РАСПРЕДЕЛЕНИЕ D(N,ω) В КЛАССАХ ВЫЧЕТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия "Математика"

Выпуск 2, 1995

УДК 511

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ d(n,w) В КЛАССАХ ВЫЧЕТОВ

Б. М. Широков

В работе устанавливаются условия слабо равномерного распределения значений функции d(n,u>) с вещественным характером Дирихле и)(п) в классах вычетов по составному модулю и приводятся асимптотические формулы.

В работе В. Наркевича [1] рассматривается задача распределения значений полиномоподобных мультипликативных функций, т. е. функций, значения которых на степенях простых чисел являются значениями многочленов на простых числах, но многочлены от этих простых чисел не зависят. Таковы, например, функции d(n) — число делителей п, ak(n) — сумма к-х степеней делителей п.

В этой же работе В. Наркевич вводит понятие слабого равномерного распределения функций в классах вычетов. Функция /(п) называется слабо равномерно распределенной в классах вычетов по модулю N, если для любых целых чисел i и j, взаимно простых с N,

#{n < x\f(n) = i (mod AT)} ~ #{n < x|/(n) = j (mod N)}

при условии, что множество тех n, для которых f(n) взаимно просто с N, бесконечно.

В работе [2] автором улучшены результаты работы [1] и распространены на более широкий класс функций. Рассмотренные там функции обладают следующим свойством:

существует такое целое число I, что для любых целых чисел N и к > 0 и любой пары простых чисел р, q

(N = 0 (mod l))k(p = q (mod N)) => f(pk) = f(qk) (mod N). (1)

© В. M. Широков, 1995

Наименьшее натуральное число I, для которого справедливо свойство (1) для функции f(n), обозначим через 1(f).

Для полиномоподобной функции /(/) = 1, а для функии f(n) = 4г2(я) (гг(") — количество представлений n в виде суммы квадратов двух целых чисел) — 1(f) = 4.

Скурфилд [3] нашел главный член асимптотики количества п < х, для которых гг(п) не делится на фиксированное нечетное простое число, а О.М.Фоменко [4] привел критерий слабо равномерного распределения ^Г2(п) в классах вычетов по простому модулю. В работе [2] приведены более точные асимптотические формулы и дан критерий слабо равномерного распределения в классах вычетов по составному модулю.

Попутно замечу, что в работе [2], в следствии 5, посвященном функции <Т2(п), автором допущена ошибка, на которую ему указал В. Наркевич. Правильный и полный результат для функции <Т2(п) можно найти в работе В. Наркевича и Ф. Рейнера [5].

В настоящей работе изучается распределение значений функции

d\n

где ш(п) — примитивный вещественный неглавный характер Дирихле модуля m, не делящегося на 8. Эти функции обладают свойством (1) с /(/) = m

Обозначения: р и q — простые числа, i, j, k,l,m,n, N — натуральные числа; G(N) — мультипликативная группа вычетов по модулю N, Rj = Rj(f) — подмножество G(N) элементов а, для которых существует такое р, что (р, /(/)) = 1 и f(p>) = a (mod N); M = M(f) — наименьшее из чисел j, для которых Rj(f) ф 0. Это значит, что если j < M, то (f(p'),N) > 1 для любого простого числа р, взаимно простого с 1(f), и существует такое р, (р, /(/)) = 1, что (/(рм), N) = 1; Лм — подгруппа G(N), порожденная множеством Rm\ х и Хо — произвольный и главный характеры по модулю jV; s — er + it — комплексное число, Т = exp(v/logх), С,С\,С2, ■ ■ • — абсолютные положительные постоянные; для положительного вещественного числа a с фиксированным вещественным числом ß обозначим <r(t) = a- ß/ ln(2+ |<|) и

3

f2(a) = {s I <т > max{er(i), т«}, —оо < t < +оо},

а о = <го(а) = а + для функции F(s), определенной на П(а), обозначим

<70 -ит

J^=éi S F^xids-

o0-iT

Обозначим, наконец, через S(x,f,a) количество чисел п < х, для которых /(n) = a (mod N).

Нам понадобится теорема, которая была доказана В. Наркевичем для полиномоподобных функций в [1] и перенесена на функции со свойством (1) в работе [2].

Теорема А. Для того чтобы функция f(n) была слабо равномерно распределена по модулю N, необходимо и достаточно, чтобы для любого неглавного характера \ по модулю N, равного 1 на Км, существовало простое число р, для которого

m

fc —о у

Непосредственно из этой теоремы следует, что если Км = G(N), то Дп) слабо равномерно распределена по модулю N.

Для получения асимптотических формул приведем еще одну теорему тауберова типа из работы [2].

Теорема Б. Пусть в области 0(a) функция F(s) удовлетворяет условиям:

F(s) = 0(lnc'(2 + |<|)), |<|>1, (3)

и существует такое комплексное число z, что

F(S) = G(s)(S-a)"', (4)

причем G(s) аналитична в £}(а) и G(a) ф 0. Тогда существует такая постоянная с, что

а) если z — 0,-1, —2 ..то

J(x) = 0(xae-cV,nx),

(5)

б) если z = 1, то

J(x) = ^-xa + 0(xae~cVШ), (6)

а

в) если z не является целым рациональным числом, то для любого п

= (Е^»"' (¿) + 0 ((to,)'*.-«) ' ^

где

—щ—v, =

a Г(г) — гамма-функция Эйлера.

Основной результат заключается в следующей теореме.*

Теорема. Функция d(n,u>) слабо равномерно распределена по модулю N тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

1) N=4,

2) N = qk, (¡ > 3 и 2 — первообразный корень по модулю N,

3) N — 2qk, q > 3 и 3 — первообразный корень по модулю N. Кроме того, при х —► оо для любого a Е G(N) и 6 = 2ir/qk~l(q — 1) в первом случае

S(x, d(n, ы), a) = i J] (l + -M y/Z + O (Víe-^) , (8)

p|m v

во втором случае существует такая вычислимая постоянная С, что

5(x,d(n,,),a)=^ + Q((lnj)i:(co,)/2), (9)

и в третьем случае существует такая вычислимая постоянная D, что

S(x, d(n,ш), a) = Dy/x + О ((lnz)(fcos¿)/2) • (Ю)

* Относительно формул (9) и (10) см. Замечание в конце статьи.

«

Доказательство. Пусть N нечетно. Так как для р, взаимно простого с N,

то Й1 = {2}. Поэтому функция (¡(п,и) слабо равномерно распределена тогда и только тогда, когда либо выполняется условие (2) теоремы А для любого неглавного характера \ с условием х(2) = 1, либо 2 — первообразный корень по модулю N. Так как М = 1, то условие (2) может выполняться лишь для р = 2. Если ш(2) = — 1, то

Итак, мы видим, что условие (2) невыполнимо. Следовательно, с1(п,и/) слабо равномерно распределена по модулю нечетного N тогда и только тогда, когда 2 — первообразный корень по модулю N. Это соответствует пункту 2) утверждения теоремы.

Пусть теперь N четно. В этом случае 11\ = 0, а Яг = {1,3}, если 3 не делит АГ,и/£2 = {1}в противном случае. Так же, как и для нечетного N, легко проверяется, что условие (2) не выполняется ни для одного характера модуля N. Таким образом, если N делится на 3, то слабо равномерное распределение отсутствует. Если же N не делится на 3, функция слабо равномерно распределена по модулю N в том и только в том случае, если 3 — первообразный корень по этому модулю. Это соответствует пунктам 1) и 3) формулировки теоремы.

Перейдем к доказательству асимптотических формул. Обозначим

если ш(р) = 1, если а>(р) = — 1

1 + =

*=1 4=1

Если же ш(Т) — 1, то с/(2к,ш) = к + 1. Поэтому

П = 1

Лемма. Для любого а € при х —* оо

= о))+

Х*Хо

Лемма следует из свойств характеров Дирихле и формулы Перрона для ряда Дирихле с коэффициентами х(/(п)).

Теперь для получения асимптотических формул нужно изучить свойства функций F(s, \) Для каждого случая.

Пусть N = 4. По этому модулю имеется всего два различных характера: хо и Для первого при сг > ^ имеем:

р|т (р,т) = 1 ^^

р|т

С(2«)-

Формула (11) показывает, что F(s,Xo) имеет в точке s = | полюс первого порядка.

Если 2j — 1 = 3 (mod 4), то х(2j — 1) = —1. Поэтому

=п('-п О+рт)"' п (i-^)"'-

p|m v 7 "(р) = 1 4 F 7 Ui(p)=-1 4 И У

Или иначе:

p|m

Таким образом, F(s,\) регулярна и не равна 0 в точке s = j. Из формул (11) и (12) и п. а) и б) теоремы Б получаем асимптотическую формулу (8).

Пусть N — 2qk, q > 5. Для любого характера х модуля N имеем:

*..х>-пНГ П

р|т У ' w(p)=l \ i = l И )

П.О-^Г-

ш(р)=-1

Рассмотрим произвольный сомножитель с ш(р) = 1:

,,f*X(2j + l)= 1 y^x(2j-1)

+ Z^ „2js I _ p—Ni Z^ d2jj

j = 1 F F i = l ^

° (■ - w)" (' - ¿" "") (' - yO" •

Таким образом,

F(.,x) = A(.,x) П í1-^)"1 П O-i)"1. (13)

w(p)=l V F ' w(p)=-l 4 F '

где Л(в, x) аналитична и ограничена при а > i, причем Л(^,х) ф 0. В случае главного характера имеем:

F(s, хо) = A(s, хо) П(! - Р~Ъ) ■ С(2«).

р\т

Пусть х — неглавный характер и а\,а2, ■ ■ ■ ,аг — те вычеты по модулю т, для которых w(a¿) = 1, и Ь\, 62, ■ • •, Ьг — те, для которых ш(Ь() = — 1, г = <р(т)/2. Фиксируя произвольно ветвь логарифма, имеем:

Ь F(s,x) = ±( Е + Е

• = 1 \р=а, (mod m) ps6¿ (mod m) J

где y4i(s,x) — ограниченная аналитическая при <r > | функция. Пусть X(n) — произвольный характер модуля т. Тогда

' X (mod m) 1 = 1 4 у /

+ Ai(s,x,X),

причем Лг(в, X. — функция с такими же свойствами, как и Л|(s, х). Обозначим

2(x,^)=-¿r¿(X(a,)x(3) + X(b,)). (14)

Теперь получаем нужное нам представление для F(s,x):

F(s,x)= П {Ц2*, *)}'<*■*>-Лз(«,х). (15)

X (mod m)

Здесь Аз(з, х) — аналитическая ограниченная при сг > | функция, не равная 0 в точке s =

В произведении (15) все сомножители регулярны в точке s = кроме одного — при X — Хо- Показатель степени в этом сомножителе, как видно из формулы (14), равен

/ v , 1 + Х(3)

в частности, г(хо, ^о) = 1- Таким образом, для любого характера х

/ ,\(1+Х(3))/2

F(S}x) = G(S,x)[s--j (16)

и удовлетворяет условиям теоремы Б в Функция G(s, х) играет

такую же роль, как и G(s) в теореме Б. Применение леммы и теоремы Б приводит к асимптотической формуле (10). Наконец, пусть

N = qk, q> 3. Тогда

F(s>X) = H{i-P-r1 П Е^Уг^ П а-р-г1.

p|m w(p)=l ^ w(p)=-l

Здесь последнее произведение уже представляет собой ограниченную аналитическую при сг > | функцию, не равную 0 в точке s = 1. Поступая аналогично предыдущему случаю, получим

F(s,X) = ]l{L(8,X)r^ ■ B(s,X). х

Здесь B(s,X) — аналитическая ограниченная при <т > | функция, не обращающаяся в 0 в точке s = 1, и

r ' i=i

Отсюда следует представление, аналогичное формуле (16) предыдущего случая:

F(s,x) = G(S,X)-(s-irx(2)/2-

В частности, z(\o, ^о) = j- Применение леммы и теоремы Б приводит нас к формуле (9).

Замечание. Для получения формул (9) и (10), краткости ради, мы ограничились лишь главным членом формулы (7) теоремы Б. Но ничто не мешает использовать эту формулу в полную силу для получения асимптотических разложений в формулах (9) и (10).

Литература

1. Narkiewicz W. Оп distribution of values of multiplicative functions in residue classes // Acta Arithm. 1967. V.12. №3. P. 269-279.

2. Широков Б.М. Распределение значений арифметических функций в классах вычетов // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1983. Т. 121. С. 176-186.

3.Scourfild Е. J. On divisibility of г2(п) // Glasgov Math. J. 1977. V. 18. №1. Р. 109-111.

4. Фоменко О. М. Распределение значений мультипликативных функций по простому модулю // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1980. Т. 83. С.'218-224.

5. Narkiewicz W., Rayner F. Distribution of values of <т2(п) in residue classes // Monatshefte für Mathematik. 1982. V. 94. P. 133-141.

СОДЕРЖАНИЕ

Варфоломеев А. Г. О производной скалярной функции по симметричному матричному аргументу ...................................3

Годуля Я., Старков В. В. Линейно-инвариантные семейства

функций, аналитических в поликруге ............................. 11

Заика Ю. В., Кручек М. М. Среднеквадратичная оценка функционалов на решениях систем с запаздыванием и случайными возмущениями ............................................................19

Земляченко В. Н., Павлов Ю. Л. К вопросу о связи ветвящихся

процессов и случайных деревьев...................................31

Иванов А. В. Теорема о топологизации ассоциированных спектров .................................................................44

Моисеев Е. В. Характеризация гильбертовых кубов в терминах

М-структуры ......................................................58

Мосягин В. В. Нелокальная краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения с параметром в банаховом пространстве .................................................................62

Плаксин В. А. К распределению квадратичных вычетов и невычетов ................................................................68

Платонов С. С. Подпространства, инвариантные относительно

обобщенных сдвигов Якоби ........................................71

Платонов С. С. Инвариантные подпространства в некоторых функциональных пространствах на евклидовом пространстве.....92

Соболев С. И. Об инвариантной мере для нелинейного уравнения

Шредингера.......................................................113

Стреколовская Н. С. О функционально-компактных пространствах ..............................................................125

Филиппов В. В., Степанова Е. Н. О теореме Гурневича .... 132 Широков Б. М. Распределение <1(п,ш) в классах вычетов ... 136