CC BY
11
поддерживаются программами администрирования
(р1М ■ я ^ V ; рю ■ я ^ V ); извлечения
Ю ■ °Ш ^ иЮ' 1 ш ■ ию ^ °ш "
данных и файлов, Web-сервисами и компонентами доступа к данным
FIM ■ S _ S ); CASE-
1 ID ■ iJIM ^ ID "
средствами (pp : SCM _ SCP;
fCP ■ S _ S
rCM ■ °CP °CM
fid ■ S _^ s ;
IM ID IM
s cm ^ SIM ;
? CP
SCP c Sc)
системами программирования (ГСр : ЯСР ^ ЯСМ )■
При выполнении работ по гранту РФФИ № 07-07-00265-а «Создание связанных между собой интеллектуальных систем для решения комплексных проблем энергетики на основе применения аппарата алгебраических сетей» также была применена данная методика. В предметной области были выделены четыре слоя: моделей ^м), данных результатов вычислительных экспериментов и программных компонентов-решателей (Sp)■ Для поддержки моделей
(SM) используются хранилище моделей, ЛМ-сетей и онтологическая база знаний; результаты вычислительных экспериментов (SR) размещены на ГИС-сервере и в файловом хранилище; данные ^^ поддерживаются различными СУБД, а решатели ^Р) -это распределенные в сети отдельные программные компоненты.
В работе рассмотрена проблема построения нетиповой архитектуры информационных систем, предложена методика, позволяющая формализовать процесс определения необходимых компонентов разрабатываемых информационных систем, функций компонентов и связей между ними.
Предложенная методика применяется при выполнении работ по грантам РФФИ № 10-07-00264-а, № 08-07-00172-а и гранту Программы Президиума РАН № 2.29.
Библиографический список
1. Массель Л.В. Фрактальный подход к построению информационных технологий // В кн.: Криворуцкий Л.Д., Массель Л.В. / Информационная технология исследований развития энергетики. Новосибирск: Наука, 1995. С. 40-67.
2. Копайгородский А.Н. Применение фрактальной стратифицированной модели для проектирования архитектуры информационных систем // Информационные технологии в науке, социологии, экономике и бизнесе: материалы XXXVI Международной конференции. (Украина, Ялта-Гурзуф, 2030 мая 2009 г.). М.: Изд-во МГАПИ, 2009. С. 21-23.
3. Массель Л.В. Создание ИТ-инфраструктуры системных исследований в энергетике // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе 1Т + Б&Е'05. 2005. С. 402-404.
4. Копайгородский А.Н., Массель Л.В. Разработка и интеграция основных компонентов информационной инфраструктуры научных исследований // Вестник ИрГТУ, 2006. № 2 (26). С. 20-24.
УДК 517. 954
РАСПРЕДЕЛЁННОЕ УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ ВЯЗКОУПРУГОЙ БАЛКИ Л. Ф. Хващевская1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Получено приближённое решение задачи управления колебаниями вязкоупругой балки, концы которой закреплены шарнирно. Решения интегро-дифференциальных уравнений найдены методом усреднения. Для нахождения управляющей функции рассмотрена конечномерная проблема моментов. Результаты можно применять при построении начальных приближений в численных методах оптимального управления колебаниями вязкоупругой балки.
Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова: управление; проблема моментов; система с распределёнными параметрами; интегро-дифференциальное уравнение.
DISTRIBUTED CONTROL OF VISCOELASTIC BEAM VIBRATIONS L.F. Hvaschevskaya
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The author obtains an approximate solution of the problem to control the vibrations of viscoelastic beam with hinged ends. The solutions of integral-differential equations are found by the averaging method. To find the control function the author considers a finite-dimensional problem of moments. The results can be used in constructing the initial approximations in numerical methods of optimal control of viscoelastic beam vibrations. 2 sources.
Key words: control; moment problem; distributed parameter system; integral-differential equation.
1Хващевская Любовь Фёдоровна, старший преподаватель кафедры математики, тел.: (3952) 224281.
Hvaschevskaya Lubov Fedorovna, senior lecturer of the chair of Mathematics, tel.: (3952) 224281.
Задачи управления колебаниями тех или иных систем имеют многочисленные приложения и являются предметом теоретических и прикладных исследований. Эффективным аппаратом исследования задач управления системами с распределёнными параметрами являются идеи /-проблемы моментов [1].
Рассмотрим приложение метода моментов к задаче о распределённом управлении колебаниями вязко-упругой балки постоянного поперечного сечения, концы которой закреплены шарнирно («свободно опёрты»).
Считаем, что балка является однородной и имеет длину, равную единице. Шарниры имеют пренебрежимо малое трение. Балка, начиная с момента времени г = 0, совершает вынужденные поперечные колебания в среде без сопротивления.
Ось Ох направим вдоль продольной оси симметрии балки в её равновесном состоянии. Пусть колебания балки могут быть описаны функцией и(х,г), которая характеризует в момент времени I поперечные отклонения точки, имевшей в положении равновесия абсциссу х.
Математически задача описания вынужденных поперечных колебаний вязкоупругой балки в среде без сопротивления может быть описана интегро-дифференциальным уравнением следующего вида:
д и(х,г) + 5 и(х,г)
дх4 = 1(х,г);
дг2
I
I К(г -т)
д4и(х,т)
дх4
ёт =
(1)
0 < х < 1; 0 < г < Т.
Здесь положительное ядро К((- т) содержит в своём представлении малый параметр. Функция / (х,г) - распределённая нагрузка (силовое воздействие); считаем, что она описывает управляющее силовое воздействие.
Пусть функция /(х,г) принадлежит линейному нормированному функциональному пространству Ьр(Б), где 1 < р < да и В = [0;1]х [0;Т], в котором норма функции /(х,г )определяется формулой вида
Л >Р
||/(х,г)|= I | /р (х,г)ъл
Отклонение балки и скорость в начальный момент времени г = 0 задают начальные условия, которые имеют соответственно вид
и(х,0) = р(х) ; и(х,0) = щ(х) (0 < х < 1). (2)
Считаем, что функции (р(х) и у/(х) в (2) являются ограниченными и кусочно-дифференцируемыми в промежутке (0, 1).
Поскольку оба конца балки шарнирно закреплены, то выполняются граничные условия:
и(0,г) = 0 ; и(1,г) = 0 , (3)
и"х(0,1) = 0; и1(Ц) = 0; (4)
0 < г < Т.
Условие (3) означает, что концы балки в любой момент времени I не имеют смещений. Условие (4) показывает, что изгибающие моменты сил, действующих соответственно в сечениях х=0 и х=1 балки, равны нулю. Предполагается, что существует классическое или обобщённое решение краевой задачи (1)-(4).
Задача управления состоит в отыскании такой
функции /(х,г), 0 < х < 1, 0 < г < Т, чтобы за данное время Т балка перешла из начального состояния (2) в конечное состояние, определяемое финальными условиями:
и(х,Т) = 0 ; и( (х,Т) = 0; 0 < х < 1. (5)
Условия (5) означают, что в момент времени г = Т балка должна успокоиться.
Нетривиальное решение однородного уравнения
д 4и( х,г) + д 2и( х,г)
дх4
дг2
I
I К(г -т)
д 4и( х,т)
дх4
ёт = 0,
удовлетворяющее однородным граничным условиям (3) и (4), будем искать в виде
и(х,г) = £ Тк (()• (х),
к=1
где Хк(х) - собственные функции задачи Штурма -Лиувилля:
Х1У - г4X = 0 , (6)
Х(0) = 0; X"(0) = 0; Х(1) = 0;Х"(1) = 0. (7) Поскольку краевая задача (6)-(7) имеет собственные значения г вида гк = пк, к = 1,2,..., то соответствующие им собственные функции Хк(х) будут определены формулой
Хк(х) = зтклх.
Функции Тк (г) удовлетворяют интегро-дифференциальному уравнению
Тк (() - (кп) • [} я(г - т) • Тк (т)ёт - Тк (г)
= 0
(8)
с начальными условиями
Тк(0) = (к, Тк(0) = ¥к, (9)
где рк иук - коэффициенты Фурье разложений начальных условий (2) в ряды Фурье по системе функций Хк (х), то есть
1
рк = 21р(х) sin кпхёх,
у/к = 21^(х) sin кпхёх.
В уравнении (8) заменим интегральный оператор й{ = на «близкий» дифференциальный [2]:
¡К(г - Т)тк (т)йт * осктк (г) - -П (Т (г),
где
( =
(ск = |К(Я)СОЯ,2 П2 яёя ,
О
г
|К(8)8тк2П, (Оск << 1, (Ок << 1.
Уравнение (8) принимает вид
Тк(г) + Лк-Тк(г) + Вк-Тк(г) = о , (10)
где Ак = к'П(к , вк = кП(1 -(ск) ■
Учитывая начальные условия (9), получим решение однородного уравнения (10):
Тк(г)=е
ллг 2
^ 1
р,-СояПкг+п'х п
( Л Л Ук +у -Рк\- ™пПкг
где П = Вк - 1Л2 = к4ж4{ 1 -(ск -1 (к21
Используя метод вариации произвольных постоянных, найдём решение задачи (1)-(4) в виде й(х,г) =
А*
Э1к СОяП^г+Б2к ЯтПкг +
+П>'\^к(т)-е2 '
2
П
= 2>
к=1
хХк(х) (11)
Здесь введены следующие обозначения; П1к = рк ;
А* =
п
к 1
Лк
¥к +-у Рк
Л(т) = 2\/т)' ЯП .
О
Дифференцируя й(х,г) в формуле (11) по I, най-
дём
= 2 к=1
\ Л£
сояПк* + Еук ятП^ +
1 г
ЛкТ
+-•//к(т)'е • ятПк(г -т)йт
п 0
х хк (()+
х е + 2 к=1
_ЛкТ
2
-П, • Пк ' Я1пПк* + Пук ' П • сояПк* + Л,т
|/к (т)е 2 сояПк(г -т)Т
х X,
(х)
В решении (11) и его производной йг(х,г) полагаем г = Т и используем финальные условия (5). Так как система функций Хк(х), к = 1,2,... на отрезке [0, 1]
является полной, то выполнение финальных условий (5) возможно только тогда, когда все коэффициенты при Хк (х) равны нулю. Таким образом, для управляющей функции /(х,г) в пространстве Ь2(П) имеем проблему моментов:
Л
, ч ^ \sinQ (Т - г)! , ч (х' >• е2'\со^( - )'Хк(х)хЛ =
О О
¡Рк к
, к = 1,2,...
по системе функций
Л г
(12)
Лкг.
е 2 'ЯтПк (Т - г) Хк (х) е 2
Рк =
гПкУ
со*Пк (Т - г^ Хк ()
при этом
п
к(Б1ксо8ПкТ + В2к!тПкТ),
2
Ук =^-(ПкТ - В2к соя пТ).
Умножая первое равенство в (12) на] и складывая его со вторым равенством системы (12), получим:
1 1 И
/ (х,1)'
Ла
2 .¿П (т-г)
Хк (х =
]ПкТ
Деля обе части последнего равенства на е разделяя действительные и мнимые части, будем иметь моментные равенства для неизвестной функции /(х,г); 0 < х < 1, 0 < г < Т , в виде
>х
2
х
Т
X
1
At 2
Ц f (x,t)e 2 ■ cosQkt ■ Xk (x)xdt =
1V1
Z(( + gkvk )=1 ■
(16)
0 0
D
(13)
k=1
2k Q ■
k '
Задача (15)-(16) - задача на условный экстремум с соответствующей функцией Лагранжа. Поскольку
1 1
Ц f (x,t)e 2 ■ sin Qkt ■ Xk (x~)dxdt =
i
J sin2 knxdx
00
D
(14)
1
2'
1k
■Q
то в (15) минимизировать при условии (16) нужно одномерный интеграл
12
2 J
k=1
Обозначим правые части моментных равенств (13) и (14) соответственно /~к и Ук.
В пространстве Ь2 (о), когда
||/(х,1 ) < 1,1 > 0, конечномерная проблема момен- ( ) .„ .
! - *(х^(^ ) тов для функции ] (х,1) , минимальной, например, по
М i
Z (dk •cos Qkt+gk ■sin Qkt V
Akt
dt
Решение задачи (1)-(5) получаем в виде
M
(
k=1
dk cos Qkt +
V+ gk sin Qkt
Л
e 2 sin km
kl J
квадратичной норме, приводит к следующей задаче: найти
(
min
1 1 JJ
'dk ■ cos Qkt
Z
,gk ■sin Qkt
k j
k=1 Ail xe 2
■ Xk (x)
x sign
М AtL
Z(dk* cosQkt + gk* sinQkt)e 2 sinknx
k=1
Здесь dk*' gk*' k = 1,2'... - те числа, при которых
dxdt = Я
(15)
достигается условный минимум, равный
1
( Я )2
, вы-
при условии, что числа dk и gk удовлетворяют соот- ражения (15).
ношению
При р+ 2 и р > 1 задача (15)-(16) приводится к решению нелинейной системы уравнений.
Библиографический список
1. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распре- 2. Мальцев Л.Е. Приближённое решение некоторых динами-делёнными параметрами. М.: Наука, 1975. 586 с. ческих задач вязкоупругости // Механика полимеров. 1978.
№ 2. С. 210-218.
T 1
2
At
k
2
X
УДК 681.3:529.7
ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С НЕПОЛНОЙ МАТРИЦЕЙ НАБЛЮДЕНИЙ
Ю.П. Хрусталев1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассматриваются вопросы построения динамических стохастических моделей систем с неполной матрицей наблюдений. Показано, что оценки параметров моделей авторегрессии - проинтегрированного скользящего среднего можно получить, минимизируя сумму квадратов отклонений результатов измерений от их прогнозов, вычисленных на основе указанных моделей. Предложена методика построения динамических стохастических моделей при наличии линейных трендов во временных рядах. Библиогр. 8 назв.
Ключевые слова: динамические стохастические модели; метод наименьших квадратов; функционал; недооп-ределённая система; групповые эталоны.
1Хрусталев Юрий Петрович, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники, тел.: (3952)405107, (3952)405163, (3952)510698.
Khrustalev Yury, Candidate of technical sciences, Associate professor of the chair of Computer Science, tel.: (3952) 405107, (3952) 405163, (3952) 510698.
