Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений с приближенными данными на основе представления решения интегралами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 4, 2014

удк 517.972:519.633 Наац И. Э. [I. E. Naats], Наац В. И. [V. I. Naats], Рыскаленко Р. А. [R.A. Ryskalenko]

РАСЧЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ДАННЫМИ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛАМИ

Computational and analytical models for differential equations with approximate data on the basis of the submission of the decision of the integrals

На примере обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с функциями известными приближенно излагается метод, позволяющий поставить в соответствие исходному уравнению соответствующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода и найти его численное решение. При этом используется аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, а также метод регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, который реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. Построенная в итоге расчет-но-аналитическая модель позволяет получать устойчивые решения некорректной задачи.

Ключевые слова: операторное уравнение, сингулярный интеграл, метод регуляризации, обобщенный обратный оператор, расчетно-аналитическая модель.

The case of ordinary differential equations of second order with functions known approximately describes a method that allows you to match the original equation corresponding integral Fredholm equation of the first kind and to find its numerical solution. Using the apparatus of the approximation of functions and their derivatives corresponding singular integrals and the method of regularization convergence of the sequence of approximate solutions, which is implemented so-called generalized inverse operators. Built in the result calculation-analytical model allows to obtain a sustainable solutions to ill-posed problems.

Key words: operator equation, singular integral, regularization method, the generalized inverse operator, computational and analytical model.

Представленная работа продолжает развитие метода интегральных представлений функций и его применению в различных задачах прикладного анализа, ранее представленного в работах авторов [1-6]. Если вести речь о приложениях метода к численному решению дифференциальных уравнений, то его суть может быть кратко изложена следующим образом. Рассматривается операторное уравнение Lb f = S, в котором Lb -дифференциальный оператор, зависящий от вектора параметров b. Если

рассматриваемое уравнение является необратимым в силу тех или иных причин (некорректно поставленная задача), то используя представление искомого решения функции / (х) в виде сходящейся последовательности интегральных операторов {(Кп/)(х)}ап=1 численное решение указанного уравнения можно свести к нахождению последовательности регуляризованных решений неких эквивалентных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. В данной работе излагаются вопросы реализации данного подхода на примере решения известных задач численного анализа, каковыми являются обыкновенные дифференциальные уравнения и задача аппроксимации функции на множестве приближенных данных.

Для большей наглядности излагаемой методики обратимся к простому варианту ОДУ второго порядка вида

Ь2Ш"(х) + Ь0(х)ПХ) = Б(Х) , (1)

где х е [а, Ь], коэффициенты Ь2 (х) и Ь0 (х) считаются известными, так же как и значения функций/(х) и /'(х) в точках х = а и х = Ь. Далее считаем, что искомая функция /(х), представленная уравнением (1), является пределом последовательности {(Кп/)(х)}™=ь где

(*„/)« = \Кл{х,х'Жх')сЬс' = Ш,

а

Ит /„(*) = /«. (2)

Последнее положение означает, что исследуемая функция /(х) характеризуется своим, так называемым, сингулярным интегралом, примером которого может служить известный в анализе интеграл Пуассона. Напомним, что ядром интегрального оператора в (2) в последнем случае служит функция

кям=-р- 1 , (3)

а-я п ■ (х-х) + а где п = 1,2 и й > 0 - некий параметр.

Ниже будем использовать именно это ядро, хотя известны и другие варианты ядра (Вейерштрасса-Гаусса, Ландау и т. д. [7]). В ядро (3) удобно с вычислительной точки зрения, о чем подробно будет

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

. Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений..

сказано ниже, ввести вместо переменной п переменную т = й/п, ограничившись интервалом ее изменения (1,0) (й = 1). В этом случае выражение (3) перепишется в виде

, (4)

Поскольку последовательность {/ (х)} сходится к / (х) в каждой точке х е (а,Ь) при т ^ 0, то можно говорить, что элементы данной последовательности аппроксимируют сколь угодно точно данную функцию. В связи этим ниже будем писать {/ (х)} ~ /(х). Ясно, что если /(х) имеет интегрируемую вторую производную /" (х), а это важно именно в связи с решением (1), то по аналогии с (2) можно записать следующее предельное соотношение

\кг{х,х') ■ Пх')<к' = (ТХ(х) = Ит(/"Ш = /'(*).

^ г-»0+

а

Используя далее формулу интегрирования по частям, нетрудно построить аналогичную аппроксимационную последовательность, а именно

а

где обозначено

Используя введенный выше аппарат приближения функций и их производных соответствующими сингулярными интегралами, исходное дифференциальное равнение (1) заменим на эквивалентное ему интегральное уравнение вида

QJ = ST, (г е (0,1)), (5)

в котором ядром оператора служит функция

а(х,х') = Ь2(х)К"тхх(х,х') + Ъ^х)Кт(х,х'\ а правой частью - функция

= (6)

В отличие от исходного уравнения (1), которое определено для функций из класса С2(О), где О = [а,Ь] - область их определения, уравнение (5) формально определено в классе суммируемых функций С^(О) и, следовательно, определяет так называемые обобщенные решения исходного дифференциального уравнения. Не составляет труда доказать данное утверждение, опираясь на обратное применение формулы интегрирования по частям. Последнее вполне применимо для функций из класса С2(О). Оставляя в стороне эти вопросы (смотри подробнее в работе авторов [1]), рассмотрим проблемы, связанные с численным решением интегрального уравнения (5) (тоже интегральный аналог уравнения (1) в классе С^(О)). Поскольку (5) является интегральным уравнением Фредгольма первого рода, то его решение, как известно, требует применения тех и иных способов регуляризации сходимости последовательности приближенных решений, что реализуется так называемыми обобщенными обратными операторами. В соответствии с этим приходим к последовательностям вида = (От)~1Бг, (т > 0), где (6г)о - обобщенный обратный оператор к исходному оператору Qт и а > 0 - параметр регуляризации. В основе построения подобных операторов часто лежат оптимизационные задачи типа Та(/), где функционал Та(/) имеет следующее представление:

Та (/) = Ш -Б^Г-Б^ «(/,/).

Соответствующие регуляризованные решения /га (х) обладают требуемой устойчивостью при наличии ошибок как в правой части в (1), так и в коэффициентах Ь2(х) и Ь2(х). Выбор параметра регуляризации а в последнем случае согласуется с величиной ожидаемой погрешности в исходных данных о. Помимо того, что говорилось выше об интегральном уравнении Фредгольма первого рода, в пределах излагаемой здесь теории можно провести и более содержательный анализ обобщенной (интегральной) модели (5) для исходного дифференциального уравнения (1). Для этого необходимо обратить внимание на наличие особенностей в ядрах Кт(х,х') и К"Х]С(х,х') в окрестности их диагонали х'=х. Первое из них имеет, как нетрудно видеть, интегрируемую особенность

ФИЗИКо-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений..

при х'=х. Со вторым заметно сложнее, поскольку при т ^ 0 особенность ядра К"хх(х,х') приводит к расходимости соответствующих интегралов. В связи с этим можно говорить, что интегральный оператор Qт в уравнении (5) неограничен. Представим соответствующее ядро в виде

—^ • {бг;(*~У а «+¿о«}=

л [(л: - х ) + т \ [ [(* - х ) + т ] = Кт(х,х')Ст(х,х',Ь0,Ь2).

Для того, чтобы данная функция была интегрируемой по переменной х'е [а,Ь] необходимо исключить точку х'=х по крайней мере для второго множителя. Эта операция в данном случае может быть выполнена так, как это принято делать при вычислении сингулярных интегралов теории потенциала, т. е. согласно правилу, в соответствии с которым осуществляется переход к новой функции, скажем

^ / - ь ь ч [<?,(*,*'АА)Щи ^{х,х,Ьа,Ь2) = \ 1 1 .

[о0 (х) в остальных случаях Здесь /л (//= шт|л: - х'|) - достаточно малое положитель-

(х,х'У 1

ное число. Выбор этого параметра модели осуществляется при вычислениях на основе поведения обобщенного обратного оператора (б^)^1 на множестве приближенных данных задачи Дст = §>0,Ь2,Я,/,/'}. Введение ограничений на меру близости двух точек х и х' интервала [а,Ь] вполне естественно, когда значение функций, определенных на этом интервале являются приближенными величинами. Напомним в частности, что если правая часть уравнения (1) представлена своими а - приближениями (х), то имеет место соотношение

цзд-здИ^ Н^о (*)И (7)

где (х) - гипотетически точные значения в точке х.

В условиях соотношения (7) не представляется возможным поточечное сопоставление значений указанных функций. Напомним, что так называемые а - приближения на множестве исходных данных Ва возникают всякий раз, когда используются эмпирические данные (формулы) либо реализации случайных процессов. Ясно, что регуляриза-

ция сходимости сингулярных интегралов, о которой говорилось выше, в определенной степени может быть увязана с приближенным характером вводимых в вычислительные схемы исходных данных. В последнем случае удобно приближенно заданные функции, например, S(x) представлять последовательностью (рядом) в виде ,} (/ = 1,...,/и), где числа ShJ представляют собой среднее значение S(x) на частичных подинтервалах, покрывающих область П = [а,Ь\ т. е.

к

(/ = 1,...,ти). (8)

к

х /— ' 2

л г А А,

В последнем случае интегрирование ведется для хе. [х¡-—,х!+—].

Выражение (8) можно рассматривать как некую «модель» вектора исходных данных для правой части интегрального уравнения (5). С учетом этого обстоятельства последнее можно видоизменить с целью построения более адекватной аналитической формы решаемой задачи, в большей мере учитывающей специфику методов численного обращения интегральных уравнений с приближенно заданной правой частью. В целях упрощения записи последующих аналитических выражений положим без ограничения общности, что ^ (*,/,/') в (6) равно нулю. Тогда для правой части ОД в рамках излагаемого метода имеет место интегральное представление вида

Б(х) = 1а(х,х')/(х')<1х'. (9)

а

Используя (7), нетрудно построить следующую систему

соотношений

h к Н— Г.н—

2

а И

1

&,(*,.*') = т ¡Ых'.хуъ* . (10)

Ь и

Х,~2

Если функция ад представлена в исходных данных задачи (1) в виде ^-приближения, то считая известными 8а (х) и принимая =5ст(х;) приходим к следующей системе соотношений, определяющей

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Расчегно-аналигические модели для дифференциальных уравнений..

искомую функцию /(х) в пределах интервала [а,Ь]

= (/ = 1,...,/п). (П)

а

Следует заметить, что замена ядра Qт(х,х') в интегральном уравнении (5) на ядро (¿^¿(х^х') требует определенной коррекции в понимании того, что же теперь понимать под «решением» задачи в форме (11). Нетрудно показать, опираясь на интегрируемость/(х) в интервале [а,Ь], что решением задачи (11) следует считать «сглаженную функцию» вида

к

х+-

Ш = \ (12)

л а

х— 2

Подобные функции в прикладном анализе называются функциями Стечкина. По-существу они суть некоторых функционалов на множестве С(£2) и их следует в связи с этим обозначать /„(х,/). Ясно, что преобразование (12) / -> порождает более гладкие функции, нежели исходные. В частности, охарактеризовать операцию локального сглаживания (10) можно оценив влияние параметра к при фиксированном т (т > 0) на величину соответствующего интеграла. Если считать коэффициенты Ь0 (х) и Ь (х) непрерывными и ограниченными функциями на интервале [а,Ь], то вполне

достаточна оценка интеграла к

х+-

1 ,2

— \К"Т (х,х')сЬс' для х е (а,Ь). Ь а '

х— 2

Используя модельное ядро (4) в качестве примера, получим

" А

= \ОкК[Лх,х')\ =

к

х+-2 к

Х 2

х-х

1 2г

А л [(х-х')2+г2]2

(13)

2г

л [(й/2)2 +т2]2

Поскольку параметр к ограничен значениями а и параметр т -угодно мал, по крайней мере, формально, примем условие << 1, т2 << т и тогда для правой части в (13) справедлива оценка

сколь При т

я [(h/lf+r2]2 < ят Поскольку (13) имеет место для Vx е (а,Ъ), то полученный результат

и и 2

можно интерпретировать следующим образом \\DhK't x.(x,x') < — при h > т > 0.

' 7ГТ

При т ^ 0+ интегральные операторы в (8) и (11) становятся неограниченными, что, однако, не препятствует их обобщенной инверсии. Рассмотрим вариант подобного алгоритма. Перепишем систему (10) в виде

ь

S;=Jß(x;,x)/(x)<fc, Q = \,..,m), (14)

а

опустив символы т и h. Соответствующий сглаживающий функционал для построения регуляризованного решения (14) может быть представлен в виде [1]

- m г ЬГ

Uf^^ljQix^xmxWx-Stf+apjifW-Mxtfdx, (15)

'=1 а а

где f0(x) - некое решение системы (14) для ^(x) = (ßf>)(x) и p - масштабный множитель.

Решением задачи считается функция fa (х) е C(Q), зависящая от параметра регуляризации а > 0 и доставляющая минимум функционалу (15). Это решение является ближайшим в метрике L2(^) к функции f0(x), играющей роль опорной точки в пространстве возможных решений F = {/ е C(Q): (Qf) е L2 (П)}. Решение данной оптимизационной задачи может быть найдено в явном виде. Действительно, уравнение Эйлера для функционала Ta(f,S) имеет вид

m Ь

=o, (16)

'=1 а

где обозначено Q,(x') = ß(x,,x). Введем в уравнение (16) систему чисел (1 = l,..,m) положив

ь

\Q{xl,x)f{x)cbc-Sl = -ар£ . (17)

а

Подставив (17) в (16), найдем явное выражение для иско-

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Расчегно-аналигические модели для дифференциальных уравнений..

мой функции fa(x), а именно,

m

Коэффициенты (1 = \,..,т) в разложении fa(x) по базису {йОО}™! в свою очередь находятся из системы алгебраических уравнений вида

т

ь

Чш =\Ql<¿)Qk{x)dx,

а

Ъ

so,i = ¡Qi(x)f0(x)dx.

а

Остается напомнить, что элементы матрицы [д1к] (l,k =

1,...,т) определяются параметрами к (тоже т) и т, влияние которых на «качество» интегральной модели (5) для исходной задачи (1) в форме дифференциального уравнения, рассматривалось выше. Что же касается выбора параметра регуляризации а в подобных задачах, то его непосредственно связывают с величиной а, характеризующей ошибку в исходных данных. Обычно полагают в расчетах а ~ па2 (п > 1), если конечно, не учитывать тот фактор, который связан с так называемой мерой обусловленности оператора Qz в (5). В изложенной выше теории метода, согласно которому некорректно поставленная задача для дифференциального уравнения (дифференциального оператора) сводится к некоторому интегральному уравнению Фредгольма первого рода, упомянутая выше мера обусловленности напрямую связана с параметром т в ядре Qт (х,х) Действительно по мере уменьшения значений параметра т в модели (4), 3 - окрестность точек х' вблизи диагонали х' = х в пределах которой Кт (х,х) > £ последовательно сокращается (принцип локализации для сингулярных интегралов функций). Нетрудно показать справедливость следующего соотношения

для ядра Пуассона. Чем меньше 3(£, т) при прочих равных условиях, тем в большей степени матрица {дк} близка к диагональной, и тем в большей степени вычислительный процесс ее обращения устойчив.

Вопросы выбора параметра т (и ^) на основе изучения особенностей поведения операторозначной функции Qz должны быть исследованы в вычислительном эксперименте.

ЛИТЕРАТУРА 1. Наац В. И. Математические модели и численные методы в задачах экологического мониторинга атмосферы: монография / В. И. Наац, И.Э. Наац. М.: Физматлит, 2010. 328 с.

2. Рыскаленко Р. А. Операторы обобщенного дифференцирования в численных методах решения нелинейного уравнения переноса с приближенными данными / Р. А. Рыскаленко, М. С. Чемеригина // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. 2013. № 1 (34). С. 35-38. [Электронный ресурс] URL: http://www.ncfu.ru.

3. Наац И. Э. Итерационные алгоритмы для численного решения уравнения переноса на основе операторов обобщенного дифференцирования / И. Э. Наац, С. В. Артемов // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. 2013. № 1 (34). C. 21-26. [Электронный ресурс]. URL: http://www.ncfu.ru

4. Наац В. И. Вычислительная модель нестационарного уравнения переноса примесей на основе метода взвешенной невязки и операторов обобщенного дифференцирования функций / В. И. Наац, Т. В. Гаршина // Наука. Инновации. Технологии: научный журнал Северо-Кавказского федерального университета. 2013. № 3. С. 7-18. [Электронный ресурс]. URL: http://www.ncfu.ru

5. Наац И. Э., Рыскаленко Р. А. Сингулярные интегралы функций в задаче нахождения ротора поля скорости ветра в приземном слое атмосферы / И. Э. Наац, Р. А. Рыскаленко // Инновационные методы и средства исследований в области физики атмосферы, гидрометеорологии, экологии и изменения климата (Ставрополь, 23-26 сентября 2013 г.): материалы Международной научной конференции. Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2013. С. 76-80. [Электронный ресурс]. URL: http://www.ncfu.ru

6. Рыскаленко Р. А. Интегральные представления функций в численных методах решения нестационарных задач переноса / Р. А. Рыскаленко, И. В. Черкасова // Вестник Северо-Кавказского федерального университета. 2013. № 1. [Электронный ресурс]. URL: http:// www.ncfu.ru

7. Данфорд Н. Линейные операторы: общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностранной литературы, 1962. 427 с.

ОБ АВТОРАХ Наац Виктория Игоревна, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа, тел. (8652) 35-21- 10, E-mail: [email protected].

физико-математические науки

Расчетно-аналитические модели для дифференциальных уравнений..

Naats Viktoria I., North-Caucasian Federal University, doctor of physical and mathematical sciences, Professor of the Department of Mathematical analysis.

Наац Игорь Эдуардович, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник института повышения квалификации и научно-педагогических кадров СКФУ, тел. (8-652) 3521-10,

E-mail: [email protected].

Naats Igor E., North-Caucasian Federal University, doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor and consultant to the Department of Applied Mathematics and Computer Science Faculty of Mathematics and Physics.

Рыскаленко Роман Андреевич, ФГАОУ ВПО «Северо-Кавказский федеральный университет», кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, E-mail: risc-roman@ yandex.ru.

Ryskalenko Roman A., North-Caucasian Federal University, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, assistant professor of mathematical analysis.