Разложение Оппенхайма в кольце g-адических чисел q G Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

УДК 511.37 + 511.36

РАЗЛОЖЕНИЕ ОППЕНХАЙМА В КОЛЬЦЕ ^-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

И. Ю. Сухарев (г. Москва)

Аннотация

В поле р-адических чисел известны аналоги разложения Оппенхайма.

В работе изучаются разложения Оппенхайма для элементов кольца где д = р 1 ...рм- Рассматривается задача получения аналогов разложения Оппенхайма в прямом произведении неархимедовых нормированных полей ®™=1

Автор выражает благодарность профессору В.Г. Чирскому за постановку задачи и внимание к работе.

1. В 1972 году А. Оппенхайм (см. [1]) предложил алгоритм разложения положительных действительных чисел в виде ряда

1 а1 1 а1а2 1

Х ¿1 + ЪХ ¿2 + &1&2 (¿з + ’

где

X Х1 , &:а 1 + [1/хп], хп 1/^и + (ап/Ьп)хп+1

для п = 1, 2,... Здесь ап = ап(^, ... ^п), Ьп = Ьп(^, ¿2,... dn) — натуральные

числа.

Свойства разложений Оппенхайма исследовались рядом авторов. В статье

[2] Я. Галамбош изучил эргодические свойства знаменателей в разложении Оппенхайма, Ю. Ву ([3], [4]) исследовал некоторые метрические свойства цифр разложения Оппенхайма и его частных случаев (разложений Кантора, . Пороча. Сильвестра, Энгеля).

В 1989 году А и Дж. Кнопфмахер предложили в [6] аналог указанного разложения в поле Qp. Его называют р-адическим разложением Оппенхайма. В 2004 г. в [5] Ю. Ву исследовал метрические свойства цифр этого разложения.

В работе строится обобщение указанного разложения для случая прямого произведения полей с неархимедовским нормированием и исследуются метрические свойства цифр этого разложения,

2, В [6] предложен следующий алгоритм разложения для поля Ор. Пусть р—простое число, А Є 0р — любое р-адпческое число. Оно имеет канонический вил А = ^2С^=и{л) П гДе ^(А) = огсІрА — раднческпй порядок числа А, В [5]

введено понятие дробной части числа А: (А) = ^2и(А)<п<о п- Там же введено понятие множества Бр = {(А) : А Є Ор}. Запишем алгоритм Оппенхайма в поле Ор, предложенный в [6]:

Для любого А Є Ор заметим, что (А) = а0 Є Бр ^ V(А — а0) > 1. Определим Аі = А — а0, где а0 = (А) Далее, если Ап = 0 (п > 1) уже определено, то пусть ап = (1/Ап) и положим Ап+1 = (Ап — 1/ап)вп/гп, вде гп,вп — ненулевые рациональные числа, зависящие от а1,..., ап. Тогда

А = ао + А\ = ао Н----1--.А2 = • • •

аі ві

,1 , Гі 1 Гі . . .Гп-1 1 Гі . . .Гп

— аоН------1------Ь-.-Н--------------1--------Ап+

аі ві а2 ві... вп-і ап ві... вп

Возникает задача рассмотреть разложение Оппенхайма в Ой, вде д = рі •... • рм Однако, при попытке формально применнть алгоритм р-адического разложения Оппенхайма для элементов кольца , вде д = рі •.. .• рм, вышеуказанный

д

Объясним причину этого. Допустим, что мы формально пользуемся алгоритмом Оппенхайма для чисел из Ой, вде д = рі • ... • рм. Достаточное условие того, что алгоритма остановится на шаге п состоит в том, что на всех шагах до п — 1 включительно первая цифра разложения А* взаимно проета с д, а на шаге п — не взаимно проста. Действительно, пусть Ап = а- д + = х ■ дк + ...,

тогда если (а, д) = 1 то х • а • дк +... = 1 и нельзя подоб рать х такой, что первое слагаемое равно 1, Тогда алгоритм останавливается,

Ап

представлении) имеется <^(д)/д взаимно простых с д, вде ^ — функция Эйлера, Без ограничения общности считаем, что д = рі • р2,

<Р(9) = (Рі ~ 1)(Р2 ~ 1) = ________1_______1_ + 1

9 ІР1-Р2)2 Р1-Р2 РІ-Р2 Рі-РІ РІ'РЇ

Соответственно, вероятность того, что на первом шаге первая окажется цифра не взаимно простой с д, равна 1 — <^(д)/д; на втором шаге — (1 — <^(д)/д) • <^(д)/д; па п-м шаге — (1 — ^(д)/д) • (^(д)/д)п-і,

п— 1

дп

(1 — ^(д)/д) •(1 + ^(д)/д +... + (^(д)/д)п) = 1 — (^(д)/д)п ^ 1 при п ^ ^

Получается, что вероятность того, что алгоритм в кольце остановится, стремится к 1,

3, Для того, чтобы обойти отмеченную в пункте 2 трудность, предлагается следующий подход. Пусть {ап} — фундаментальная поеледовательноеть в О относительно нормы | • |5, д = р^ ... ,рк. Тогда, для достаточно больших т и п выражение (ат — ап) делится на любую достаточно большую степень д = р1р2 • • • Рк-, следовательно, на любую степень каждого из ее множителей pi, i = 1,..., к, Это означает, что не только д-адичеекий предел

В книге [7] числа Лі называются р^адическими компонентами д-адического числа Л и используется обозначение

Таким образом, д-адическому числу Л можно сопоставить набор (вектор)

(1) рі-адических чисел. Верно и обратное, В [7, Глава 5] К, Малером доказана

Теорема 1. Пусть Лі, Л2,..., Лк — соответственно рі-адическое, р2-адическое, ... ,рк- адическое числа. Тогда существует единственное д-ади-ческое число, такое что

может быть записано как радический ряд. Цифры ап принимают значения

Л = Ііт ап (д)

П—

существует, но также существуют и все рі-адические пределы

Лі = Ііт ап (рі) (і = 1, 2,..., к)

п—^

Л = (ЛЪ Л2, . . . Лк)

(1)

■V

д

Л = af д/ + af+ід/+1 + а/+2д/+2 + ... = = а/р/г + а/+1р(/+1)г + а/+2р(/+2)г +

(2)

0,1,... ,д - 1= рг - 1,

и имеют вил

ап = апо + апір + ... + ап,г-ірг 1 (п = /, / + 1,/ + 2,...) (3)

где 0 ^ ап/ ^ р — 1, Если подставить выражение (3) для ап в ряд (2), получим выражение

А = а/,ор/г + а/др/г+1 + ... + а/;Г-1р/г+г 1 + а/+1,ор(/+1)г + ...

Р

Наоборот, каждый радичеекпй ряд может быть записан как рг-адичеекий, если собрать вместе все слагаемые со степенями ркг,ркг+1,... ,ркг+г-1. Коэффициенты при ркг — цифры:

0 ^ а/;о + а/;1р + а/;2р2 + ... + а/;Г-1рг-1 ^

^ (Р — 1) + (Р — 1)Р + (Р — 1)2 + ... + (Р — 1)РГ-1 = Рг — 1 < Рг.

Между кольцом Орг и толем ОР нет существенных различий. Кроме того, фундаментальные последовательности по отношению К одной из норм | • |рг И | • |р также являются фундаментальными по отношению к другой норме. Поэтому

*®РГ-=<®Р. □ “ . .

Этот результат может быть обобщен. Если д = р1 .. -Р^ и д' = р1 .. -Р^, где

^ и Г — целые неотрицательные числа, то Од = Од/,

Таким образом, при обобщении разложения Оппенхайма представляется целесообразным рассматривать §-адичеекое число как вектор из прямого произведения полей р^адических чисел 1 ОРг, где pi — различные простые делители

д

Р

РР

д

выбирать произвольным образом независимо друг от друга, получая соответствующие числа из фРг. Поэтому для случайных величин А1,...,А^ вероятностная мера определяется как произведение вероятностей в соответствующих нолях. Р(Аь ..., Ам) = Р(А1) • • • Р(Ам).

Р

жение Оппенхайма в координатах фРг:

Теорема 2. Пусть х = (ж1,..., хм), где xi € ОРг, х € Од = 0^ 1 ОРг. Координаты xi вектора х имеют конечное или сходящееся (относительно нормы I • 1Рг^ разложение вида

х1 = аг (хг) + 1 + V ■ ■ ■ гп«(хг)) 1

' гА(ггг\ 2.^ |

а!(х0 П=1 . . . ^ПО^ ап+1(х) ’

где аП(х^ € , а^^) = (х^, и ^(а1(х)) < 1, для любого п > 1,

^(ап+1(х0) <2vi(апП)(xi) — 1 + ^(<(an(xi))) — ^(4(ап(х))).

Как и в работах [5], [6], для каждого простого р вводится обозначение ХР = рЙ — максимадьпый идеал в кольце Zp всех р-адичееких целых (то есть множества радических чисел порядка > 0),

В книге В,Г, Спринджука [9, стр, 68] дается описание меры в поле ОР: если С = С(х,р-т-1) = {у € ОР : ||у — х||Р = р-т-1} — диск радиуса р-т-1, то Р(С) = р-т. Обозначим с помощью Pi соответствующую вероятностную меру в поле ОРг,

Сформулируем необходимые леммы.

Лемма 1. Для, любых к1,..., кп € $Рг, i = 1, N 'таких что ^(к|) ^ —1,

иг(Ц+1) = - 1 + ~ ^ = 1,П~1,

верно

Р^ € ХРг : а!(х^ = к^,..., аn(xi) = кп} = pi

- ££—(кг))-^(4(кг)))+2^(к*)

Лемма 2. Длд любых к1,..., кп+1 € $Рг, i = 1, N удовлетворяющих

^г(к1) ^ —1,

верно

^{Ц+г) = ^г(Ц) ~ 1 + ^(г}(к}+1)) - ^¿(4(^+1))^' = М,

рi{an+l(xi) = кп+1|ап(х0 = кп} =

= = kn+l|aІ(xi) = к1 ,•••, an(xi) = кп} = (4)

\КМ±\ 141

1 «гп(Ю'р\К+1\1’

то есть последовательность случайных величин {ап : п ^ 1} образует цепь Маркова с переходной вероятностью (4)

Обобщив Лемму 1 и Лемму 2, как в [5, стр,252], получаем Следствие 1. Для, любых к1,..., кп € $Рг, как в Лемме 1, верно Р^ € ХРг : V(а*^)) = ^(к^),... , ^(ап^)) = ^(кп)} =

п —1 /

= (р — 1)пр"ЕП—1 ^)р-£П—¿("‘И(к5))-*(*•(^)))+2^г(к*) Следствие 2. Для, любых к1,..., кп+1 € $Рг, как в Лемме 2, верно

= ^П+ЛИ^Ох)) = ^(кп)} =

= ДМап+1(х0) = ^п+Лк^Ох)) = ^(к1),..., ^(ап(х^ = V (кп)}

( -|Ч ^г(кп +1)—2^г(кп )-^(гп (кп ))+^(4(кп ))

= (Рi — ^ + .

Для любого ж* € Хр., г = 1, АГ, как в [5], обозначим через {Агп(х¿) : п > 0} последовательность случайных величин, таких что Д0(х^ = V(ai(xi)) и Дп^) = Vi(an+l(xi)) — 2^(ап^)) — Vi(гП(an(xi))) + ^(в^а^х^)) для п > 1.

Лемма 3. Для г = 1,М, {Агп(х¿) : п > 0} — это последователь-

ность независимых одинаково распределенных случайных величин и для, каждого к > 1,

Рг{хг Е БРг : Агп(хг) = -к} =

Р

Лемма 4.

Рi

Е(Ап(х))= * =

Доказательство, Доказательства лемм 1, 2, 3, 4 и следствия 1 повторяют доказательства из [5] с той лишь разницей, что утверждения сформулированы ДЛЯ компонент Хг //-нднчоского числа х. □

Пусть х € 0)^=1 ОРг и для его координат верно жi € ХРг, По Лемме 3 и

Лемме 4 {Дп( х) : п > 0} — последовательность независимых и одинаково

распределенных случайных векторов, каждый из которых имеет среднее

и невырожденную матрицу ковариации

/Уаг(Д1(х)) 0

С= ( ...

\ 0 Уаг(Д^ (х))у

Эта матрица диагональная веледетвии независимости координат вектора Д^ (х Получаем, что при п ^ то по многомерной центральной предельной теореме имеет место слабая сходимость распределений векторов

Е и~£>(х)-п» лт/п^

---------=-------=>• г/, где г) имеет распределение 1\{0, С).

п

Доказана

Теорема 3. Пусть х € 0^ 1 ОРг и жi € ХРг. Длл алгоритма разложения числа х, описанного выше, верно:

у/п "П* где г) Е т С),

где ц = Е(А^(х)) = (----*-), i = l,N,

Pi - 1

a C — диагональная матрица ковариации

/Var(A](xi)) 0 \

\ 0 Var(AN (xn ))/

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Oppenheim A,, The representation of real numbers by infinite series of rationale // Acta Arith. 21. 1972, p. 391-398.

[2] GalambosJ,, The ergodie properties of the denominators in the Oppenheim expansion of real numbers into infinite series of rationale // Quart. J. Math. Oxford (2) 21, 1970, p. 177-191

[3] WuJ,, A problem of Galambos on Engel expansions// Acta Arith. XCII.4 (2000), p. 383-386

[4] WuJ., The Oppenheim series expansions and Hausdorf dimensions // Acta Arith. 107.4. 2003.

[5] WuJ., Metric properties for p-adic Oppenheim series expansions // Acta Arith. 112.3. 2004., p. 247-261

[6] Knopfmacher A. and J., Series expansions in p-adic and other non-archimedian fields // Journal of number theory. 32. 1989, p. 297-306

[7] Mahler K., Introduction to p-adic numbers and their functions // Cambridge University press. 1973.

[8] Knopfmacher A. and J., Metric properties of some special p-adic series expansions // Acta Arith. LXXVI.l. 1996., p. 11-19

[9] Спринджук В.Г., Проблема Малера в метрической Теории Чисел. Минск. 1967.

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова. Поступило 3.06.2010