Расстояние между лингвистическими шкалами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Погосян К.С.

Воронежский государственный университет, ассистент кафедры вычислительной математики и прикладных

информационных технологий [email protected]

Расстояние между лингвистическими шкалами

Неопределенность - неотъемлемая составляющая процесса принятия решений, управления, прогнозирования. Ее уровень обусловливает степень структурированности прикладной задачи [1]. Интерпретация неопределенности может быть различной (рис.1).

Лингвистическая неопределенность - неопределенность, возникающая из-за расплывчатости и неоднозначности словесных выражений. Данная неопределенность возникает в тех случаях, когда в процедуре оценивания участвуют эксперты, которые вынуждены оперировать конечным числом слов и составленных из них фраз определенной структуры для описания характеристик альтернатив. Можно выделить такие типы лингвистической неопределенности, как неопределенность смысла фраз и неопределенность значений слов. Первый тип неопределенности учитывается с помощью теории формальных грамматик, а второй - теорией нечетких множеств. Нечеткость информации обусловлена наличием понятий и отношений с нестрогими границами, а также высказываний с многозначной шкалой истинности. Она имеет следующие проявления:

• нечеткость как следствие субъективности эксперта;

• нечеткость как неясность в процессах мышления и умозаключения;

• нечеткость описания или представления на естественном языке или

максимально приближенному к нему.

Теория нечетких множеств предоставляет схему решения проблем, в которых субъективное суждение или оценка играют центральную и значительную роль при учете факторов неясности и нечеткости.

Лингвистическое оценивание является наиболее адекватным методом получения экспертных оценок в случае, когда показатели имеют качественную природу. Данный подход предполагает, что в рамках оценочной процедуры каждый эксперт использует индивидуальную лингвистическую шкалу, мощность которой зависит от его способности различать градации неопределенности при формировании качественных оценок альтернатив. Проблема формирования согласованного группового решения в данном случае может быть решена путем унификации -процедуры, предполагающей переход к единой универсальной лингвистической шкале, выбор которой осуществляется неоднозначно [2, 3]. Естественным требованием к универсальной лингвистической шкале

является минимальная рассогласованность лингвистическими шкалами экспертов [4].

с индивидуальными

Неизвестно?

Н м при е л е ннэ; ть

1

Н и о-сто верно стъ

,НЕПО. :нота.

НЕЛостатсчность-

НЕалЕнатностъ)

Неэл

нозначностъ

Физическая НЕО [фБД ЕЛВЕНОСТЬ

(шшянга енещней среды неточность лзиережйй)

ЛЕНГВЕСТНЧеСКаЯ ЕеОПреЛеЛеННОСТЪ. нечьгмэсгь. расътывчатостъ

(исвопкзовяние ЕСТЕСТВЕННОГО д,-я списания ЗПР)

Н е о пр £.= 6 л ¿кно ; ть

ЗНаЧЕНЕН СЛОЕ

Н ео при еленпо ; ть смыиа фра з

Нечеткость

Рис. 1. Интерпретация неопределенности

При разработке алгоритма для вычисления степени рассогласованности лингвистической шкалы возникает необходимость определения расстояния между индивидуальными лингвистическими шкалами. На данный момент не разработан математический аппарат для расчета расстояния между лингвистическими шкалами, что обусловливает актуальность выбранной темы работы.

Основные понятия для представления лингвистической информации

Пусть и - некоторое множество элементов (универсальное множество), и - элемент множества и, и ма : и ^[0Д].

Определение 1. Нечетким множеством а множества и называется множество упорядоченных пар

А = {(и, Ма(и)) |и Си}

где Ма (и) - функция принадлежности, определяющая степень принадлежности с которой элемент и принадлежит нечеткому подмножеству А [5].

К функции принадлежности нечеткой величины А предъявляется ряд требований. Среди наиболее существенных - следующие:

• ма (и) непрерывна (т.е. в результате небольшого изменения значения аргумента значение функции также мало изменится);

• функция принадлежности нечеткой величины является нормальной, т.е. (х)} =1 (это означает, что существует хотя бы один элемент х О, для которого свойство, соответствующее нечеткому множеству А, выполнено в полной мере);

• яЛм) выпукла, т.е.

Ухщ (Л<*2)

ъ+о-У)-41 -тш^И}■

Понятие нечеткого множества обеспечивает возможность математического представления качественных оценок, выражаемых людьми в форме лингвистических значений и нечетких чисел, в основе которых лежит понятие нечеткой переменной.

Определение 2. Нечеткая переменная задается тройкой

(а, и, А),

где а - наименование нечеткой переменной; и - область определения (универсальное множество); А - нечеткое множество на и с функцией принадлежности ма(и) (ма : и ^[0,1] - определяет степень принадлежности элемента х к множеству А или, иными словами, степень выполнения свойства А для элементов из и), описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной а (её семантику).

Определение 3. Нечеткая величина - это нечеткая переменная, определенная на множестве действительных чисел я. Нечеткую величину и соответствующее ей нечеткое множество обозначают одной и той же переменной.

Определение 4. Нечетким числом А называется нечеткая величина А, функция принадлежности Ма (и) которой является выпуклой и унимодальной на я. Нечеткое число с модальным значением а можно рассмотреть как нечеткое значение высказывания «х приблизительно равно а ».

Частные случаи нечеткого числа, которые получили свое название по виду их функции принадлежности.

Определение 5. Треугольным нечетким числом (рис. 2) с центром в точке а, левой шириной 1 >0 и правой шириной г >0 называется нечеткое множество А с треугольной функцией принадлежности Ма(и):

а-1 а а+г

Рис. 2. Функция принадлежности треугольного нечеткого числа А

Определение 6. Трапециевидным нечетким числом (рис. 3) с отрезком толерантности [a,Ь], левой шириной I и правой шириной г называется нечеткое множество А с трапециевидной функцией принадлежности вида:

А'.4<» =

1 а~ 71 ? ^ 1--, если а-1<?:<а.,

I

если а<л:<Ь:

4 Х~а

1 --, если, о < х < о + г

иначе.

а-1 а ЬЬ+г

Рис. 3. Функция принадлежности трапециевидного нечетко числа А

Определение 7. Лингвистическая переменная задается кортежем [6]

{Р,Тегт,и, G,М),

где р - название переменной; Тегт = }=1,2... - терм-множествo или множество значений переменной р, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной ^, заданной на универсальном множестве и

числовой или нечисловой природы; G - синтаксическое правило, порождающее новые названия значений лингвистической переменной р; м - семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ее смысл, т.е. нечеткое подмножество универсального множества и.

Определение 8. Семантическим пространством называется лингвистическая переменная с фиксированным терм-множеством, т.е. четверка

£ = р, Тегт,и,М) .

Иными словами, семантическое пространство - это набор нечетких переменных.

Определение 9. Лингвистической шкалой £ называется конечное линейно упорядоченное множество термов £ = }=1,..,г, удовлетворяющим следующим условиям:

•если 1 < , то si предшествует sj (siр sj); •отрицание терма определяется правилом si) = ^^; •пусть р sj, тогда объединение (дизъюнкция, связка «или») термов определяется правилом

Ц \4$ . = = ;

•пусть ¿'1р sj, тогда пересечение (конъюнкция, связка «и») термов определяется правилом

щ f\Sj = тт^гД = щ На рис. 4 представлено терм-множество лингвистической

Расстояние между лингвистическими шкалами

Так как термы лингвистической шкалы si е £, I = 1, т являются нечеткими переменными, т.е. по сути, каждому терму ставится в соответствие функция принадлежности ^ : и ^ [0,1], то для определения

близости термов лингвистической шкалы можно использовать известные функции расстояния для соответствующих нечетких множеств.

Определение 10. Под расстоянием между термами лингвистической шкалы понимается функция :, такая, что

1. ¿1 \ I > О И Л I 8. I = 0 =8. т.е. Щ (и) = Щ (и) е V ;

2. Щф = <1 (£ );

3. ¿1 ( ^, 5 ■ I < А? I В д ' I ^, £ ■ ) ,

где * - некоторая операция, связанная с функцией расстояния и обеспечивающая выполнение свойства транзитивности.

Широко распространенные функции расстояния представлены в следующей табл. 1 [7, 2].

_Табл. 1. Примеры функций расстояния

Название расстояния

Тип множества и

Формула расстояния

Расстояние Хемминга

Конечное универсальное множество и (\и\ = п)

,= 2^ - А К.) [

Относительное расстояние Хемминга

Конечное универсальное множество и (\и\ = п)

1

, Я; ) = ~ 2 - >Ц, (щ|

Расстояние Хемминга

Бесконечное универсальное множество | с Я1

Относительное расстояние Хемминга

Бесконечное универсальное множество и с Я1

Расстояние Евклида

Конечное универсальное множество и (\и\ = п)

Относительное расстояние Евклида

Конечное универсальное множество и (|и| = п)

Расстояние Евклида

Бесконечное универсальное множество и с Я1

Относительное расстояние Евклида

Бесконечное универсальное множество и с Я1

ЩЬ-= "1=7 ;|Г(Л Iй) - Ш (и> и

Щщ.

Выбор того или иного расстояния зависит от природы рассматриваемой проблемы. Для нечетких множеств можно использовать и другие функции расстояния.

Определение 11. Пусть и - универсальное множество. Будем называть лингвистическим пространством совокупность лингвистических шкал

£ = (£1,...Sk),

где ^ = К}=1^ (У = 1,к) - лингвистическая шкала, с мощностью М = п, при

этом каждый терм лингвистической шкалы есть нечеткая переменная

^, .

Таким образом, лингвистическое пространство содержит набор лингвистических шкал, которые можно построить на универсальном множестве и. В рамках данного пространства можно ввести понятие расстояния между лингвистическими шкалами. Лемма 1. Пусть Б',Б' ое. Тогда

I

шя/^' (и) - т ах (и)

Р-1'Я

1-1я

¿¡и

I Мак__](и)¿-и

(1)

является метрикой в пространстве Б, d: £х£0,1 ]. Доказательство.

Для доказательства леммы необходимо проверить выполнение аксиом расстояния. Аксиома 1.

Я ) =

иеи

шах // (и) - шах (и)

р=1,и 1=1,и

\Q\du

иеи

! шах_\1&{и)\аи \ щах_\1Е(и)\с1и

• £ у . шж,г=ШГ{ т "

неи

= 0 .

Аксиома 2. Свойство симметричности

Г »«х (и) - шах (и)

^ р=1,н 1=1,п

/Ли

иеЕ/

шах (и) - шах /I (и)

с1и

1 шах \^(и)\с1и

I шах (и)\ >:1и

Аксиома 3. Свойство транзитивности

шах Д (и) - шах (и)

с1и

& ) + й? <>,# ) = ^-—---- +

I шах_, /д (и) ¡- с1и

цеС/

+ цеЕ/

111ЛХ (Ц) - 1113Х (")

1=1 с>=1,;>?

; шах ]//(и) ¡> ¿Ш

Г ( шах (и) - пщх // (и) + гйак" М (и) - шах (и) I)

„ 1. р=1 1=1..:-: 1=1,п 0=1,п \)

I

Л1ах_| /¿(и) |

, р1

ыеи

шах Д (¿¿) - шах (и)

с1и

-—-— '

I шах_■: /г (и) Щ

* т т ! £=1,И

и

Таким образом, предложенная формула удовлетворяет аксиомам расстояния и может быть использована в качестве метрики в пространстве

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть S',SJ е S, р - расстояние между нечеткими множествами, тогда

с:1 ) = *=1 ---(2)

пш

где номера шкал определяются в виде

17, если I < / | к еспи г > 1

• А И ■

I иначе I ^ иначе

является метрикой в пространстве S, d:SхS0,1 ]. Доказательство.

Доказательство леммы сводится к проверке выполнения аксиом, определяющих функцию расстояния.

Аксиома 1.

и и

<1 {0- ;-," ) - '<:=1 — -= АМ _ = о

%

Аксиома 2. Свойство симметричности

ТттрШШ

ОI =

Ш

—

■ = 0? ):

4А

А

если / <у I/, если ¿. > 1

где Д = ■ . , А = ■■ .

у, иначе у, иначе

Аксиома 3. Свойство транзитивности

Т.к. р - расстояние между нечеткими множествами, то справедливо неравенство:

Ж) + Р(4/>(4У6) V к = Щ. I = 1.я £ = 1 д

где

V Щ = = 1 ,т2,д3

та.рЩ) + р<4>*

г,

'Л -

и! }■

%

% 11

если г < / и§ если г; > /

I иначе

если ] > И И., иначе [7, если 1 >Н 1Д, иначе

иначе если } < И иначе если |< п иначе

, т2 = -.

т,

- V V V

V V тш р (,з|. ^) + V V V тщ_ р - ^) >

. . . й» =1,н_ '

^,.¡=4 '

:: V .¿^) + ^ ^ ) £

а=\ * о,=1 " Ч

^^¿Д™;"^ пш ¿сСЙ,^?} I: ГУ ^ )

V шк £ ПШ1 Ж!.*?) ----+ - "-

>.

п

щ

Ш,

Таким образом, предложенная формула удовлетворяет аксиомам

расстояния и может быть использована в качестве метрики в пространстве Лемма доказана.

Очевидно, что можно определять и другие метрики, удовлетворяющие аксиомам расстояния.

Пример. Вычислить расстояние между индивидуальными лингвистическими шкалами 5"1, S2 и S3 экспертов Е =е2, ез}. Лингвистические шкалы экспертов представлены в табл. 2.

Т габл. 2. Индивидуальные лингвистические шкалы экспертов

Эксперт Индивидуальная шкала Определение термов

е1 ¿1 ^ (/;, а1, г11) = (0,0,0.3), ¿2 = (0.3,0.3,0.2), ¿2 = (0.2,0.5,0.3), ¿2 = (0.3,0.8,0.2), ¿2= (0.2,1,0.2)

е2 ^ = {^ ^ (0,0,0.4), ^ (0.4,0.4,0.2), ¿32 ^ (0.2,0.6,0.2), ¿42 ^ (0.2,0.8,0.2)

ез S 3 = {¿X* =(0,0,0.4), ¿2= (0.4,0.4,0.4), ¿33 = (0.4,0.8,0.2)

Результат вычислений расстояний между лингвистическими шкалами по формуле (2) с использованием расстояния Хемминга для

термов шкалы представлен в табл.3.

__ Табл. 3. Расстояние между шкалами

d (S'', Sj ) S1 S2 S3

S1 - 0,113 0,171

S2 0,113 - 0,108

S3 0,171 0,108 -

Получили, что d (S3, S2)J d (s1, S2)J d (s1, S3). Данные значения показывают, что, лингвистическая шкала S1 ближе к шкале S2, чем к шкале S3, т.е. степень рассогласованности шкалы S1 со шкалой S2 минимальна.

Заключение

В данной работе предложены формулы для вычисления расстояния между лингвистическими шкалами, удовлетворяющие аксиомам расстояния. Одним из применений расстояния между лингвистическими шкалами является его использование в алгоритме расчета коэффициента рассогласованности лингвистической шкалы. Данный коэффициент, в свою очередь, используется в оптимизационной задаче построения универсальной шкалы для группы экспертов, которая позволяет эффективно проводить экспертизы.

Литература

1. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и ее приложений. М.: Диалог -МГУ, 2003. 81с.

2. Леденева Т.М. Обработка нечеткой информации. Воронеж: Изд-во Воронежский государственный университет, 2006. 233с.

3. Леденева Т.М., Погосян К.С. Согласование лингвистических экспертных оценок в процедуре группового выбора // Вестник ВГУ, Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2010. № 2. С. 125-130.

4. Погосян К.С. Алгоритм построения оптимальной лингвистической шкалы в рамках экспертного оценивания // Системы управления и информационные технологии. 2011. № 3.1(45). С. 180-185.

5. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. М.: Радио и связь, 1982. 432с.

6. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 168 с.

7. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 798 с.