Рациональные подмножества колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.55

DOI 10.25513/1812-3996.2019.24(3).16-20

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПОДМНОЖЕСТВА КОЛЕЦ

Т. Н. Мустафинова

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия

Информация о статье

Дата поступления 11.06.2019

Дата принятия в печать 02.07.2019

Дата онлайн-размещения 28.10.2019

Ключевые слова

Кольцо, формальный язык, рациональное множество

Аннотация. В работе вводится определение рационального подмножества произвольного кольца с единицей. Определение дается аналогично определению рационального подмножества моноида. Класс рациональных подмножеств кольца является замыканием конечных подмножеств относительно операций объединения, сложения, умножения и порождения подмоноидов по сложению или умножению. Также в работе рассматриваются и доказываются основные свойства рациональных подмножеств кольца. В частности, определяется конечный автомат над кольцом с единицей и доказывается односторонний аналог теоремы Клини о рациональных подмножествах как выпускных множествах автоматов над данным кольцом.

RATIONAL SUBSETS OF RINGS

T. N. Mustafinova

Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Article info

Received 11.06.2019

Accepted 02.07.2019

Available online 28.10.2019

Keywords

Ring, formal language, rational set

Abstract. In this paper, we introduce a notion of a rational subset of a ring with unity. The definition is given similarly to the definition of a rational subset of a monoid. The class of rational subsets of a ring is the closure of all finite subsets by operations of addition, multiplication, and submonoid generation under addition or multiplication. We also consider and prove fundamental properties of rational subsets of a ring. In particular, we introduce a notion of a finite automaton over a ring with unity and prove an one-way analog of the Kleeny's theorem on rational subsets as outputs of automata over the ring.

1.Введение

Символический формализм математики, записывающей свои результаты на языке формул, логических утверждений, алгоритмов и использующей для своей записи специальные символы, послужил толчком к возникновению теории формальных языков. Необходимость такой теории обусловливается также ее приложениями в информатике, криптографии, теории кодирования и т. п.

Работы Н. Хомского, опубликованные в 1950-е годы, заложили фундамент теории формальных языков. Именно период их публикации следует считать началом становления теории формальных языков как самостоятельной области. Основы теории формальных языков были сформированы в течение двух последующих десятилетий, в это же время был разработан соответствующий аппарат исследования, 16 -

утвердилась используемая терминология, были получены основополагающие результаты. В настоящее время теория формальных языков во многом сформирована, но исследования в данной области не прекращаются. Так как развитие компьютерной техники и технологии современных вычислений предъявляет новые и часто более высокие требования к теории, на передний план выходят проблемы теории сложности, проблемы защиты информации в больших системах и высокотехнологических процессах. Актуальность теории формальных языков обусловлена использованием алгебраических систем в приложениях.

Рациональные подмножества в группах естественным образом обобщают регулярные языки в свободных моноидах, которые представляют собой один из важнейших подклассов формальных язы-

ков. Классическая теорема Клини показывает, что регулярные языки совпадают с автоматными языками.

В работе вводится определение рационального подмножества кольца, дается определение автомата и доказывается аналог теоремы Клини.

2. Определения и основные результаты

Определение 1. Пусть К=< К,*, +> - ассоциативное кольцо с единицей. Тогда К* = (К, *) - моноид, К+ = (К,+) — абелева группа. Через Т+ будем обозначать подмоноид с порождающим множеством Т относительно операции сложения. Через Т* будем обозначать подмоноид с порождающим множеством Т относительно операции умножения.

По индукции определим классы i = 0,1,..., подмножеств из К следующим образом:

1. К0 - это класс всех конечных подмножеств (включая пустое) из кольца К.

2. Если классы К0,К1,.,Кп уже определены, то Кп+1 - класс всех подмножеств S Q К таких, что S не принадлежит ни одному из классов К0,К1,.,Кп, но существуют множества T1 ЕКк,Т2 Е Rh0 < <k,l<n такие, что либо 5 = T1 UT2, либо S = 7\ + + Т2, либо 5 = 7\ *Т2, либо S = Т1+, либо S = Ti*.

Объединение всех классов ^, i = 0,1,... называется классом рациональных подмножеств кольца К и обозначается Rat(K). Если множество S принадлежит Кк, но не принадлежит Rk_ 1, то число к называется его сложностью.

Мы видим, что рациональные подмножества кольца К получаются из конечных подмножеств, которые по определению рациональные, с помощью последовательного выполнения пяти операций: объединения, сложения, умножения и порождения подмоноида по умножению или по сложению. Эти пять операций над подмножествами произвольного кольца К называются рациональными или операциями Клини.

Если А - подмножество кольца К, то через (Л) обозначается подкольцо, порожденное А.

Предложение 1. Любое рациональное подмножество кольца K лежит в конечно порожденном подкольце.

Доказательство.

Пусть СЕ Rat(K). Если С = [с1,., ск} - конечное подмножество кольца К, то оно очевидно лежит в подкольце (сг,..., ск).

Предположим, что каждое рациональное подмножество кольца К сложности не более, чем к, лежит в конечно порожденном подкольце. Пусть А и В - два таких множества, которые лежат в конечно по-

рожденных подкольцах (а1,...,ат) и (Ьг,..., Ь1> соответственно. Покажем, что рациональные операции сохраняют указанное свойство, а именно: Аи В, А* В, А + В, А* и А + лежат в конечно порожденных подкольцах.

1) Пусть С = АиВ.

Тогда очевидно, что (аг,..., ат,Ь1,..., Ъ{>.

2) Пусть С = А*В (С = А + В).

В этом случае С = [а^Ь^^ ЕА,Ьу ЕВ] (С = {а1 + Ь]\а1ЕА,Ь] ЕВ}).

Тогда очевидно, что (аг,..., ат,Ь1,..., Ъ{>.

3) Пусть С = А*(С = А+).

В этом случае С = [а^ *... | а^... аЕА, ] е Ы] (С = {а; + —\-dj\ai... аЕ А,] е #}). Тогда очевидно, что (а1,.,ат>.

Таким образом, каждое рациональное множество сложности к + 1 лежит в конечно порожденном подкольце.

Предложение доказано.

Так же, как и в случае моноидов, приведенное определение рационального подмножества имеет отношение к определению выпускного множества конечного автомата над кольцом К.

Определение 2. Конечным автоматом Г над кольцом К назовем четверку (Q,q0,Qt, П), где Q — множество вершин, ц0 — начальная вершина, Qt — множество выпускных вершин, П — множество направленных ребер (стрелок). Все стрелки имеют метки +, *, +(, )+, )+(, *(, )*, )*(, ). При этом в метках могут фигурировать несколько скобок ((...( или ))...) . Скобки расставлены правильно: метка любого пути р, начинающаяся с +( или *( , приходит в ребро с меткой ), )*, )+(, )*( или ). Здесь скобки также могут быть кратными. Сам путь р (последовательность стрелок, каждая из которых начинается там, где заканчивается предыдущая - см. далее) либо не содержит внутренних стрелок со скобками, либо все метки его подпути с открывающей скобкой (имеют в последнем ребре закрывающую скобку ). В частности, количество ребер с меткой, содержащей открывающую скобку ( совпадает с количеством ребер с метками, содержащими закрывающую скобку ). Скобки показывают очередность выполнения кольцевых операций над метками путей. Считаем также, что метка любого цикла открывается и закрывается соответствующими друг другу скобками. Это, в частности, означает, что каждый цикл имеет правильно читаемую метку из кольца К.

Конечный автомат над кольцом К можно представить как направленный граф Г с отмеченными ре- 17

Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 3. С. 16-20

-ISSN 1812-3996

брами, в котором каждому ребру сопоставлен элемент из К, с выделенной начальной вершиной ц0 и выделенным множеством выпускных вершин все остальные вершины имеют метки указанного выше вида. Стрелка e = (q,a,p) Е QxKxQ имеет начало д = а(е) Е Q, конец р = ш(е) ЕQ и метку ^(е) = а ЕК. Путь р в графе Г - это конечная последовательность стрелок е1,.,еп такая, что для любого ¿ = 2,..,п выполнено условие = то есть начало каждой следующей стрелки пути совпадает с концом предыдущей стрелки. Вершина а(е1) называется началом пути р, а вершина ш(еп) -концом пути р. Число п называется длиной пути р. Каждый путь имеет метку, получающуюся примене-

нием операций сложения и умножения к последовательным меткам ребер пути в соответствии с указанными в вершинах операциями. Скобки показывают порядок выполнения операций. Правильность расстановки скобок гарантирует корректность вычисления метки любого пути. Выпускным множеством автомата называется множество всех меток путей, с началом вq0, оканчивающихся в выпускной вершине.

Пример 1.

На рисунке представлен автомат Г с выпускным множеством

{[о + к(Ьс + d)]c(b+d); Ьс + a; с(Ь + ad)}, где к = 0,1, ... .

JA

О^О^ЧЗ

+0

W fin?

Теорема (односторонний аналог теоремы Клини). Рациональное подмножество А кольца К с единицей задается некоторым конечным автоматом Г над К.

Доказательство. Сначала докажем, что любое рациональное подмножество кольца К можно задать при помощи конечного автомата.

Пусть А - рациональное подмножество кольца К. Если сложность А равна 0 (то есть А - конечное), то оно задается конечным автоматом Г, где множество вершин состоит из начальной вершины ц0 и п выпускных вершин цг,ц2, .■■ Цп, где п - число элементов множества А. Автомат имеет п ребер с общим началом ц0 и различными конечными вершинами qi. Метками этих ребер служат все п элементов множества А.

Считаем по индукции,что каждое рациональное подмножество кольца К сложности не более чем к задается конечным автоматом. Пусть А,В -два таких подмножества, задаваемых автоматами Гл и Гв, соответственно. Покажем, как построить автомат Г, задающий подмножество С вида: АиВ,А* В, А + В, А' или А +. 18 -

1) С = ЛиВ. Автомат Г строится как объединение автоматов Гл иГв путем склеивания их начальных вершин. Полученная вершина считается начальной для получившегося автомата. Множество выпускных вершин автомата Г получается объединением множеств выпускных вершин автоматов ГА и Гв.

2) С= А* В. Берем автомат Гл с начальной вершиной а0 и из каждой его выпускной вершины выпускаем ребро с меткой *(1 к начальной вершине Ь0 автомата Гв. Ребрам с концами в выпускных вершинах автомата Гв добавляем закрывающую скобку ). Начальной вершиной получившегося автомата считаем а0, выпускными - выпускные вершины автомата Гв.

3) С = А + В. Берем автомат Гл и из каждой его выпускной вершины выпускаем ребро с меткой +(0 к начальной вершине Ь0 автомата Гв. Ребрам с концами в выпускных вершинах автомата Гв добавляем закрывающую скобку ). Начальной вершиной получившегося автомата считаем а0, выпускными - выпускные вершины автомата Гв.

4) C = А*. Берем автомат Гл и каждую его выпускную вершину соединяем ребром с меткой *(1 с начальной вершиной а0, Ребрам с концами в выпускных вершинах автомата Гл добавляем закрывающую скобку ). Начальная и выпускные вершины -как у исходного автомата.

5) С = А+. Берем автомат Гл и каждую его выпускную вершину соединяем ребром с меткой +(0 с начальной вершиной а0. Ребрам с концами в выпускных вершинах автомата Гл добавляем закрывающую скобку ). Начальная и выпускные вершины -как у исходного автомата.

Таким образом, каждое рациональное подмножество сложности к + 1 задается конечным автоматом.

Тогда по индукции следует, что любое рациональное подмножество кольца К задается конечным автоматом.

Теорема доказана.

Рассмотрим связи между понятиями рациональных подмножеств в кольце К и моноидах К* и К+. Очевидно, что любое рациональное подмножество в подмоноиде К* или К+ будет рационально в К. Обратное утверждение неверно, как показывает следующий пример.

Пример 2.

Пусть К - свободное ассоциативное кольцо с порождающими элементами а,Ъ. Тогда КЕ Rat(K), так как К= ({а,Ь}*)+. В тоже время подмоноиды К* и Л"+не являются конечно порожденными, а значит, не являются рациональными.

Действительно, любой конечно порожденный подмоноид в Л"+лежит в конечно порожденном подмоноиде F = (fi,—,fn), где fi,—,fn — мономы, поэтому F+ состоит из сумм указанных мономов. Очевидно, что F+ ФК.

Любой конечно порожденный подмоноид в К* лежит в конечно порожденном подмоноиде М = (m1,.,mt), где mi,.,mt - неразложимые многочлены, поэтому М* — произведения степеней указанных многочленов. Очевидно, что М* ФК.

Через • будем обозначать знак операции * или +, возможно со скобкой. Заметим, что метка любого цикла имеет правильную расстановку скобок. Значит, можно говорить о метке цикла - элементе кольца K.

Лемма 1. Пусть К - кольцо и R Е Rat(K). Тогда:

1) существуют такие подмножества Т0,Т1 £К, что Т0 конечно и любое г Е R\T0 можно представить в виде г = и • t • V, где tET1 и и» t' *v £ R. Здесь

операция порождения подмоноида совпадает с операцией перед Если это *, можно считать, что t *1. Если +, то ■ * 0;

2) либо R конечно, либо существуют такие и,Ь,у Е К, что ЬФ1 и и(* «г £ К или ЬФ0 и

Доказательство. Пусть R задается конечным автоматом Г над К. Число правильных путей без циклов в Г конечно. Пусть Т0 - множество их меток. Пусть 7\ - множество меток всех циклов, отличных от 1 или 0 в соответствии с начальной операцией цикла. Для г Е R\T0 любой выпускной путь с данной меткой проходит по циклу из 7\. В качестве ■ возьмем метку этого цикла. Очевидно выполнение 1) и 2).

Лемма доказана.

Пусть Ь - подкольцо кольца К. Будем говорить, что рациональное подмножество Я кольца К допускает ¿-рациональное сложение с элементом кольца К, если для любого [Е К из того, что f + R= Ь следует, что / + Д Е Rat{L). В частности, если R = Ь, то R Е Rat(L).

Лемма 2. Пусть К - кольцо и подмножество R£ Ь рационально в К. Пусть R= R1UR2, + R2 или R+. Тогда если каждое из подмножеств R1 и R2 допускает свойство ¿-рационального сложения с элементом кольца К, то R также допускает это свойство.

Доказательство. Рассмотрим все случаи.

1. R = R1 и R2. Тогда f + R = (f + R1)U и(/ + Д2); / + R1, f + R2 = Ь и по предположению f + R1, / + R2 ЕRat(L), значит, [ + R = (J + R1) и U(f+R2)ЕRat(L).

2. R = R1 +R2. Можно считать подмножества R1 и R2 не пустыми. Выберем элементы йЕ R1, ЬЕ R2. Тогда [ + а + R2 = ¿, тогда по предположению [ + а + R2 ЕRat(L) аналогично доказывается, что [ + a + R1 Е Rat(L). Так как Ь - подкольцо, оно содержит элемент -(/ + а + Ь). При сложении двух полученных подмножеств с этим элементом получим требуемое утверждение: / + Д Е Rat(L).

3. R = R+. Так как R+ по определению содержит 0 и Я содержит / + R1, имеем R1 = L,R = L. Тогда / + Д Е Rat(L).

Лемма доказана.

Будем говорить, что рациональное подмножество R кольца К допускает ¿-рациональное умножение на элементы кольца К, если для любых /, к Е К из того, что fRh = Ь следует, что fRh Е Rat(L). В частности, если R = Ь, то R Е Rat(L).

Лемма 3. Пусть К - кольцо с делением, L - его подкольцо с делением и подмножество RE L рационально в К. Пусть R = R1UR2,R1 *R2 или Rf. Тогда если каждое из подмножеств Rt и R2 допускает свойство L-рационального умножения на элементы кольца К, то R также допускает это свойство.

Доказательство. Рассмотрим все случаи. Понятно, что доказательства проводятся для ненулевых элементов f и h.

1. R=R1 U R2. Тогда fRh = Rih U fR2h; fRxh, fR2h = L и по предположению fRth, fR2h E E Rat(L), значит, fRh = fR1h U fR2h E Rat(L).

2. R = *R2. Можно считать подмножества и R2 непустыми и ненулевыми. Выберем ненуле-

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Мустафинова Татьяна Николаевна - аспирант, кафедра компьютерной математики и программирования, Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, 644077, Россия, г. Омск, пр. Мира, 55а; e-mail: [email protected]

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Мустафинова Т. Н. Рациональные подмножества колец // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 3. С. 16-20. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(3).16-20.

вые элементы аЕ R1, ЬЕ R2. Тогда и = fabh Е L. Имеем fah = L, значит, по предположению faR2h Е Е Rat(L), аналогично доказывается, что fR1bh Е Е Rat(L). Так как L - подкольцо с делением, оно содержит элемент и"1. Далее u~1faR2h = = h~1b~1R2h Е Rat(L). Наконец, (fR^h) х х (h~1b~1R2h) =fRh ЕRat(L).

3. R = Rf. Так как Rf по определению содержит R1, имеем fR-ih = L. Так как 1 е fif, то и = fh Е L. Тогда u~1fRih = h~1Rih Е Rat(L). Далее (h~1R1h)* = h~1RfhЕ Rat(L). Наконец, u(h~1Rfh) = fRh Е Rat(L). Лемма доказана.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Mustafinova Tatjana Nikolaevna - Postgraduate Student, the Department of Computer Mathematics and Programming, Dostoevsky Omsk State University, 55a, pr. Mira, Omsk, 644077, Russia; e-mail: tanja_mustaf@ mail.ru

FOR GTATIONS

Mustafinova T.N. Rational subsets of rings. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 3, pp. 16-20. DOI: 10.25513/1812-3996.2019.24(3).16-20. (in Russ.).