = 1
A^2 1
A2 (aV2 + eAwia12 + eA^2al2 + eA^1+^2>a^) =: A2Aq(A).
2
( Рыхлов В. С., 2013
21
Если а=[2 = 0 и а12 = 0, то пучок (1), (2) является регулярным по Биркгофу [1, с. 66-67] и его функция Грина имеет оценку 0(1/А) вне кружков фиксированного радиуса около собственных значений (с.з.). Если же а12 = 0 или а12 = а[2 = 0 или симметричный случай: а[2 = 0 или а^ = а12 = 0, то функция Грина этого пучка имеет экспоненциальный рост в углах раствора больше или равного п. Такие пучки принято называть сильно нерегулярными (с.н.).
Рассмотрим задачу нахождения условий на параметры пучка (1), (2) и на вектор-функцию (в.-ф.) / = (/о, Л )Т, при которых имеет место двукратная разложимость / в биортогональный ряд Фурье по собственным функциям (с.ф.) этого пучка.
Эта задача интересна только для с.н. пучка (1), (2), так как в регулярном случае задача о разложении достаточно просто решается (см. [1, с. 124-129]).
Задачи о разложении для простейших с.н. дифференциальных операторов первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией были решены в [2]. В случае оператора первого порядка на разлагаемую функцию накладывались условия непрерывности, ограниченности вариации и выполнение двух простых функциональных соотношений. В случае же дифференциального оператора второго порядка на разлагаемую функцию, помимо условий гладкости на основном отрезке, накладывались условия аналитической продолжимости в некоторые треугольники и выполнение там функциональных соотношений.
В случае простейшего с.н. дифференциального оператора третьего порядка, когда корни (о,} характеристического уравнения лежат в вершинах правильного треугольника, задача о разложении решена в работе [3]. При этом на разлагаемую функцию накладывались условия аналитичности в некоторых многоугольниках комплексной плоскости и выполнение там некоторых функциональных соотношений.
2. ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ
Обозначим для краткости т = , ах = х/т, вх = тх + т + 1, с0 := — а^/а^, е1 = а^/а[2,
е2 = а22/а12, 7 = 1/(^2 — ^1), "х = ¿/¿х .
Рассмотрим задачу на с.з. Ь(А) = 0 или подробно
у'' + Ар1у' + А2р2У = 0, и,- (у, А) = 0, 3 = 1, 2. (4)
Пусть всюду далее выполняется условие
а12 = а12 = 0, (5)
т. е. справедливо представление
До (А) = ах2 + еА"2 а^Н Д-0 (А)) = а^ел"2 (1 — сое"^2) = а^е^2 Д+(А), (6)
и, следовательно, пучок (1), (2) является с.н.
Из (6) следует, что уравнение Д0(А) = 0 имеет счетное число корней Ак = (2кпг+й0)/<^2, к е Ъ, где ¿0 := 1п0 с0 (1п0 есть фиксированная ветвь натурального логарифма такая, что 1п0 1 = 0). Обозначим Л := (Ак | к е Ъ}. Очевидно, Л \ (0} есть множество ненулевых с.з. пучка Ь(А). Точка А = 0 может быть с.з., а может и не быть, даже если 0 е Л.
Из формул для с.з. следует, что в комплексной плоскости существуют кусочно круговые контуры Г^, отстоящие от чисел Ак на расстояние не меньше некоторого фиксированного числа 5 > 0, между соседними контурами лежит ровно одно число Ак и имеют место оценки с1 V < дл. Г^ < с2V, где с1, с2 есть некоторые фиксированные константы такие, что 0 < с1 < с2 < го. Обозначим через Г+ и Г° части контура Г^, лежащие в правой и левой комплексных полуплоскостях соответственно.
Линеаризуем задачу (4): положим г0 = у, = Аг>0. Тогда получим задачу уже для линейного оператора Ь, но в пространстве в.-ф. для г = (г0,г1)т: Ьг = Аг, где
^ := — -0¿х — р!
\ Р2 "х Р2 "х/
{ ( ^ ) |*0, е ¿1[0,1], и, (*) = а,1^0(0) + а,*1(0) + в,1 *0(1) + в,0*1(1), 3 = 1, 2}.
=
Очевидно, с.з. пучка Ь(А) и оператора Ь совпадают, а система производных цепочек Ь(А) (см. [1, с. 102]) совпадает с системой с.в.-ф. оператора Ь.
Хорошо известно, что — т /г Лл/¿А, где И,л = (Ь — АЕ)-1, есть частичная сумма разложений в.-ф. / в биортогональный ряд Фурье по собственным в.)ф. оператора Ь, соответствующим тем с.з., которые попали внутрь контура Г^ Пусть (Ь — АЕ) / = (*0(х, А; /),*1 (х, А; /))
и = — 2ПТ /г„ **(х, А; /) "А, Т = 0,1.
е Ь1 [0,1], /(х
/0(0) = /0 (1) = /0 (0) = /0 (1) = /1(0) = /1 (1) = 0, (7)
2пт
Лемма 1. Если /0,/1 е Ь [0,1], /(х) := —Р2Л(х) — р /0(х) и
то
где
*0(х, А; /)= (— [ ел(ш1х+ш2(1-^)) /л(*) ^ + / ел(ш1 (1-*)+^х)/(*) й— АД0 0 АД0 0
^121/' ел(^2х+^2(1-^))/л(¿) ¿Л — (2 [ ел^1 (х-^)/л(*) ^ — ел^2(х-')/л(£) ¿Л , (8) АД0 0 А 0 А 0
*1(х, А; /) = А*0(х, А; /) + /)(х), (9)
/л(х) := /(х) — Ар2/0. (10)
Доказательство. Обратим оператор (Ь— АЕ). Для этого решим задачу (Ь—АЕ)* = / относительно в.-ф. * или, подробнее, решим задачу
— А*0 = /"0,
1 „ Р1 ' , _ , и, (*) = 0. 3 = 1,2. (11)
—*0--— А*1 = /1,
Р2 Р2
Выражая из первого уравнения системы в (11) и подставляя во второе (здесь требуется гладкость функции /0) с учетом предположений (7) для нахождения *0, получим следующую краевую задачу для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами с ф.с.р. у^(х, А), Т = 1, 2:
1(*0, А) = /л(х), и, (*0, А) = 0, 3 = 1,2.
Применяя метод вариации произвольных постоянных находим общее решение дифференциального уравнения, затем находим неизвестные константы из краевых условий и в результате получаем (8). Формула (9) есть простое следствие первого соотношения в системе (11). □
Пусть Кг(Ак) есть круги радиуса 5 с центрами в Ак и Сг = С\(икежКг(Ак)). Обозначим через С+ (С-) части Сг, лежащие в правой (левой) полуплоскости.
Лемма 2. Существует такая положительная константа Сг, что
V А е С- : |Д-(А)| > Сг; V А е С+ : |Д+(А)| > Сг. (12)
Доказательство. Рассмотрим случай А е С-. Если ИеА < —Ж, то из (6) получим |Д-(А)| > > |«121/2 при N достаточно большом и таком, что ЛП(А | Ие А < —Ж} = 0. Если же —Ж > Ие А < 0, то пользуясь периодичностью Д-(А) и тем фактом, что Д-(А) = 0 при А е С-, аналогично [1, с. 7484] получим |Д-(А)| > Сг,^ > 0. Фиксируя N и объединяя две полученные оценки снизу, получим первое утверждение (12) леммы. Случай А е С+ рассматривается аналогично. □
Лемма 3. Если 7(х,£) = 70 + 71 х + 72£ (72 = 0) и 7(х,£) Ие А < 0 V А е Г+ (Г-) при х е [0,1], £ е [а(х),Ь(х)], где а(х), Ь(х) — заданные линейные функции, Н е Ьр[0,1], р > 1, хР(и) = V1/р при 1 < р < го и х<^ (V) = 1п V при р = го, то
г>Ъ(х)
2пг
^ +(г-) V ^а(х)
е70м)АН(£) ¿И ¿А
< СЦНЦрХ^).
(13)
Доказательство. Обозначим q = р/(р — 1) и рассмотрим интеграл по Г+ (интеграл по Г- оценивается аналогично). Оценивая модуль интеграла в (13) через интеграл от модуля, применяя неравенство Гельдера к интегралу по £ и делая вполне очевидные оценки и замену переменной, получим оценки
С ||Н|
'г +
1 — ех
1/9
Ие А
< С||Н||р У0 -^^) # < С||Н||РХр(V),
где п < 0 есть число, выражающееся через параметры леммы.
Отметим, что аналогичные оценки впервые использовались в [4].
Теорема 1. Если /0',/1 е £р[0, 1], р > 1, и выполняются условия (3), (5), (7), то
!о-и (/) = /о(х) + 7(^2^2 /о(«х) — е1 /о(вх) + /о(х)) + +7Р^е2^1(«х) — е1 ^(в(х)) + ^(х)) + о(1) при V ^ го, 11V (/) = Л(х) — т(е20>1 /1(«х ) — е1 ^2 Л(вх) + ^2 Л(х)) +
□
+^е2/о (ах) — е/о (вх) + /о (х) + о(1)
при
V ^ го,
(14)
(15)
где ^х(х) = /ох Д(£) <И и о(1) ^ 0 по х е [0,1]. В формулах (14), (15) функции полагаются продолженными нулями, если аргументы выходят за отрезок [0,1].
Доказательство. Обозначим через А1 (х, А; /(■, А)) и а1 (х, А; /(■, А)) выражения, стоящие в первых и вторых больших круглых скобках справа от равенства в (8) соответственно. С учетом (10) получим
представление
го(х, А; /) = А1(х, А; /) — а!(х, А; /) — Ар2^(х, А; /о) + Ар2^(х, А; /о).
Здесь Ар2а1 (х, А; /о) есть целая аналитическая функция, а1 (х, А; / ) есть аналитическая функция во всей комплексной плоскости за исключением точки А = 0, в которой она имеет формально полюс первого порядка, а вычет равен нулю. Следовательно,
/о*(/) = — / А1(х,А; /) ¿А + 2П / а1(х,А; /) ¿А + 2^ [ Ар^ (х, А; /о) ¿А—
1
Ар2а1(х, А; /о) ¿А = —
1
А (х, А; /) ¿А +
1
Ар2А.1(х, А; /о) ¿А =
/г+ + !-) ^7)¿А + Уг+
; (/+ +1_) АР2А1(х, А; /о) ¿А = £О.
(16)
По условию /о, /о е 1] и вещественные части показателей экспонент в не положительны.
Тогда по лемме 2 и 3 получим:
= = 0(1п v/v) = о(1) при V ^ го.
(17)
Чтобы подсчитать , преобразуем Ар2 А1 (х, А; /о), интегрируя по частям и используя условие (7). Будем иметь:
Г1 - Г1
АР2А1(х,А; /о) = — еА(-1 х+-(1-*»/(£) ^ + еА(-(1"*Н-х)/(£) ^ —
А^2 Ао „/о А^1 Ао 7о
1
IV
IV
г
a12p27 Г eA(wa x+^(1-t)) f (t) dt.
AO^Ao JO
Отсюда аналогично (17) на основании лемм 2 и 3 получим:
l0v
1
Iov = (v)/v) = o(1) при v ^ro. (18)
Для подсчета /¿^ преобразуем А1(х, А; / ). Используем представление Д0(А) через Д+ (А) (см. (6)), умножаем коэффициенты перед интегралами на 1 = Д+ + с0е-л^2 и разбиваем каждый интеграл в соответствии с этим представлением. Кроме того, разбиваем интегралы на сумму интегралов по отрезкам, на которых показатели экспонент имеют знакоопределенную вещественную часть. Получим:
А1 (х, А; /)= (— ^ [ ел(ш1 х-Ш2/) + [ ел(^(1-*)+Ш2(х-1))/
V А Л** А ь*
— 1 С ел^(х-/) & + ^ Г ел(-1х--2(1+^)) /(¿) ^ — ^ Г ел(-!(1-0+-2(х-2)) /£)
А о/х АД0 ^0 АД0 ^0
/»1 \ / /»а* рв*
+_с0^ ел^2(х-*-1) /(£) ¿И + — ^ ел(ш1 /(¿) ^ + ^ ел(ш1 (1-*)+^(х-1)) /
АД00 0 А 0 А 0
- A Jo eA"2(X-t)/(t) dtj = An(x, A; f) + A12(x,A; f). (19)
Так как в интегралах в A11 (x, A; f ) показатели экспонент имеют неположительные вещественные части, то, как и до этого, на основании лемм 2 и 3 получим:
-I + A"(x,A; f) dA = o(1) при v ^ro. (20)
Что касается слагаемого A12(x, A; f ) в (19), то контурный интеграл от него можно преобразовать к виду
- /г+ a'2 (x-A;f) dA = - ^ (/rv - ¿) A12(x,f) dA •
Интеграл по rv считается как вычет в простом полюсе A = 0. Интеграл по Г- оценивается по лемме 3 аналогично предыдущему, так как на Г- показатели экспонент имеют уже неположительные вещественные части. Тогда с учетом предположений (7) теоремы, соотношения (19) и формулы (20) в результате получим при v ^ го:
I0v = -YP2 (e2^1 (ax) - е1^1(в(х)) + F(x)) - YP1 (e2fo(a*) - e1 fo(£*) + fo(x)) + o(1). (21)
Г3 „ Оттл „„„патл,, ^ 7"1
Рассмотрим теперь слагаемое /3^ в формуле (16). Оно отличается от слагаемого /¿^ тем, что
3
V
отсутствует параметр А в знаменателе. Но если провести в /3^ внутри в интегралах по £ один раз интегрирование по частям, воспользовавшись гладкостью /0 и тем, что выполняются предположения (7), то получим контурный интеграл, который можно сосчитать совершенно аналогично интегралу . Проводя эти вычисления и опуская подробности, получим при V ^ го:
/3„ = —7Рг( - /0 (ах) + — /0 (вх) + — /0 (х)) + о(1). (22)
Подставляя (17), (18), (21) и (22) в (16), получим утверждение (14) теоремы.
Для получения формулы (15) сразу провести рассуждения, аналогичные тем, при помощи которых была получена формула (14), не представляется возможным из-за дополнительного множителя А в числителе в подинтегральном выражении . Предварительно нужно во всех интегралах по переменной £, входящих в (х, А; /), провести одно интегрирование по частям и воспользоваться условием (7) и соответствующей гладкостью функций /0 и /1 .А далее проводим рассуждения, полностью аналогичные предыдущим, и получаем формулу (15). □
Следствие 1. Пусть выполняются условия теоремы 1. Для того, чтобы имели место формулы при V ^ го
— / V) (ж, А; /) ¿А = /о (х) + о(1), — [ Мж,А; /) ¿А = / (х) + о(1), (23)
г V ^ г V
необходимо и достаточно, чтобы функции /о , / удовлетворяли системе уравнений:
{Ге2 ^2 /о («х) — ех ^/о (вх) + /о (х)) — £2(^2 (ах) — е^ (вх) + = 0,
(е2 (ах ) — е1 ^2/1 (вх)+ ^2 л (х)) — (е2 /о (ах ) — е1 /о (Ах ) + /о (х)) =0-
Дифференцируя первое уравнение (ввиду нулевых начальных условиях получим эквивалентное уравнение) и анализируя полученную систему, без труда получим простое условие разложимости вектора (/о, / )т по производным цепочкам пучка Ь(А).
Теорема 2. Пусть выполняются предположения теоремы 1 и е2 = 0 (это эквивалентно условию а22 = 0). Для того, чтобы имели место формулы (23), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение /о (х) = / (х) для всех х е [0,1].
Из полученных результатов видно, что когда корни х.м. лежат на одном луче, для разложимости функции в ряд по с.ф. пучка £(А) в с.н. случае так же, как и в случае оператора первого порядка, рассмотренного в [2], не требуется аналитичности разлагаемой функции.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270). Библиографический список
1. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. [Naimark M. A. Linear Differential Operators. Parts I. New York : Ungar Publ. Co., 1967; Naimark M. A. Linear Differential Operators. Parts II. New York : Ungar Publ. Co., 1968.]
2. Гуревич А. П., Хромов А. П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Мат. заметки. 1994. Т. 56, вып. 1. С. 3-15. [Gurevich A. P., Khromov A. P. First and second order differentiation operators with weight functions of variable sign // Math. Notes. 1994. Vol. 56, iss.1. P. 653-661.]
УДК 517.53/54
В. В. Старков
Петрозаводский государственный университет E-mail: [email protected]
В 1923 году Керекьярто доказал, что счетносвязная область не гомеоморфна несчетносвязной. В этой заметке дано другое доказательство этого факта с использованием методов комплексного анализа.
Ключевые слова: гомеоморфизмы бесконечносвязных областей.
3. Хромов А. П. Разложение по собственным функциям одной краевой задачи третьего порядка // Исследования по теории операторов. Уфа, 1988. C. 182-193. [Khromov A. P. Expansion in eigenfunctions a boundary value problem of the third order // Issledovaniya po teorii operatorov. Ufa, 1988. P. 182-193.]
4. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Мат. сб. 1981. Т. 114(156), № 3. C. 378-405. [Hromov A. P. Equiconvergence theorems for integrodifferential and integral operators // Math. USSR Sb. 1982. Vol. 42, iss. 3. P. 331-355.]
A Countably Connected Domain is not Homeomorphic to an Uncountably Connected Domain
V. V. Starkov
In 1923 KepeKbflpra proved, that a countably connected domain is not homeomorphic to an uncountaby connected domain. We give another proof of this statement.
Key words: homeomorphism of multy connected domains.
СЧЕТНОСВЯЗНАЯ ОБЛАСТЬ НЕ ГОМЕОМОРФНА НЕСЧЕТНОСВЯЗНОЙ
Под континуумом, как обычно, будем понимать связное замкнутое подмножество расширенной плоскости. Граничной компонентой области Б называется каждый континуум К с дБ, обладающий тем свойством, что любой континуум К' с дБ, К' э К, совпадает с К.
© Старков В. В., 2013
