Расчёт показателя вероятности выполнения измерительной задачи информационно-измерительной системой с временной избыточностью Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

РАСЧЁТ ПОКАЗАТЕЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ С ВРЕМЕННОЙ ИЗБЫТОЧНОСТЬЮ

Смагин Владимир Александрович,

д.т.н., профессор кафедры метрологического обеспечения вооружения, военной и специальной техники Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

Лавров Роман Олегович,

к.т.н., доцент, заместитель начальника кафедры метрологического обеспечения вооружения, военной и специальной техники Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

Богданец Александр Владимирович,

начальник метрологической службы Западного военного округа Вооруженных Сил Российской Федерации, г. Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

Ширямов Олег Анатольевич,

адъюнкт кафедры метрологического обеспечения вооружения, военной и специальной техники Военно-космической академии имени А.Ф.Можайского, г. Санкт-Петербург, Россия, [email protected]

АННОТАЦИЯ

Рассмотрен один из показателей качества, связанный с временной избыточностью, позволяющей системе выполнять задание в случае ее нарушения и возобновления работы при наличии избыточного времени. Предлагается распространить показатель надёжности для систем с временной избыточностью на информационно-измерительные системы. Рассмотрены случаи возобновления выполнения работы информационно-измерительной системы после отказа при мгновенном исправлении измерительного канала системы, а также со случайной задержкой. Приведены выражения для расчетов двух первых центральных моментов случайной величины избыточного времени системы с временной избыточностью. Предложен способ нахождения вероятности выполнения задания системой при произвольных не экспоненциальных плотностях вероятностей времени безотказности и восстановления. Приведена зависимость вероятности выполнения работы системой с резервом времени от ее готовности.

Рассмотрены два способа накопления и потери определенного количества информации информационно-измерительной системой при выполнении ей задания. В интегральное уравнение для определения вероятности выполнения задания системой и её решение вводятся параметры накопления информации при работе и потери информации при восстановлении системы. Показано, как в этом уравнении учитывать информационные параметры, связанные с накоплением и потерей количества информации в процессе работы системы. Приведён простой пример расчёта вероятности выполнения задания информационно-измерительной системой с временной избыточностью при условии, что за периоды активной работы она накапливает измерительную информацию, а за периоды восстановления ее теряет. Рекомендуется использовать полученные результаты в сетевых информационно-измерительных системах для достижения оптимальных решений.

Ключевые слова: временная избыточность; интегральное уравнение; вероятность выполнения задания; накопление и потеря информации; информационная работа и рентабельность; оптимальные задачи для сетевых информационных систем.

Для цитирования: Смагин В. А., Лавров Р. О., Богданец А. В., Ширямов О. А. Расчёт показателя вероятности выполнения измерительной задачи информационно-измерительной системой с временной избыточностью // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2017. Т. 9. № 4.С. 42-47.

Введение

Современные информационно-измерительные системы строятся на основе вычислительной техники. В отличие от систем прошлого века, которые характеризовались высоким уровнем энергетической и низким уровнем информационной насыщенности, системы настоящего века отличаются низким уровнем энергетической и высоким уровнем информационной насыщенности. Информационная интенсивность процессов управления присуща также социальным системам и их компонентам. Бурно развиваются новые информационные технологии, наблюдается значительный прогресс в области информатизации общества [1].

Высокая эффективность процессов управления в современных измерительных системах обуславливается, прежде всего, использованием высокопроизводительной вычислительной техники. Сегодня практически нет такой сферы человеческой деятельности, где бы ни использовались вычислительные средства, в том числе и в измерительной технике. В XX веке главное внимание науки сосредотачивалось на разработке автоматизированных информационно-измерительных систем, моделей их анализа и синтеза, устойчивости, надёжности и помехозащищённости, информационной теории измерений. В XXI преобладающий интерес в ней уже относится к информационной кибернетике, автоматическим системам, анализу и синтезу информационных систем и сетей искусственного интеллекта [2].

Научные методы анализа и синтеза качества измерительных систем, основные критерии и показатели, разработанные в прошлом веке, явились основой для дальнейшего их совершенствования и построения новых методов [3]. В настоящее время они всё более приобретают выраженную информационную направленность. Так, например, теория эффективности [4] и квалиметрия [5] начинают принимать с позиции их результативности более информационную окраску. И эта тенденция будет возрастать.

Рассмотрим частный вопрос информационно-измерительной системы, связанный с показателем временной избыточности, предложенный в теории надёжности [6]. На примере этого показателя покажем насколько важно при его расчёте вводить, измерять и учитывать информационную составляющую.

Показатели надёжности системы

при наличии временной избыточности

В монографии [6] рассмотрена следующая задача. Информационно-измерительная система должна непрерывно работать в течение времени т. Отказ в указанном промежутке времени приводит к полному обесцениванию результатов её работы, проделанной до момента отказа т.

Предполагается, что время, отведённое на выполнение работы системой, больше минимально необходимого времени т. При возникновении отказа в течение времени т измерительный канал системы мгновенно заменяется исправным, и работа начинает выполняться сначала. Этот процесс продолжается до тех пор, пока работа длительностью т единиц времени не будет выполнена в течение до-

полнительного времени отведённого для её выполнения. На основании теоремы о полной вероятности имеем

P(x, t) = P(t,0) + } a(£) Pix, t _£)d £

(1)

где а(Е)—плотность вероятности времени до отказа системы, Р(х, 0) — вероятность выполнения работы системой при условии, что избыточное время / равно нулю.

Решение уравнения (1) в изображении Лапласа [7] имеет вид

P' (т, s ) = -

Р(т,0)

s(1 -} a(£)e~s£ d £)

(2)

Если возобновление выполнения работы после отказа системой происходит со случайной задержкой, то есть с учётом немгновнного возобновления, то решение уравнения (1) принимает вид

P' (т, s) = -

Р(т,0)

s(1 - g * (s) J a(£)e-d£)

(3)

в котором g*(s) — изображение Лапласа плотности вероятности времени восстановления работоспособности системы после её отказа. Выражение (3) для произвольных распределений было получено доктором физико-математических наук профессором X. Л. Смолицким [8].

Укажем на непосредственное использование выражения (3) в практических расчётах. Часто необходимо знать два первых центральных момента случайной величины избыточного времени. После дифференцирования выражения (3) по переменной S, последующего приравнивания результата к нулю и элементарных преобразований будем иметь

t, +

t = -

т

J P(£,0)d £

_o_

P(t,0)

(4)

--t,_т,

где гв — средняя величина избыточного времени.

Величина дисперсии избыточного времени будет равна

т _ т т

а2в I а(&с1 £ + 2 ¡в | £ +1 £2а(®с1£

D, =

P(T,0)

_ т т

[t, Ja(£)d£ + j£a(£)d£]2

(5)

Р (т,0)

В выражении (5) величина а2в — второй начальный момент случайного времени восстановления.

Более сложным является нахождения вероятности выполнения задания системой при заданных величинах т, / и произвольных не экспоненциальных плотностях вероятно-

стей времени безотказности и восстановления. В общем случае от изображений (2) и (3) следует переходить к искомым вероятностям численными методами обращения преобразования Лапласа. Использование таблиц обратного преобразования даже в простейших случаях фактически бесполезно.

Для практических расчётов, когда величина вероятности Р(т, /) достаточно близка к единице, удовлетворительный ответ по точности вычисления может дать формула, полученная на основе приближённого обращения преобразования Лапласа по формулам Алфрея или Хаара. Эти формулы следуют из формулы Уайдера [9] — формулы приближённого обращения изображения Лапласа на основе свойства фильтрации преобразования с помощью дельта-функции Дирака [10].

Пользуясь, например, аппроксимационной формулой Алфрея,

f (t) - sf * (s)

1

Выражение (8) может быть представлено в виде

КГ ,0 < t < т,

Р(т, t)«-

1 -(1 -КГ)е tB , t >т

Зависимость (9) показана на рис. 1.

(6)

из формулы (3) получим выражение

ГЫ) =-(7)

(1 - g* (-а£)е < а^

* о

которое является оценкой сверху вероятности выполнения задания системой. Поэтому в дальнейшем полученную оценку необходимо скорректировать.

Если восстановление после отказа системы является мгновенным, то в формуле (3) следует принять1/*(5)=1. В этом случае выражения (4), (5) и (7) упрощаются.

Важным свойством временной избыточности, широко используемым в современных автоматизированных комплексах, является то, что её введение приводит к увеличению их готовности. Действительно, согласно методике, предложенной профессором Н.М. Седякиным [11], вероятность выполнения задания ремонтируемой системой с резервом времени определяется по формуле

Р(т, *) = +

Т (т + * )+©(х + Т) (8)

• (--,т/) '}7и )аи,

Т(т + *) + ©(х + 0 о

где Т, © — длительности импульсов работоспособности и паузы, причём длительность импульса работоспособности укорочена на величину т + /;

/(V) — плотность распределения времени от момента поступления команды в систему до начала следующего импульса работоспособности;

/—среднее избыточное время, потребное для решения задачи длительностью т при наличии сбоев или отказов в системе, определяемое по формуле (4).

Рис. 1. Вероятность выполнения работы системой с резервом времени

Информационная производительность и количество работы

При выполнении поставленного задания система с временной избыточностью может накапливать или терять определённое количество информации [12]. Можно различать два способа накопления ею количества информации. При первом способе поступающая информация только накапливается в системе. При втором способе информация накапливается по мере поступления в систему и теряется в процессе восстановления системы.

Рассмотрим первый способ. Предполагаем, что в систему поступает с постоянной скоростью некоторое количество измерительной информации (байтов, файлов и др.). Тогда за случайное время работы системы во время одного цикла принимается случайное количество информации. Плотность вероятности этого количества информации определяется так

1t

w(t) = -a( -).

В преобразовании Лапласа (10) принимает вид

(10)

у/ (,у) = а* (А) ■

Тогда формула (2) с учётом выражения (10) представится в виде

R*( T,s) = -

Д(т,0)

s(1 -} Ia( I )e"s

I I

d Q

s

t

где Л*(т, я) — изображение Лапласа количества информационной работы, выполненной системой с временной из-

т

быточностью Величина Л(т,0) = Р(у).

Второй способ отличается от первого тем, что в течение времени восстановления системы измерительная информация теряется с некоторой постоянной скоростью. Плотность вероятности количества потерянной информации определяется так

^) = 7 / (7х

где 7— скорость потер и информации.

В преобразовании Лапласа (11) принимает вид

у*(0 = г*(^0, а формула (3) записывается так

R' (т, s ) = -

P( 7,0)

(1 _ g * ( Js)J-a(£ £ )e-s£d £)

I I

R(т, t) = -

P( т,0)

J г 1 £ -(1 - g * ( J )J 7*ê )e 'd £)

t о ' '

Примем следующие исходные данные: m = 10 h., a = 3 h., a(t) = dnorm(t, m, a), ц = 5 h~

. ц2 >?

g (s) = T = 10 h- ' = 1>5-Ь

(s + ц)2 @

>? } 1 £ _ J = 0,3 —, P(x,t) = J-a{')d£

Окончательно получаем расчётное выражение:

м 1 £ J-*( ? )d £

R(т, t ) = -

(1--J1 a(£ )e ' d £

' (j+Mt)2 J i 'r -

На рис. 2 представлена кривая вероятности (13). Кроме того, на рисунке показана пунктиром кривая вероятности Р(1) для случая, когда информационные параметры не учитываются, то есть 1=0,0=0.

(11)

(12)

Начальные моменты вероятности (2) или (15) определяются по формулам дифференцирования преобразования Лапласа. Для сокращения объёма статьи они не приводятся.

Пример

Требуется рассчитать вероятность выполнения измерительной задачи информационно-измерительной системой с временной избыточностью при условии, что за периоды активной работы она накапливает измерительную информацию, а за периоды восстановления (простоя) информацию теряет.

Решение: Применяя формулу Алфрея (6) к выражению (12), получаем

(13)

Рис. 2. Кривая вероятности R(x, t) и P{f)

Следует отметить, что с увеличением параметра I кривая R(f) поднимается вверх, а с увеличением параметра J опускается вниз, что соответствует в первом случае увеличению, а во втором случае снижению количества накапливаемой информации.

Это и означает, что количество информации с увеличением параметра I имеет тенденцию роста, а с увеличением параметра J—тенденцию снижения.

Однако, чтобы определить полное количество накопленной информации в непрерывном процессе с увеличением времени t, необходимо воспользоваться более трудоёмким и точным механизмом её подсчёта. В силу громоздкости он здесь не приводится, а только делается ссылка на источник [13], в котором на примере дублированной восстанавливаемой системы с накоплением и потерей информации он рассмотрен детально. Там же приводится и методика оценивания рентабельности информационной системы.

Практическое применение предложенной модели

В данной статье нами рассмотрена только сама модель расчёта информационной характеристики с временной избыточностью. Наибольший интерес прикладного характера может найти в её применении в сетевых, многоузловых системах, связанных с измерением, накоплением, хранением и преобразованием информации. Для оценивания и обеспечения уровня эффективности функционирования таких систем необходимо решать прямую задачу оптимизации — достигать максимальной вероятности действия системы при оптимальном распределении временного резерва между компонентами системы. Пли решать обратную задачу — обеспечение требуемого уровня эффективности функционирования системы при минимальных затратах общей временной избыточности, используемой в системе.

Заключение

Сформировано мнение о том, что в период интенсивного информационного развития общества и науки необходимо уделять достаточно большое внимание количественным

т

методам оценивания влияния информации на процессы научного исследования. Важные показатели качества функционирования современных систем управления должны включать в свой состав компонент информации. Для этой цели необходимо корректировать существующие показатели или разрабатывать новые.

В качестве рекомендаций предлагается научно решать оптимизационные задачи для сложных сетевых структур с временной избыточностью. Прямая задача — достижение максимума целевой функции при ограничении на временной ресурс системы. Обратная задача — определение минимального временного ресурса системы при условии достижения требуемого целевого показателя системы. При оценивании эффективности работы системы в необходимом случае определять именно её информационную эффективность.

Литература

1. Винер Н. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине: пер. с англ. И. В. Соловьева. 2-е изд. М.: Наука, 1983. 344 с.

2. Moffat J. Command and Control in the Information Age: Representing its Impact. London: The Stationery Office, 2002. 200 p.

3. ВласовВ.О. Современное состояние и перспективы развития технологии автоматизированного управления и связи // Труды Военно-космической академии имени А. Ф. Можайского. 2007. № 621. С. 163-167.

4. Петухов Г. Б. Основы теории эффективности целенаправленных процессов. Часть 1. Методология, методы, модели. МО СССР, 1989. 660 с.

5. Субетто А. 14. Эффективность как мера качества систем и процессов. МО СССР, 1985. 46 с.

6. СмагинВ.А. Немарковские задачи теории надёжности. МО СССР, 1982. 269 с.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1 : пер. с англ. / под ред. М. Я. Виленкина. М.: Наука. 1968. 344 с.

8. Смолицкий X. Л. К вопросу об оптимальном резервировании аппаратуры II Известия АН СССР. 1959. № 4. С. 7-11.

9. Гусеница Я. Н., НоеикоеА.Н. Принцип баланса «комплексных вероятностей» при моделировании нестационарных систем обслуживания, представленных циклическим графом состояний II Информация и космос. 2016. №3. С. 71-74.

10. Thomas L. Cost. Approximate Laplace Transform Inversions in Viscoelastic Stress Analysis IIAIAA journal. 1964. Vol. 2. No. 4. Pp 57-62.

11. Седякин H. M. Введение в теорию надёжности и об-служиваниятехническихсистем. Ленинград, 1965. 172 с.

12. Тарасенко Ф. П. Введение в курс теории информации. Томск: Издательство томского университета, 1963. 240 с.

13. Парамонов И. Ю. Смагин В. А., Харин В. Н. Оценивание эффективности функционирования простейшей восстанавливаемой системы с риском II Приборостроение. 2014. № 4. С. 32-37.

CALCULATION OF THE INDICATOR OF PROBABILITY OF PERFORMANCE OF THE MEASURING PROBLEM BY INFORMATION-MEASURING SYSTEM WITH TIME REDUNDANCY

Vladimir A. Smagin,

St-Petersburg, Russia, [email protected]

Roman O. Lavrov,

St-Petersburg, Russia, [email protected]

Alexander V. Bogdanetc,

St-Petersburg, Russia, [email protected]

Oleg A. Shiryamov

St-Petersburg, Russia, [email protected] ABSTRACT

The article considers one of the quality indicators associated with the temporary redundancy, which allows the system to perform the task in the event of its violation and the resumption of work in the presence of excessive time. It is proposed to extend the reliability index for systems with temporary redundancy to information-measuring systems. The cases of the resumption of the work of the information-measuring system after failure with the instantaneous correction of the measuring channel of the system, as well as with a random delay are considered. Expressions are given for the calculation of the first two central moments of the random value of the excess time of the system with time redundancy. A method is proposed for finding the probability that a job will be performed

by the system for arbitrary non-exponential density probabilities of fail-safe time and recovery. The dependence of the probability of the work performed by the system with the time reserve from its readiness is given.

Two ways of accumulating and losing a certain amount of information by an information measuring system are considered when carrying out a task. In the integral equation for determining the probability of the task execution by the system and its solution, the parameters of information accumulation during operation and information loss during system restoration are introduced. It is shown how in this equation to take into account the information parameters associated with the accumulation and loss of the amount of information in the process of the system. A simple example is given of calculating the probability that a task will be performed by an information and measuring system with temporary redundancy, provided that during periods of active work it accumulates measurement information, and loses it during the recovery periods.

It is recommended to use the results obtained in network information and measurement systems to achieve optimal solutions.

Keywords: time redundancy; the integrated equation; probability of performance of the task; accumulation and information loss; information work and profitability; optimum problems for network information systems.

References

1. Wiener N. Cybernetics or Control and Communication in the Animal and the Machine. 2nd ed. New York - London: The M. I.T. Press and John Wiley & Sons, Inc., 1961. 212 p.

2. Moffat J. Command and Control in the Information Age: Representing its Impact. London: The Stationery Office, 2002. 200 p.

3. Vlasov V. O. Sovremennoe sostojanie i perspektivy razvitija tehnologii avtomatizirovannogo up-ravlenija i svjazi [Current state and prospects of development of technology of automated management and communication]. Trudy voenno-kosmicheskoi akademii imeni A. F. Mozhaiskogo [Proc. of the Military Space academy named after A. F. Mozhaisky]. 2007. No. 621. Pp. 163-167. (In Russian).

4. Petuhov G. B. Osnovy teorii jeffektivnosti celenapravlennyh processov. Chast' 1. Metodologija, metody, modeli [Bases of the theory of efficacy of purposeful processes. A part 1. Methodology, methods, models]. The Ministry of Defence USSR, 1989. 660 p. (In Russian)

5. Subetto A. I. Jeffektivnost' kak mera kachestva sistem i processov [Efficacy as a measure of quality of systems and processes]. The Ministry of Defence USSR, 1985. 46 p. (In Russian)

6. Smagin V. A. Nemarkovskie zadachi teorii nadjozhnosti [Nemarkovsky problems of the theory of reliability]. The Ministry of Defence USSR, 1982. 269 p. (In Russian)

7. Bateman H., Erdelyi A. Tables of integral transforms. Volume I. New York: Mcgraw-Hill Book Company, 1954. 356 p.

8. Smolitsky H. L. On the issue of optimal equipment reservation. Izvestija AN SSSR [Proceedings of the USSR Academy of Sciences]. 1959. No 4. Pp. 7-11. (In Russian)

9. Gusenitsa Y. N., Novikov A. N. The principle of "complex probabilities" balance, applied to simulation of nonstationary service systems represented by the cyclic graph of states. Informacija i kosmos [Information and space]. 2016. No 3. Pp. 71-74. (In Russian)

10. Thomas L. Cost. Approximate Laplace Transform Inversions in Viscoelastic Stress Analysis. AIAA journal, 1964. Vol. 2. No. 4. Pp 57-62.

11. Sedjakin N. M. Vvedenie v teoriju nadjozhnosti i obsluzhivanija tehnicheskih system [Introduction in the theory of reliability and service of technical systems]. Leningrad, 1965. 172 p. (In Russian)

12. Tarasenko F. P. Vvedenie v kurs teorii informacii [Introduction in a course of the theory of the information]. Tomsk: Publishing house of Tomsk university, 1963. 240 p. (In Russian)

13. Paramonov I. Ju. Smagin V. A., Harin V. N. Ocenivanie jeffektivnosti funkcionirovanija prostejshej vosstanavlivaemoj sistemy s riskom [Estimation of efficacy of functioning of the elementary reduced system with risk]. Priborostroenie [Instrument making]. 2014. No. 4. Pp. 32-37. (In Russian)

Information about authors:

Smagin V. A., PhD, Full Professor, Professor of the Military Space Academy. Lavrov R. O., PhD, head of Department of the Military Space Academy; Bogdanetc A. V., the chief of metrological service of district; Shiryamov O. A., post-graduate student of the Military Space Academy.

For citation: Smagin V. A., Lavrov R. O., Bogdanetc A. V., Shiryamov O. A. Calculation of the indicator of probability of performance of the measuring problem by information-measuring system with time redundancy. H&ES Research. 2017. Vol. 9. No. 4. Pp. 42-47. (In Russian)