Разложение атомического оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь март, 2003, Том 5, Выпуск 1

УДК 517.98

РАЗЛОЖЕНИЕ АТОМИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С. Н. Табуев

Доказана теорема о разложении атомического оператора по специальному базису из решеточных

гомоморфизмов. Показано, что такое разложение в определенном смысле единственно.

1. Предварительные сведения

В этом параграфе приведены обозначения и сведения из теории векторных решеток, необходимые для дальнейшего изложения.

1.1. Всюду ниже Е — векторная решетка, — порядково полная векторная решетка. Полосу всех порядково ограниченных линейных операторов из Е в обозначим через ЬГ"{Е,Е). Пусть Ь~{Е,Е) полоса в ЬГ"{Е,Е), порожденная множеством решеточных гомоморфизмов Нот{Е,Е). Напомним, что оператор Т € ЬГ"{Е,Е) называют атомическим, если он попадает в полосу Ь~(Е,Е).

Линейный оператор а из идеала О векторной решетки в назовем ортоморфизмом, если он порядково ограничен и сохраняет полосы, т. е. а(К П (?) С К для любой полосы К из -Р. Через ОгШ((3, Е) обозначим множество всех ортоморфизмов из О в Р.

Если ОгШ(Т, := ОгШ((3,_Р), где О — порядковый идеал в порожденный Т(Е), то для произвольного решеточного гомоморфизма Т имеет место {Т}хх = ОгШ(Т, Р) о Т.

<1 Это утверждение является следствием теоремы Кутателадзе (см. [2; 3.3.4, 3.3.5(4)]). >

1.2. Множество Ч-Н-Р1) всех порядковых проекторов, упорядоченное правилом л ^ р 7Г о р = 7г, является булевой алгеброй (см. [3; 1.3.5]).

Пусть В — булева алгебра. Подмножество Е С В минорирует подмножество В0 С В, если для каждого 0 < Ь € -Во существует х (г /'- такой, что 0 < х ^ Ь. Будем называть Е минорантным для Во.

Если Е минорштно в В, то всякий ненулевой элемент В является супремумом некоторого дизъюнктного подмножества Е.

<\ Доказательство данного утверждения, известного как «принцип исчерпывания», можно найти в [4]. >

1.3. Множество попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов % из Е в назовем строго порождающим, если = Ь~(Е,Е) и ип^)^ = при всех в €

Лемма. Пусть /',' н /•' — векторные решетки, причем /•' — расширенное К-пространство и = (и{Т(Е) : Т € Нот(_Е, _Р)})ХХ. Для любого ненулевого проектора 7Г в существует подпроектор О Ф р ^ 7Г такой, что в (Е, жимеется строго порождающее множество решеточных гомоморфизмов.

© 2003 Табуев С. Н.

<1 Пусть Т € Нот(_Е, 7Г_Р) и пусть Т(Е)±± = С 7Г_Р. Обозначим через Т максимальное множество попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов из Е в таких, что Т(Е)±± = ф {0}. Рассмотрим множество С := П ^1). Если

£ = {0}, то Г удовлетворяет условию леммы. Пусть £ ф {0}, т. е. существуют решеточные гомоморфизмы Б € Нот(_Е, такие, что Б € причем из максимальности Г следует, что ф Р\. Обозначим множество всех подобных гомоморфизмов

через £о := £ П Нот(Е,

Из максимальности Т следует, что существует С /-'1 такой, что £(, П Нот(Е, = {0}. Обозначим через := ^ П Ясно, что ф {0}. Тогда существует разбиение {р^} единицы 1р0 такое, что для любого £ существует решеточный гомоморфизм ^ е £0 и Е)х± = р^о). Но тогда существует оператор 5 такой, что Бе = (для е € Е+), причем в € £о и 3(Е)±± = что противоречит

максимальности Т. >

Непосредственно из приведенного доказательства следует утверждение.

Строго порождающее множество в (Е, существует тогда и только тогда, когда в нем существует хотя бы один оператор Б такой, что = Р.

2. Разложение атомического оператора

2.1. Проектор 7Г € ^Р(-Р) назовем (-у, Е)-однородным, если в Ь~(Е,тгР) существует строго порождающее множество %а такое, что сагс1(%а) = 7 и, кроме того, для каждого ненулевого проектора р ^ ж и для любого строго порождающего множества % попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов из Е в р_Р выполняется сагс1(%) 7.

Строго порождающее множество %а удовлетворяющее сформулированным выше условиям назовем атомическим базисом в Ь~(Е,1гР).

Если ж — ненулевой проектор со строго порождающим множеством, то существует (7, Е)-однородный проектор р такой, что 0 Ф р ^ 7Г.

<1 Рассмотрим множество ненулевых подпроекторов проектора ж. Поставим в соответствие каждому из таких проекторов р кардинал 7 — наименьший из кардиналов строго порождающих множеств в Ь~{Е,рР). Прообраз относительно отображения 7Г ь-> 7(71") наименьшего из этих кардиналов и будет требуемым проектором. >

2.2. Теорема. Пусть /',' н /•' — векторные решетки, причем /•' — порядково полна и расширена. Тогда существует множество кардиналов Г и для каждого кардинала 7 € Г существуют проектор тгу € ф(^) и семейство попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов (Ф7,а)а^7 из Е в такие, что справедливы следующие утверждения:

(1) (7г7)7£г представляет собой разбиение единицы в булевой алгебре ф(^), причем д\ / и при всех 7 £ Г;

(2) 7г7 является (7, Е)-однородным проектором;

(3) (1тФ7>а)хх =7Г7(Я (7 € Г,а < 7);

(4) каждый оператор Т € 1Л (/'Л /•') допускает единственное представление в

виде:

Т = Т0 + О-^ СГ7,а о Ф,.а.

76Г а<7

где Т0 € Ь2{Е,Р) и гг,.„ € 0гЛ(Ф7>а, ж7(Р)).

Разложение атомического оператора

1-55

<1 Для доказательства существования разбиения единицы 7Г7 воспользуемся «принципом исчерпывания». Согласно 1.3 в любом проекторе л содержится подпроек-тор р такой, что р ^ 7Г и в Ь~{Е, р_Р) есть строго порождающее множество. Ввиду 2.1 в проекторе р с указанным выше свойством содержится хотя бы один (7, _Е)-однородный проектор р7. Следовательно, множество (7, -однородных проекторов в ф(^) мино-рантно.

Определим функцию ф : ф(^) Г следующим образом. Если р € ф(^) — (7, Е)-однородный проектор, то ф(р) = 7.

Если же проектор р не (7, _Е)-однороден, то ввиду минорантности множества (7, _Е)-однородных проекторов его можно представить в виде супремума (7, Е)-однородных проекторов. И в этом случае ф(7) равно супремуму кардиналов однородных компонент.

Для доказательства корректности этого определения необходимо доказать, что супремум 7г7 (7, _Е)-однородных проекторов также (7, _Е)-однороден. Для этого

достаточно доказать, что в 7Г7 существует строго порождающее множество мощности 7.

Пусть Ф^7 — атомический базис в /'Л /•'). тогда Фа^7 = Х^ез ^«<7 будет атомическим базисом в Ьг^{Е,ж1Р). В противном случае, в Ьг^{Е,ж1Р) существует оператор Ф дизъюнктный ко всем базисным векторам. Однако из определения этого оператора следует, что его проекция р^Ф на любую из (7, -однородных компонент должна быть дизъюнктна к соответствующему атомическому базису. Это возможно только тогда, когда р^Ф=0. В силу произвольности £ получаем, что Ф = 0. Тем самым 7г7 — (7, Е)-однородный проектор.

Согласно 1.2 в ^{Р) существует разложение единицы на (7, _Е)-однородные компоненты (7г7)7£г- Операторы, требуемые в пунктах (3) и (4), будут в точности атомическими базисами соответствующих полос.

Не ограничивая общности, для простоты обозначений, докажем единственность разложения оператора Т в одной из компонент с (7, _Е)-однородным проектором. Пусть сг„Фа и сг^Фа — два разложения оператора Т. Пусть эти разложения не совпадают в первом элементе. Тогда = а\Ф\ — afФl Ф 0. В то же время из того, что = (тГуР) следует, что дизъюнктен к остальным базисным элементам. Это противоречит тому, что разность двух разложений должна быть равна нулю. Таким образом наше разложение единственно. >

Один атомический базис можно получить из другого путем перестановки и «перемешивания». Иначе, если мы имеем два базиса (Фа)а^7 и (Фа)а^7, то для каждого о ^ 7 существует разбиение единицы (па,такое, что

где сга>(з € ОтЩтта^Фа,тта^(Р)).

<1 Рассмотрим разложение оператора Фа по базису (Фа)а^7. Из предыдущей теоремы имеем, что

= сга о Фа.

а<7

В качестве (7га,/з)/з^7 будем рассматривать проекторы на полосы, порождаемые образами аа о Фа. Их дизъюнктность непосредственно вытекает из следствия к теореме

Кутателадзе о том, что два решеточных гомоморфизма, мажорируемые решеточным гомоморфизмом, дизъюнктны в том и только в том случае, когда дизъюнктны их образы. То, что 7г7 — разбиение единицы следует из того, что im(Фа = /•'. Теперь для 7га>(зФа и 7га>(зФа существует ортоморфизм ста>(з такой, что

Та./зФа = (Ja,l3Ka,l3®a■ > Литература

1. Гутман А. Е., Емельянов Э. Ю., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартный анализ и векторные решетки.— Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1999.—380 с.

2. Кусраев А. Г. Порядковый анализ 3. Положительные операторы: Учеб. пос.—Владикавказ: Изд-во Владикавказского научного центра, 2001.—111 с.

3. Кусраев А. Г. Порядковый анализ 1. Булевы алгебры. Векторные решетки: Учеб. пос.— Владикавказ: Изд-во Владикавказского научного центра, 2000.—87 с.

4. Владимиров Д. А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.—318 с.

г. Владикавказ

Статья поступила 15 февраля 2003 г.