CC BY
23
РАДИОТЕХНИКАь«^ч
УДК 621.371.3
РАССЕЯНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА РЕЗОНАНСНОЙ ОДНОРОДНОЙ МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СФЕРЕ С ПЛОСКИМ МЕТАЛЛИЧЕСКИМ ЭКРАНОМ
КОЗАРЬ А.И.
Рассматривается решение задачи о рассеянии электромагнитных волн на малой однородной резонансной магнитодиэлектрической сфере, расположенной возле плоского бесконечного металлического экрана. Задача решается с помощью интегральных уравнений электродинамики и метода зеркальных изображений. Получены формулы для рассеянных полей, записано граничное условие для электрического поля на идеально проводящем металлическом экране.
Полагаем, что проницаемости заполнения свободного пространства є0, ц0 , радиус сфер a , а их проницаемости є, ц. Вне сфер a / Х<< 1, но внутри сфер возможен резонансный случай a / Xg ~ 1, где X, Xg — длина волн. Поля будем записывать в виде Ё(r,t) = Ё(r)elwt, H(r,t) = H(r)elwt [1].
Рассеянное поле по известному внутреннему полю рассеивателя определим через электрический Пэ и магнитный Пм потенциалы Герца:
Ерасс = (W + k 28оРо ) ПЭ - % о [V, П М\,
Hpacc =(W + k28оРо )ПМ + lksо [V,Пэ\. (1)
Для отдельной сферы потенциалы Герца представим в виде [2]
Пэ
П м
4 л 4 л
е0
_Р_
М- о
1\Ё°(г')/(|г -r\)dV,
у
1 H°(г')f (|г -r\)dV,
где f (| r - r ’ |) является решением уравнения
Af (I г - г |) + k 2є оРо f (I г - r' I) = -4л8(| г - r1’ |),
удовлетворяющего излучению на бесконечности и имеющего вид
e~l48о^о \г-г'I
f( |г - г'|) = , (2)
| r - r |
а Ё о(г'), H о (г') — внутренние поля рассеивателя; V — его объем.
Можно показать, что для внешних точек сферы (r > г') интеграл по объему сферы от функции Грина для свободного пространства (2) имеет вид
W (r) = f----------dV =
V ^-гч
4л e~lk1r
-(sin kia - kia cos kia)-,
от
kf
где k1 = kylєоцо , k = 2л /7 ; r - расстояние центра до внешних точек сферы.
Внутреннее поле рассеивателя будем вычислять, опираясь на интегральные уравнения [2]. Для этого вначале рассмотрим случай, когда a / Xg << 1 внутри и a / Х<< 1 вне сферы, а потом результаты вычисления внутреннего поля рассеивателя обобщим и на резонансный случай, когда a / X g ~1 внутри сферы.
Воспользуемся методом зеркальных изображений и представим рассеивающую сферу вместе с металлическим экраном в виде системы, которая состоит из сферы и ее зеркального изображения. Тогда для этой системы, построим квазистационарные уравнения для определения внутренних полей в виде системы неоднородных для сферы и однородных для ее зеркального изображения уравнений. Эта система уравнений имеет вид
Ёо1(гt) = U +
1 ( є
-1
єо
-<j(VV + k 2ЄоРо)>
- lkM- о
1 (є
4л
Ё (rt) -
у
--1
Уєо у
W21(r) ё2; (rt) -
V,— [У- 1' w2[(X)H 2о(?', t)
4л І^о у
HоД^t) - i1 + 3
^-1
До .
-|(VV+k 2 s оЫ^
t) -
у
-1
+ lkz r
V,—
4л
ґ
о “і1+3
1 (є
1
чєо , yl
ЧРо
у
W?1(r )H 2(rt) +
W21 (г )Ё2(гt)
(3)
—1
Чєо .
EVt) -
-|(VV + k 2єоРо)зз
1 (є
у
—1
єо у
W2(r )Ё1о (rt) -
- % о
о“і1+3
4л
( ,, ^
-Ь- 1 Wl2(F)HГl0(У', t)
КРо у
^-1 Ро
У]
^(Ft) -
-|(VV + k 2є оро)зз
ґ
--1
Ро
Wfi(r )Щ(гt) +
3
1
4
РИ, 2002, № 3
+ iksf
V,—
4я
(
1
Д о ,
ЩЦї) ЕЇ(7t)
где Eo(rt), Яо(гt) — поля падающей волны в центре сферы; E1 (r',t), H1 (r',t) и E2(r',t), H2(r',t) — внутренние поля сферы и ее зеркального изображения.
Величины W2’1 (r), W21 (r) и W12(r), W"(r) имеют вид
Потенциалы Герца Пэ и Пм рассеянного системой из сферы и ее зеркального изображения поля по их известному внутреннему полю (4) представим в виде суперпозиции потенциалов Г ерца сферы и ее зеркального изображения:
Пэ (r, t) =
2 1 f
= -(sin k1a - k1a cos kja)
c=1k1 V
-----1
є o j
\ n~ikrc
Et0(r\t)--------
. (5)
r
c
4^ e
WZ(r) = — (sin kja - ha cos kja)-k13 4^
WM(r) = —-(sin k1a - k1a cos k1a)
k1-
,~ik1r21 ПМ (r, t) =
r21 , = -! -3
e~ik1r21 c=lkj
r21 , где rc = -y
^ 4л e~ik1r12
W12(r) = —-(sin k1a - k1a cos kja)
k1
r12 ’
~ik1r12
4% e
WM(r) = —-(sin k1a - k1a cos kja)-
kj r12
(sin k1a - k1a cos kja)
--1
P0
A „~ikrc
H °(г', t)--------
2 2 2 . “xc0) + (y-Усо) +(z-zc0) ; здесь координаты (x, y, z) определяют точку наблюдения рассеянного сферой поля, а координаты (xc0 , Усо , zc0) — точку нахождения центра сферы или ее зеркального изображения. Точка наблюдения (x, y, z) находится в полупространстве перед металлическим экраном и вне сферы.
/2 2 2 Здесь r21 = r12 = V (x20 _x10) + (y20 _y10) + (z20 _z10) ;
(Х10,y10,Z10) и (x20,y20,Z20) - координаты центров сферы и ее зеркального изображения.
Первые слагаемые справа в уравнениях (3) связаны с внутренним полем сферы или ее зеркального изображения без учета их влияния, а вторые слагаемые определяют влияние на сферу или ее зеркальное изображение противоположного зеркального изображения или сферы.
Рассматриваемая система уравнений (3) для определения внутреннего поля сферы и ее зеркального изображения состоит из двух неоднородных и двух однородных векторных уравнений или же для x-,yz - составляющих — из двенадцати уравнений с двенадцатью неизвестными.
Для внутреннего поля конкретной сферы или зеркального изображения с решения системы уравнений (3) имеют вид
где
E0{ r0=
H0{ r\t)
± fe E>( r'A+p э hJt?',0), ^ (p м H»( r',t)+g м E>( r',o),
(4)
gxxc gxyy gxzc Pxxc вэ xyc вэ xz
gc = gyxc g yyc gyzc ; P э = рэ yxc вэ yyc вэ yz
gzxc g zyc gzzc рэ г zxc вэ zyc вэ r zzc
в ^ xxc xyc в ^ xzc " gM xxc gM &xyy gM xz
P c = в м yxc в м yyc в м yzc ; g C = gM yxc g^ yy gM yzc
вЛї г zxc в ^ zyc вЛї r zzc gM S zxc g7" zy gM zz
а дэм — детерминант основной матрицы системы уравнений (3). Индекс с принимает значения с = 1 для сферы и с = 2 — для изображения.
Полученные решения для внутреннего поля и потенциалов Г ерца сферы и ее зеркального изображения (4), (5) справедливы, когда a /Х<< 1 и a / Xg << 1. Но их можно обобщить на резонансный случай a / ^g ~1, если вместо проницаемостей є и ц ввести эффективные проницаемости [3]:
єэф = &F(ka^/єр), рэф = pF(ka^/єр), (6)
__fP l~y\ 2(sin ka^/єр- ka^/єр cos ka^/єр)
где F kaSpj = ^___A__is--k-p^-k______k^__.
Учитывая (5), (6), найдем рассеянное на сфере с экраном поле:
- _ 2 1
E ncicJr, 0 = Z _- (sin kja - kja cos kjc c =1 k-
(z , Л ЪэФ _ j
є 0
' LcEc {r')~ ikP0
(
_ Л_ j)PcH0(p)le^wt-kiC, P0 J I
H DCCC^T’0 = Z -r(sm k1a - k1acosk1a) c=1 k-
x(- l)LcHc{r') + ik&0
P эф P0
-1
(7)
г*эф _Fh(wt-vJ, є0 ) I
здесь Lc и Pc — функциональные матрицы вида
Lc =
^ W Д*
xxc xyc xzc
w w w
yxc yyc yzc
w w w
*zxc zyc A zzc
Pc =
0 ^
47 A zc A yc
^0 0 ^
zcxc ^ ^0 0
y x
.(8)
Величины, входящие в функциональные матрицы (8), имеют вид
12
'Exxc ~ k є0Й0 ^
3(x-xc0)2 -rc
- kl^xz^+ik1
3(x-xc0)2 -r2
r
r
c
r
r
РИ, 2002, № 3
5
1 2
^yyc = —k Є0Р0 +
3(У - Усо)2 - rC
- tfiy^cob+ікі
3(У -Усо)2 -rC
12
^zzc ~ к S0^0 ^
3(z - Zc0)2 - rC
- к1
2 (z - zc0 )
2
- + iki
3(Z - Zc0 )2 - rc
r
rc
Щ Щ =
A xyc x yxc
cc 3(x - xc0)(У - yc0)
k 2 (x - xc0)(y - Уc0) , k 3(x - xc0)(X - Уc0) ,
- ki ---------3--------+ iki-----------4--------
Щ Щ =
A xzc x zxc
rc rc
3( x - xc0)( z - zc0)
_ k2 (x - xc0)(z - zc0) + Щ1 3(x - xc0)(z - zc0)
4
Щ Щ =
yzc ± zyc
rc rc
3(y - yc0)(z - zc0)
k2 (У - yc0)(z - zc0) , k 3(У - yc0)(z - zc0)
- ki ---------3--------+ iki----------4---------
m _ (x ~ xc0) , ik (x ~ xc0) 0
xxc ~ 3 + ik1 2 w0 — _w
rJ r ’ xc * xc ’
cc
™ (y - yc0) . ik (y - yc0) 0
^yc ---3--+ ik1-2-- ^ 0 =
' r3 r2 ’ yc 1 yc ?
' r ' r
4zc -- +iki<£z£c0)
_ _m
zc zc
Поле в произвольной точке пространства, лежащей вне сферы и перед экраном, представим в виде (7)
E(r, t) = Ё0(У, t) + Ёрасс (F, t),
где Ё0(г , t) — невозмущенное поле падающей волны.
На поверхности идеального металлического экрана тангенциальная составляющая полного электрического поля равна нулю. Это условие для случая рассеяния плоской волны, когда она распространяется вдоль оси z декартовой прямоугольной системы координат, а сфера расположена на оси z на расстоянии l от плоского металлического экрана, перпендикулярного к оси z, представим для точки экрана (x = 0, у = 0, z = zw +1) в виде (4):
1
н---1— (sink1a - k1acosk1 all
Аэмk3 V 1 1 1 1
■i. 1-
Є 0
gxx1 +J— P xy1
Й0
(
V xx1 +
gxx2 +J— P xy 2
P 0
V xx2
— ikp0
-Ь-1 1
І00 2
g м + Ю Rм
gyx1 +^0 pyy1
V z1
r
c
r
r
r
c
r
r
r
r
r
r
r
Ґ
V
= 0,
IY
—1
,E0
^x1 +!Іц0 Pyy1
Л
V yy1
gyx2 + J-^ PУУ2
V yy2
- ikP 0
\( (
-Ь-1 1
ІЙ0 V
gxx1 +J~ fixy1
0
V z1
f
V
gxx2 +л~ Pxy2 'P0
Л
0
V z 2
= 0.
Из детерминанта системы уравнений (3) определяются резонансные условия для случая, когда в сфере a / X g ~ 1.
Если в выражениях (4), (7) индекс с принимает значение с = 1, то соотношения (7) определяют рассеянное поле на резонансной магнитодиэлектрической сфере в свободном пространстве и имеют вид
Ёрасс(^, t)
—3 (sin k1a - k1a cosk1a) x k1
x<; S° LE0(F')-ikp0 Цэф Ц° (-1)PH0(r')lei(wt-kir)
'эф
+ 2Є0
№эф + 2М-0
3
Нрасс(Г, t) =~з (sink1a - k1acosk1a) ^
k3
x
^-^(-1)LH0(rr)+?ks0 &эф Sq PE0(r’) \eI(wt-k1r),
V-эф + 2^0 взф + 2є0 J
где L и P — функциональные матрицы (8), величина r = тІ(x - x0)2 + (у -y0)2 + (z - z0)2 определяет точку наблюдения (x, у, z) вне сферы рассеянного поля по отношению к центру рассеивающей сферы (x0, у0, z0), а Ё0 (r'), Н0 (r') — поле падающей волны в центре сферы [3].
Из (9) для сферы в свободном пространстве можно получить условия для электрического и магнитного резонансов в виде (6) [1, 2]:
F(kaJep) = - , F(ka^/єц) - —— .
є р
Литература: 1. Козарь А.И., Хижняк Н.А. Отражение электромагнитных волн от резонансной диэлектрической сферы в волноводе // Укр.физ.журн. 1970. Т.15. С. 847-849. 2. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев.: Наук. думка, 1986. 279 с. 3. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд-во иностр. лит. 1954. 216 с.
Поступила в редколлегию 29.05.2002
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Стороженко В.А.
Козарь Анатолий Иванович, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры физики ХНУРЭ. Научные интересы: радиофизика. Адрес: Украина, 61103, Харьков, ул. 23 Августа, 39, кв. 51, тел. 33-61-43 дом., 40-93-45 раб.
РИ, 2002, № 3
6
