CC BY
10
УДК 621.373
РАСХОДИМОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ И КОЭФФИЦИЕНТ НАКЛОНА ДЛЯ КВАНТОВОРАЗМЕРНЫХ ГЕТЕРОЛАЗЕРОВ
А. П. Богатое, А. Е. Дракин, С. А. Лукьянов1, А. А. Стратонников2, А. В. Устинов1
На основе точных интегральных соотношений Стрэттона-Чу получено выражение для коэффициента наклона в виде ~ (1 + сое <р), который связыва-
ет распределение поля в ближней зоне гетеролазера с распределением интенсивности в его дальней зоне. Использовано характерное для полупроводниковых лазеров приближение для поля вблизи поверхности зеркала в виде двух встречно распространяющихся волноводных мод.
Для современных гетеролазеров достигнуты рекордные среди всех других лазеров значения полного КПД преобразования электрической мощности в мощность оптического пучка [1] (до 50% от "розетки"), что, в свою очередь, стимулирует их дальнейшее совершенствование и по другим параметрам, например, таким, как расходимость оптического пучка. Однако, несмотря на то, что в ряде случаев удается осуществить режим генерации на нулевой поперечной моде, для которого расходимость близка к дифракционному пределу, проблема расходимости еще далека от полного решения. Дело в том, что даже в случае дифракционно ограниченного пучка его угловая апертура может превышать 40°, что приводит к значительным трудностям оптического согласования лазера с внешними устройствами. Соответственно предпринимаются попытки уменьшить расходимость.
В этой связи использование квантоворазмерных слоев в качестве активной среды в гетеролазере открыло широкие возможности для конструирования оптического волновода и, соответственно, для формирования диаграммы направленности его излучения.
Московский инженерно-физический институт, Москва.
2Московский физико-технический институт, Долгопрудный.
Например, в [2] достигнута расходимость излучения 13° в вертикальном направлении, перпендикулярном слоям структуры. Однако для практики важно не только значение угла, соответствующего спаданию интенсивности вдвое, но и доля мощности излучения, сосредоточенного внутри этого угла. В свою очередь, эта величина существенно закп сит от так называемого коэффициента наклона который определяет связь инт<
сивности /(у) излучения в данном угле ц> с соответствующим Фурье-преобразоваши-м амплитуды поля U(x) в ближней зоне:
+оо
E(R,<p) =K(R,<p) J U(x)e~koXsinipdx, (1)
—oo
I(<p)*p = K(R,tp) =
Здесь R - расстояние до точки наблюдения, ip - угол (см. рис. 1), E(R,tp) напря женность поля в "дальней зоне" (большие R), 1(<р) - поток энергии в угол dtp (плоское i ь xz, рис. 1) на участке единичной длины вдоль Оу, К(<р) - фактор наклона, U(x) элек трическое поле на поверхности выходного зеркала лазера, х - поперечная координата, перпендикулярная плоскости слоев гетероструктур лазера, z - координата вдоль направления распространения моды, /3 - комплексная константа распространения, ш оптическая частота, k0 = ы/с, с - скорость света в вакууме. Зависимость нолей от времени e~lwt опущена.
Подставляя выражение для Е в /, получим соотношение
2
d<p, (2)
в котором показана связь /(<£>) с U(x) через фактор наклона К((р).
Исторически, аналог этого коэффициента впервые был введен Френелем в извес i но:, соотношении для принципа Гюйгенса-Френеля для задач дифракции. Впоследстви . в теории дифракции Кирхгофа (см., например, [3]) для него было получено значение ~ (1 + cos ip).
Следует заметить, что поскольку точное решение задач дифракции известно исключительно для нескольких простых случаев, то выражения общего вида для это:' коэффициента не существует. По-видимому, это явилось одной из причин, по koi для полупроводниковых лазеров использовались совершенно разные соотношения, на пример, такие, как
/и = —\к{<р>)\2
+оо
J U(x)e
—kxо sin <~р
(3)
где пел = /3/к0 в [7] - эффективный показатель преломления волноводных слоев лазерной структуры, - константа распространения моды волновода, а п - показатель преломления обкладочных слоев волновода лазера.
Аргументы для использования того или иного выражения для К((р) в работах [4 - 7] носят характер качественных соображений либо имеют исключительно эмпирическое обоснование.
В настоящей работе, используя приближение, в котором выражение для поля на поверхности зеркала представлено в виде бегущей и отраженной волноводной моды, последовательно получено аналитическое выражение для К(1р).
Рассмотрим диаграмму направленности полупроводникового лазера, в котором поперечное распределение поля зависит только от одной координаты х, и который условно изображен на рис. 1. Будем считать также, что это распределение 1/(х), соответствующее лазерной моде, нам уже известно как решение соответствующей задачи, параметрами которой являются значения комплексной диэлектрической проницаемости и
Поверхность Б (зеркало диода)
Рис. 1. Выходная грань лазера.
соответствующие толщины слоев. Пусть, например, для этого сделаны предваритель ные расчеты, аналогичные рассмотренным нами в работе [8].
Используем точные интегральные соотношения Стрэттона-Чу [9], выражающие па пряженность электрического Ео и магнитного Но полей в точке с координатой г0 = (х°,2г°) через напряженности электрического Е и магнитного Н поля волны на поверх ности зеркала лазера (в плоскости 2 = 0):
Ёо(г)° = I{(Чд) х[Ёхп]~ 1к0д[Н х п] + (Vд){Ё ■ п}ёзь
з
Я0(г°) = |{(V«/) х [Н х п] + 1к0д[Ё х п] + (У<?)(Я • й)}<*8, (5)
я
д = ехр(.-ЛьД)/4тгД; Я = |г° - г| = [(х° - х)2 + у2 + {г0)2}1'2,
где г - вектор с координатами (х,у), лежащий в плоскости выходной грани лазера, ¿в = с1х(1у - элемент поверхности на этой плоскости и п - ее нормаль.
Несмотря на то, что соотношения (4) - (5) являются точными, непосредственно воспользоваться ими нельзя, поскольку нам заранее не известен точный вид полей ни на одной из поверхностей 5. Тем не менее, применительно к нашей задаче, примем за основу такое приближенное выражение для Е и Н в плоскости 2 = 0, которые буду г представлять только поля встречно распространяющихся волн одной и той же попереч ной моды. При этом другими полями, которые возникнут из-за рассеяния волноводной моды на выходной грани зеркала, как оптической неоднородности волновода, мы ф> небрежем.
В этом случае для отличных от нуля компонент Е и Н можно записать [8]
Еу = и(х){е** + ге-'^К^, (6)
Нх = (-Р/к0)и(х){е{(3* - ге-'^КЧ
Н> = + (8) «о ах
где г - коэффициент отражения по амплитуде для выходной грани. Выражения (6) (8) соответствуют ТЕ-моде. Мы будем рассматривать только этот случай.
Далее, подставляя эти выражения в интеграл (4), получим следующее вы раж г 1ше для »/-компоненты напряженности поля в точке г°, достаточно удаленной от вы ход ж . грани зеркала:
1 кпр'ЬоНо
Е» = 4тгаДоДО{(1 + Г) С°8 9 + {/3/к°){1 ~ Г)> Х (9)
+оо
Хл/5г(1+0 / и(х)е-1коХ*'т*<1х.
—оо
Здесь были использованы следующие соотношения:
Я=11о — х8т(р + у2/2Ло, ДО = [(х0)2 + (г°)2]1/2 (10)
{Чд)[Ё х п] ЗЁ Со5<ре<ко*°е-<коХ™ч'е<коу2/2Я° (11)
47ГЛО
- гАзд[Я х п] = -гк0дНх 2* х (12)
х(^/Ао)г/(х){1-г}.
Несмотря на то, что в соотношениях (10) - (12) использованы приближенные значения для Я и д, они не ограничивают точности (9), поскольку всегда можно выбрать достаточно большие го, при которых (10) - (12) справедливы дЛЯ требуемой точности. Сравнивая (9) с (1), получим выражение для коэффициента наклона К(<р) в виде
«о+ аз)
В это соотношение входит г - коэффициент отражения волны от поверхности раздела полупроводник-вакуум. Определение этой величины не может быть определено в рамках рассматриваемой здесь задачи, и мы должны взять ее извне.
В случае падения плоской волны на границу раздела среды 0 и среды 1 для г имеется следующее выражение:
к-1 ~ ко , .
где к0 и кг - нормальные (к поверхности раздела) компоненты волновых векторов в средах 0 и 1 соответственно. Однако в нашем случае имеется падение не плоской волны, а"локализованной" моды волновода II(х) (выражения (6) - (8)). В этом случае наиболее адекватным является выражение
г^Р-Ъ" (15)
в котором нормальная компонента волнового вектора заменена на константу распространения волноводной моды. Подставляя (15) в (13), получим окончательное выражение для фактора наклона
где пе/у = /З/ко - эффективный показатель преломления волноводных слоев лазерIки" структуры. В случае специальных покрытий выходной грани лазерного зеркала под п. > следует понимать показатель преломления последнего внешнего слоя покрытия зеркал
Приближенный характер уравнений (15) и (16) связан с тем, что для выбранных нами" выражений для полей в виде (6) - (8) условия на границе раздела сред 1 ; О строго не выполняются. Однако в принятом нами приближении, когда мы пренебреги : рассеянными на зеркале волнами и представляем поле в виде суперпозиции падающе.: . отраженной волн волноводной моды, для коэффициента г справедливо выражение (15). Таким образом, используя (15), мы не выходим за рамки приближения, принятого в начале работы.
Отметим также, что несмотря на то, что выражение (13) получено для волноводной моды ТЕ-типа, оно также годится для мод ТМ-типа. Нетрудно показать, что проводя аналогичные рассуждения для магнитного поля в дальней зоне лазера, мы опять полу чим то же выражение (13) для коэффициента наклона. При этом функцией и(х) будеч поперечное распределение амплитуды у-компоненты магнитного поля в ближней зош лазера.
Найденная зависимость К(<р) определяется множителем (1 + соэ (¿>), который полно стью совпадает с аналогичным множителем, возникающим в теории дифракции Кирх гофа [3]. и не совпадает с выражениями, обычно используемыми для полупроводииковы . лазеров в литературе (соотношение (3)). Необходимо отметить, что в единственной ра боте [10] все же использован множитель (1-Ьсоз (р) для фактора наклона при расч< ге граммы направленности полупроводникового лазера. Однако в этой работе множите,!!, появился без какого-либо вывода, что, по-видимому, явилось причиной, из-за которой работа не заслужила должного внимания.
Таким образом, в настоящей работе получено распределение интенсивности излучения /((¿>) в дальней зоне полупроводникового лазера как функционал от поперечного распределения амплитуды поля в ближней, выраженный в абсолютных величинах
На основе электродинамического подхода найдено значение для коэффициента на клона с угловой зависимостью в виде (1 + сову?). Единственное использованное при
(16)
этом приближение - это пренебрежение волнами рассеяния при отражении на выходном зеркале лазера. Это совершенно типично для оптической модели полупроводникового лазера, и только такое приближение используется при анализе излучательных характеристик лазера. Физическим обоснованием этого служит то обстоятельство, что разница в значениях показателя преломления слоев структуры, формирующих оптический волновод, много меньше, чем разница между показателем преломления каждого из слоев и показателем преломления внешней среды.
Несмотря на то, что найденный в работе коэффициент наклона отличается от традиционно используемого ~ cos <р, очевидно, что для полуширины диаграммы направленности использование найденного уточненного коэффициента не внесет существенных поправок. В то же время можно показать, что для некоторых волноводных структур поправка для доли энергии, сосредоточенной внутри определенного угла, может быть уже существенной.
Работа выполнена в рамках проекта УНЦ "Фундаментальная оптика и спектроскопия" программы "Интеграция".
ЛИТЕРАТУРА
[1] Б е з о т о с н ы й В. В., Б у л а е в П. В., Г о р б ы л е в В. А., и др. Квантовая электроника, 25, N 4, 303 (1998).
[2] Shun-Tung Yen et al., Proc. 15 IEEE Int. Semiconductor Laser Conf., 1996, M 2.3, p. 13 - 14.
[3] Б о p h M., Вольф Э. Основы оптики, M., Наука, 1973.
[4] К r i k b y P. A. and T h о m p s о n G. H. B. Opt. Electron., 4, 323 (1972).
[5] В u t 1 e r J. K. and Z о г о о f с h i J. IEEE J. Quant. Electron., 10, 809 (1974).
[6] К e й с и X., П a н и ш M. Лазеры на гетероструктурах, часть 1, М., Мир, 1981.
[7] В u u s J. IEEE J. Quant. Electron., 17, N 5, 732 (1981).
[8] Б о г а т о в А. П., Дракин А. Е., Медведев В. Р., Устинов А. В. Квантовая электроника, 25, N 4, 488 (1998).
[9] Д м и т р и е в В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики, М., Изд-во МГУ, 1987.
Поступила в редакцию 23 июля 1999 г.
