CC BY
44
РАСЧЕТ ЛИНЗ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ПАРАКСИАЛЬНОГО ПРОДОЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СООТВЕТСТВИИ С ИХ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ СПЕКТРОМ
Хонина С.Н., Устинов А.В.
Институт систем обработки изображений РАН
Аннотация
Рассмотрены радиально-симметричные дифракционные оптические элементы, формирующие в параксиальной области набор локальных фокусов или нулевых значений по определённому закону. При этом осевое распределение определяется пространственным спектром от радиальной функции оптического элемента, что позволяет назвать эти элементы продольно-спектральными линзами. Теоретическое объяснение эффекта базируется на сведении преобразования Френеля-Ханкеля к одномерному преобразованию Фурье. Рассмотрены различные линзы, в том числе формирующие модовые продольные распределения, пропорциональные функциям Эйри и Гаусса-Эрмита.
Ключевые слова: дифракция в параксиальной области, преобразование Френеля-Ханкеля, преобразование Фурье, функции Эйри, моды Гаусса-Эрмита.
Введение
Формирование определённого распределения интенсивности вдоль оптической оси (соосные отрезки, наборы последовательных осевых фокусов, световые бутылки, последовательность оптических «пузырьков» и т.д.) важно в различных приложениях, связанных с метрологией [1 - 4]; при формировании изображений протяжённых или движущихся объектов, для неразру-шающего исследования материалов [5 - 7], а также в оптическом микроманипулировании [8 - 11].
Для расчёта дифракционных оптических элементов (ДОЭ), формирующих заданное продольное распределение, используются как аналитические [12 - 19], так и численные подходы [20 - 24].
В данной работе рассмотрены радиально-симметричные ДОЭ, формирующие вдоль оптической оси набор локальных фокусов, распределение которых определяется пространственным спектром от радиальной функции оптического элемента. Данное свойство позволяет назвать эти элементы продольно-спектральными линзами.
Теоретическое объяснение эффекта базируется на сведении преобразования Френеля-Ханкеля к одномерному преобразованию Фурье. Такой подход применялся в различных работах [20, 25, 26], однако использовался либо для итерационного расчёта [20], либо для определения продольной картины, формируемой фрактальными зонными пластинками [25, 26].
В данной работе рассмотрен более широкий класс ДОЭ, обеспечивающих формирование определённых последовательностей фокусов и/или нулевых значений, в том числе пропорциональных модовым распределениям Эйри и Гаусса-Эрмита.
1. Дифракция в параксиальной области
Распространение радиально-симметричного светового поля в параксиальном приближении описывается следующим интегральным преобразованием Френеля-Ханкеля:
ik
G (р, z) = — exp (ikz) exp
ikp2 2 z
i * (-) 4 kr I'.
2z
krp
rdr.
(1)
Для распределения на оптической оси (р = 0) выражение (1) упрощается:
G (0 z ) =7 exP (ikz )J * (r) exP 1
rdr
(2)
и может быть приведено к виду одномерного преобразования Фурье с помощью замены переменных [20]. Пусть функция g(r) ограничена радиусом R, тогда удобно ввести нормированные переменные:
ч2
, и = -
r
x = R
RL
2Xz
В этом случае выражение (2) примет вид:
G(и) = i2„expfО* )f *(x)exp02„ux)dx,
1 u\ I л
(3)
(4)
что пропорционально пространственному спектру от ограниченной функции:
S (и) = | * (x) exp (i2nux) dx =
о
= J g (x) rectf ——T/2 I exp (i2nux) dx,
(5)
где
recti T i=
|1, |x| < T/2, 0, иначе.
(6)
Используя выражение (4), можно формировать на оптической оси распределения, соответствующие пространственному спектру ограниченных функций. Интенсивность на оптической оси:
2
I (и ) = 4п
2 и2
J * (x) exp (i 2nux) dx
удовлетворяет условию излучения, нулю при и ^0 (z ^ да).
(7)
т.к. стремится к
X
о
о
X
Ситуацию, когда и ^ да (г ^0), нужно рассматривать осторожно, т.к. в этом случае может нарушаться условие параксиальности и корректности применения выражения (1).
2. Дифракция на кольцевой апертуре
Рассмотрим простейший случай, когда входное поле является постоянным на кольцевой апертуре:
g (r) =
0, 0 < r < r1,
1, r1 < r < r2, 0, r2 < r, r2 < R.
(8)
Используя (4), получаем (через а обозначен коэффициент перед интегралом):
-2
G (u) = au | exp (i2nux) dx =
xi
- [exp (i2nux2) - exp (i2nux1)] =
au
i2nu
= 2i exp
(9)
inR2
exp (i2nuxc) sin (лиД),
где хс = (х1 + х2) / 2 - середина кольца, Д = (х2 - х^ -ширина кольца.
В исходных координатах интенсивность для выражения (9) в соответствии с (7) имеет следующий вид:
I (z ) = 4 sin2
(
2
2Xz
(10)
Как следует из (10), максимумы на оптической оси имеют одинаковую интенсивность и будут располагаться на расстояниях:
2 2 r2 - ri
( 2n + 1)X
n = 0, 1, ...
(11)
Таким образом, относительные положения максимумов имеют одинаковую зависимость, которая масштабируется только за счёт ширины апертуры.
Самый дальний от входной плоскости (г = 0) максимум будет на расстоянии:
2 2 r — r r2 r1
X
(12)
Остальные будут располагаться всё ближе к входной плоскости, причём с уменьшающимся расстоянием между ними:
2 (r22 — r12)
(r22 — r12 )
(13)
(2п +1)(2п + 3)Х ' 2п2Х '
Разумеется, на близких расстояниях данное приближение является некорректным. Также нужно быть осторожным при уменьшении ширины апертуры, т.к. в этом случае самый дальний максимум (12) будет смещаться к входной плоскости. Пределы применимости параксиального приближения обсуждались в [27].
На рис. 1а приведены результаты моделирования для кольцевой апертуры с радиусами г1 = 1 мм и г2 = 1,5 мм при освещении плоским пучком с длиной волны 532 нм. По формуле (11) положения максимумов: г0 и 2350 мм , г1 и 783 мм, г3 и 470 мм с точностью до округления совпали с рассчитанными интегрированием по формуле (2).
Полученные формулы можно использовать и в случае круглой апертуры. В этом случае г1 = 0, г2 = Я . На рис. 16 показаны результаты моделирования для круглой апертуры с радиусом Я = 1 мм. Положения максимумов: г0 и 1880 мм , г1 и 626 мм , г3 и 376 мм .
б) 500 1000 1500 2000 2500
Рис. 1. Интенсивность вдоль оптической оси для кольцевой апертуры с радиусами: г=1 мм, г2=1,5 мм (а) и г=0, г2=1 мм (б)
Для двух кольцевых апертур:
0, 0 < г < г1,
1, г1 < г < г2,
g (r) =
0, r2 < r < r3,
1, r3 < r < r4,
0, r4 < r, r4 < R
(14)
получается более сложное распределение:
G (u )=2 exp (uy ]x
x [exp (i2nuxc1) sin (nu Д1) + + exp (i2nuxc 2) sin (пиД2)],
ГДе xd =(x1 + x2 )/2, xc2 =( x3 + x4 )/^ Д1 =(x2 — X1 ),
Д 2 =( X4 — X3 ) ■
(15)
Интенсивность:
I (u) = 4 [sin2 (пиД1) + sin2 (пиД2) + +2 cos (i2nud12) sin (тоД1) sin (лuД 2)],
(16)
2
п
z0 =
z — z , =
n n+1
где d12 = хс2 - хс1 - расстояние между центрами колец. В полярных координатах:
1 (г ) = 4
2 2 Л 2 1 Г2 - Г1
Sin2 I п 2 1
(
+2cos
2'г
(Гз2 - Г12 ) + (Г42 - Г22 ) '
2'г
22 Г - К
2'г
(17)
х sin
22 Г2 - К
п —-— I sin
2'г
22 г 2 - г
„Г '4 'з
п
2'г
Таким образом, получаем дифракцию на каждом из колец и перекрёстный член. При некогерентном излучении перекрёстный член исчезнет.
Используя выражение (17), можно выписать условия, накладываемые на параметры функции (14), с целью максимизировать или обнулить интенсивность на некотором заданном расстоянии г = h .
В частности, для формирования глобального максимума нужно выполнить условия:
Дг1 (4и, +1),
• Дг 2 = \к (4п2 +1), (18)
й = 4Мт,
где п1;
т
Д = г 2 -г2
г1 '2 '1
целые числа,
Д г 2 = г/ - Г/, йг = (К2 - Г12) + (К2 - К2).
Условие (18) состоит из трёх уравнений, поэтому один из четырёх параметров можно выбрать произвольным. Пусть, в частности, г1 = 0, тогда решением системы (18) будет следующее:
Г = 0,
г2 =фл (4п1 +1),
г3 = у! 2\к (п1 - п2 + т ),
г4 = (1 + 2 (п1 + п2 + т )).
(19)
Для получения нулевого значения достаточно выполнить более простые условия, определяющие ширины колец при произвольном расстоянии между ними:
| Дг1 = 2Xhn1,
I Дг 2 = 2^п2.
(20)
На рис. 2 показано распределение интенсивности на оптической оси для двухкольцовой апертуры (14) с радиусами, удовлетворяющими (19) и обеспечивающими формирование глобального максимума при г = 1000 мм: г1 = 0, г2 = 1,63 мм, г3 = 2,06 мм, г4 = 2,63 мм.
Если выбрать кольца так, что:
Г2 - Г1 = Г4 - Г3 =Д г ,
(21)
т.е. выполнить одно из требований зонной пластинки, то выражение (17) упростится:
1 (г) = )
. , 2пйг
1 + cos I--
2'г
= 16^^ 1 cos2 № 2'г) I 2'г
где йг - расстояние между кольцами. 15
(22)
10
1, «г \
1 V ,
1000 2000 3000 4000
Рис. 2. Интенсивность вдоль оптической оси для двухкольцевой апертуры с радиусами:
г1 = 0, г2 = 1,63 мм, г3 = 2,06 мм, г4 = 2,63 мм
Первый множитель в (22), связанный с шириной колец, соответствует более медленным осцилляциям, а второй множитель - более быстрым.
На рис. 3 показано распределение амплитуды на оптической оси для двухкольцевой апертуры (14) с радиусами: г = 1 мм, г2 = 3 мм, г3 = 3,5 мм, г4 = 4,5 мм. Положения одной серии максимумов можно получить из формулы (11):
Г1." =77"^, п = 0 1 - , (23)
( 2п +1)'
а вторая серия максимумов соответствует выражению: й
г2т = —- , т = 1, 2, ... . (24)
2т'
Однако максимум произведения двух функций, как правило, не совпадает с максимумами сомножителей и только нулевые значения обеих функций будут оставаться на своих местах. Соответствующие серии нулевых значений имеют следующую зависимость:
?!,„ = ^ , п = 1, 2, ... , (25)
2п'
?2,т =
й.
(2т +1)' :
, т = 0, 1,
(26)
Из (25) и (26) получаем положения для нулевых значений:
411 = 7519 мм, 412 = 3759 мм, д13 = 2506 мм; 420 = 21147 мм, д21 = 7049 мм, д22 = 4229 мм, 42 3 = 3021 мм , д2 4 = 2350 мм.
Эти значения с точностью до округления совпадают с полученными по формуле (2) (см. рис. 3). Между нулями располагаются локальные максимумы.
Для того чтобы максимизировать интенсивность на некотором заданном расстоянии г = h, нужно выполнить условие, аналогичное (18): и ='Л (2п +1), I ё = 2Xhm,
(27)
+
п
х
откуда следует связь между шириной колец и расстоянием между кольцами:
, 2Дт
dr =-—
г 2п +1
(28)
2500 3500 4500 5500 6500 7500
Рис. 3. Распределение амплитуды вдоль оптической оси для двухкольцевой апертуры с радиусами:
г1 = 1 мм, г2 = 3 мм, г3 = 3,5 мм, г4 = 4,5 мм
Одно из возможных решений:
Г = 0,
= (2п +1), = 2у[кИт, = (4т + 2п +1).
(29)
Заметим, что условие (27) приводит к более общему типу зонных пластинок, т.к. расстояние между прозрачными кольцами имеет больше степеней свободы.
На рис. 4 показано распределение интенсивности на оптической оси для двухкольцевой апертуры (14) с радиусами: г1 = 0, г2 = 0,73 мм, г3 = 1,46 мм, г4 = 1,63 мм, удовлетворяющими (29) и обеспечивающими максимум при h = 1000 мм.
15
а) 500 1000 1500 2000 2500
15
100 150 200 250 300 350 400 450
Рис. 4. Интенсивность вдоль оптической оси для двухкольцевой апертуры с радиусами: г=0, г2=0,73 мм, г3=1,46 мм, г4=1,63 мм на интервале г е[250 мм, 2500 мм] (а) и ге[100 мм, 450 мм] (б)
Как видно из рис. 4, максимальное значение достигается не только при К0 = 1000 мм, но и на других расстояниях:
К =-
К
2п +1
(30)
обеспечивающих удовлетворение первого условия в (27). Таким образом, получается периодически повторяющееся распределение. Причём наличие боковых максимумов рядом с основными похоже на распределение, формируемое фрактальными зонными пластинками [25, 26].
3. Параболическая линза
Действие классической параксиальной линзы с фокусом /
(31)
§(г) = ехР| -^—
в операторе (2) соответствует в спектральном преобразовании (5) действию призмы (оптического клина) и выполняет смещение.
Для линзы, ограниченной кольцевой апертурой (8), получим соответствующее спектральное распределение:
£ (и ) =
х2
= | ехр (-/'2яах) ехр (i2пux) йх =
| ехр [/'2п (и -а) х] йх =
(32)
sin(п(и -а)Д)
ехр (/'2пмхс),
п(и - а)
где а = Я2/21/.
Интенсивность в соответствии с (7):
I (и ) = 4п2
sin (п(и -а)д) п(и -а)
В исходных координатах:
I (г ) = (■
2/
г - /
Sin
п(Г22 -Г12)(г - /)
21г/
(33)
(34)
В отличие от (10) выражение (34) имеет максимум при г = / Частота осцилляций определяется шириной кольца Дг = г22 - г12.
На рис. 5 показано распределение амплитуды на оптической оси, формируемое параболической линзой с фокусом / = 1000 мм, ограниченной кольцевой апертурой различного размера. При увеличении ширины апертуры глубина фокуса становится уже.
4. Линза четвёртой степени
Рассмотрим спектр, соответствующий функции вида:
§(х) = ехр (-/'2лах2).
(35)
2
г
3
2
2
50
30
10
1
utmi lv ^—■—
а) 500 1000 1500 2000 2500 3000
100
10
б)
И|ИШ
500 1000
1500
2000
2500 3000
Рис. 5. Распределение амплитуды на оптической оси, формируемое параболической линзой с фокусом / = 1000 мм, ограниченной кольцевой апертурой:
г1 = 4 мм, г2 = 5 мм (а), г1 = 0, г2 = 5 мм (б)
В этом случае выражение (5) примет следующий вид:
S (и) = | exp (-i2nax2) exp (i2nux) dx = ® Sine [(X2 - xj) и ],
( inu2
2a
(36)
где знак ® означает свёртку, sine (x) = sin(x)/x .
Осцилляции в (36) связаны только с кольцевым ограничением функции (35). При увеличении интервала ограничения [xb x2] функция sine [(x2 - xi) и] будет стремиться к дельта-функции, а спектр (36) - к выражению, находящемуся слева от символа свёртки.
Выражение (36) можно записать через специальные функции:
( inu 2 ^ x2-b S (и ) = exp -I J exp(-i2nay2)dy =
exp
V 2a У xj-b
(inu2 ^
2a
(37)
х{±Е 2па(х2 -Ь)2 ±Е 2па(х1 -Ь)2 },
где Ь = и/ 2а , Е (х) = С2 (х) + iS2 (х),
1 х sin / 1 х со s /
£2(х) = Г —г-й-, С2(х) = -;= Г —й- - функ-
0 V- л/2л 0 V-
ции Френеля [28]. Знаки в фигурных скобках в (37) расставляются по следующему правилу:
- если Ь < х1, то первый знак «+», а второй «-»;
- если х2 < Ь , то первый знак «-», а второй «+»;
- если х1 < Ь < х2, то первый и второй знаки «+».
Интенсивность в соответствии с (7) в исходных координатах:
I (^ ) =
„■2 г>4
п R
4aX2 z2
{[C2 (2nab22 (z)) ± C2 (2nab12 (z))]2} +
{[S2 (2nab22 (z))±S2 (2nab12 (z))]2},
(38)
4aX2 z
r2 R2 где bj( z)=R2 -
b2( z) = ^ -
R2
Я2 4а1г
Если представить выражение (38) в виде:
I (г )-*? ,
то можно определить максимум функции в числителе П(г). Он достигается в случае, когда оба знака в фигурных скобках в (38) «+» и аргументы равны по модулю Ь2(г) = -Ь1(г). Тогда расстояние, на котором формируется максимальное значение для выражения (38), не больше следующей величины:
z/ <"
R4
(39а)
2а1( г12 + г22)
Нижнюю границу можно получить, если применить к (36) классический метод стационарной фазы, тогда (с учётом г2 = Я ): Я 2
г, >-. (39б)
/ 4а1
Для г1 = 0 получим следующий интервал расположения максимального значения: Я2 Я2
-< z0 / <-
4а1 иу 2а1 (39в)
Заметим, что верхняя граница в (39в) соответствует фокусу обычной параболической линзы, рассмотренной в предыдущем разделе.
На рис. 6а показано осевое распределение, сформированное линзой четвёртой степени, ограниченной круговой апертурой радиуса Я = 3 мм с параметром а = 6,45. По формуле (39в) максимальное значение должно быть на расстоянии 656 мм < г0/< 1312 мм. Действительно, как следует из рис. 6а, максимум находится в этом интервале.
Часто фазовая зависимость четвёртой степени от радиуса рассматривается как аберрация классической линзы [29]. В разделе 3 было показано, что классическая параболическая линза смещает спектр (5) на величину, пропорциональную фокусному расстоянию.
На рис. 6б показано осевое распределение, сформированное отдельно линзой четвёртой степени, а на рис. 6в - совместно с параболической линзой. Видно, что распределение сместилось ближе к входной плоскости, примерно сохранив свой вид.
Как видно из приведённых примеров, линза четвёртой степени не позволяет формировать наборы локальных фокусов. Таким же свойством будут обладать линзы более высоких чётных степеней.
х
X
2
X
400
100
400
100
]\
/ \
J
200 600 1С юо и Л юо 1800
J Л
б) 200 400 600 800 1000 1200 1400 1500
1000
500
лЛ
/
/
в) 200 300 400 500 600 700
Рис. 6. Распределение интенсивности на оптической оси, формируемое линзой четвёртой степени, ограниченной круговой апертурой радиуса R=3 мм (а); ограниченной
кольцевой апертурой: г1=2 мм, г2=3 мм: без дополнительной линзы (б), с дополнительной линзой с фокусом f=1000 мм (в)
5. Распределения, пропорциональные функциям Эйри
Известно [29], что функции Эйри являются результатом преобразования Фурье от экспоненциальной кубической функции. Для генерации Эйри-по-добных пучков использовались различные ограниченные аналоги [30-33], в том числе с зеркальной и радиальной симметрией.
Рассмотрим ограниченную смещённую экспоненциальную кубическую функцию:
g (х) = ' (40)
J exp (ic (х - b)3), |о, х > T.
Её пространственный спектр пропорционален функции Эйри:
T
S (u) = J exp (ic (х - b )3) exp (i2nux) dx -
(41)
~ sine (Tu) ® Ai (sgn(c) u),
где Ai (x) - функция Эйри [29], sgn (x) - знаковая функция.
Функция Эйри имеет несимметричное распределение относительно начала координат (см. табл. 1), поэтому знак параметра c позволяет зеркально преобразовывать это распределение. Смещение распреде-
ления можно выполнить как в предыдущих разделах -дополнительной параболической линзой.
Кубические фазовые маски используются для компенсации дефокусировки в некогерентных изображающих системах [34 - 37]. Функция размытия точки такой системы имеет вид функции Эйри.
В табл. 1 показаны спектральные и осевые распределения, полученные для смещённой кубической фазы при различных параметрах, в том числе с дополнительной линзой (вторая строка в табл. 1).
Таким образом, на оптической оси формируется иная, чем в предыдущих разделах, последовательность локальных максимумов и нулевых значений.
6. Распределения, пропорциональные модам Гаусса-Эрмита
Рассмотрим одномерную моду Гаусса-Эрмита (ГЭ) п-го порядка:
/(х) = ghn (х) = ехр (-х2 /(2ст2))Нп (х / ^), (42)
где ст0 - радиус гауссова пучка, Нп(х) - полином Эр-мита [29].
Известно [21], что эти моды инварианты к преобразованию Фурье в бесконечных пределах.
Учитывая, что гауссовы пучки имеют конечную энергию, сосредоточенную практически полностью в центральной части пучка, то при ограничении бесконечных пределов происходит лишь незначительное искажение.
Моды ГЭ определяются на симметричном интервале, поэтому, чтобы получить нужное распределение только на положительной оси координат, воспользуемся инвариантностью преобразования Фурье к смещению. При условии Т >> ст0 пространственный спектр смещённой функции (42) не меняется с точностью до фазового множителя:
S (u ) = J gh„ ( х - b) exp (i2nux) dx =
0
T-b
= J ghn (y)exP (i2nu (y + b)) dy =
-b
= exp (i2nub)ghn (u ).
Таким образом, интенсивность (7):
/ w - г i j * iz
(43)
(44)
причём, учитывая наличие гауссовой функции:
lim I (z) = 0. (45)
z
Таким образом, порядок моды ГЭ n определяет количество и положение локальных максимумов, а также нулевых значений, формируемых вдоль оптической оси (см. табл. 2).
Заключение
В скалярном параксиальном приближении рассмотрены радиально-симметричные ДОЭ, обеспечивающие формирование определённых последовательностей фокусов и/или нулевых значений.
Таблица 1. Формирование распределения, пропорционального функции Эйри
1D преобразование Фурье
Преобразование Френеля на оптической оси
Функция g (х) = exp (ic( x - b)3)
Функция g (r)
Пространственный спектр jS (u )|
Л „
/ \ 1Лл.
J \ Ш Ал
V П т Vwn
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Продольное распределение (z )|
0,9
0
200 400 600 800 1000 1200
Функция g (x) = exp(ic(x - b)3)exp(id (x - b))
Функция g(r)
0 0,5 1,0 1,5 2,0
Пространственный спектр (u )
0 0,5 1,0 1,5
Продольное распределение (z )
wvWflf 1 W I 1 1ллл^
200
600
1000
Использование кольцевой апертуры, освещённой плоской волной, является наиболее простым способом формирования в параксиальной области цепочки локальных максимумов с одинаковой интенсивностью. Причём относительные положения максимумов имеют одинаковую зависимость, которая масштабируется за счёт ширины апертуры.
Показано, что при использовании двухкольцевой апертуры можно формировать на заданном расстоянии либо максимум, либо нулевое значение интенсивности.
Получено условие для синтеза двухкольцевых ДОЭ, формирующих периодическое осевое распределение, аналогичное фрактальным зонным пластинкам.
На основе сведения преобразования Френеля-Ханкеля к одномерному преобразованию Фурье показано, что классическая параболическая линза смещает распределение вдоль оптической оси пропорционально фокусному расстоянию. Таким образом, дополнение ДОЭ квадратичным фазовым элементом является одним из параметров управления распределением вдоль оптической оси.
Показана возможность формирования последовательности локальных максимумов и нулевых значений пропорционально модовым распределениям Эйри и Гаусса-Эрмита. Причём в последнем случае количество экстремумов определяется номером моды.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ 13-07-00266, 13-07-97004р_поволжье_а и 13-07-97005-р_поволжье_а) и Министерства образования и науки Российской Федерации, ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (соглашение №8231).
Литература
1. Arimoto, R. Imaging properties of axicon in a scanning optical system / R. Arimoto, C. Saloma, T. Tanaka, and S. Kawata // Appl. Opt. - 1992. - Vol. 31(31). - P. 6653-6657.
2. Котляр, В.В. Бесконтактное прецизионное измерение линейных смещений с использованием ДОЭ, формирующих моды Бесселя / В.В. Котляр, Р.В. Скиданов, С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2001. - № 21. - С. 102-104.
Таблица 2. Формирование распределения, пропорционального моде ГЭ
1D преобразование Фурье
Преобразование Френеля на оптической оси
Функция f (x) = gh9 (x - b)
Функция f (r) = gh9 (r2 - b)
0,5 1,0 1,5 Пространственный спектр
|S («)Hgh9(«)l
-0,9
О 0,5 1,0 1,5 2,0
Продольное распределение |F(z) |~ (1/z)|gh9(1/z)|, z > 0
51 I Ю V 15 00 25 00 35 00 45 00
3. Wang, K. Influence of the incident wave-front on intensity distribution of the nondiffracting beam used in large-scale measurement / K. Wang, L. Zeng and Ch. Yin // Opt. Commun. - 2003. - Vol. 216. - P. 99-103.
4. Fortin, M. Optical tests with Bessel beam interferometry / Mathieu Fortin, Michel Piché and Ermanno F. Borra // Optics Express. - 2004. - Vol. 12, N 24. - P. 5887-5895.
5. Leitgeb, R.A. Extended focus depth for Fourier domain optical coherence microscopy / R.A. Leitgeb, M. Villiger, A.H. Bachmann, L. Steinmann and T. Lasser // Opt. Lett. -2006. - Vol. 31(16). - P. 2450-2452.
6. Lee, K.-S. Bessel beam spectral-domain high-resolution optical coherence tomography with micro-optic axicon providing extended focusing range / Kye-Sung Lee, Jannick P. Rolland // Opt. Lett. - 2008. - Vol. 33(15). -P. 1696-1698.
7. Lu, J. Producing deep depth of field and depth-independent resolution in NDE with limited diffraction beams / Jian-yu Lu, J.F. Greenleaf // Ultrason. Imag. - 1993. - Vol. 15(2). -P. 134-149.
8. Arlt, J. Generation of beam with a dark focus surrounded by regions of higher intensity: the optical bottle beam / J. Arlt, M. Padgett / Opt. Lett. - 2000. - Vol. 25(4). - P. 191-193.
9. Garces-Chavez, V. Simultaneous micromanipulation in multiple planes using a self-reconstructing light beam / V. Garces-Chavez, D. McGloin, H. Melville, W. Sibbett and K. Dholakia // Nature. - 2002. - V. 419. - P. 145-147.
10. Soifer, V.A. Optical microparticle manipulation: advances and new possibilities created by diffractive optics / V.A. Soifer, V.V. Kotlyar and S.N. Khonina // Phys. Part. Nucl. - 2004. -Vol. 35. - P. 733-766.
11. Zhao, Y. Creation of a three-dimensional optical chain for controllable particle delivery / Y. Zhao, Q. Zhan, Y. Zhang and Y.P. Li // Opt. Lett. - 2005. - Vol. 30. - P. 848-850.
12. Davidson, N. Holographic axilens: high resolution and long focal depth / N. Davidson, A.A. Friesem and E. Hasman // Opt. Lett. - 1991. - V. 16(7). - P. 523-525.
13. Computer generated diffractive multi-focal lens / Golub M.A., Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Kharitonov S.I., Soifer V.A. // Journal of Modern Optics. - 1992. - Vol.39, № 6. -P.1245-1251.
14. Soifer, V.A. Multifocal diffractive elements / Soifer V.A., Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L. // Optical Engineering. -1994. - Vol.33, № 11. - P.3610-3615.
15. Analysis of quasiperiodic and geometric optical solutions of the problem of focusing into an axial segment / Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Soifer V.A., Tzaregorodtzev A.Ye. // Optik. - 1995. - Vol.101, № 2. - P.37-41.
16. Chavez-Cerda, S. Interference of traveling nondiffracting beams / S. Chavez-Cerda, M.A. Meneses-Nava and J. Miguel Hickmann // Opt. Lett. - 1998. - Vol. 23. - P. 1871-1873.
17. Kotlyar, V.V. Phase formers of light fields with longitudinal periodicity / V.V. Kotlyar, V.A. Soifer and S.N. Khonina // Optics and Spectroscopy. - 1998. - Vol. 84(5). - P. 771-777.
18. Design of microlenses with long focal depth based on the general focal length function / Jie Lin, Jianlong Liu, Ji-asheng Ye and Shutian Liu // J. Opt. Soc. Am. A. - 2007. -Vol. 24(6). - P. 1747-1751.
19. Хонина, С.Н. Фраксикон - дифракционный оптический элемент с конической фокальной областью / С.Н. Хонина, С.Г. Волотовский // Компьютерная оптика. - 2009. -Т. 33, № 4. - С. 401-411.
20. Khonina, S.N. Calculation of the focusators into a longitudinal line segment and study of a focal area / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer // J. Modern Optics. - 1993. -Vol. 40(5). - P. 761-769.
21. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements, ed. Victor A. Soifer. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002. - 765 p.
22. Chen, W. Three-dimensional focus shaping with cylindrical vector beams / W. Chen and Q. Zhan // Opt. Commun. -2006. - Vol. 265. - P. 411-417.
23. Menon, R. Design of diffractive lenses that generate optical nulls without phase singularities / R. Menon, P. Rogge,
H.-Y. Tsai // J. Opt. Soc. Am. A. - 2009. - Vol. 26, N 2. -P. 297-304.
24. Качалов, Д.Г. Стохастическая оптимизация квантованных ДОЭ для формирования продольных распределений интенсивности / Д.Г. Качалов, В.С. Павельев, С.Н. Хо-нина // Компьютерная оптика. - 2009. - Том 33, № 4. -С. 441-445.
25. Saavedra, G. Fractal zone plates / G. Saavedra, W.D. Fur-lan, J.A. Monsoriu // Opt. Lett. - 2003. - Vol. 28, N 12. -P. 971-973.
26. Casanova, C. Self-similar focusing with generalized devil's lenses / C. Casanova, W.D. Furlan, L. Remón, A. Calatayud, J.A. Monsoriu, O. Mendoza-Yero // J. Opt. Soc. Am. A. -2011. - Vol. 28, N 2. - P. 210-213.
27. Хонина, С.Н. Бинарная линза: исследование локальных фокусов / С.Н. Хонина, А.В. Устинов, Р.В. Ски-данов // Компьютерная оптика. - 2011. - Т. 35, № 3.
- С. 339-346.
28. Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions / M. Abramowitz and I.A. Stegun - Courier Dover Publications, 1972. - 1046 p.
29. Born, M. Principles of Optics / M. Born, E. Wolf. - 6th ed.
- Pergamon, Oxford, 1980. - Chap. 8.3.
30. Siviloglou, G.A. Accelerating finite energy Airy beams / G.A. Siviloglou, D.N. Christodoulides // Opt. Letters. -2007. - V. 32(8). - P. 979-981.
31. Banders, M.A. Airy-Gauss beams and their transformation by paraxial optical systems / M.A. Banders, J.C. Gutierrez-Vega // Opt. Express. - 2007. - V. 15(25). - P. 16719-16728.
32. Хонина, С.Н. Ограниченные 1D пучки Эйри: лазерный веер / С.Н. Хонина, С.Г. Волотовский // Компьютерная оптика. - 2008. -Т. 32, № 2. - С. 168-174.
33. Хонина, С.Н. Эйри-подобные двумерные распределения / С.Н. Хонина // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета им. академика С.П. Королёва. - 2010. - № 4(24). - С. 299-311.
34. Dowski, E.R. Extended depth of field through wavefront coding / E.R. Dowski and W.T. Cathey // Appl. Opt. -1995. - Vol. 34. - P. 1859-1866.
35. Marks, D.L. Three-dimensional tomography using a cubic-phase plate extended depth-of-field system / D.L. Marks, R.A. Stack and D.J. Brady // Opt. Lett. - 1999. - Vol. 24. -P. 253-255.
36. Pan, C. Extension ratio of depth of field by wavefront coding method / C. Pan, J. Chen, R. Zhang, S. Zhuang // Opt. Express. - 2008. - Vol. 16(17). - P. 13364-13371.
37. Хонина, С.Н. Фазовая аподизация изображающей системы с целью увеличения глубины фокуса в когерентном и некогерентном случаях / С.Н. Хонина // Компьютерная оптика. - 2012. - Т. 36, № 3. - С. 357-364.
References
1. Arimoto, R. Imaging properties of axicon in a scanning optical system / R. Arimoto, C. Saloma, T. Tanaka and S. Kawata // Appl. Opt. - 1992. - Vol. 31(31). - P. 6653-6657.
2. Kotlyar, V.V. Noncontact precision measurement of linear displacement using DOE forming Bessel modes / V.V. Kotlyar, R.V. Skidanov, S.N. Khonina // Computer Optics. -2001. - Vol. 21. - P. 102-104. - (In Russian).
3. Wang, K. Influence of the incident wave-front on intensity distribution of the nondiffracting beam used in large-scale
measurement / K. Wang, L. Zeng and Ch. Yin // Opt. Commun. - 2003. - Vol. 216. - P. 99-103.
4. Fortin, M. Optical tests with Bessel beam interferometry / Mathieu Fortin, Michel Piché and Ermanno F. Borra // Optics Express. - 2004. - Vol. 12, N 24. - P. 5887-5895.
5. Leitgeb, R.A. Extended focus depth for Fourier domain optical coherence microscopy / R.A. Leitgeb, M. Villiger, A.H. Bachmann, L. Steinmann and T. Lasser // Opt. Lett. -2006. - Vol. 31(16). - P. 2450-2452.
6. Lee, K.-S. Bessel beam spectral-domain high-resolution optical coherence tomography with micro-optic axicon providing extended focusing range / Kye-Sung Lee, Jannick P. Rolland // Opt. Lett. - 2008. - Vol. 33(15). - P. 1696-1698.
7. Lu, J. Producing deep depth of field and depth-independent resolution in NDE with limited diffraction beams / Jian-yu Lu, J.F. Greenleaf // Ultrason. Imag. - 1993. - Vol. 15(2). -P. 134-149.
8. Arlt, J. Generation of beam with a dark focus surrounded by regions of higher intensity: the optical bottle beam / J. Arlt, M. Padgett / Opt. Lett. - 2000. - Vol. 25(4). -P. 191-193.
9. Garces-Chavez, V. Simultaneous micromanipulation in multiple planes using a self-reconstructing light beam / V. Garces-Chavez, D. McGloin, H. Melville, W. Sibbett and K. Dholakia // Nature. - 2002. - V. 419. - P. 145-147.
10. Soifer, V.A. Optical microparticle manipulation: advances and new possibilities created by diffractive optics / V.A. Soifer, V.V. Kotlyar and S.N. Khonina // Phys. Part. Nucl. - 2004. -Vol. 35. - P. 733-766.
11. Zhao, Y. Creation of a three-dimensional optical chain for controllable particle delivery / Y. Zhao, Q. Zhan, Y. Zhang and Y.P. Li // Opt. Lett. - 2005. - Vol. 30. - P. 848-850.
12. Davidson, N. Holographic axilens: high resolution and long focal depth / N. Davidson, A.A. Friesem and E. Hasman // Opt. Lett. - 1991. - V. 16(7). - P. 523-525.
13. Computer generated diffractive multi-focal lens / Golub M.A., Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Kharitonov S.I., Soifer V.A. // Journal of Modern Optics. - 1992. - Vol.39, № 6. - P.1245-1251.
14. Soifer, V.A. Multifocal diffractive elements / Soifer V.A., Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L. // Optical Engineering. -1994. - Vol.33, № 11. - P.3610-3615.
15. Analysis of quasiperiodic and geometric optical solutions of the problem of focusing into an axial segment / Dosko-lovich L.L., Kazanskiy N.L., Soifer V.A., Tzaregorodtzev A.Ye. // Optik. - 1995. - Vol.101, № 2. - P.37-41.
16. Chavez-Cerda, S. Interference of traveling nondiffracting beams / S. Chavez-Cerda, M.A. Meneses-Nava and J. Miguel Hickmann // Opt. Lett. - 1998. - Vol. 23. - P. 1871-1873.
17. Kotlyar, V.V. Phase formers of light fields with longitudinal periodicity / V.V. Kotlyar, V.A. Soifer and S.N. Khonina // Optics and Spectroscopy. - 1998. - Vol. 84(5). - P. 771-777.
18. Design of microlenses with long focal depth based on the general focal length function / Jie Lin, Jianlong Liu, Ji-asheng Ye and Shutian Liu // J. Opt. Soc. Am. A. - 2007. -Vol. 24(6). - P. 1747-1751.
19. Khonina, S.N. Fracxicon - diffractive optical element with conical focal domain / S.N. Khonina, S.G. Volotovsky // Computer Optics. - 2009. - Vol. 33, N 4. - P. 401-411. -(In Russian).
20. Khonina, S.N. Calculation of the focusators into a longitudinal line segment and study of a focal area / S.N. Khonina, V.V. Kotlyar, V.A. Soifer // J. Modern Optics. - 1993. -Vol. 40(5). - P. 761-769.
21. Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements, ed. Victor A. Soifer. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2002. - 765 p.
22. Chen, W. Three-dimensional focus shaping with cylindrical vector beams / W. Chen and Q. Zhan // Opt. Commun. -2006. - Vol. 265. - P. 411-417.
23. Menon, R. Design of diffractive lenses that generate optical nulls without phase singularities / R. Menon, P. Rogge, H.-Y. Tsai // J. Opt. Soc. Am. A. - 2009. - Vol. 26, N 2. - P. 297-304.
24. Kachalov, D.G. Optimization of binary DOE forming intensity distribution along an axial focal zone / D.G. Kachalov, S.V. Pavelyev, S.N. Khonina // Computer Optics. -2009. - Vol. 33, N 4. - P. 441-445. - (In Russian).
25. Saavedra, G. Fractal zone plates / G. Saavedra, W.D. Furlan, J.A. Monsoriu // Opt. Lett. - 2003. - Vol. 28, N 12. - P. 971-973.
26. Casanova, C. Self-similar focusing with generalized devil's lenses / C. Casanova, W.D. Furlan, L. Remön, A. Calatayud, J.A. Monsoriu, O. Mendoza-Yero // J. Opt. Soc. Am. A. -2011. - Vol. 28, N 2. - P. 210-213.
27. Khonina, S.N. Binary lens: investigation of local focuses / S.N. Khonina, A.V. Ustinov, R.V. Skidanov // Computer Optics. - 2011. - Vol. 35, N 3. - P. 339-346. - (In Russian).
28. Abramowitz, M. Handbook of Mathematical Functions / M. Abramowitz and I.A. Stegun - Courier Dover Publications, 1972. - 1046 p.
29. Born, M. Principles of Optics / M. Born, E. Wolf. - 6th ed. - Pergamon, Oxford, 1980. - Chap. 8.3.
30. Siviloglou, G.A. Accelerating finite energy Airy beams / G.A. Siviloglou, D.N. Christodoulides // Opt. Letters. -
2007. - V. 32(8). - P. 979-981.
31. Banders, M.A. Airy-Gauss beams and their transformation by paraxial optical systems / M.A. Banders, J.C. Gutierrez-Vega // Opt. Express. - 2007. - V. 15(25). - P. 1671916728.
32. Khonina, S.N. Bounded one-dimensional Airy beams: laser fan / S.N. Khonina, S.G. Volotovsky // Computer Optics. -
2008. - Vol. 32, N 2. - P. 168-174. - (In Russian).
33. Khonina, S.N. Airy-like two-dimensional distributions / S.N. Khonina // Bulletin of Samara State Aerospace University. - 2010. - Vol. 4(24). - P. 299-311. - (In Russian).
34. Dowski, E.R. Extended depth of field through wavefront coding / E.R. Dowski and W.T. Cathey // Appl. Opt. -1995. - Vol. 34. - P. 1859-1866.
35. Marks, D.L. Three-dimensional tomography using a cubic-phase plate extended depth-of-field system / D.L. Marks, R.A. Stack and D.J. Brady // Opt. Lett. - 1999. - Vol. 24. -P. 253-255.
36. Pan, C. Extension ratio of depth of field by wavefront coding method / C. Pan, J. Chen, R. Zhang, S. Zhuang // Opt. Express. - 2008. - Vol. 16(17). - P. 13364-13371.
37. Khonina, S.N. Phase apodization of imaging system to increase the focal depth in coherent and incoherent cases / S.N. Khonina // Computer Optics. - 2012. - Vol. 36, N 3. -P. 357-364. - (In Russian).
DESIGN LENSES FORMING PARAXIAL LONGITUDINAL DISTRIBUTION ACCORDING TO THEIR SPATIAL SPECTRA
S.N. Khonina, A. V. Ustinov Image Processing Systems Institute of RAS
Abstract
We consider radially-symmetric diffractive optical elements forming along optical axis a set of local foci or zero values by the specific law. The axial distribution is determined by the spatial spectrum of the radial function of the optical element that allows us to call these elements longitudinally-spectral lenses. The theoretical explanation of the effect is based on the reduction of the on-axis Fresnel-Hankel transform to the one-dimensional Fourier transform. We investigate different lenses, including that forming the longitudinal-modal distribution proportional to the Airy and Gauss-Hermite functions.
Key words: diffraction in the paraxial region, Fresnel-Hankel transform, Fourier transform, the Airy function, Gauss-Hermite modes.
Сведения об авторах - см. стр. 169 этого номера.
Поступила в редакцию 17 марта 2013 г.
