Распространение слабых вихревых и энтропийных волн в потенциальных течениях сжимаемого идеального газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

У Ч Е И Ы Е ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XI 1 9 8 0 М3

УДК 532.517.4

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СЛАБЫХ ВИХРЕВЫХ И ЭНТРОПИЙНЫХ ВОЛН В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЯХ СЖИМАЕМОГО ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Е. II. Столяров

Рассматривается распространение малых нестационарных трехмерных возмущений занихренпости и энтропии в двумерных (плоских и осесимметричных) течениях сжимаемого идеального газа. Решение краевой задачи при установившемся граничном режиме для возмущений, представляющих собой первоначально плоские гармонические волны, записано в квадратурах. Изучается эволюция фазовых поверхностей в неоднородном поле основного течения; найдены точные соотношения для волновых векторов возмущений. Приведены примеры расчета интегральных параметров, входящих в решение, для некоторых простейших потенциальных течений несжимаемой жидкости (обтекание цилиндра, сферы, осесимметричное течение в канале).

Распространение малых вихревых возмущений и турбулентных пульсаций скорости в неоднородных течениях в предположении потенциальности основного ноля изучается уже более 40 лет, начиная с работ Прандтля |1] и Тейлора [2]. При этом в большинстве случаев рассма 1 рпвалась эволюция турбулентности в течениях частного вида: в изоэнтропических течениях несжимаемого [3, 4| и сжимаемого [о, (5| газа в каналах переменного сечения без учета кривизны линий тока, в потенциальном поле обтекания цилиндра без учета сжимаемости и возмущений энтропии |7| и т. д. Между тем интерес к подобным задачам до настоящего времени не ослабевает, а полученные решения используются при разработке и дальнейшем развитии иолуэмпирических теорий турбулентности и при оценках спектральных характеристик пульсаций в неоднородных нолях основного течения, в том числе с учетом нелинейных и диссипативных эффектов (см., например, [8, 9]).

Наиболее перспективным в теоретическом изучении слабо возмущенных турбулентных течений представляется подход на основе системы уравнений для пульсационных параметров потока, развитый В. В. Струминским [10]. Один из вариантов такой си-

стемы использован в [11|, где получено общее решение для возмущенного ноля завихренности при наличии возмущений энтропии в произвольных двумерных потенциальных течениях сжимаемого газа. Однако для приложений полученных результатов к конкретным задачам необходимо иметь способ построения частных решений в явном виде. В данной работе рассматриваются такие решения линеаризованных уравнений вихревого ноля, которые в области однородности течения (вдали от тела или от участков сужения или расширения канала) описываются плоской гармоии-

ческой волной вида Л0 exp /{yt — kx). Полученные решения содержат лишь алгебраические функции основного и возмущенного нолей течения и один интегральный параметр, который нетрудно вычислить по известным характеристикам основного ноля. Результаты легко обобщаются на возмущения произвольной формы путем замены их соответствующими разложениями Фурье.

1. Система уравнений нестационарных адиабатических течений идеального сжимаемого газа может быть записана в виде

ния системы (1.1) получены применением операций rot п div к* уравнению движения.

Предположим, что значения всех гидродинамических величин в некоторой области О можно представить в виде суммы осред-ненных стационарных и малых нестационарных (пульсационных) составляющих:

где г ^ 1 — малая величина, имеющая порядок среднего квадраги-

—►

ческого уклонения функций F(x, t) от их пространственно-временного среднего значения Рц(х).

Допустим, кроме того, что среднее значение энтропии во всей рассматриваемой области постоянно, а средняя завихренность

—>

равна нулю; S0 — const, &0 = 0.

Представим вектор возмущенной скорости в виде трех компонентов:

(i.i)

где V, (2, (^, Р, Г, о — скорость, завихренность, дивергенция скорости, энтропия, давление, температура и плотность соответственно; х = ~ — показатель адиабаты. Второе и четвертое уравне-

с7,

F(x, t) — F0 (х) -f- zf(x, t),

v = v, + v, + v3,

(1.3)

где г», —вихревое поле,

V*^1 = о, V Х^1 = V X V = Ш,

(1.4)

V, — потенциальное поле,

уХг'2 = 0. V-Щ = = Я>

а некоторое течение несжимаемой жидкости,

уг»з = V Х«з = 0, г;3=\г93, у3<р3 = 0,

(1-5)

(1.6)

описываемое функцией <р3, гармонической внутри области (3. Подставляя представление (1.2) в исходные уравнения, получим после преобразований с учетом (1.3—1.6): для основного течения

/2

Но — ср Т0 -|—й

V

гп

= const;

V0- УРо + poV ^0 = 0;

(1.7)

$0 — cv In (T0p‘-*'

const;

для возмущенного движения в первом приолижении

dt

дш + У X («о х” Vo) = 1

0;

dt

Ср Р..

(уР0 X ys);

(1.8)

■у2 • уЛ> + */>Qo •+ *<7Pi = -*г yP0 — • у P0;

dq

ж

f tVvQo + 2<?Q

0 I

y/> • y^o 4-

+

/. (Яо, Po)

1

Po

VP0

Pn

Po *Po Po

— — VfVQo - <WQo

■ tV Vs • y^o + 7" X (p0! Po).

cp r'O Lp

(1.9)

где

dt

(VP«)'- _ 7- P0 "лРо Pи Po

Уравнения (1.7) описывают стационарные потенциальные течения идеального газа. Система уравнений возмущенного движения распадается на две подсистемы, причем решения уравнений (1.8), описывающих распространение возмущений энтропии и завихренности, не зависят от решений подсистемы (1.9). Таким образом, полное решение задачи о слабовозмущенных адиабатических течениях сжимаемого идеального газа сводится к последовательному решению четырех более простых задач:

1) нахождение основного стационарного потенциального течения; решение может быть получено одним из аналитических [12, 13] или численных [14| методов;

2) нахождение возмущенного соленоидального поля скорости и скалярного ноля энтропии; общее решение задачи для двумерных потенциальных течений приведены в |11|, решение в трехмерном случае может быть в принципе получено численными методами;

3) нахождение нестационарного течения несжимаемой жидкости в заданных границах; задача может быть решена стандартными методами теории потенциала или теории функций комплексного переменного (см., например, [15, 16]);

4) нахождение возмущенного потенциального ноля скорости и скалярного поля давления.

Для определения соленоидальной части возмущенного поля скорости (вторая задача) при отсутствии в поле течения скачков уплотнения достаточно знать характеристики основного стационарного течения, поля возмущений завихренности и энтропии в начальный момент времени внутри области G и в любой момент времени — на ее границе |11]. Более сложной является последняя задача, для решения которой необходимо иметь решения трех предыдущих. Специфической ее особенностью является то обстоятельство, что в уравнения потенциального поля входят граничные значения возмущений через решения второй и третьей задач, в то время как аналитическая функция <р3 (решение третьей задачи) должна быть выбрана таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям всей задачи в целом (условиям непротеканин на жестких поверхностях). В области однородного течения уравнения (1.У) переходят в уравнения линейной акустики движущейся среды. Правые их части зависят от градиентов основного ноля течения и характеризуют три механизма возбуждения звука в линейном приближении, связанные с тремя видами „источников“:

возмущениями соленоидального поля скорости энтропии S („источники14, движущиеся с местной скоростью основного течения) и возмущениями потенциального поля v:i (нестационарные „источники“, находящиеся на границе области G). Спектр индуцируемого звукового поля определяется в первую очередь спектральными характеристиками „источников“, что и приводит к необходимости их детального изучения.

2. Допустим, что па некотором удалении от области неоднородности течения с характерным размером L (L — длина участка канала с переменной площадью поперечного сечения или характерный размер обтекаемого тела, рис. 1) ноле основного течения является однородным, т. е. эквипотенциальные поверхности 'f=COn$t являются плоскими. Приведем систему уравнений (1.8) к безразмерному виду, относя все линейные размеры к L, скорости—к Vm} плотность —к плотности адиабатически заторможенного течения р00, энтропию — к ср, а время — к L V:tr В силу линейности рассматриваемой системы и независимости решений первого уравнения в (1.8) от решений второго любое частное решение уравнения для завихренности может быть представлено в виде суммы двух частных решений, одно из которых зависит лишь от граничных возмущений завихренности при s0 = 0, а другое — от возмущений

энтропии при а>0==0. Очевидно, что произвольная линейная комбинация указанных решений, каждое из которых в отдельности удовлетворяет граничным условиям, также будет решением системы (1.8).

11редположим вначале, ч i о возмущения энтропии отсутствуют, а возмущение завихренности вдали ог области неоднород ности представляет собой плоскую гармоническую волну

= ш0 exp i (yt — £°-л*)>

где v— частота, k■>, k>) const — вол попой вектор.

(2.1)

Очевидно, что выражение (2.1) является точным частным решением системы (1.8) в области однородного течения при 5 = 0 и условии (1.4), если выполнены соотношения:

V = 7.0 и)01 V] +- (002 к°2 + ШАЗ к?л — 0. (2.2)

Как показано в [11|, общее решение уравнений (1.8) в неоднородном поле течения при 5 = 0 имеет вид

-J.nl . ft

UJ. = --------------------- (со |

1 г, т,> у

Wo —

при дополнительном условии

д

О; \ am

1 д / / ч , д — (ог t0‘>) +

unir1 ón

Ог

,мз

т

2 oí 2

(2.3)

(2.4)

где <*>,, и о)3 — компоненты вектора вихря в направлении линии тока по главной нормали к ней // и по бинормали г соответст-

17 1 —

венно, а =» -.у0-1—безразмерная скорость, т = ( 1—7.3)/-1 — безраз-

* т

мерная плотность, Я -локальный безразмерный радиус кривизны линии тока, у = 0 для плоского и / — 1 для осесимметричного течения, нуликом снизу отмечены параметры основного поля

в области однородности течении, взятые в некоторой плоскости <р=ср0, а нуликом сверху—начальные возмущения

со

взятые в момент времени

Г* //-

(2.5)

г_*_

в(6;Ф) '

Параметр 7 определяется интегралом вдоль линий тока основного течения

где & — угол наклона вектора скорости к направлению невозмущенного течения.

Чтобы найти явный вид решения (2.3), переходящего в гармоническую волну (2.1) в области однородного течения, запишем функцию о>° в виде диспергирующей волны [ 171

со

0 = о>0 ехр ¿6 (т, ф, г), (2.7

где фазовая функция 6 удовлетворяет граничным условиям:

ПрИ < —

дво о дв° ,о <26° ¿о дв° .о ,С)

— = у = а06,, -зй- = —Л2, -¿¿г — — Аз, (2.«)

а постоянный вектор ш() — второму из равенств (2.2). Подставляя

(2.3) в (2.4) с использованием (2.7), получим соотношения:

СО

(2.9)

представляющие сооои условия ортогональности векторов о> и /г = —уЬ (или условие ноперечности вихревых волн). Компоненты градиента фазовой функции нетрудно связать с компонентами волнового вектора к0 при ; — £0- Действительно,

дО _ дв От г)0° д~. а?—•

~дї ~ * г); Ц\ а ,

0(1 ^60 От ¿00 _д± — Ь() ч дт АО °"'г

дп ~ дт дп -э- 1- дп — к\ 7о д/* 2 «0 «0

дЬ дг дЬо дг О У— -*8

Для вычисления производной перейдем в интеграле (2.5) к ортогональным координатам (?, •!*):

Тогда

d9

ÈL — -ÊÏ A

dn dn di \ ' a2 (çp- i)

о , Г да a»

2'j.mrJ -гг-—!— ! в3(?; ф)

(2.10)

Так как н потенциальных течениях |12]

1 да 1

Ж

am г1 дп mrJ dz

(2.11)

то, подставляя (2.11) в (2.10) и возвращаясь вновь к переменной получим:

а ь

dz 0 / Г 1 •- - •

I________ dft

а2 т/';

, — rfç = 2 amrj

t; a^mr1

On

Таким образом, волновой вектор в произвольной точке поля течения связан с волновым вектором начального возмущения соотношениями

А1 =

г‘". *= = -^Г0(-У'«--'-Ч>. У*а ■ (2.12)

Частное решение, удовлетворяющее граничным условиям (2.8), имеет вид:

am

а0 т{)

Kl +7шог) ехр гб (т, г);

(О

2 = -^(іт);(ио2ЄхргЄ(т, ф, z)- }(2.13)

СО о

-(-У^озехр/6(х, ф, Z),

где 6(т, •!>, г)|5=50=^—^°х, а компоненты градиента фазовой функции в произвольной точке ноля течения даются выражениями (2.12).

Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой (2.12) и (2.13) в (2.9), что условие ортогональности удовлетворяется тождественно. Интегральный параметр 7 (2.6) непосредственно связан с углом между касательной к линии постоянного запаздывания

Г —Ё— =

const

и главной нормалью к линии тока (рис. 2). Действительно,

Ут.

о ?Jï „ a*т f г

^ Ъп дп а2 т ( гп

Это же соотношение следует из сравнения общего решения (2.3) с результатами рассмотрения распространения завихренности на основе кинематических теорем гидродинамики [11]. Отме-

тим также, что параметр к определяет угол наклона линий в про-

I ()о п

странстве волновых векторов, на которых

k°

Аналогичным образом строится частное решение системы (1.8), зависящее от возмущений энтропии. Очевидно, что плоская волна

5-=50ех р / (V/ — 6° -д), (2.14)

где V=ot0£ 1, s0 = const, /г" = const, является точным частным решением уравнений (1.8) в области однородного течения.

При

О),

О зависящее от энтропии общее решение (1.8) в ие-

однородном поле течения может быть записано в форме (см.

s°(x, О, г);

7///

(И

где

ds°

2 1 а0 nip dz

ю.

«о

2 *1 ос

/лу/ \ г°/ \

Г0\У ^50

аг

dso ‘1 дп

(2.15)

а-

J2

Г0

— rfft

да

¿/в.

(2.16)

Для нахождения в явном виде решения (2.15), переходящего в области однородности течения в гармоническую волну (2.14), запишим функцию я0 в форме диспергирующей волны

s° *» s0exp / в (т, ф, г),

(2.

где фазовая функция 0 удовлетворяет соотношениям (2.8), а 50 = СОП81.

Поскольку начальные возмущения завихренности отсутствуют, то для фазовой функции и волнового вектора используем прежние обозначения, чтобы не загромождать выкладки дополнительными индексами, хотя следует иметь в виду, что сама эта функция, вообще говоря, отлична от прежней. Подставляя (2.15) в (2.4) с использованием (2.17), можно убедиться, что мнимая часть получающегося выражения тождественно равна нулю при любых 50 и

к", а действительная часть обращается в нуль, если

♦> ї і о Г

Покажем, что последнее соотношение выполняется 13 любой точке поля течения. Действительно, входящие в него интегралы берутся в одних и тех же пределах вдоль одной и той же линии тока. Поэтому выражение (2.18) равно нулю, если производная от него тождественно равна нулю. Дифференцируя (2.18) по ft при -!> = const и используя (2.16), получим:

Следовательно, параметр ^ может быть выражен через пара метр 7:

, = 4-70 + 7.) = ^

2 1

а частное решение, зависящее от энтропии и удовлетворяющее граничным условиям (2.8), имеет вид:

со

Y «о «о 7 ~| exp г0 (т, ф, .г);

I ,0 п / а-

Ш, = - — ,а0 /гз 5° -т -

\ ао

\ JslI — Г

) 01 ' Г /

1 . т г

2 5° т0 \ >„

У

— v/,»" —

2 Г*| -

о

f) exp 10 (т, -i, г);

exp ill (x, 6, г),

где фазовая функция 0 (т, 0, г) удовлетворяет соотношениям (2.8), (2.9).

Полученные частные решения могут быть записаны и более компактной форме, если ввести масштабные коэффициенты, характеризующие линейные деформации элемента жидкости в направлениях осей координат:

1 'Л) - глп \ Г } \ г0 /

которые связаны очевидным соотношением

*-/./,/« = 1.

/По

Тогда решение (2.13) запишем в виде:

,0

со

- -1 - ; I,. /, '

1 о

ТТЛ’

(2.19)

Где О0 = со0 ехр /0.

Аналогичным образом записывается частное решение, зависящее от возмущений энтропии:

Компоненты волнового вектора в произвольной точке поля течения связаны с компонентами волнового вектора начального возмущения соотношениями

дО дд 1 п 0 дд к"

~Ж = Л‘ = Т' —Тп-Ъ-ъ ($-!$), -^ = ^з=^,(2.21)

где Л®, — произвольные постоянные числа.

Решение зависит от масштабных коэффициентов, являющихся функциями параметров основного поля течения, начальной скорости а0 и от единственного интегрального параметра

К'

1-2

»0

связанного с деформациями сдвига элемента жидкости. В силу линейности уравнений (1.8) любая линейная комбинация решений (2.19) и (2.20) с произвольными постоянными со0 и 50 и также будет их решением. Представляя начальные возмущения в виде рядов или интегралов Фурье, можно получить решения для возмущений произвольной формы.

Отметим, что аналитические зависимости (2.19) — (2.21) содержат всю необходимую информацию для проведения корреляционного и спектрального анализа возмущенного соленоидального ноля скорости в рамках линеаризованной невязкой задачи, так как для нахождения двухточечных корреляций достаточно знать амплитуд!,I возмущений и градиент фазовой функции.

3. Из полученных решений (2.19)—(2.21) вытекают как частные случаи все упомянутые выше решения задачи о распространении слабых вихревых возмущений в потенциальном поле основного течения. Так, при 5 = 0 и 7 = 0 (на прямолинейных линиях тока, в частности вблизи оси симметрии) выражения (2.19) и (2.21) переходят в соотношения, использованные Рибнером и Такером [5| (см. также [6]) при рассмотрении эволюции спектрального тензора турбулентных пульсаций скорости в потенциальных течениях в каналах с переменной площадью поперечного сечения. Однако при „быстрых“ деформациях основного течения, если продольный и поперечный масштабы области неоднородности имеют одинаковый порядок, решение без учета кривизны линий тока дает погрешности порядка самих рассматриваемых величин (в части ноля течения, непосредственно прилегающей к стенкам канала, где коэффициент 7 становится сравнимым с единицей).

Решение с учетом кривизны линий тока, использованное Хантом [7] при рассмотрении эволюции турбулентного поля пульсаций скорости в потенциальном несжимаемом течении около цилиндра, является частным случаем решения (2.19) и (2.21) при

5^0, 1- В отличие от решения (2.19), записанного в естест-

венной системе координат [12, 18] (см. также [И]), в работе [7] задача рассматривалась в декартовой системе координат (х, у), что существенно усложнило анализ возмущенного поля скорости и привело к необходимости численного нахождения спектрального и корреляционного тензоров пульсаций. Примеры расчетов на ЭВМ, приведенные в |7|, показали бесперспективность такого подхода к анализу спектра возмущений в неоднородных полях основ-

ного течения. Использование решений в форме (2.19) — (2.21) позволяет свести задачу о нахождении спектрального п корреляционного тензоров соленоидальной части возмущений к квадратурам, причем часть интегрирований в пространстве волновых векторов может быть выполнена, если спектральный тензор начальных возмущений представить в подходящей аналитической форме.

Дополнительная завихренность, индуцируемая возмущениями энтропии (2.20), становится существенной, если в иоле основного течения имеются температурные неоднородности (течения в соплах реактивных и ракетных двигателей, в аэродинамических установках с подогревом потока и т. д.). В то время как в однородном течении солепоидальное однородное иоле возмущенной скорости не коррелирует со скалярным полем энтропии 14, 19], в неоднородном поле течения корреляции возникают и могут быть найдены с использованием полученных решений. Выражения (2.20) содержат как эффекты, связанные с однородной деформацией поля основного течения, так и эффекты, связанные с кривизной линий тока.

На рис. 3 в качестве примера приведены результаты вычисле-

ния интегрального параметра 7 в плоскости х = 0 (0==-^-) для

случаев потенциального обтекания несжимаемой жидкостью цилиндра п сферы, а на рис. 4 — распределение этого параметра вдоль некоторых линий тока для цилиндра. Отметим, что величина 7 превосходит единицу (* = 0, рис. 3) при 1<га<1,23 в случае цилиндра п при 1<г/а <1,075 в случае сферы. При приближении к поверхности (*!> -•> 0) значения параметра 7 быстро нарастают, а в возмущениях начинают играть значительную роль винтовые вихри* (компоненты завихренности о)ь совпадающие с направлением линий тока), даже если таковые отсутствовали

* Течения, в которых векторы оз и V коллинеарны, известны в литературе как течения Бел ьт рам и [20).

0,001 0,01

V -Г-1

п I

Рис. 3

Рис. 4

it набегающем потоке. Как показала обработка результатов расчета, при малых значениях ^ в плоскости д: = 0 имеют место следующие асимптотические выражения для параметра у.

7=-2"Ф“1 в плоском случае (цилиндр)

н

8 - 1

7= туф 2 в осесимметричном случае (сфера).

Рассматриваемая область течения вблизи поверхности тела, как область с максимальными градиентами параметров основного течения, является ответственной за наиболее интенсивное возбуждение звука в соответствии с уравнениями (1.9). В то же время именно в этой области окончательно формируются возмущения, приходящие на внешнюю границу пограничного слоя обтекаемого тела.

Аналогичные расчеты были проведены для потенциального течения в осесимметричном конфузоре при различных степенях сужения. Распределение скорости но оси канала задавалось выражением (см., например, 113]):

I '■ -

где |1. = —отношение скоростей па входе (при х— оо) и на

выходе (х -> + со) из канала соответственно, а параметр а характеризует отношение поперечного масштаба неоднородности к продол ьному.

На рис. 5 приведены зависимости параметра у от радиальной координаты в выходном сечении канала при некоторых величинах и Область наибольших значений параметра здесь также прилегает к стенкам и при определенных сочетаниях \% и л может значительно превышать единицу.

Ангор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю В. В. Струминскому за внимание к работе и обсуждение ее результатов, А. Д. Хонькину за полезные консультации и 3. 11. Саморуковой за помощь в проведении расчетов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prandtl L Attaining a steady air stream in wind tunnels. ХДСА TM N 726, 1933.

2. Taylor G. I. Turbulence in a contracling stream. Z AMM, Rd. 15, Heft 1, 1935.

3. В a t с h e t о г G. К , Proudman I. The effect of rapid distortion of a fluid in turbulent motion. „Quart. .1. Mech. and Appl. Math"., vol. 7, pt. I, 1954.

4. Пэт чел op Да. Теория однородной турбулентности. М., Изд. иностр. лит-ры, 1955.

5. Ribner II. S., Tucker M. Spectrum of turbulence in a contracting stream. NACA Rep. N 1113, 1953.

6. Ф p о с t В. А. Однородная быстрая деформация турбулентности в газе. ДАН СССР, т. 133, № 4, 1960.

7. Hunt J. С. R. A theory of turbulent flow round two-dimensional bluff bodies. „J. FI. Mech“., vol. 61, pt. 4, 1973.

Рис. 5

8. И е в л е в В. М. Турбулентное движение высокотемпературных сплошных сред. М., „Паука", 1975.

9. 3 и м о н т В. Л., С а бель п и к о в В. А. Поведение однородной турбулентности в каналах переменного сечения. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1975, № 2.

10. С т р у м и л с к и й В. В. Об одном новом направлении исследования проблемы турбулентности. В сб. „Турбулентные течения", М., „Наука“, 1977.

11. Столяров Е. Г1. Решение линеаризованного неоднородного уравнения Гельмгольца, описывающего распространение малых вихревых возмущений в потенциальных течениях идеального сжимаемого газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. 11, № 1, 1980.

12. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости М., Изд. иностр. лит-ры, 1901.

13. Л о й ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа. М., „Наука“, 1978.

14. Численное исследование современных задач газовой динамики. Сб. под редакцией О. М. Белоцерковского. М., „Наука“, 1974.

15. Тихонов; А. П., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., .Наука“, 1977.

16. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., „Наука“, 1973.

17. Уизем Д. Б. Линейные и нелинейные волны. М., „Мир“, П77.

18. Основы, газовой динамики. Сб. „Аэродинамика больших скоростей и реактивная техника“ под ред. Г. Эммонса, т. 3. М., Изд. иностр. лит-ры, 1963.

19. М о н и н А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика,

ч. I, 1965; ч. И, 1967. М., „Наука“.

20. Т г u е s d е 11 С. The kinematics of vorticity. Indiana Univ. Press, 1954.

Рукопись поступила 27jII 1979