Распределение дробных долей линейной функции на множествах положительной коразмерности Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 11J71

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДРОБНЫХ ДОЛЕЙ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВАХ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КОРАЗМЕРНОСТИ

А.В. Шутов

Владимирский государственный университет, пр. Строителей, 11, Владимир, 600024, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Пусть а € Rd - вектор, координаты которого линейно независимы вместе с 1 над полем рациональных чисел. Доказано, что любой многогранник содержит только конечное множество точек, сравнимых с точками вида ia по модулю решетки Zd. Построены примеры двумерных кривых, не обладающих этим свойством. Получен ряд приложений к исследованию множеств ограниченного остатка.

Ключевые слова: распределение дробных долей, теорема Вейля, множества положительной коразмерности, множества ограниченного остатка.

1. Введение. Пусть а = (а^..., а^) - вектор в Вектор а будем называть вектором общего положения, если 1, а1,... , а^ линейно независимы над полем рациональных чисел Q. Очевидно, что множество векторов общего положения есть множество полной меры в

Для данного вектора а общего положения и произвольных вектора а = (а1,... , а^) Є и множества X С [0; 1)й определим счетную функцию

N (а, а, п, X) = Ц{і : 0 < і < п, {іа + а} Є X} .

Здесь через {іа + а} обозначен вектор с координатами ({іа1 + а1},..., {іа^ + а^}).

Согласно теореме Вейля о равномерном распределении [18], если а - вектор общего положения и X - множество с интегрируемой по Риману характеристической функцией, то

N(а,а, п, X) = | + о(п), (1)

то есть количество точек орбиты, попавших в область пропорционально ^-мерному объему этой области.

Нас интересует случай, когда в качестве X берется множество, размерность которого меньше, чем размерность тора. В этом случае теорема Вейля дает

N (а, а, п, X) = о(п)

и возникает вопрос о возможности улучшения данной оценки.

В работе будут доказаны следующие результаты.

1) Если X - граница некоторого многогранника, то N(а,а,п, X) = 0(1).

Автор выражает благодарность В.Г. Журавлеву и А.В. Лаптеву за полезные обсуждения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант №11-01-00578-а.

2) При й =2 для любого вектора общего положения а существует одномерное множество X, содержащее бесконечно много точек вида {іа}, то есть N(а,а,п, X) ^ то при п ^ то.

3) При й = 2 для любого вектора общего положения а существует двумерное множество X и векторы а1,а2 Є К2 такие, что ^(а,а1,п,X) — п^|| = 0(1), но

^(а, а1, п, X) — п^|| ^ то при п ^ то.

2. Распределение дробных долей {іа} на гиперплоскостях.

Теорема 1. Пусть П - к-мерная гиперплоскость в к < й, X С П П [0; 1)^. Тогда

N (а, а, п, X) = 0(1).

□ Нам нужно доказать, что множество X содержит только конечное число точек вида {ia + а}.

Очевидно, что достаточно рассмотреть случай X = П П [0;1)d, поскольку если это множество содержит только конечное число рассматриваемых точек, то это тем более верно для всех его подмножеств.

Далее, поскольку любую k-мерную гиперплоскость с k < d — 1 можно рассматривать как подмножество (d — 1)-мерной гиперплоскости, теорему 1 достаточно доказать для случая k = d — 1 .

Покажем, что теорему 1 достаточно доказать для случая а = 0 = (0,..., 0). Для этого для произвольных а, X определим множество

Ха = {х € [0; 1)d : x + а mod Zd € X} . (2)

Отметим, что если X удовлетворяет условиям теоремы 1, то Xa представляет собой объединение множеств, также удовлетворяющих условиям теоремы 1. Поэтому, если теорема 1 выполнена для а = 0 = (0,..., 0), то Xa содержит только конечное число точек вида {ia}. Остается заметить, что в силу определения множества Xa имеем {ia + а} € X тогда и только тогда, когда {ia} € Xa.

Теперь покажем, что без ограничения общности можно предположить, что X содержит начало координат. Действительно, если 0 € X, то возможно 2 случая.

1) X не содержит точек вида {ia}. Тогда теорема 1 верна для X.

2) X содержит точку b = {ma}. Тогда для {ia} € X тогда и только тогда, когда {(i — m)a} € Xb. Поэтому при n > m имеем 0 < N (a, 0, n, X) — N (a, а, n — m, Xb) < m, причем множество Xb содержит начало координат, что и требовалось.

Итак, нам остается доказать теорему 1 в случае X = П П [0; 1)d, d = k — 1, а = 0 и гиперплоскость П проходит через начало координат.

Пусть все точки {m^a} принадлежат рассматриваемому нами множеству X. Заметим, что {m^a} можно представить в виде

{тіа} = тіа — li

где ІІ = (/*1,... ,/й) Є Zd.

Предположим, что имеется не менее й интересующих нас точек {т*а} (в противном случае теорема сразу доказана). Докажем, что в этом случае

їв, Є Брал^/ь ... Л-1) .

Пусть имеется й точек {т*а} принадлежащих гиперплоскости П, проходящей через начало координат. Тогда соответствующие им векторы линейно зависимы и, следовательно, определитель, составленный из их координат равен нулю.

Ш1а1 — 111 т^а! — І21

т1ав І1в т2ав — І1в

т^а1 — 1^1 ... т^а^ — І

(3)

Преобразуем определитель (3). Для этого при і = 2,... , й умножим і-ю строку определителя на — т1 и прибавим к ней первую строку, умноженную на т*. Получим, что

Ш1а1 — ІЦ

—т2111 + Ш1І21

т1ав І1в

—т2І1в + т1І2в

—те ІЦ + Ш1Ів1 ... —

(4)

Отметим, что все строки определителя (4), начиная со второй, состоят из целых чисел. Раскладывая определитель (4) по первой строке, получаем

(т1аз — 1У) = 0

3 = 1

(5)

с целыми М3. Возможно 2 случая.

1) Хотя бы одно из М3 отлично от нуля. Тогда, раскрывая скобки в равенстве (5). убеждаемся, что вектор а не является вектором общего положения.

2) Все М3 = 0. Это означает, что строки определителя (4) с номерами 2,..., й являются линейно зависимыми. Поскольку эти строки состоят из целых чисел, данная линейная зависимость имеет место не только над К, но и над 0>. Для і = 2,... , й введем векторы V* = (г>*1,..., Уіо) , где

— —113 + .

Векторы у линейно зависимы над 0>, то есть

^ Сгу — 0

г=2

с некоторыми рациональными Сг. В силу (6) векторы у представимы в виде

V* = —т* І1 + Ш1ІІ

0

0

откуда получаем, что

d

Ci(-mj/i + mi/j) = 0 .

i=2

Раскрывая скобки, получаем, что векторы /1,... , /d рационально зависимы, то есть /d £ spanQ(/i,.. .,/d-i).

Для завершения доказательства теоремы 1 достаточно доказать, что множество пар (n, /) таких, что / £ spanQ(/1,... , /d-1) и na — / £ [0; 1)d конечно. Для этого заметим, что если / £ spanQ(/1,... , /d-1), то тем более / £ spanR(/1,... , /d-1), то есть вектор / принадлежит (d — 1)-гиперплоскости П', проходящей через начало координат и натянутой на векторы /1,..., /d-1. Пусть K = [0; 1)d + П'. Тогда условия / £ spanQ(/1,..., /d-1) и na — / £ [0; 1)d эквивалентны условию na £ K. Из определения множества K вытекает, что существует постоянная C > 0 такая, что dist(x, П') < C для всех x £ K. Заметим, что все коэффициенты в уравнении гиперплоскости П' рациональны (в силу целочис-ленности векторов /1,... , /d-1). Поэтому для любого вектора а общего положения

lim dist(na, П') = то

и неравенство

dist(na, П') < C

может выполняться только для конечного множества n. Таким образом, теорема полностью доказана. I

Из доказанной теоремы немедленно вытекает

Следствие 1. Пусть X - многогранник в Rd, п - проекция Rd ^ [0; 1)d, задаваемая формулой x ^ {x}. Тогда для любого вектора общего положения a

N(a,a, n, п(дР)) = O(1) ,

то есть для всех a множество п(дР) содержит только конечное число точек орбиты {R(a)}. Здесь дР - граница многогранника Р.

3. Кривые, содержащие бесконечно много точек вида {ia}. В этом и следующем пунктах всюду предполагается, что d = 2.

Покажем, что теорему 1 нельзя обобщить на случай произвольной кривой. Теорема 2. Для любого вектора общего положения a и любых двух точек из [0; 1)2 существует соединяющая их выпуклая кривая y С [0; 1)2, содержащая бесконечно много точек вида {ia}.

□ Отметим, что для кривой y выполняется равенство

lim N (a, 0, n, y ) = то .

n^<x>

Для доказательства теоремы 2 введем оператор U, который по выпуклому многоугольнику Pol = A1A2 ... An £ [0; 1 — $]2 (0 < $ < 1 - достаточно мало) и достаточно малому е > 0 строит новый выпуклый многоугольник U(Pol,e) £ [0; 1 — $]2. Процесс построения будет состоять из нескольких этапов (см. рис. 1).

Рис. 1. Основные этапы построения многоугольника U(Pol,є).

1) В каждой вершине Aj проведем прямую pj такую, что /(pj, Aj-1Aj) = /(AjAj+1,pj). Обозначим через Bj точки пересечения прямых pj и pj+1.

2) Пусть pj - прямая, параллельная прямой AjAj+1, такая, что dist(AjAj+1,pi) = є и прямая pj лежит по одну сторону с точкой Bj относительно прямой Aj Aj+l. Обозначим через Tj трапецию, ограниченную прямыми Aj Bj, pj, Bj Aj+1 и Aj Aj+1. Отметим, что при достаточно малых є все трапеции Tj принадлежат квадрату [0; 1 — $]2.

3) В силу теоремы Вейля о равномерном распределении, каждая из трапеций Ti содержит бесконечно много точек вида ^а}. Выберем одну из таких точек (например, с наименьшим положительным i) и обозначим ее через Cj.

4) В качестве U (Pol, є) возьмем многоугольник A1C1A2C2 .. .An Cn.

Многоугольник U(Pol, є) представляет собой выпуклый многоугольник в [0; 1 — $]2, имеющий 2n вершин.

Для любых двух компактных подмножеств X, Y С М2 определим расстояние Хау-сдорфа [9]:

Тогда справедлива оценка

dH(dPol, dU(Pol,e)) < е.

Пусть теперь A и B - точки, которые нужно соединить выпуклой кривой Y. Выберем произвольную точку C такую, что ДАВС С [0; 1 — $]2 и некоторую последовательность еп такую, что 0 < ега+1 < еп/2. Определим последовательность многоугольников Pol0 = △ABC, Pol1 = U(Pol0, е1),..., Poln+1 = U(Poln,en+1). При подходящем выборе

последовательности єп все многоугольники Ро1п корректно определены. Построенные нами многоугольники обладают следующими свойствами.

1) Многоугольник Ро1п выпуклый.

2) Число вершин Ро1п равно 3 • 2П.

3) Граница 5Ро1га содержит не менее 3 • (2П — 1) точек вида {га}. В частности, все его вершины, кроме А, В и С являются точками такого вида.

4) Расстояние Хаусдорфа между границами многоугольников Ро1п-1 и Ро1п не превосходит єп.

Последнее свойство означает, что последовательность замкнутых ломаных 5Ро1га является фундаментальной относительно метрики Хаусдорфа.

Известно [12], что множество всех компактных подмножеств полного метрического пространства является полным метрическим пространством относительно метрики Хаусдорфа. Поскольку [0; 1 — $]2 полно, это означает, что последовательность выпуклых замкнутых ломаных 5Ро1га сходится к некоторой выпуклой замкнутой ломаной Г С [0; 1 — $]2 Є [0; 1)2. При этом очевидно, что все вершины всех многоугольников Ро1п принадлежат Г. Поэтому любая часть кривой Г, заключенная между двумя такими вершинами, содержит бесконечно много точек вида {га}. Таким образом, в качестве 7 мы можем выбрать часть построенной кривой Г, заключенную между вершинами А и В. ■

Приведем еще один пример.

Теорема 3. Для любого вектора общего положения а = (а1; а2) существует кривая 7 и точка а такие, что 7 содержит бесконечно много точек вида {га} и не содержит точек вида {га + а}.

□ Для отрезка I, соединяющего точки (х1, 0) Є [0; 1 — £] и (х2; 0) Є [0; 1 — £] и некоторого є > 0 определим ломаную и0(І,є) следующим образом. Найдем минимальное г такое, что точка {га} принадлежит прямоугольнику I х [0; є). Пусть х1 - середина отрезка (х1; 0) — ({га1}; 0), х'2 - середина отрезка ({га1}; 0) — (х2; 0). Тогда ломаная и0(І,є) имеет вид (х1;0) — (х1;0) — (х1; {га2}) — (х'2; {га2}) — (х'2;0) — (х2;0). Процесс проиллюстрирован на рис. 2.

Далее, для произвольной ломаной Ь определим оператор и(Ь; є), переводящий звенья вида I = (х1; 0) — (х2; 0) в звенья и0(І, є) и не меняющий остальные звенья.

Вновь выберем некоторую последовательность єп такую, что 0 < єга+1 < єп/2. Зададим последовательность ломаных Ь0 : (х1;0) — (х2;0), Ьга+1 = и(Ьга,єга+1). Рассуждая аналогично доказательству теоремы 2, легко получить, что эта последовательность ломаных сходится к некоторой кривой 7, содержащей бесконечно много точек вида {га}.

Заметим, что 7 состоит из бесконечного числа отрезков, являющихся подмножествами прямых вида х = V, у = Ь" с V Є Ъ + а^, Ь" Є Ъ + а2Ъ. Выберем а = (а1; а2) так, чтобы а1 Є Ъ + а1Ъ, а2 Є Ъ + а2Ъ. Тогда легко видеть, что 7 не может содержать точек вида {га + а}. ■

(Х1,0)

(Х2,0)

е{| ~

(Х1,0) I (Х2,0)

Рис. 2. Основные этапы построения ломаной Цо(/, е).

4. Связь с множествами ограниченного остатка. Вновь вернемся к асимптотической формуле (1). Пусть

г (а, а, п, X) = N (а, а, п, X) — п|Х |

— остаточный член асимптотики (1). Ясно, что

г(а, а, п, X) = о(п).

Множество X будем называть множеством ограниченного остатка для последовательности {га + а}, если

г(а, а, п, X) = 0(1).

Множества ограниченного остатка были впервые введены в работе [11] в случае d =1. Полное описание одномерных множеств ограниченного остатка имеется в [13]. Современное состояние проблемы в одномерном случае, включая явные оценки остаточного члена описано в работах [5], [8]. Различные конструкции двумерных множеств ограниченного остатка приведены в [1], [4], [6], [7], [16], [17]. Примеры множеств ограниченного остатка для произвольной размерности можно найти в [2], [3], [14]. Некоторые результаты о структуре многомерных множеств ограниченного остатка есть в [10], [14], [15].

Теорема 4. Пусть X - множество ограниченного остатка для последовательности {га}. Тогда X также является множеством ограниченного остатка для всех последовательностей {га + а} с а = {ка}, к € Ъ.

□ Пусть а = {ка}, к € Ъ. Тогда

г(а, а, п, X) = г(а, ка, п, X) = N (а, ка, п, X) — п^ | =

= N (а, 0, п + к, X) — N (а, 0,к^) — п^ | =

= г (а, 0, п + к, X) — (п + к) IX | — г (а, 0, к, X) + к^ | — п^ | =

= r(a, 0, n + k, X) — r(a, 0, k, X) <

< 2 sup r(a, 0,n,X). ■

n

Теорема 5. Пусть X - множество ограниченного остатка для последовательности {ia} и существует конечная постоянная C > 0 такая что

sup N (a, a, n, dX) < C

n

для всех a. Тогда X является множеством ограниченного остатка для всех последовательностей {ia + a}.

□ В доказательстве теоремы 1 установлено, что X является множеством ограниченного остатка для последовательности {ia + a} тогда и только тогда, когда множество

Xa, определенное в (2), является множеством ограниченного остатка для последовательности {ia}. При этом выполняется равенство

r(a, a, n, X) = r(a, 0, n, Xa).

Пусть Kn есть множество точек {ia} с 0 < i < n. Тогда при достаточно малом е = e(a,X, n) > 0 имеем, что точка из Kn, попадающая в Xa может не попасть в Xa/ с dist(a,a') < е в том и только том случае, когда она лежит на границе одного из этих множеств. Поскольку |Xa| = |Xa/1, получаем неравенство

|r(a, a, n, Xa) — r(a, a', n, Xa)| < 2C,

справедливое при dist(a,a') < е и достаточно малых е.

Это означает, что в условиях теоремы множество X является множеством ограниченного остатка для последовательности {ia+a} тогда и только тогда, когда оно является множеством ограниченного остатка для последовательности {ia + a'} с dist(a, a') < е. Поскольку последовательность {ia} равномерно распределена, а следовательно, всюду плотна, в [0; 1)2, существует k £ Z, k > 0 такое, что dist(a, {ka}) < е. Для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 4. ■

Теорема 6. Для любого вектора общего положения a = (a1, a2) существуют двумерное множество X и точки a1, a2 £ [0; 1)2 такие, что X является множеством ограниченного остатка для последовательности {ia+a1} и не является множеством ограниченного остатка для последовательности {ia + a2}.

□ Без ограничения общности можно считать, что 0 <a1 <a2 < 1 (в противном случае мы можем заменить a^ на {a^}, а также, в случае необходимости, поменять местами оси координат).

Рассмотрим параллелограмм

P

(a1/a2; 0)x + ay, (x, y) £ [0; 1)|

В работе [17] доказано, что Р является множеством ограниченного остатка для последовательности {га}.

Возможно два случая.

1) X не является множеством ограниченного остатка для последовательности {га + а} с некоторым а. Тогда теорема доказана.

2) X является множеством ограниченного остатка для всех последовательностей {га + а}. Воспользуемся конструкцией теоремы 3 и построим соответствующую кривую 7 на нижнем основании параллелограмма Р. Легко проверить, что для кривой 7 + а также справедливо утверждение теоремы 3. Обозначим через У множество, ограниченное нижним основанием параллелограмма Р и кривой 7. При этом точки из 7 считаем не принадлежащими У. Далее, пусть У = У + а и X! = (X и У1) \ У. Тогда

N (а, а, п, XI) = N (а, а, п, X) + N (а, а, п, У1) — N (а, а, п, У).

Из определения множества У1 легко вывести, что

^ (а, а, п,У1) — N (а, а, п, У )| < 1,

откуда

^ (а, а, п, X1) = N (а, а, п, X) < 1.

Поскольку = IX|, это означает, что X1 является множеством ограниченного остатка для всех последовательностей {га + а}. Пусть Х\ - замыкание множества X. Тогда

X1 будет множеством ограниченного остатка для последовательности {га + а} тогда и только тогда, когда кривая 7 + а содержит только конечное число точек из данной последовательности. Для завершения доказательства остается воспользоваться теоремой 3. ■

Литература

1. Абросимова А.А. Множества ограниченного остатка на двумерном торе // Чебышевский сборник. - 2011. - 12;4. - С.15-23.

2. Журавлев В.Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных долей // Алгебра и анализ. - 2012. - 24;1. - С.1-33.

3. Журавлев В.Г. Многогранники ограниченного остатка // Труды математического института имени В.А.Стеклова, Современные проблемы математики. - 2012. - Вып.16. -С.82-102.

4. Журавлев В.Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2005. - 322. - С.83-106.

5. Красильщиков В.В., Шутов А.В. Описание и точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей // Математические заметки. - 2011. - 89;1. - С.43-52.

6. Шутов А.В. Двумерная проблема Гекке-Кестена // Чебышевский сборник. - 2011. -12;2(38). - С.151-162.

7. Шутов А.В. Об одном семействе двумерных множеств ограниченного остатка // Чебышевский сборник. - 2011. - 12;4. - С.264-271.

8. Шутов А.В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2007. -Вып. 7(57). - С.168-175.

9. Хаусдорф Ф. Теория множеств / М.: ОНТИ,1937. - 306 с.

10. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. - 1992. - 61. - P.319-326.

11. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. - 1921. - 5. - P.54-76.

12. Henrikson J. Completeness and Total Boundedness of the Hausdorff Metric // MIT Undergraduate Journal of Mathematics. - 1. - P.69-80.

13. Kesten H. On a conjecture of Erdos and Sziisz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. - 1966. - 12. - P.193-212.

14. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. - 1987. - 61. - P.267-293.

15. Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984, Bordo. - 1984. - Expose 24.

16. Rauzy G. Nombres algebriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. - 1982. - 110. -P.147-178.

17. Sziisz R. Uber die Verteilung der Vielfachen einer Komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. - 1954. - 5. - P.35-39.

18. Weyl H. Uber die Gibbs’sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphanomene // Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo. - 1910. - 30. - P.377-407.

DISTRIBUTION OF FRACTIONAL PARTS OF A LINEAR FUNCTION ON SETS OF POSITIVE CODIMENSION A.V. Shutov

Vladimir State University,

Stroiteley Av., 11, Vladimir, 600024, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Let a € Rd be a vector that coordinates are linearly independent with 1 over field of rational numbers. It is proved that for any polyhedron only finite set of its points are congruent to points ia modulo lattice. Examples of two-dimensional curves without this property are constructed. Some applications to bounded remainder sets problem are obtained.

Key words: distribution of fractional parts, Weyl’s theorem, sets of positive codimension, bounded remainder sets.