CC BY
26
Расчёт на прочность гофрированной тонкой пластины на упругом основании
обратным методом
Е.Э. Кадомцева, Н.В. Сикачёва, Ю.А. Кирсанов
Академия строительства и архитектуры Донского государственного технического университета, Ростов-на-Дону
Аннотация: В работе рассматривается прямоугольная пластина, подкреплённая рёбрами жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Пластина опирается на упругое основание и нагружена распределённой нагрузкой по следующему закону
Ч = Чф* яш—* со в^-. Задача решается обратным методом. Функция прогибов
пластины задаются в виде: № = €*= За расчётную схему принимается шар-
нирно опёртая ортотропная пластина на упругом Винклеровском основании. Исследуется напряженное состояние и проводится расчет на грузоподъемность для различных параметров пластины и основания. Расчёты показали, что грузоподъёмность волнистой пластины выше по сравнению с грузоподъёмностью плоской пластины.
Ключевые слова: гофрированная, пластина, упругое основание, обратный метод, тонкая, ортонормированная, изгиб, грузоподъёмность, прочность.
Пластина на упругом основании является широко распространённой моделью конструктивных элементов объектов строительства, машиностроения, приборостроения, авиастроения, судостроения и т. д.
Аналитические решения для пластин являются альтернативными по отношению к решениям, полученным численными методами, если для расчетов ответственных объектов требуется подтверждение достоверности полученных результатов [1-4].
Проводилось исследование напряженного состояния и расчет на грузоподъемность для различных параметров пластины и основания. Выбор модели основания Винк-лера обусловлен тем, что,винклеровская модель математически проста и дает достаточно хорошие результаты.
Рис
1. Волнистая пластина на упругом основании. Ь - ширина пластины;а - длина пластины;/- высота волны пластины; I - длина волны пластины.
пластина, имеющая различные цилиндрические жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, зависящих от жёсткости подкрепляющих рёбер. [5 — 6].
Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пластины на упругом основании в этом случае имеет вид[7-11]:
За расчётную схему принимается ортотропная шарнирно опёртая
(1)
(2)
(3)
-20,
(4)
(5)
/{—коэффициент постели, распределённая нагрузка,\у- прогиб пла-
стины, И- толщина пластины,Е-модуль упругости при растяжении, V- коэффициент Пуас-
сона, амплитуда волны, I- длина волны.
Нагрузка, действующая на пластину, распределена по закону:
(6)
Функция прогибов пластины задаются в следующем виде:
(7)
Постоянная С определяется из уравнения (1):
С =
_
Максимальные нормальные напряжения определяются по формулам:
ЬМхтах & I г> ¿"^ .
Из условия прочности по нормальным напряжениям определяем
Таблица № 1
Грузоподъемность пластины в зависимости от высоты волны
Высота волны /, м Длина волны 1, м Максимальное нормальное напряжение Предельно допускаемая нагрузка .;., МПа Максимальное нормальное напряжение Предельно допускаемая нагрузка .;., МПа
0,01 0,05 0,83й-: 192,77 10,24^ 15,63
0,0125 0,797.,; 200,75 16,74;- 9,56
0,015 0,749?: 213,6 25,59?: 6,25
0,018 0,69?. 231,88 39,49?. 4,05
0,02 0,66>-;> 242,4 50,7?-. 3,16
Зависимость предельно допустимой нагрузки от высоты
волны
1= 1,0 см f= 1,25 см f= 1,5 см f= 1,8 см f= 2,0 см
■ д_0, МПа по оси х ■ р_0, МПа по оси у
Диаграмма 1 -/- высота волны, фр - Предельно допустимая нагрузка, МПа.
Как видно из результатов расчетов, чем больше высота волны, тем больше предельно допускаемая нагрузка по оси х и меньше по оси у.
Таблица № 2
Грузоподъемность пластины в зависимости от длины волны
Длина волны 1, м Высота волны /, м Максимальное нормальное напряжение ¿мах Предельно допускаемая нагрузка .;., МПа Максимальное нормальное напряжение Предельно допускаемая нагрузка .;., МПа
0,04 0,01 0,857?: 186,7 10,7?: 14,95
0,05 0,83 ? ; 192,77 10,24?: 15,63
0,06 0,857.,; 186,7 9,9.?-. 16,2
0,07 0,874?: 183,07 9,75?: 16,4
0,08 0,88?. 181,8 9,65?. 16,58
висимость предельно допустимом нагрузки от длины волны
200 150 100 50 0
■ МПа по оси х ■ q_0, МПа по оси у
Диаграмма 2-1- длина волны, ÍJp - Предельно допустимая нагрузка, МПа.
Вывод: чем больше длина волны пластины, тем меньше предельно допускаемая нагрузка по оси х и больше по оси у.
Таблица № 3
Грузоподъемность пластины в зависимости от коэффициента постели упругого основания
Коэффициент постели основания К, Мпа/м Длина волны l, м Высота волны / м Максимальное нормальное напряжение Предельно допустимая нагрузка .; ., МПа Максимальное нормальное напряжение р тсдр Предельно допустимая нагрузка Чш- МПа
100 (песок) 0,05 0,01 48,5 40,95;. 3,9
1= 4,0 см 1= 5,0 см 1= 6,0 см 1= 7,0 см 1= 8,0 см
200 (грунт песчано-глинистый, уплотненный)
400 (известняк)
600 (бутовая кладка)
800 (бетон)
1,66- 96,38 20,475;:- 7,8
0,83;- 192,77 10,24;:- 15,63
0,55;:- 290,9 6,8;:. 23,53
0,42;- 380,95 5,1 31,37
Зависимость предельно допустимой нагрузки от коэффициента постели упругого основания
топ о 380,95 „
500 3 9 7 8 192 77 15,632909 „^^Цг 31,37
9б,38д^' 1В ^ Ч_0, МПа по оси у
^Ц^Р ^^^г п МПа по оси к
0
К=100 К= 200 К= 400 К=600 К= 800
■ д_0, МПа по оси х ■ д_0, МПа по оси у
Диаграмма 3 - К - коэффициент постели, - Предельно допустимая нагрузка,
МПа.
Вывод: из расчетов видно, что между коэффициентом жесткости упругого основания и предельно допустимой нагрузкой по оси х и у, прямо пропорциональная зависимость.
Входе исследования был проведен сравнительный анализ предельно допустимой нагрузки для гофрированной пластинки и прямоугольной плоской пластины. Результаты расчетов показали, что выгоднее использовать гофрированную пластину.
Таблица № 4
Результаты расчетов прямой прямоугольной и гофрированной пластин
Длина волны 1, м Высота волны / м Максимальное нормальное напряжение ¡г™** Предельно допустимая нагрузка ; ■, МПа(расчё т пост™**) Максимальное нормальное напряжение Предельно допустимая нагрузка ■, МПа(расчё тпогг™^)
Плоская пластина 0,05 0,01 0,177с: 903,95 2,24
Гофрированная пластина 0,83;. 192,77 10,24;.. 15,63
Предельно допустимая нагрузка прямой и гофрированной пластин
903,95
прямая пластина Гофрированная пластина
■ МПа по оси х ■ МПа по оси у
Диаграмма 4 фд - Предельно допустимая нагрузка(МПа).
Вывод: исследование показало, что грузоподъёмность, гофрированной пластины выше, чем прямоугольной. Несмотря на то, что предельно допустимая нагрузка по оси х намного больше у прямой пластины, предельно допустимая нагрузка по оси у в 6,9 раз в прямой пластине меньше, чем в гофрированной пластине.
Исследование показало, что напряженное состояние и грузоподъемность гофрированной пластины на упругом основании во многом зависит от геометрических параметров пластины и от жесткости основания, на которое опирается сама пластина. Данный метод позволяет исследовать влияние параметров пластины, рёбер и характеристик упру-
гого основания на прочность волнистой пластины на упругом основании при изгибе и востребован при расчёте элементов инженерных конструкций[12-14].
Литература
1. Кадомцева Е.Э., Моргун Л.В. Учёт влияния отличия модулей упругости на сжатие и растяжение при расчёте на прочность армированных балок с заполнителем из фибропенобетона. // Инженерный вестник Дона, 2013, № 2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.
2.Кадомцева Е.Э., Бескопыльный А.Н. Расчёт на прочность армированных балок с заполнителем из бимодульного материала с использованием различных теорий прочности. // Инженерный вестник Дона, 2013, № 4 URL: iv-don.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.
3.Матвеев С.А., Мартынов Е.А., Литвинов Н.Н. Расчёт армированной дорожной одежды как многослойной плиты на упругом основании. // Вестник Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Сер.: Механика. 2015. Вып.4(45)с. 72-76.
4.Большаков А. А. Прямоугольная пластина, упруго опертая по контуру // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. 2011. Вып. 4 (19). URL: vestnik.vgasu.ru
5. Belen'kii D.M., Beskopyl'nyi A.N., Vernezi N.L., Shamraev L.G. New approach to the strength analysis of awelded butt joint. Industrial Laboratory. 1996. V., C. 62. № 8. pp. 517-520.
6. Беленький Д.М., Бескопыльный А.Н. Измерение вектора механических свойств материала деталей машин. Вестник машиностроения. 1997. № 8. С. 44.
7.Кадомцева Е.Э., Бескопыльный А.Н., Бердник Я.А. Расчёт на жёсткость пластины, подкреплённой рёбрами, на упругом основании методом Бубнова-Галёркина. Инженерный вестник Дона, 2016, № 3 URL:ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3699/.
8. Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т.1. -М. изд-во" Наука", Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1981. -832 с.
9.Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. -М. Высшая школа 1987. - 576 с.
10. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трёх томах. Под общей редакцией Биргер И.А. и Пановко Я.Г. Т.2. - М., изд-во "Машиностроение", 1988.- с.464.
11. Мышкис А. Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы. - М. изд-во "Физматлит", МАИК «Наука/Интерпериодика», 2007.-687 с.
12. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках: Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.-494 с.
13. Shukla S.K. Shallow foundations in geosynthetics and their applications. -Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163
14. Yin J.H. Comparative modeling study on reinforced beam on elastic foundation. In Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol.126, No.3., pp.265-271.
References
1. KadomcevaE.E., Morgun L.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, № 2 URL:ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.
2. Kadomceva E.E., Beskopyl'nyj A.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, № 4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.
3. Matveev S.A., Martynov E.A., Litvinov N.N. Vestnik Sibirskoj gosu-darstvennoj avtomobil'no-dorozhnoj akademii. Ser.: Mehanika. 2015. Vyp.4 (45) 72.76 p.
4. Bol'shakov A.A. Internet.vestnik VolgGASU. Ser.: Politematicheskaja. 2011. Vyp. 4 (19). URL.vestnik.vgasu.ru
5. Belen'kii D.M., Beskopyl'nyi A.N., Vernezi N.L., Shamraev L.G. Industrial Laboratory. 1996. V. 62. № 8. pp. 517.520.
6. Belen'kij D.M., Beskopyl'nyj A.N. Vestnik mashinostroenija. 1997. № 8. p. 44.
7. Kadomceva E.Je., Beskopyl'nyj A.N., Berdnik Ja.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, № 3 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n3y2016/3699/.
8. Filin A.P. Prikladnaja mehanika tvjordogo deformiruemogo tela. [Applied mechanics of a rigid deformable body.] V.1. M. izd.vo" Nauka", Gl. red.fiz.mat. literatury, 1981. 832 p.
9. Simvulidi I.A. Raschet inzhenernyh konstrukcij nauprugom osnovanii. [Calculation of engineering structures on an elastic foundation] M. Vysshajashkola. 1987. 576 p.
10. Prochnost', ustojchivost', kolebanija. Spravochnik v trjohtomah. Pod obshhe-jredakciej Birger I.A. i PanovkoJa.G. [Strength, stability, vibrations. Reference book in three volumes. Under the general editorship Birger IA and PanovkoYa.G.] V.2. M., izd.vo "Mashinostroenie", 1988. p.464.
11. Myshkis A.D. Prikladnaja matematika dlja inzhenerov. Special'nye kursy. [Applied mathematics for engineers. Special courses.] M. izd.vo "Fizmatlit", MAIK «Nauka. Interperiodika», 2007. 687 p.
12. Benerdzhi P., Batterfild R. Metod granichnyhj elementov v prikladnyh nau-kah.: Per. s ang. [Method of boundary elements in applied sciences: Trans. with eng.]M.: Mir, 1984. 494 p.
13. Shukla S.K. Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163.
14. Yin J.H. In Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol.126, No.3., pp.265-271.
