Равновесие и устойчивость растягиваемого нелинейно-упругого стержня Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ РАСТЯГИВАЕМОГО НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО СТЕРЖНЯ

© 2007 г. М.И. Карякин

The results of analysis of applicability of some wide-spread models of compressible nonlinearly elastic materials to the problems encountering large extending strains are presented. New solution on the S. Spector's problem about the existence of the constitutive equation of nonlinearly elastic material that has descending region at the tension diagram and the deformation is stable within the entire region is obtained.

Задача математического описания процесса образования шейки в классическом эксперименте по одноосному растяжению стержня является одной из наиболее подробно изучавшихся проблем механики деформируемого твердого тела. Для описания этого явления использовано очень большое количество различных математических моделей теории упругости, пластичности, вязкоупругости, модели многоуровневых и структурно неоднородных сред, теория фазовых превращений и многое другое; накоплена обширная база экспериментальных данных. Тем не менее до сих пор внимание исследователей привлекают вопросы, связанные, например, с местом локализации шейки и ее формой, приемлемостью той или иной модели для ее описания и т.п.

Использование нелинейной теории упругости в данных задачах весьма распространено и рассматривается многими авторами как подход, позволяющий проанализировать и определить некие «спусковые механизмы» процесса шейкообразования. Кроме того, чисто упругие модели часто признаются вполне адекватными для описания процессов так называемого активного нагружения.

В качестве пионерской работы, связанной с использованием нелинейно-упругих моделей в задачах образования шейки (или потери устойчивости при растяжении), следует назвать статью Дж. Эриксена [1]. В ней на основе некоторых аналогий с теорией фазовых превращений в газах для описания потери устойчивости при растяжении была предложена чисто качественная модель нелинейной зависимости приложенной силы от вызываемых ею удлинений, содержащей так называемый «падающий участок», на котором сила убывала с ростом удлинения. Предложенный в [1] подход активно использовался и продолжает использоваться, в частности, для описания процесса шейкообразования в полимерных материалах [2, 3].

Одним из первых ученых, использовавших для изучения неустойчивости процесса растяжения цилиндрического тела трехмерную нелинейную теорию упругости, был, по-видимому, С. Спектор [4]. Важнейшим результатом его работы является теорема об устойчивости процесса растяжения, которая для жесткого нагружающего устройства означает, что если модель нелинейно-упругого материала удовлетворяет некоторым стандартным условиям физического смысла, и при растяжении осевая сила Р монотонно

возрастает с увеличением коэффициента удлинения Я при Я е [1, Л], то существует такое положительное (возможно, весьма малое) число е, что процесс растяжения будет устойчив в диапазоне удлинений Я е (1 - е, Л + е). Данная теорема означает, что при отсутствии падающего участка процесс растяжения всегда устойчив, а если падающий участок существует, то процесс растяжения будет устойчив, по крайней мере, в самом начале этого участка. В работе проанализированы две частные модели нелинейно-упругого поведения (соответствующие двум фиксированным наборам параметров в общей трехконстантной нелинейной модели материала Блейтца и Ко), первая из которых не имеет падающего участка, а у другой падающий участок не сменяется участком возрастания. Результаты анализа привели С. Спектора к формулировке следующей проблемы: может ли существовать такая модель материала, что диаграмма растяжения содержит падающий участок конечной длины, причем процесс деформирования всюду на этом участке является устойчивым.

Проблема оставалась неразрешенной до появления статьи Н. Оуэна [5], изучившего, в частности, влияние геометрии растягиваемого цилиндра на его устойчивость. В [5] показано, что при уменьшении отношения радиуса цилиндра к его длине зона устойчивости на падающем участке сокращается: Пт е = 0 . Это

г /1^0

привело к заключению о невозможности построения модели, удовлетворяющей условиям С. Спектора.

Тем не менее невозможность построения модели с устойчивым падающим участком диаграммы для тел произвольной геометрии вовсе не означает невозможность такой модели для тела конкретного размера. В настоящей работе в рамках плоской деформации на примере двухконстантного варианта модели материала Блейтца и Ко будет показано существование материалов, диаграмма растяжения которых имеет падающий участок, а растяжение тел определенных геометрических размеров является устойчивым на всем этом участке.

Теория потери устойчивости упругих тел при растягивающих нагрузках для несжимаемых материалов была развита в работах Л.М. Зубова и его учеников (например, [6-8]). И в этом случае доказан тот факт, что потеря устойчивости при растяжении возможна

лишь при наличии падающего участка диаграммы растяжения. Распространение этой теории на сжимаемые материалы затрудняется тем обстоятельством, что учет сжимаемости даже в случае канонических деформаций требует нахождения решения нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка, которая в общем случае не имеет аналитического решения. Это означает, в частности, что при начальном состоянии, отличном от аффинного, даже уравнения нейтрального равновесия нельзя записать в аналитической форме.

Потеря устойчивости при растягивающих нагрузках может проявляться и в форме неустойчивости вычислительных схем, применяемых при анализе тех или иных задач деформирования нелинейно-упругих тел. Возможность подобного эффекта отмечалась, например, в [9] при анализе задачи о стесненном (плоском) кручении кольца из сжимаемого нелинейно-упругого материала.

Еще один аспект анализа данной проблемы связан с тем, что каждая модель нелинейно-упругого поведения материала основывается либо на некоторой математической экстраполяции линейной теории, либо на аппроксимации какого-то конкретного эксперимента или набора экспериментов. Очень важно поэтому уметь достаточно надежно определять степень применимости модели к более широкому по сравнению с использованным для определения материальных параметров классу задач.

Типы диаграмм нагружения Исследование устойчивости или неустойчивости на падающем участке диаграммы нагружения должно начинаться, естественно, с выяснения вопроса, а существует ли вообще для данной модели материала и данных условий нагружения такой падающий участок. Задача одноосного деформирования прямоугольного параллелепипеда равномерно распределенной на его торцах нагрузкой подробно проанализирована в [10] на примере трех определяющих соотношений: материала Синьори-ни, упрощенного варианта материала Блейтца и Ко и полулинейного (гармонического) материала. Показано, в частности, что поведение рассмотренных моделей при больших деформациях растяжения является принципиально различным как в смысле достижимости произвольной наперед заданной деформации, так и монотонности движения к этой деформации.

В настоящей работе в качестве модели материала выберем общую трехконстантную модель Блейтца и Ко, описываемую функцией удельной потенциальной энергии [10]

^ =Ев{ Ii (1)

2

Mi -в 2

-1 -3 1 +

а

(1)

12131 +

1 (-1)- з

Кроме общего случая (1), более подробный анализ будет проведен для двух частных случаев: двухкон-стантного варианта (а = 1/2, 0 < в < 1) и так называемого «упрощенного» варианта (а = 1/2, в = 0) этой модели.

Ограничиваясь сначала случаем плоской деформации, полуобратное представление деформации растяжения стержня (прямоугольника) зададим в виде

X = Ax, Y = Ay, Z = z , (2)

где x, y, z и X, Y, Z - декартовы координаты

точек тела в отсчетной и деформированной конфигурациях соответственно. Легко проверить, что уравнения равновесия для тензора напряжений Пиола D удовлетворяются тождественно. Считая, что граничные условия на торцах соответствуют нагружению в так называемом жестком устройстве (hard device), запишем их в виде Dy^y=о l = 0, Y (0) = 0,

Y(L) = XL .

Все они так же автоматически удовлетворяются преобразованием (2) для любой из рассматриваемых моделей материала. Из условия отсутствия нагрузки на боковой поверхности стержня может быть получена связь между константами A и X полуобратного

а

представления (2): A = X 1+а . Теперь зависимость компоненты DyY тензора напряжения Пиолы от параметра удлинения X может быть записана явно:

(

DyY = 2 в

_ 3а-1 \

Х-Х «+1

-2^(1 -в

( а-1

Ха+1 -Х

-з

V у V у

Именно наличием экстремальных точек у этой зависимости и определяется наличие или отсутствие падающего участка на диаграмме нагружения, а также размер этого участка. На рис. 1 сплошной линией изображена численно построенная кривая, ограничивающая сверху область существования падающего участка на плоскости параметров а и в .

Для более простого двухконстантного варианта модели (2) анализ экстремальных точек может быть легко осуществлен аналитически. В этом случае 1

A =

3/1

(3)

d D

а уравнение-— = 0 сводится к кубическому:

d 2

3в3 -(1 -в^2 + 5вk + 9(1 -в) = 0, (4)

где k = 24/3 . Уравнение (4) имеет вещественные корни, большие единицы, при ве [0, в* ], в* ~ 0,0388. При в > в* зависимость силы от удлинения является монотонной. При в = 0 кубическое уравнение вырождается в квадратное с одним положительным корнем

где ^ - главные инварианты меры деформации Коши; а , / , в - материальные константы, причем при малых деформациях модуль / имеет смысл модуля сдвига, а параметр а связан с коэффициентом Пуас-

Х = 3

3/4

: 2,28, соответствующим точке максимума

сона V соотношением а = -

1 - 2v

на диаграмме растяжения. При уменьшении в от в*

до нуля происходит расширение отрезка между кор-

".3/4

нями: левый стремится к 3 , а правый - к .

V

Рис. 1. Граница области материальных параметров, допускающих падающий участок на диаграмме нагружения.

1 - растяжение прямоугольника, 2 - растяжение цилиндра

Рассмотрим теперь задачу об одноосном растяжении сплошного цилиндра. Соответствующее преобразование отсчетной конфигурации в актуальную с использованием цилиндрических координат имеет вид К = Аг , Ц = ф, 2 =Я . (5)

Здесь Я - коэффициент осевого удлинения, а константа А определяется через Я из граничных усло-

а

вий соотношением А = Я 1+2а .

Уравнения равновесия, как и раньше, удовлетворяются преобразованием (5) автоматически. Процесс поиска экстремальных точек на графике зависимости напряжений от деформации аналогичен описанному выше. Область материальных параметров а , в, при которых на диаграмме растяжения существуют экстремальные точки, находится ниже пунктирной кривой, изображенной на рис. 1. Заметим, что хотя две кривые выходят из одной точки, с увеличением параметра а разница между ними становится существенной. Это означает, что существуют такие значения материальных параметров, при которых растяжение прямоугольника будет устойчиво при любых значениях осевого удлинения, а процесс растяжения цилиндра станет рано или поздно неустойчивым.

Нужно отметить, что наличие экстремальных точек на диаграмме растяжения цилиндра не является исключительным свойством рассмотренной модели материала. На рис. 2 приведены зависимости осевой силы (совпадающей в данном случае с компонентой тензора напряжений Пиола) от удлинения цилиндра для двух различных наборов констант еще одной модели, широко распространенной для описания нелинейных эффектов в твердых телах, - материала Мурнагана.

Рис. 2. Наличие падающих участков для различных значений параметров материала Мурнагана: а - сталь (А. Seeger, 1960); б - кварц (А.И. Лурье, 1980)

Анализ бифуркаций

Исследование устойчивости проведем в рамках плоской деформации на основе линеаризации уравнений равновесия в окрестности построенного решения. При этом потерю устойчивости будем отождествлять с появлением нетривиальных решений линейной однородной краевой задачи.

Ограничиваясь двухконстантным вариантом модели (1) с учетом (3), заменим представление (2) соотношениями

X = ■

1

Л

1/3

х + r¡u(x,y), Y = Лу + rpv(x,y), Z = z (6)

Подставляя (6) в уравнения равновесия и краевые условия и удерживая только линейные по п слагаемые, для прямоугольника ширины а и высоты Ь приходим к краевой задаче для «возмущений» и( х, у) и у(х, у), состоящей из уравнений равновесия

уу

з(к3 (1 -ß) + k Ißßuxx + (k (1 - ß) + k 2ß]u}

+ ((k 2 +1)(1 -ß) + 2kß)vxy = 0, (7)

(k 3ß + k 2(1 - ß))vxx + (3(1 - ß) + k (k 2 + 2)ß)vyy +

+ (k(k 2 +1)(1 - ß) + 2k 2ß)uxy = 0 , краевых условий на боковой поверхности (х = ±a / 2)

(8)

3kux + Vy = 0 , kvx + Uy = 0 и условий на торцах (y = 0, L )

kuy + vx = 0 , v = 0,

(9)

04/3

достаточно компактно: Ц =

J42k 2 - 3k 4 - 3 6k 2

D? =

4ban (1 - k 2)

6k2

при растяжении Лсг » 33/41 1 + "2438¿ |.

1

Первое из этих выражений после согласования обозначений переходит в классическую формулу Эйлера устойчивости сжимаемого стержня, а второе уточняет результат Н. Оуэна для данной модели материала.

С увеличением ширины прямоугольника (8 ^ ж) величина Ясг имеет конечный предел, равный

д/б-733

3/4

' 2,52. Заметим, что это меньше, чем

где, как и раньше, к = Я

Решение краевой задачи (7)-(9) будем искать в виде u( x, y) = Un (x) cos(flny), v(x, y) = Vn (x) sin^y), где an =nn / L , позволяющем автоматически удовлетворить краевым условиям (9) и сводящем (7), (8) к линейной однородной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений для функций Un (x) и Vn (x). Решение системы (7) в этом случае может быть записано в аналитическом виде Un (x) = C1eDix cos D2x + BleDix sin D2x + + C2e~Dix cos D2x + B2e~Dx sin D2x , Vn (x) = C3eDix cos D2x + B3eDix sinD2x + + C4e"Dix cos D2x + B4e"Dix sin D2x , но выражения Bm через Ck громоздки, и анализ ее характеристического уравнения, т. е. получение явных выражений вещественной и мнимой части его корней Di и D2 при в ф 0 является чрезвычайно трудоемким. Лишь при в = 0 эти выражения удается записать

Подставляя полученные выражения для Пп (х) и Уп (х) в краевые условия на боковой поверхности (8), получаем однородную линейную систему для констант Ск , условие нетривиальной разрешимости которой и служит условием существования решения, т.е. уравнением для определения точки бифуркации.

В случае в = 0 можно получить асимптотические формулы для первого бифуркационного значения параметра удлинения Ясг для достаточно длинных

2

стержней (8 = а/Ь << 1) при сжатии Ясг и 1 -8 /3 и

величина удлинения, при которой нарушается условие сильной эллиптичности.

При численном исследовании двухконстантной модели оказалось, что именно условие сильной эллиптичности является вторым определяющим фактором, позволяющим определить, может ли прямоугольник данного размера устойчиво «преодолеть» падающий участок диаграммы нагружения. Если этот участок настолько широк, что содержит точку потери эллиптичности (например, при в = 0,02 падающий участок представляет собой отрезок Я е [3,44, 15,62], а условие сильной эллиптичности выполняется при Я < 5,06), то даже бесконечно широкий прямоугольник будет терять устойчивость при растяжении именно в этой точке. В то же время для значений параметра в , достаточно близких к в* , падающий участок не содержит точек потери устойчивости для прямоугольников конечного размера с определенным соотношением сторон. Так, например, при в = 0,038 падающий участок является отрезком [4,81, 6,18], и все

прямоугольники с шириной, более чем в 2 раза превосходящей высоту, не теряют устойчивость на этом участке.

Неоднородная деформация

Представляет интерес изучение вопроса о том, как возможность потери устойчивости при растягивающих напряжениях реализуется в конструкциях, испытывающих неоднородные деформации. В качестве первого примера рассмотрим задачи Ляме для полого цилиндра и сферической оболочки. В обоих случаях полуобратное представление деформации будет содержать одну неизвестную функцию К(г ) , описывающую зависимость радиуса точки цилиндра или сферы в деформированном состоянии от этого же радиуса до деформации. Уравнения равновесия в этом случае сводятся к одному дифференциальному уравнению 2-го порядка для определения функции К(г) , которое в общем случае достаточно громоздко и не имеет аналитического решения. Краевыми условиями для этого уравнения будут выражения, означающие, например, равенство радиальных напряжений приложенному давлению на внутренней поверхности цилиндра и отсутствие давления на внешней.

В приведенных ниже таблицах содержатся определенные численно значения критических деформаций раздувания цилиндра и сферической оболочки различной толщины (т.е. с различными значениями внутреннего радиуса г0 ) для различных значений параметра в двухконстантного варианта модели Блейтца и Ко .

a

Таблица 1

Критические деформации при раздувании цилиндра, %

ro ß = 0 ß = 0,25 ß = 0,5

0,25 116 160 252

0,5 74 104 166

0,9 53 78 131

Таблица 2

Критические деформации при раздувании сферы, %

r0 ß = 0 ß = 0,25 ß = 0,5

0,25 104 116 128

0,5 60 66 72

0,9 41 44 49

Из табл. 1, 2 видно, что форма деформируемой конструкции оказывает существенное влияние на значение критических деформаций. Кроме того, по сравнению со случаем одноосного удлинения резко расширилась область материальных параметров, при которых эти критические деформации существуют.

Может показаться, что деформации такого порядка, что приведены в табл. 1, 2, являются трудно реализуемыми. Примером, показывающим возникновение таких деформаций в некоторых точках конструкции при достаточно «разумных» внешних воздействиях, является задача о так называемом плоском или стесненном кручении.

Рассмотрим кольцо из упругого материала, жестко насаженное на ось и заключенное в жесткую обойму, которая поворачивается на заданный угол ц. Полуобратное представление, описывающее деформирование такой конструкции, будет содержать две подлежащие определению функции:

R = R(r), Ф = ^ + F(r), Z = z , (10)

удовлетворяющие очевидным граничным условиям

R(r0) = ro, F(ro) = 0 , R(ri) = r, F(П) = ц .

На рис. 3 приведены зависимости радиальной деформации (т.е. относительного удлинения материального волокна, лежащего до деформации вдоль радиуса) кольца с внутренним радиусом r0 от положения точки вдоль радиуса для различных значений материального параметра в при повороте внешней обоймы на угол 15o. Видно, что при таком небольшом повороте деформации на внутренней поверхности кольца могут достигать 40 %. Интересной особенностью данной задачи является факт существенной зависимости деформаций от материальных параметров: хотя нагружение является «жестким», т.е. с точки зрения внешнего наблюдателя состояние кольца одинаково, внутреннее деформированное состояние в некоторых областях в зависимости от значения констант материала может отличаться в несколько раз.

Другим свойством данной задачи, по-видимому, напрямую связанным с достижением области неустойчивости на диаграмме растяжения, является невозможность проведения численных расчетов, начиная с некоторого значения параметра ц, зависящего от материальных параметров и геометрических размеров.

Рис. 3. Зависимость радиальной деформации от положения точки вдоль радиуса, %

Заметим, что причина численной неустойчивости связана именно с природой исследуемой задачи, а не с методикой ее исследования, поскольку для численного анализа краевой задачи был использован целый ряд подходов (метод пристрелки, метод конечных разностей, метод продолжения по параметру в различных модификациях), которые привели к практически идентичным результатам как в области, где расчеты были возможны, так и в смысле определения границы применимости методов.

Данная задача является важным примером такого использования полуобратного метода, когда (если говорить о плоской постановке) точно, а не в интегральном смысле удовлетворяются все граничные условия. Тем не менее может возникнуть мнение, что причиной возникающих проблем является выбранное представление (10), которое может перестать работать при некоторых значениях параметров задачи. Для подтверждения справедливости использованного полуобратного подхода данная задача без каких бы то ни было полуобратных гипотез была проанализирована и с помощью пакета конечно-элементного анализа Р1ехРББ.

Типичная расчетная сетка содержала порядка пяти-шести тысяч узлов и двух-трех тысяч конечных элементов. Существенное ускорение сходимости было достигнуто за счет выбора начальной сетки с квадратичным сгущением вблизи внутренней поверхности кольца. Проведенные расчеты показали практически полное совпадение с результатами, полученными на основе полуобратного метода во всем рассмотренном диапазоне материальных параметров и параметров нагружения. Главным же подтверждающим фактором оказалась невозмож-

ность проведения расчетов при параметрах, значения которых превосходят критические, определенные на основе полуобратного метода.

Проведенный анализ показывает, что величины критических деформаций существенно зависят как от используемой модели материала и ее параметров, так и от типа деформируемой конструкции и ее геометрических характеристик.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 0501-00638).

Литература

1. Ericksen J.L. // Journal of Elasticity. 1975. Vol. 5. № 3, 4. P. 191-201.

Ростовский государственный университет_

2. Coleman B.D. // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1983. Vol. 83. P. 115-137.

3. Leonov A.I. // Int. Journal of Solids and Structures. 2002. Vol. 39. P. 5913-5926.

4. Spector S.J. // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1984. Vol. 83. P. 171-199.

5. Owen N. // Journal of Elasticity. 1990. Vol. 23. P. 113125.

6. Зубов Л.М., Рудев А.Н. // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 786-798.

7. Зубов Л.М., Ластенко М.С. // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 135-143.

8. Зубов Л.М., Шейдаков Д.Н. // Вестн. Южного научного центра РАН. 2006. Т. 2. № 3. С. 8-15.

9. Гавриляченко Т.В., Карякин М.И. // ПМТФ. 2000. № 41. Т. 2. С. 188-193.

10. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980.

24 ноября 2006 г.