Расчёт коэффициента загрузки системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, Д. Б. Флакс, К. Н. Галямова

РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТА ЗАГРУЗКИ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМ СРЕДНИМ ВРЕМЕНЕМ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ В СИСТЕМЕ

Ключевые слова: система массового обслуживания, поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Представлена математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе и вычислено среднее число требований, одновременно находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов).

Keywords: queuing system, flow of requirements, queue, serving device.

The mathematical model of multi-channel queuing system of open type with bounded mean residence time in the system is presented. The average number of requirements at the same time under the facilities (the average number of busy channels) is calculated.

Настоящая работа является продолжением цикла публикаций авторов, начатого в работах [1-3] и по-свящённых разработке математических основ функционирования системы массового обслуживания (СМО) с ограниченным средним временем пребывания заявки в этой системе. Напомним, что в этих работах рассмотрена система массового обслуживания, в которой на каждую заявку, находящуюся в системе (как в очереди, так и под обслуживанием), действует своего рода «поток уходов» с интенсивностью у = 1/ /. Интенсивность обслуживания заявки

в системе при этом обозначается как ц, а интенсивность поступающего в систему потока заявок как X

Граф системы массового обслуживания такого рода изображён рис. 1. В этом случае приведённая интенсивность потока поступающих в систему заявок равна р = Х/ц. Физический смысл этой величины заключается, очевидно, в том, что она показывает, какое число заявок в среднем поступило в систему за среднее время обслуживания в системе одной заявки.

В работе [2] были впервые получены формулы для вероятностных характеристик системы массового обслуживания такого рода, в частности, для вероятности полного простоя системы р

Р о =

-2(рНт^-Г^ 1F 1 m/Р; а) (m -1)!

(1)

и вероятностей стационарных состоянии системы Рk при k < m;

Рк =И Р0

рm а k - m при k > m.-Pk = — i ~ л-Ро

где

?! (m/р +1)

~ X X p ;

Р = P =-= —

p p + v 1 + р

k - m

jl ;

p p + v 1 + p

p=v= v

Рис. 1

ет{р) - неполная экспонента [1,2]. При этом Р = у/ц - приведённая интенсивность ухода «нетерпеливых» заявок из системы - величина, которая показывает, сколько в среднем заявок покидает систему необслуженными за среднее время обслуживания системой одной заявки. В этих соотношениях (а)к =а(а + 1)(а + 2) ... (а + к -1); (а)0 = 1 - символ По-

хгаммера [3], при этом (1)к =к!. Величина а=р /р=х/ , очевидно, показывает, какое среднее число заявок поступает в систему за среднее время пребывания в очереди одной «нетерпеливой» заяв-

-1

e

ки. В формуле (1) 1 (а; Ь; 2) - так называемая вы- впервые представленному в работе [2], получаем

рожденная гипергеометрическая функцию Э. Кум-мера, определяемая соотношением [3]

(« )

1F1 (а;b;z)= У ~

1 ¿о (b )k k !

Для упрощения записи в дальнейших расчётах мы будем пока опускать знак тильды в указанных выше обозначениях.

В работе [3] была найдена вероятность ожидания обслуживания вновь поступившей в систему заявкой, то есть вероятность того, что поступающее требование найдёт все каналы занятыми (вне зависимости от того, будет оно дожидаться обслуживания или нет), которая имеет вид

m -1

Рожид = р-Ю[ 1 Fl (1;m/ß;а)-1 ]=

(m -1)!

= Рожид (0)m-7[ 1F1 (1;m/ß;а)-1 ]

(2)

где

рожид (0) =

m

Р Р0

(3)

(m -1)! (m - р)

- выражение для вероятности ожидания системы с неограниченной очередью и «терпеливыми» заявками, известное из модели М/М/т [5,6]. Заметим, что хотя по форме это соотношение совпадает с аналогичным выражением модели М/М/т, однако, в отличие от него, содержит внутри себя ещё и зависимость от параметра р, содержащуюся внутри вероятности полного отсутствия заявок в системе р0 = р0 (р) согласно

формуле (1).

В данной работе будет получено выражение для такой важнейшей характеристики данного типа СМО, как среднее число требований, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов). Имеем

i = y kpt + У mpk = Ро У

k ^ +Р"Ро

k=0 k=m+1

У

k! (m(m/ß + 1)

k-1 m

р „ _Р_+ Р Ро

= Р Ро у --- +

У

(k -1)! (m - 1)!^(m/ß+1)

У

k=m+1

а k

k=1 4 ' k=1

k m

а Р Ро

= РРо ^(рН^У

(m -1)!^ (mlß+1)k (m -1)!

У

k=0

(m ß+1)

= 1F1 (1;mjß + 1;а)=m[ 1F1(1;m/ß; а)-1 ]

В итоге в соответствии с формулами(2) и (3) имеем

„m-1

m = Р Ро

^(рн[ 1f1o; m ß; а)-1 ]-(р

Ро

(m -1)

~ m

( Р Ро

= Р Ро em-1 (Р)+ m Рожид -7-W. =

(m -1)!

(m -1)!

= Р Р0 ет-1 (Р) + тРожид -(т "Р)Рожид(0). (5)

Заметим далее, что из соотношений (1) и (2)

следует -1 (р) Ро = 1-Рожид, что очевидно, поскольку физический смысл величины е 1 (р) р

- это вероятность немедленного обслуживания поступившей в систему заявки. Подставляя это соотношение в формулу (5), окончательно найдём

т =р-(т-Р)[ Рожиид (о)-Рожид ] (6) Отсюда коэффициент загрузки СМО этого типа

к. 3.= Р-[1-Р

Р

(m -1)!(m -р)

Ро Рожид

^f1--^ Рожид (о)-Рожид ]'

соответственно коэффициент простоя

К. П. = 1 - К. 3. = |\-)Р^)[1 + Рожид (о)-Рожид ]

соответственно

Заметим, что к. з. < к. з.(0) к. п. > к. п.(0).

При малых значениях параметра р, согласно разложению [3]

Рожид « Рожид (°)

rß +

+ 2р) ß2

(m - р) (m - р)

имеем

Рожид (о)-Рожид *7p0ЖUдPß (m-р)

1 m+2Р ß

(m-р)2

и тогда, очевидно,

m «р

k=0

1- Рожид (о) ß

m - р

1- m + 2 Р2 ß (m -р)

Но, как показано в работе [1],

со

У

(m ß+1)/

= 1F1 (1; mj ß + 1; а)

и тогда согласно рекуррентному соотношению

1F1 (1; 1+1;z)Л[F1 (1;£ z)-i],

Р I 1-Рожид (°) ß

m - р

1 m +2р ß

(m - Р)2

. П. «1 -Р{ 1-РожидШ ß ml m - р

1 m + 2р ß

(m - Р)2

Дисперсия числа занятых каналов

k

а

m

m

Р

1

k-m

а

/=о

К. 3

m

k

а

k=о

=У k2 Pk + У m Pk -m 2 =

== Р - Р ^ожид + Р2 - (m 2 - Р2 ) [ ^ожид (0) - Рожид ] -

m 2

или

k ™2 m

m! k=m+i (mß+i)k-

k-m

a —2

- m =

=p0 у k2 m Р P у

k! m! ^

k=0 k=m+

k m w k

-1 + 1) P^ + у a , - m 2 =

= Po

У k (k-1 + 1)

k=0

k! (m - 1)!^(m/ P + l)k

= Р Po

m

У

k=1

-2

(k - 2)

+ P P V Р . m P Po

+ Р Po у т:-— +

У

m Р Po —2 m

k=i (k -1)! (m -1)! Zo (mP+l)k (m-1)

Воспользовавшись теперь формулой (4), отсюда имеем

22 CT m =Р Po

em-1(Р) -

Р

(m -1)!

+ Р Po em-1(Р) +

2 m — 1 m

+ ^гЧ^ [ 1F1 (1; m P; a)-1 ]-^ - m2 =

(m-1)! (m -1)!

Р m P

= Р2 Po em-1 (Р) + РPo em-1 (р)-P(-^ +

(m -1)!

2 р po —2

+ m pa^td -ml-xt-m =

(m -1)!

Р( 1 + P)^o em-1(Р) + m2 Pожид -(m2 -Р2 )Pожид(0)-

Но

em -1 (P) P0 =1-^ож»д И

тогда, очевидно,

CT,

,=Р-Р Pожид-(m - m )(р-m )•

поскольку в соответствии с (6)

-т =(т -р)[ Pожид(o)-Pожид

Р-

При р=0 т = р и ст;т = р - р Рожид (о) в соответствии с результатами [5, 6].

Литература

1. 1. М.И. Бусарев, А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Одно-канальная систе-ма массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе в целом // Вестник Казанского технологического университета. 2011. Т. 14. № 22. С. 155-161.

2. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, Вероятностные характеристики от-крытой многоканальной системы массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания в системе// Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т. 17. № 24. С. 242-245.

3. А.П. Кирпичников, Д.Б. Флакс, К.Н. Галямова,. Вероятность ожидания начала обслуживания в системе массового обслуживания с ограниченным средним временем пребывания заявки в системе // Вестник технологического университета. 2016. Т. 19. № 11. С. 122-125.

4. А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев, Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М., Наука, 1985. 800 с.

5. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. университета, 2008. 112 с.

6. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200с.

© А. П. Кирпичников - д-р ф.-м. наук, проф., зав. кафедрой интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: [email protected]; Д. Б. Флакс - ст. препод. каф. сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: [email protected]; К. Н. Галямова - магистр каф. сбора и обработки информации КНИТУ, e-mail: [email protected].

© A P. Kirpichnikov - Dr. Sci, Prof, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, email: [email protected]; D. B. Flax - Senior Lecturer of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: [email protected]; K. N. Galyamova - Master of the Department of Automated Data Acquisition & Processing Systems, KNRTU, e-mail: [email protected].

2

CT

2

m

с»

m

k=0

k=m+1

k =2

k

a

2