CC BY
107
Расчёт железобетонной арки с учётом ползучести бетона
А.А. Аваков, А.С. Чепурненко, С.В. Литвинов Ростовский государственный строительный университет
Аннотация: В работе получены основные уравнения для железобетонного элемента, испытывающего действие изгибающего момента и продольной силы, с учетом ползучести бетона. На основе данных уравнений исследуется напряженно-деформированное состояние железобетонной статически определимой трехшарнирной арки. При расчетах используется вязкоупругая модель. Рассматривается прямоугольное поперечное сечение с симметричным армированием. Показано, что в результате ползучести происходит перераспределение напряжений между арматурой и бетоном.
Ключевые слова: метод конечных элементов, ползучесть бетона, вязкоупругость, железобетонная арка, напряженно-деформированное состояние.
Железобетонные арки находят широкое применение в качестве стропильных конструкций, перемычек, в конструкциях мостов, покрытий промышленных зданий. Отличительной особенностью данных конструкций является то, что при правильно выбранном очертании возникающие в них изгибающие моменты малы, что отвечает специфике бетона — материала, плохо работающего на растяжение. Расчёт железобетонных арок, как правило, ведётся исключительно в упругой постановке. Однако для бетона характерна явно выраженная и развивающаяся даже в обычных эксплуатационных условиях ползучесть, которой ни в коем случае нельзя пренебрегать. В настоящей статье рассматривается методика расчета железобетонных арок с учетом ползучести бетона.
Так как арки являются брусьями малой кривизны, то их расчёт можно вести по формулам для внецентренно сжатых железобетонных стержней. Рассмотрим железобетонный элемент, испытывающий действие изгибающего момента и продольной силы. Расчётная схема, а также поперечное сечение показаны на рис. 1. Положительными будем считать растягивающие напряжения.
V
л
\
V
Ъ'..... \
Рис.1. — К расчёту железобетонного элемента Полная деформация бетона в соответствии с гипотезой плоских
су
сечений представляет собой сумму осевой деформации 0 и деформации, обусловленной изменением кривизны:
еъ = ^о -УХ, (1)
а2 V
где х
ах2
кривизна стержня.
^ = ^о + Уб X, - У'б X
Из условия совместности работы арматуры и бетона запишем выражения для деформаций арматуры:
(2)
Расстояния уБ и у'Б подставляются в формулу (2) по абсолютному значению.
Согласно модели вязкоупругого тела, полная деформация бетона — это
сумма упругой деформации ееъ1 и деформации ползучести еь [1]:
<ъ *
Е,
(3)
ъ
Из (3) напряжения в бетоне запишутся в виде: <ъ = Еъ (^ъ -£ъ)= Еъ (*о - УХ-£ъ).
Напряжения в арматуре определяются следующим образом:
<Б = ЕБ^Б = ЕБ (о + УбX), = еб£'б = ЕБ (^о - уБх) .
Запишем уравнение суммы моментов относительно оси г:
(4)
(5)
-М + Ау'б = 0. (6)
•ь
А
Составив сумму проекций всех сил на продольную ось стержня, получим:
N = а8А8 +а'8 А8+\аь(А. (7)
А
Подставив (4) и (5) в (6), для случая симметричного армирования
(As = А^, Уs = У^) получим:
1 ' Л
Х =
Е1геа
М - Еь¡е*у(А
ь
А
(8)
где Е1ге( = ESIS + Еь1ь — приведённая изгибная жёсткость поперечного
Ькъ
сечения; ^ = Es [Ау2б + А ^ )2 ]; 1ь =
12
Величина б0 находится из уравнений (4), (5), (7):
г \
, (9)
1
£0 =-
ЕАгес1
N + Еь\б* (НА
V А )
где ЕАге( = Es(AS + А') + ЕьАь — приведённая жёсткость поперечного сечения при осевом растяжении (сжатии).
Уравнения (4), (5), (8), (9) могут использоваться для расчёта с учётом ползучести статически определимых арок. На первом этапе выполняется статический расчёт — определяются внутренние силовые факторы М и N. В статически определимых системах при постоянных внешних нагрузках они не зависят от времени. Поперечное сечение по высоте разбивается на т частей Ау, а интервал времени на п шагов Аt. Для заданных сечений в
каждой точке вычисляются напряжения в бетоне без учёта ползучести. Если закон ползучести задан в дифференциальной форме, то по вычисленным напряжениям можно определить скорости роста деформаций ползучести
деъ дг
, а также деформации ползучести в момент времени г + Аг при помощи
линейной аппроксимации [1, 3-6, 8-Ю]:
де*
еь((+ А)=е* () + Аг.
дг
Был выполнен расчёт трёхшарнирной круговой арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q. Расчётная схема представлена на рис. 2.
ш
I
Рис. 2. — Расчётная схема арки Уравнение оси арки, очерченной по окружности:
У =
Я2 -
~2
- х
- Я + /; Я = ^- +
/ , ь2 .
2 8/
Б1П ( =
Ь - 2 х 2 Я
СОБ( =
у + Я - / Я
(1о)
Внутренние усилия в сечении К арки вычисляются по формулам:
МК = МК - Ну
К '
N
К
-(оКк
Б1П рК +
Н СОБ (К ),
(11)
кк
где Мк, Qк — момент и поперечная сила в сечении К в балке с аналогичным пролетом и нагрузкой.
В нашем случае МК = у (Ь - х); QК = 2(Ь - 2х); Н = .
Задача была решена при следующих исходных данных: q= 15 кН/м,
Ь = 16 м, /= 3.2 м, ъ = 2о см, И = 4о см, го = 28 сут, Еъ(то) = 3-Ю4 МПа
2
коэффициент армирования ¡и = = 0.02, ys = y's = 15 см, Es = 2-105 МПа.
Аь
Учитывалось старение бетона, т. е. возрастание его модуля упругости с течением времени. Зависимость модуля упругости бетона от времени принималась в виде:
При расчёте использовалось уравнение вязкоупругой модели наследственного старения бетона, которое имеет вид [7]:
Для расчёта данное уравнение было представлено в дифференциальной форме.
В = 5.68-10-5 МПа-1, у= 0.062.
На рис. 3 представлен график изменения напряжений в арматуре в зависимости от х и Верхней сетчатой поверхности соответствуют напряжения а^ в арматуре у верхней грани; нижней закрашенной — напряжения а в арматуре у нижней грани. Рис. 4 — изменение напряжений в бетоне в зависимости от x и t. Верхней поверхности соответствуют напряжения при у = к / 2, нижней — при у = - к / 2. Из рис. 3-4 видно, что вследствие ползучести бетона напряжения в арматуре по абсолютной величине возрастают, а в бетоне убывают. Наиболее существенное перераспределение происходит в точках, где изгибающие моменты максимальны (х « 2.1 м и х « 13.9 м).
Представленная задача была также решена методом конечных элементов. Система линейных алгебраических уравнений МКЭ с учётом ползучести имеет вид [2]:
Еь(() = Еь(т0+ (1 -Ь1 )е"Ьг(г-г°)], Ь1 = 1.282, Ь1 =-0.019.
Значения реологических констант: а = 0.032, С = 3.77-10-5 МПа-1,
[к {}={, *},
где {и} — вектор узловых перемещений; [К] — матрица жёсткости; —
*
вектор внешних узловых нагрузок; {^ } — вклад деформаций ползучести в вектор нагрузки.
50 -1.......
х, см I, сут
Рис. 3. Изменение напряжений в арматуре
х, см 1, сут
Рис. 4. Изменение напряжений в бетоне при у = h / 2 и у = - h / 2
В таблице № 1 представлено сравнение напряжений в бетоне и арматуре у нижней грани при х = 2.1 м в различные моменты времени, полученных численно-аналитически методом (далее — ЧАМ), а также численно с использованием МКЭ.
Из таблицы видно, что результаты практически совпадают, что свидетельствует о достоверности разработанной методики.
Таблица № 1
Сравнение результатов численно-аналитического расчета с МКЭ
t, сут 30 40 50 60 70 80 90 100
crt, МПэ ЧАМ -15.84 -14.70 -14.16 -13.87 -13.72 -13.64 -13.59 -13.56
МКЭ -15.81 -14.67 -14.17 -13.87 -13.71 -13.62 -13.57 -13.54
егу, МПй ЧАМ -102.8 -137.7 -154.6 -162.7 -167.8 -170.4 -172.1 -173.2
МКЭ -102.6 -137.4 -154.3 -163.1 -168.9 -170.3 -171.9 -172.8
Литература
1. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
2. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Языев С.Б. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Науковедение: электронный журнал. №3. 2013 URL: naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.
3. Кулинич И.И., Клименко Е.С., Языев С.Б., Литвинов С.В.. Продольный изгиб полимерного стержня с учетом начальных несовершенств // «Строительство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011. С. 159-161.
4. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языева С.Б.. Расчет на устойчивость полимерных стержней с учетом деформаций ползучести и
начальных несовершенств // Инженерный Вестник Дона. №2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/418.
5. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И. и др. Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления // Инженерный Вестник Дона. №2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.
6. Литвинов С.В., Клименко Е.С., Кулинич И.И., Языева С.Б. Устойчивость полимерных стержней при различных вариантах закрепления // Вестник МГСУ. №2. т.2. 2011. С.153-157.
7. Тамразян А.Г. Механика ползучести бетона: монография / А. Г. Тамразян, С. Г. Есаян. Москва: МГСУ, 2012. 490 с.
8. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ. №1. 2013, с. 101-108.
9. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep // Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.
10. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep//Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.
References
1. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
2. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Yazyev S.B. Naukovedenie: elektronnyy zhurnal. №3. 2013 URL: naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.
3. Kulinich I.I., Klimenko E.S., Yazyev S.B., Litvinov S.V. «Stroitel'stvo-2011»: materialy Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. Rostov-n/D: RGSU, 2011. pp. 159-161.
4. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I., Yazyeva S.B. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). №2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/418.
5. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). №2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.
6. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I., Yazyeva S.B. Vestnik MGSU. №2. t.2. 2011. pp. 153-157.
7. Tamrazyan A.G. Mekhanika polzuchesti betona [Mechanics creep of concrete]. A. G. Tamrazyan, S. G. Esayan. Moskva: MGSU, 2012. 490 p.
8. Chepurnenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Vestnik MGSU. №1. 2013, pp. 101-108.
9. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Advanced Materials Research Vols. 1004-1005 (2014) pp. 257-260. Trans Tech Publications, Switzerland.
10. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.
