CC BY
34
УДК 517.6
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМ
_____ _________ _
АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ*
Рассматривается распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн через нелинейный однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой, расположенный между двумя однородными изотропными полупространствами. Нелинейность в слое выражается законом Керра. Получено дисперсионное уравнение для собственных значений (постоянных распространения) задачи.
Введение
Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий [1-5]. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое. Математические модели для таких задач и некоторые результаты представлены в работе [1].
Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распространением ТЕ-поляри-зованных волн в нелинейном диэлектрическом слое, представлены в статье [2]. В работах [3, 4] изложены результаты по распространению ТМ-поляризо-ванных волн в нелинейном диэлектрическом полубесконечном слое. В статье [5] получен первый интеграл исследуемой в настоящей работе системы дифференциальных уравнений, описывающий закон сохранения. Однако полного аналитического решения задачи распространения ТМ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом слое не было получено. Не было найдено дисперсионное уравнение для постоянных распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн.
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, анизотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами х < 0 и х > Н в декартовой системе координат Охуг . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость ^ > £о и £3 > £о, соответственно, где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду Ц = ^о, где ^о - магнитная проницаемость вакуума.
Электрическое поле гармонически зависит от времени г:
Е(х, у, г, г) = Е+(х, у, г)ео8юг + Е-(х, у, г)пюг.
* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № об-о7-89об3а.
Электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла:
гаШ = -іюєЕ, гаїЕ = іюцН,
(1)
где Е(х, у, г) = Е+(х, у, г) + г’Е_(х, у, г) и Н(х, у, г) есть комплексные амплитуды. Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диаго-
г е ^хх 0 0 '
нальным тензором е - 0 е уу 0 , где ехх - е2
V 0 0 е гг у
-Є 2 + Ь\ЕХ\ + й|Ег
-гг
= Є 2 + й|Ех |2 + ь|Ег |2 и а , Ь и Є2 > тахЄ3) -
положительные кон-
станты. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве. Временной множитель везде ниже опущен.
Электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет уравнениям Максвелла (1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред х - 0 , х - Н и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при |х| в областях
х < 0 и х > Н .
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны Е - {ЕХ ,0, Ег } , Н - {0, Ну, о} . Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от г, Ну - Ну (х)е^г , ЕХ - ЕХ (х)е^г , Ег - Ег (х)вг^г, из (1) получаем систему уравнений [1, 6]:
г
у(г'Ех (Х)) - Е'(х)-®2^еггЕг (Х)
У2 (Ех (Х))-УЕг (Х) - “Vхх (Ех (Х)).
(2)
Здесь у - неизвестный спектральный параметр - постоянная рас-
2 2
пространения электромагнитной волны. Введем обозначения к =ю це0 с ц = |10 и выполним нормировку в соответствии с формулами х = кх,
й -^й йх йХ
У -
У
е і =■
(і = 1, 2, 3), а -■
Ь-
Ь
Переобозначим
к е0 е0 е0
Ег = 2 (Х), ІЕХ = X (Х) и, опуская значок тильды, систему (2) приведем к виду
й2 г
йх2
+ йХ
+ у 1Х = Е гг2 •
йХ „ 1
, + УХ - ЄХХХ.
йх у
(3)
Будем искать действительные решения X(х), 2(х) для системы (3),
полагая у действительным (так что |ЕХ 52
2
и |Ег |2 не зависят от г).
2
а
Также будем полагать, что функции X (х), X (х) дифференцируемы в
слое так, что
X(x)є C(-~; О] nC[О; h] n[h; +~)nC1 (-~; О)nC1 (О; h)nC1 (h; + ~)
Подробный вывод уравнений (3) из уравнений (1) представлен в работе [6].
2. Решение системы дифференциальных уравнений
В полупространствах х < 0 и х > Н диэлектрическая проницаемость £ в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное значение £1 и £3, соответственно. Учтем это при выводе уравнений (3) для этих полупространств из системы (1).
Для £ = £1 в полупространстве х < 0 получаем общее решение:
в соответствии с условием на бесконечности. В решениях (4) и (5) константы А и В будут определяться граничными условиями.
Внутри слоя 0 < х < Н система (3) принимает вид
и
Z(х)е C(-»; + ~)n C2 (-»; 0) n C2 (0; h) n C2 (h; + ~). Будем искать такие у, что max (е^, £3) < у2 < £2 .
(4)
где принято во внимание условие на бесконечности. Для £ = £3 в полупространстве х > Н имеем
X(x) = Bexp^-(x- h)VY2 -єЗ jj;
(5)
- - = ( + aX2 + bZ2 |Z;
dx2 dx 2
dx2 dx
(б)
1 (£2 + ЬХ 2 + аХ2 ). йх у' '
Систему (6) можно привести к виду
dx
y(e2 + З<bX2 + aZ (є2 + aX2 + bZ2)z + 2a(є2 + bX2 + aZ2 - y2)X2Z;
dx
5З
Из системы (7) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:
/ 0 71^2 г-,2\ 2 ^2 + аХ2 + Ь72 2
— (£о + 3ЬХ + а7 I------= 2аХ7 + у ---------- ----- ---- —. (8)
\ 2 > (7,
е2 + ЬХ 2 + аХ2 - у2 Х
Уравнение (8) является уравнением в полных дифференциалах, его решение таково:
X 2 (2 (2 +ЬХ 2 + аХ 2 )є2 + ЬХ 2 + аХ2-у2 )-у 2ЬХ 2) + + у2 (2 + ЬХ2 )2 = 4С.
(9)
Введем новые переменные
2
(10)
У
Ьп2 + ау2т2
обозначим х0 = £2/ ма (7) и уравнение (9) в этих переменных примут вид
т]г2 (т — то)
^ = 2у2
йх
(2 + ау2 т2 )(т(п2 + ау 2т2) + 2Ь (т-т0 _ х(т(2 + ау2т2 )ь - а(т-1)) + Ь(а - Ь_т-То )(2 - у
Ьп2 + ау2т2
х
систе-
2 2 -у т
(11)
й П = т-1 п2 . 2 _ 2 (т _ хаП2 + ЬУ2т2.
~йх ~~^п у 0 +У ( т0) 2 + 2 2 ;
йх т Ьп + ау т
п4 =
2у2т2 (т-т0)(ат(т-1) + Ьт0)-а(С1 -т2)
Ь С1 + 3т2 - 2т3 -2т(2 -т)т0
У4т4 Ь(т-т0)(2ат0 + Ь(т-т0))-а2 (С1 -т0)
п2 +
(12)
С + 3т2 - 2т3 - 2т(2 -т)т0
где с=^ (—т2 -
Уравнение (12) является общим уравнением шестой степени относительно т и биквадратным относительно п .
3. Граничные условия и дисперсионное уравнение
Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для постоянных распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения
п(о), п(Н).
+
Из непрерывности касательных составляющих полей Е и Н получаем 7(Н) = Е. (Н + 0) = Е(-; 7(0) = Ег (0 — 0)= £(0); уХ (Н) — 7\Н) = гю|— (Н + 0) = Н (уН-; уХ (0) — 7 '(0) = гю|— (0) = Н У0), (13)
где константа Е(Н) считается известной. и тогда
Я(Н) = -Е((г)___________—
Пу -
л/у2 -£3
Я(0) = е (0)_________—
л/у 2 -£1
В соответствии с (6) в слое
—7'(х) +уХ(х) =—( + ЬХ2 (х) + а72 (х)—(х).
Комбинируя (10), (12), (13) и (15), получаем у4Х4т4 _ 2у2т2 (т — т0)(<ат(т —1) + Ьт0) — а(Й — то)
2^2 2 у Хт
г(Н)
С1 + 3т2 - 2т3 - 2т(2-т)т0
7(Н)
і4т4 Ь(т- т0 )(2ат0 + Ь(т-т0 )) - а2 (С1 -т22 )
С1 + 3т - 2т - 2т(2 -т)т0
где X = X(Н). т = т(Н);
2 ^
£2 + ЬХ 2 (Н) + а (Е^Н-) Х (Н ) = Н (-
• V )
Н( -
Х (Н ) = -Ъ.
ут(Н)
Решая (17) относительно Х (Н), получаем
2
где
X 3 (Н) +
£2 + а ( е(Н)) ( ) уЯУН)
X (Н )-
= 0.
Величина
£2 + а ( е(Н)) Ь
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
неотрицательна, и, следовательно, уравнение
(19) имеет, по крайней мере, один действительный корень, который мы и будем рассматривать:
Л1/3
1 '
X (Н ) =
уЯ УН)
27
£2 + а ( е (Н)
Ь Ь
1
+ —
4
Vі
(Н)
+
уН2Н) 1
2Ь ^ 27
V
ч + а ( е (Н х
Ь Ь
-0/3
+ — 4
1 г 112 2- >'2
Н
(Н)
Таким образом, т(Н) = —. Используя (14) и (18), найдем
уХ (Н)
Е(Н)
Х (Н ) = —-Е-
£3
ут
(Н
у2 — £з
(20)
Из (16) и (20) имеем
С1 =-
1
е4
(у2 — е3)
п.,2 2 2 4 4
2у т £3 у т 2
- + —,---------------;Н— а + ^- а 2
Ь у — е3 Ь
,2„2
е4
(у 2 —£3)
-X
2у^ £3
Ь У2 — £3
х(— 3т2 + 4( т + 2т2 (т — т0)) +
х(т — т0 -ат(т — 1) + Ьт0) + ат2) +
У 4 т4
+ (Ь (т — т0 -2ат0 + Ь (т — т0 - + а 2 т2
-X
(21)
где т = т(Н).
Известно, что составляющие электромагнитного поля еХ (х) и 7 (х) непрерывны на границе раздела сред. Тогда функция п(х) также непрерывна на границе раздела сред в точках х таких, что 7 (х) Ф 0. Тогда, используя (4) и (5), имеем
п(0 ) =
£1
п(Н ) = —
У2 — £1
£3
> 0;
< 0.
У2 — £3
(22)
Ввиду того, что правая часть второго уравнения системы (11) больше нуля, ясно, что функция п(х) монотонно возрастает на интервале (0; Н). Учитывая знаки выражений (22), получаем, что функция п(х) не может быть дифференцируемой на всем интервале (0; Н), а имеет точку разрыва. Пусть это
будет х* е (0; Н). Из (12) ясно, что х* таково, что т* = т(х*)
является корнем
(* \2 /;^\3 /-)- \
т I — 2(т I — 2т (2 — т -0 = 0. Причем п(х — 01 — +га и
п(х* + 0) — —^ .
Обозначим
т(2 + ау 2т2)
( ) Ут — 1)П2 + у2т0т—п2 + ау2т2— у2т(т — т0)(2 +Ьу2т2)
где т = т(п), выраженное из уравнения (12). В общем случае функция п(х) на промежутке [0, Н] имеет несколько точек х0, х1,..., хN , в которых она обращается в бесконечность, причем
п(*0 — 0 ) = п(х1 — 0 ) =... = п( — 0 ) = +<»
п(х0 + 0) = п(х1 + 0) =... = п( хм + 0) = -га. (23)
Ниже будет доказано. что число таких точек конечно для любого Н. Будем искать решения на каждом отрезке [0. Х0 ]. [0, Х1 ],..., [х^. Н]:
п(х0)
- | /й п = х + С0. 0 < х < Х0; п(х)
п(х) __________
| /йп = х + сг-+1. Хі < х < хг-+1. где і = 0. N -1; (24)
п(х)
п(х)
| /й п = х + CN+1. XN < х < Н. п(-%)
Из уравнений (24). учитывая (23). подставляя х = 0 . х = х-+1. х = XN в первое. второе и третье уравнения (24). найдем необходимые константы
с1. с2..... CN+1 :
+га
с0 =- | /й п; п(0)
+га
сі+1 = | /йп - х+1. где і = 0. N -1; (25)
—га
п(Н)
с^1 = | /й п- Н .
—га
и
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион С учетом (25) уравнения (24) примут вид
п(х0) +^
| /ёп = -х + | /ёп, 0 < х < хо ;
п(х) п(0)
п(х) +^
| /ёп = х + | /ёп - х+1, х < х < х+1, где I = 0, N -1; (26)
п(х)
п(х) п( Ь)
| /ё п = х + | /ё п -Ь, XN < х < Ь. п(-%) -“
+га
Введем обозначение | /ёп = Т. Из формул (26) следует, что
X+1 - х = Т > 0, где I = 0, N -1. Отсюда следует, что число точек, в которых функция п(х) обращается в бесконечность, конечно на интервале (0; Ь). Теперь, полагая в уравнениях (26) х таковым (т.е. подставляя х = х0, х = х , х = XN в первое, второе и третье уравнения (26)), чтобы все интегралы слева обратились в нуль, сложим все уравнения (26), получим
+^ п(ь)
0 = -х0 + ^ /ёп + х0 + Т - х1 +... + XN-1 + Т - XN + XN + I" /ёп - Ь. (27)
п(0) -
Из формулы (27) окончательно получаем
е1
Л2 -Е1
- | /ёп + ( + 1)Т = Ь, (28)
у1у 2 -ез
где N > 0 и является целым числом.
Формула (28) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого Ь. Надо отметить, что когда N Ф 0, то возникает несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно у каждое из получающихся уравнений. Все полученные у будут составлять множество постоянных распространения, на которых и только на которых будут распространяться волны в слое при данном Ь. На самом деле, N
'Н
будет принимать все целые значения от 0 до числа.
Т
, где [•] - целая часть
е
3
Заключение
Настоящая статья посвящена изучению распространения ТМ-поляри-зованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном диэлектрическом слое. Основным результатом работы является дисперсионное уравнение для постоянных распространения электромагнитных волн. Эта работа продолжает исследования, начатые авторами в [6]. Здесь посредством подходящего выбора переменных удалось преодолеть принципиальные трудности, которые не позволяли выписать дисперсионное уравнение для слоя произвольной, но конечной толщины. Авторам не известны аналогичные результаты в отечественной и зарубежной литературе.
Список литературы
1. Eleonskii, P. N. Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oga-nes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. - 1972. - V. 35. - № 1. - P. 44-47.
2. Schurmann, H. W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physica D. - 2001. - V. 158. - Р. 197-215.
3. Leung, K. M. p-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensity-dependent dielectric functions / K. M. Leung // Physical Review B. - 1985. - V. 32. -№ 8. - P. 5093-5101.
4. Joseph, R. I. Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media / R. I. Joseph, D. N. Christodoulides // Optics Letters. - 1987. - V. 12. - № 10. - P. 826-828.
5. Leung, K. M. Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear film: formal field solutions in quadratures / K. M. Leung, R. L. Lin // Physical Review B. - 1991. -V. 44. - № 10. - P. 5007-5012.
6. Валовик, Д. В. Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 3. - С. 35-45.
